2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

目錄

【思維導(dǎo)圖】...................................................................2

【知識(shí)點(diǎn)梳理】.................................................................2

【典型例題】...................................................................4

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系.............................................4

型:作商法比較兩數(shù)（式）的大小8

題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假..........................................10

題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式............................................13

題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小..............................................15

題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍18

【題型歸納目錄】

題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小

題型歸納4

題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小

題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

【思維導(dǎo)圖】

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小

實(shí)數(shù)的符號(hào)：

任意xeR,則x>0（x為正數(shù)）、x=0或尤<0（x為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立.

兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：

①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變

符號(hào)語言：4>0力>0=>々+/?>0；

av0,Z?v0=>a+Z?v0

②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)

符號(hào)語言：a>0,b>0^>ab>0；

a<O,b<0=>ab>0

③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)

符號(hào)語言：tz>0,Z?<0=>?Z?<0

④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，。的平方為0

符號(hào)語言：無￡尺=>/>0,X=0<^>X2=0.

比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：

對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)〃、b

①Q(mào)-Z?>Ooa>b；

②Q-bvOoa<b；

③?！?=0oa=b.

對(duì)于任意實(shí)數(shù)。、b,a>b,a=b,a<b三種關(guān)系有且只有一種成立.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明

不等式與解不等式的主要依據(jù).

知識(shí)點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分

基本性質(zhì)有：

(1)對(duì)稱性：a>b<^b<a

(2)傳遞性：a>b,b>c^>a>c

(3)可力口性：a>boa+c>b+c(cER)

c>0=>ac>be

(4)可乘性：a>b,<c=0=>ac=be

c<0=>tzc<Z?c

運(yùn)算性質(zhì)有：

(1)可加法則：a>b,c>d=>a-^-ob-\-d.

(2)可乘法貝U：a>b>O,c>d>O^a-c>b-d>Q

(3)可乘方性：a>b>O,neN*nan>b”

知識(shí)點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).

知識(shí)點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法

作差法：

任意兩個(gè)代數(shù)式〃、b,可以作差后比較人與。的關(guān)系，進(jìn)一步比較〃與人的大小.

①Q(mào)-b>Ooa>b；

②。一人vOoavb；

③a-b=Uoa=b.

作商法：

任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式a、b,可以作商a+8后比較3與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較a與b的大小.

b

①@>l=a>6；

b

②g<loa<6；

b

=1u>a—b.

b

中間量法：

若。>b且b>c,則a>c（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇?；?為中間量.

【典型例題】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

【典例11]（2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè)）下面能表示2與b的和是非正數(shù)”的不等式為（）

A.a+b<0B.a+b>0

C.a+b<0D.a+b>0

【答案】C

【解析】因?yàn)榉钦龜?shù)小于等于0,則能表示“。與b的和是非正數(shù)”的不等式為a+640.

故選：C.

【典例12]（2024?高一.廣東深圳?階段練習(xí)）公司運(yùn)輸一批木材，總重600噸，車隊(duì)有兩種貨車，A型貨車

載重量30噸，8型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車x輛，3型貨車V輛，則運(yùn)輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式

是（）

A.5x+4y<100B.5x+4y>100

C.5x+4y>100D.5尤+4yW100

【答案】B

【解析】由已知可得，30x+24y>600,

所以有5x+4yN100.

故選：B.

【方法技巧與總結(jié)】

將不等關(guān)系表示成不等式（組）的思路

（1）讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.

（2）用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.

（3）多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.

【變式1。（2024?高二.陜西渭南.期末）某體育器材公司投資一項(xiàng)新產(chǎn)品，先投資本金。（a>0）元，得

b

到的利潤(rùn)為b（b>0）元，收益率為一（％）,假設(shè)在該投資的基礎(chǔ)上，此公司再追加投資x（尤>0）元，

得到的利潤(rùn)也增加了X元，若使得該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則（）

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

【答案】C

【解析】若使得該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則也三>2,尤>0）,

a+xa

得a>6.

故選：C

【變式12］（2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè)）完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資

每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工V人，則請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是（）

A.5x+4y<200B.5%+4y>200

C.5%+4j=200D.5x+4y<200

【答案】D

【解析】依題意，請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是50元+40yV2000,

即5x+4yV200.

