選填04排列組合與二項(xiàng)式定理

堡相架導(dǎo)航

**>

排列組合與二項(xiàng)式定理

考點(diǎn)01隊(duì)列、數(shù)字的排序問(wèn)題

考點(diǎn)02涂色問(wèn)題］

考點(diǎn)03分組分配問(wèn)題

考點(diǎn)04二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)系數(shù)

考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)05二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和

考點(diǎn)06三項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)系數(shù)

H考一%—積展開(kāi)式的指定項(xiàng)系數(shù)）

考點(diǎn)08二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的最值問(wèn)邈

考點(diǎn)09楊輝三角

模擬題訓(xùn)練

真題訓(xùn)練

V考點(diǎn)訓(xùn)煉

【考點(diǎn)01隊(duì)列、數(shù)字的排序問(wèn)題】

1.有6位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備拍照，拍照前加入了2位同學(xué)，如果要求他們?nèi)哉境梢慌牛瑫r(shí)原來(lái)6位同學(xué)

的相對(duì)順序保持不變，則有種不同的站法.（用數(shù)字作答）

【答案】56

【詳解】因?yàn)楣?位同學(xué)站成一排，原來(lái)6位同學(xué)的相對(duì)順序保持不變，

AS

所以共有"71=7x8=56種不同站法，

故答案為：56

2.用2,3,5,6,7,8這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中，個(gè)位數(shù)為質(zhì)數(shù)的六位數(shù)有（）

A.360個(gè)B.420個(gè)C.480個(gè)D.600個(gè)

【答案】C

【詳解】這6個(gè)數(shù)字中2,3,5,7為質(zhì)數(shù)，故個(gè)位數(shù)的排法有4種，

前五位的排法有A；種，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，個(gè)位數(shù)為質(zhì)數(shù)的六位數(shù)有4A：=480個(gè).

故選：C.

3.一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次記為a,b,c,當(dāng)a1,c中有兩個(gè)數(shù)字的和等于剩下的一個(gè)數(shù)字

時(shí)，則稱這個(gè)二位數(shù)為“有緣數(shù)”（如121,213等）.現(xiàn)從L2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中任取二個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)）

組成一個(gè)三位數(shù)，其中“有緣數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）

A.24B.27C.30D.33

【答案】C

【詳解】從L2,3.4,5這五個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)，其中“有緣數(shù)”的個(gè)數(shù)為4A；=24；

從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)，其中“有緣數(shù)”的個(gè)數(shù)為2C；=6,

所以全部“有緣數(shù)”的個(gè)數(shù)為24+6=30.

故選：C.

4.9人身高各不相等，排成前后排，前排5人，要求每排從左至右身高逐漸增加，則不同的排法共有種

（用數(shù)字作答）.

【答案】126

【詳解】從9人選5人排在前排，5人的身高不同，按要求只有1種排法，即C，=126種方法，后排4人,

也只有1種排法，所以共有126種排法.

故答案為：126

5.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物，分別取名為“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”，是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿時(shí)代活力的

機(jī)器人，組合名為“江南憶”.現(xiàn)有6個(gè)不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個(gè)，將這6個(gè)吉祥物排

成前后兩排，每排3個(gè)，且每排相鄰兩個(gè)吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有.（用數(shù)字作答）

【答案】336

【詳解】

由題意可分兩種情形：

①前排含有兩種不同名稱的吉祥物,

首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，有C；種情況，

從選出的兩種吉祥物中，其中一種取兩個(gè)，另一種選一個(gè)，有C；c；c；種排法，

選出的三個(gè)吉祥