故選：D

【變式13］（2024?高一.河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，

人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)150米以外（含150米）為安全區(qū).為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑

到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度無（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）

xxXX

A.4x—<150B.4x—>150C.4x—<150D.4x—>150

0.50.50.50.5

【答案】B

【解析】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為六秒,

人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為,x或］米，由題意可得4x%2150.

\u.JJUQ

故選：B.

題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小

【典例21］（2024.高一.全國(guó).隨堂練習(xí)）若x<y<0,設(shè)M=（/+力（彳_了），N=（d-y2）（x+y）,則

M,N的大小關(guān)系是.

【答案】M>N

【解析】因?yàn)?N=（x2-y2）（x+y）,

則M-N=（x2+y2）（x_y）_（x2-y2）（x+y）=_2^（x-y）,

且％<y<0,貝lj-2xy<0,x-j<0,

可得M-N=-2孫（x-y）>0,即M>N.

故答案為：M>N.

【典例22］（2024.高一.上海.隨堂練習(xí)）比較大小：x2+4y24^-1.

【答案】>

【解析】因?yàn)椋?+49一4孫+1=（%一2））2+1>。，

所以％?+4y2>4xy-l.

故答案為：>.

【方法技巧與總結(jié)】

作差法比較大小的步驟

兩個(gè)實(shí)數(shù)（或代數(shù)式）的大小.

作差可以根據(jù)它們的差的符號(hào)進(jìn)行判斷

（1）進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為多個(gè)因式相乘］

變形

（2）通過配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和）

判號(hào)注意題目本身提供的字母的取值范圍］

定論根據(jù)符號(hào)判斷大小

【變式21］（2024?高一?上海?隨堂練習(xí)）已知0<a<l,0</?<1,記"=劭，N=a+b—l,則M與N

的大小關(guān)系是.

【答案】M>N

【解析】因?yàn)锳f—N="—a—=1乂。一1),且0va<l,0<Z?<1?

所以M—N>0=M>N.

故答案為：M>N.

【變式22］（2024?高一?上海?假期作業(yè)）（1）（若+五『____6+2A/6;（2）10可（通

1

⑶回2----------后一5(4)(a+3)(〃+5)(a+2)(i—4),a>0；

(5)(x2+1)____%4+x2+1(x*0)

【答案】<<<>>

【解析】(1)因?yàn)?括+四了-6-2亞=5+2#-6-2#=-1<0,

所以(6+&y<6+26；

(2)H>3(73-A/2)2-(A/6-1)2=5-2V6-7+2>/6=-2<0,

⑶因?yàn)樘?hào)TUT（百;京+2］百廣百+2-（四+國(guó)=2—探<0,

所以八1

V6-V5

(4)(Q+3)(tz+5)—(a+2)(a—4)=1Oci+23,

因?yàn)閍>0,所以10a+23>0,

則(a+3)(a+5)>(a+2)(a-4)(a〉0)；

(5)+1)2—x4—x2—1=x2,

因?yàn)閤wO,所以％2>o,

則(%2+l『〉/+%2+](%w0).

故答案為：(1)<;(2)<;(3)<;(4)>;(5)>.

haA_i_rr；

【變式23](2024?高一?上海?課后作業(yè))設(shè)a>b>0,m>0,n>0,貝！Jp=—,q=:r二-------

aba+m

S=產(chǎn)的大小順序是______.

b+n

【答案】P<r<s<q

【解析】方法一：特殊值法取a=4,b=2,m=3,n=l,

則夕=g，q=2,r=4,5=-|,則P<〃<s<q.

方法二：作差法

因?yàn)閍>b>0,m>0,H>0,所以〃一av0,a+m>。，

，bb+mab+bm—ab—am"a)"、。,

所以PT=一

aa+ma(a+m)a^a+m)

所以〃

因?yàn)閍>Z?>0,m>0,n>0,

所以a+根>Z?+根>0,a+n>b+n>Q,

Lnb+ma+n

所以-------<l1，-——>1,所以

a+mb+n

或,_b+ma+n_[b-a)[b+a+m+n)

s<0,所以r<s

a+mb+n(Q+M)(Z?+〃)

a+na（b-a）n

，7=西一『即『所以s<q.

所以"<r<s<q.

故答案為：p<r<s<q

【變式24］（2024.高一.上海.課堂例題）設(shè)x是實(shí)數(shù)，比較（尤+1乂/-》+1）與（*-1乂*2+彳+1）的值的大小.

【角星析】(x-l)(x2+X+1)=X3-1,(X+l)(x2-X+1)=X3+1,

因?yàn)槿?1一（丁一1）=2>0,所以丁+1>尤3_],

即（％+1）（%2-X+l）>（X-1）（X2+X+1）.

【變式25]（2024?高一?上海?課堂例題）已知是實(shí)數(shù)，

⑴求證：4+"+kNO,并指出等號(hào)成立的條件；

（2）求證:如果那么標(biāo)>戶.

【解析】（1）因?yàn)?+加/=",+》22

當(dāng)且僅當(dāng)彳2,即。=〃=0時(shí)，等號(hào)成立；

b=0

（2）因?yàn)閯t4一/?>0,又42+他+〃2>0（等號(hào)不成立），

所以一匕3=（Q—匕）（〃2+ab+/）>0,故/>

題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小

【典例31]（2024.高一.江蘇.假期作業(yè)）已知。之1,試比較〃=而1-后和N=6-的大小.

【解析】（方法1）因?yàn)?^1,所以河=而1—&>0,N=&—V^T>0.

以MJQ+1—y[u.+Ja-1

N-Ja—1Ja+1+

因?yàn)镴a+1+4a>y/a+[a-1〉0,所以二<1,即Af<N；

N

（方法2）所以G>O,N=G—V^T>o,

=

3^—~/---=Ja+1+—=-T=/=+Ja-1,

MJ〃+1—y/ClNyjd—A/ci—1

所以—>—>0,所以M<N.

MN

【典例32]（2024?高一?黑龍江鶴崗?期末）設(shè)。>人>0,比較，Z上與了的大小

a2+b2a+b

【解析】\*a>b>0^a+b>09a-b>0,

a』（a+b）（"6）a-b0

"a2+b2~a2+b2'a+b

./+/=（a+b）2=.,lab

2222

"a-b~a+b~a+b'

a+b

〃2一/72Cl—I）

.??---/--+---/-->--〃---+--丁-

【方法技巧與總結(jié)】

作商法:

任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式。、b,可以作商a+b后比較烏與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較a與b的大小.

b

b

@—<\<=>a<b；

b

@—=loa=b.

b

【變式31］（2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè)）右a”>0，求證：相法>（"F

【解析】證明：

???—>1,且。一6>0.

b

a-b

aabb

工作商得:a+b>1

(ab)2

a+b

aabb>(話)k

a+b+c

【變式32］（2024?高一?上海?專題練習(xí)）已知a>b>c>0,比較aabbcc與(abc)~的大小

a-ba-cb-c

aabhcca—ba—cb—cb—ac-b

333333

【解析】a+b+c=axbxcXX

(abc)~^

a-bb-c

a[佇”0

>1同理>1，>b

.丁L3

aabbcc

從而一a+b+c>1

a+b+c

即aabbcc>{abc)~~

【變式33］（2024?高一.貴州六盤水?期中）從下列三組式子中選擇一組比較大小:

①設(shè)=?-斤斤,"=比較M,N的大小;

②設(shè)M=(x+3)(x+4),N=(x+2)(x+5),比較M,N的大小;

a2-b2

③設(shè)a>b>O,M=,N=—,比較M,N的大小.

a1+b2a+b

注：如果選擇多組分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】@M>N

11

M=\[x-y/x-1=-j=,,N—A/X+1->Jx-―/--,

{x+{x—1Jx+l+Jx

因?yàn)镴x+1+Vx>y/x+y]x-l>0,

11

所以

JR+1+>Jxy[x+y/x~l

即Jx+1—yfx<yfx—,x/x—1;

②M>N

M-?/=(X+3)(X+4)-(X+2)(X+5)=(X2+7X+12)-(X2+7X+10)=2>0,

③M>N

22

a-ba-b_（〃+勾（〃一⑻一年十/）（々/?）

方法一（作差法）M-N=

Q2+/Q+Z?

(〃2+/?2)(〃+b)

(a-Z?)[(a+/?)2-(a2+i2)]_2ab(a-b)

^a2+Z?2j(d!+Z?)(Q2+02)(Q+b)

因?yàn)閍>Z?>0,所以。+力>0,。一6>0,2〃/7>0,〃2+/?2>。,

2ab^a-b)

>0

所以(。2+b2)(〃+5)

r-r-Ia2—b?a—b

所以HF——7>----?

a+ba+b

2_A20―6

方法二（作商法）因?yàn)椤?gt;少>0,所以a一二>0,j>0,2ab>0,

a+ba+b

?一一

M_i_A2(a+b)2a2+b2+lab.lab

2Na-ba2+b2a2+b2a2+b2>1,

a+b

a2-b2a-b

所以

a2+b2a+b

題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

【典例41］（2024?高一?湖北?期中）若在〃￡R,且|相|<〃，則下列結(jié)論一定成立的是（

A.m2>n2B.—<-C.m<nD.m<-n

mn

【答案】C

【解析】對(duì)于A,若加=0,〃=1,則|根|<九，但m2>1、1<1（因?yàn)?無意義）、m<-〃不成立，故

mnm

ABD錯(cuò)誤；

由"加巨機(jī)易得C項(xiàng)正確.

故選：C.

【典例42］（2024?高一?山西朔州?階段練習(xí)）如果avbvO,c<0,那么下列不等式正確的是（）

A.yj—a<yj—bB.—<—

ab

_11—cc

C.--z-D.—〉一

abab

【答案】C

【解析】如果avhvO,c<Q,

對(duì)于A,-a>-&>0,>4-b，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,--T=^>0,即故B錯(cuò)誤；

ababab

對(duì)于C,，■一±==^<。，即二<』，故C正確；

ababab

對(duì)于D,￡，「em<o,即￡<：,故D錯(cuò)誤.

ababab

故選：c.

【方法技巧與總結(jié)】

運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧

（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).

（2）解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足

題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算.

【變式41］（2024.高二.云南昭通?階段練習(xí)）已知且awO,b^O,則下列不等式成立的是（）

A.a2>b~B.—b>—aC.—>—D.cr>b

ab

【答案】B

【解析】對(duì)A,取。=1力=-1,則滿足a>b,但/=〃，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,根據(jù)不等式性質(zhì)故B正確；

對(duì)C,取。=-1,6=-2,則工<:，故C錯(cuò)誤；

ab

對(duì)D,取a=0.2,6=0.1,則°2<6,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式42】（2024?高一?上海?單元測(cè)試）若a<0,b>0,則下列不等式中正確的是（）

11

A.—<-B.y[^a<\[bC.a2Vb2D.同〉網(wǎng)

ab

【答案】A

b>Q,貝世<0<2，故A正確;

【解析】對(duì)A：由〃<0,

ab

對(duì)B：取。=~4,b=l,則有yf—a=2>y/b=1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：取a=T，b=l,則有片=16>。2=1,故C錯(cuò)誤;

對(duì)D：取a=,b=4,則有時(shí)=1〈回=4,故D錯(cuò)誤.

故選:

【變式43］（2024.高一.全國(guó).課后作業(yè)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（)

A.若a2>b?,ab>0,貝U—<—B.右—y<—z-,貝Ua<Z?

abcc

C.^b>a>0,m>0,貝|---->—D.若a>Z?,c<d,則a—c>b—d

b+mb

【答案】A

【解析】對(duì)于A,取。=-3力=-2,則l>：,故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B,由，>0,得a<b,故B正確；

cc

a+maab+bm-ab-amm(b—a)

*°，b+mbb(b+m)Z?(Z?+m)?

由6>a>0,m>0,得誓二4>。，所以故C正確；

b[b+m)b+mb

對(duì)于D,由cvd,得一c>-d,又a>b,所以故D正確.

故選：A.

【變式44］（2024?高一?北京?期末）已知bed<0>abed>0,則下列選項(xiàng)可能成立的是（

A.a<0、b>0、c<0、d>0B.?！?、bvO、c>0、d<0

C.a<0、b<0>c>0、d>QD.a>0>b>。、c<0,d<0

【答案】C

【解析】因?yàn)閎ed<0、abed>0,故avO,排除BD；

因?yàn)椤?gt;b,所以b<0,ab>0,

又abed>0,所以cd>0,

故A錯(cuò)誤，C正確.

故選：C

題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

ha

【典例51］（2024?高一?上海?課堂例題）（1）已知a>b>0,c<d<Q,求證：----<-----

a-cb-d

（2）已知—加NO,bd>0,求證：<C+f.

ba

【角軍析】證明：（1）因?yàn)閏vdvO,所以一c>—d>0.

又Q>6>0.所以Q—d>0,所以0<--—<---

a-cb-d

又因?yàn)?<b<〃，

（2）因?yàn)榍?gt;0,要證學(xué)4號(hào)，只需證明d（a+b）vMc+d）,

ba

展開得ad+bd4be+bd,

即〃（be,bc—ad>0

因?yàn)閺囊弧∟O成立，

所以如c+d

一丁成立.

【典例52］（2024?高一?上海?課堂例題）已知實(shí)數(shù)〃、b、c滿足a+b+c=0,且求證：〃>0且

c<0.

【解析】由于實(shí)數(shù)。、b、。滿足a+b+c=0,且

所以3a=〃+a+Q>a+Z?+c=0,即〃>0,

3C=C+C+CVQ+Z?+C=0,BPc<0,

綜上，。>0且evO

【方法技巧與總結(jié)】

對(duì)利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說明

（1）不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)有ab>O=>a>b；ab=O=>a=b；ab<O^a<b.這

是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ).

（2）利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對(duì)性質(zhì)正確理解和運(yùn)用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)

論，注意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系.

（3）比較法是證明不等式的基本方法之一，是實(shí)數(shù)大小比較和實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用.

nh

【變式51］（2024?高一?上海?課堂例題）（1）已知。>。>人>0,求證：——>——；

c-ac-b

（2）已知。>匕，e>f,c>0,求證：f-ac<e-bc,

【解析】（1）由匕，得一av—b,貝!Jc—avc—b,

又c>a,貝!Jc-a>0,0<c-a<c-b,

111

不等式兩邊同乘乙丁乙公,得——>一彳>0,

（c-a）［c-D）c_ac-b

Z7h

而a>5>0,所以---->----.

c-ac-b

（2）由c>0,得ac>bc,即—ac<—be,

又/<e，所以f—ac<e—6c.

【變式52］（2024?高一?上海?假期作業(yè)）（1）已知a>b>0,c>d>0,求證：ac>bd\

（2）已知a>人>0,求證：an>bn,其中〃為正整數(shù).

一［a>b［c>d

【解析】（1）\nac>be,<=bc>bd,由不等式的傳遞性，得

（2）將（1）結(jié)論中的，換成。，d換成b,就得到"，廿〉。

結(jié)合再次利用（1）的結(jié)論，可得/，尸〉。，反復(fù)運(yùn)用（1）的結(jié)論，最終就得到優(yōu)〉

【變式53］（2024?高一?上海?假期作業(yè)）已知羽ywR,證明：若x+y>2,貝晨>1或y>l.

【角畢析】彳戰(zhàn)設(shè)％41且丁<1,則x+y<2,與已知x+y>2矛盾，

所以假設(shè)不成立，故工>1或y>L

7*

【變式54］（2024?高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù).求證：—+—>?+/?.

ba

rATJ■w、〒口口nzid///i\以+及一Mb—Clb?（Cl—Z?）—Z?2（6Z—Z?）（6Z—Z7）2（Cl+Z?）

【解析】證明：因?yàn)橐?---（a+b）=----------------=-----------------=------------，

baababab

又因?yàn)閍>0,6>0,所以（":（"+/NO,當(dāng)且僅當(dāng)a=人時(shí)等號(hào)成立，

ab

在aa2b1i

ba

【變式55］（2024?高一?河北保定?階段練習(xí)）設(shè)a,。,CER,4+6+C=0,abc=l.

⑴證明：ab+bc+ca<0；

（2）若證明〃3>戶.

【解析】（1）證明:,??（a+b+c）2=〃2+62+/+2必+2〃。+2）。=0,

ab+be+ca=-］（Q2+b2+1?2）.

a,b,。不同時(shí)為0,則［2+〃+°2>0，...〃/?+/7。+。。=一3（。2+。2+。2）<0；

（2）—匕3=（〃—人+〃〃+人2）.

,?,〃+〃/?+/=（a+go）+-^Z?2>0,取等號(hào)的條件為a=Z?=O,

而〃>八.,.等號(hào)無法取得，即/+4匕+從=［Q+gb）+_|。2〉0,

a>bi(X'-力=(a-+Z?2)>0,.,.>Z?3.

【變式56］（2024?高一?安徽?階段練習(xí)）（1）a=x3+y\b=x2y+xy2,其中心y均為正實(shí)數(shù)，比較〃，b

的大??；

（2）證明：已知a>b>c,且。+/?+。=0,求證：>?

c-ab-a

【解析】（1）因?yàn)椤?%3+,3*=%2〉+孫2,

作差得〃一人=九3+/3一（%2,+盯2）=%2（兀一,）+,2

=（無一封廿一丁卜^+以彳一才，

因?yàn)橛?gt;0,J>o,所以x+y>0,（x-y）2>o,

所以。一/？之0,即

（2）因?yàn)閍>Z?>c,且a+b+c=0,。>0,c<0,

所以cv/?va=>c-avZ?-avO,

所以（…）（j）>『正證詢>0

]

斯^以一(c—〃)>一(b—a)>0=>—(c—>一(/?一〃)?(

^c-a)(b-a)c-a)[b-a)'

所以‘7>，>。，

a—ba—c

11八aa

所以；——<—<o=>-——<----

b-ac—ab-ac—a

,,aa

故——>--

c-ab-a

題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小

【典例6。（多選題）（2024.高一.廣西.開學(xué)考試）已知a>b>0,b>c,則下列不等式一定成立的是（）

.bac°i

A.<7TB.ac1>be1

ab

C.----<----D.tz+c>b~c

a-cb-c

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,由。>八0,得a?〉/〉。，所以3>與>0,所以與<芻，則A正確；

baab

對(duì)于B,當(dāng)c=0時(shí)，aerobe1,則B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由4>〃,Z?>C,得Q—c>〃一C>。，所以----<----,貝！JC正確；

a-cb-c

對(duì)于D,當(dāng)a=2,b=l,c=-2時(shí)，a+c=0,b-c=3,止匕時(shí)a+cvb-c,則D錯(cuò)誤.

故選：AC

【典例62】（多選題）（2024?高一?河南鄭州?階段練習(xí)）若。>1,—1V（V0,C￡R,則（）

12

A.—>bB.a>b2C.a+c>b+cD.ac>bc

a

【答案】BC

【解析】A選項(xiàng)，不妨令a=10,b=~,此時(shí)工<加，A錯(cuò)誤；

2a

B選項(xiàng)，因?yàn)椤?gt;1,一1v〃v0,所以a>l>02,B正確.

C選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)得a+c>Z?+c,C正確.

D選項(xiàng)，當(dāng)cvO時(shí)，ac<be,D錯(cuò)誤.

故選：BC

【方法技巧與總結(jié)】

注意點(diǎn)：

①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；

②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo),

更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則

【變式61］（多選題）（2024.高一.福建福州?期中）下列說法中，正確的是（）

abri

A.若〃2>82,ab>0,則一<不B.右二>=，貝！

abcc

C.右b>,m>0,貝！J------->—D.若〃>匕，c<d,則a-c>Z?-d

b+mb

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,若。=-21=-1,貝讓=二>；=一1,故A錯(cuò)誤;

a2b

ab

對(duì)于B,可知c2>。,不等式兩側(cè)同乘以，2,…故B正確;

對(duì)于C,利用作差法知靄(b—a^m

b(b+m)

由b>a>0,m>0,知(b-a)機(jī)>0力(〃+根)>。，

a+ma(b-a)m

即>。，故C正確;

b+mbb[b+m)

對(duì)于D,由c<d知a>b,—c>—d,由不等式同向可加性的性質(zhì)知D正確.

故選：BCD

【變式62］（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知a>/7>0>。，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.ac>bcB.a+c>b+cC.ac<beD.a-c<b-c

【答案】BC

【解析】因?yàn)?。＞b＞O＞c,所以故A項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確;

a+c＞b+c,則B項(xiàng)正確；

a-c＞b-c,則D項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：BC

【變式63］（多選題）（2024.高一.江蘇常州?期中）在下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.若ac?＞be1,則a

b+c〉a+d

B.若。>b>0,c<d<0,|b|〉|c|,

(a-c)2(b—d)2

919

C.已知一l<a+Z?K4,2Ka—b<3,貝！J—?3a-2。W—

22

D.為互不相等的正數(shù)，且^+廿二？》小貝!Jac+/>aZ?+be

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,^ac2>bc\知。2〉0，由不等式的性質(zhì)可得，a>b,因此A正確;

,,入，—,b+c11a+d33

對(duì)于B,Aa=4,b=3,c=—2,d=—\,貝|------=—=—,---------=——,

JJ7—6236(b-d)24216

顯然/+，因此B錯(cuò)誤；

(a-c)(b-d)

對(duì)于C,由3a-26=4+6)+“-6),X--<-(a+Z?)<2,5<-(a-Z?)<—,

o15ioo19

則=4—(a+6)+士(a-6)4彳，即一43。-2。<上，因此C正確；

222222

對(duì)于D,由a/,c為互不相等的正數(shù)，貝iJ/+62>2",又a2+濟(jì)=2bc,；.2bc>2ab,

即c>。，:.c(^a+b)>a(^a+b),BPac+bc>a2+ab>ac+2bc>a1+ab+bc

又4+廿=2兒，

ac+a2,+b2>a2+ab+beBPac+b2>ab+be>因止匕D正確；

故選：ACD.

【變式64］（多選題）（2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè)）給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若ac">be",則a>b

B.若a>例，則/>尸

C.若a>b,則a?>/

D.若時(shí)>6,則a2>b2

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,若這4＞兒4,貝l|cW0,否則這4=尻4=0,矛盾，所以04＞0，所以。＞＞，故A正確;

對(duì)于B,若。＞例20,貝磯（“+網(wǎng)）＞0,即/＞從，故B正確;

2

又寸于C,a>bf則/—尸=（〃—"（/++62）=（〃—人）［〃+/力］+—Z?,

因?yàn)椋踑+；“+［k=0當(dāng)且僅當(dāng)a=b=O,所以（a+g“十^^二。顯然不可能（因?yàn)?>方）,

所以［+?：+#>（）,所以/一心5叫+，>0,即心凡故c正確；

對(duì)于D,若時(shí)=0>b=T,貝卜2=（）<1="，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

【典例71］（2024?高三.江蘇連云港?階段練習(xí)）已知-Ka+bWl,l<a-2b<3,則a+38的范圍

是.

【答案】~<a+3b<l

【解析】設(shè)。+3/?=/?i（a+b）+〃（a—2Z2）=（m+〃）Q+（m-2〃W，其中加、〃cR,

.5

c1m二一

則\m+。n-l公，解得3「，所以，a+3b=^5/a+b、）--2（/a-2b、）,

\m-2n=3233

in=——

［3

55592

因?yàn)橐籰<a-2b<3,貝!J—§W§（Q+b）-2<--［a-2b）<--,

由不等式的基本性質(zhì)可得-日■4：6+6）-：（“一26）41,BP-y<a+3fe<l.

故答案為：-?Wa+36WL

【典例72］（2024?高一.全國(guó)?課后作業(yè)）若l<a<3,~4<b<2,那么“一|目的范圍是（）

A.~3<a~\b\<iB.~3<a~\b\<5

C.—3<〃一|/?|<3D.i<a—|Z?|<4

【答案】C

【解析】???一4<。<2,.-.0<|Z?|<4,.'.-4<-|/?|<0.

又■■■—3<a~\b\<3.

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略

建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范

圍.“范圍”必須對(duì)應(yīng)某個(gè)字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來

直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然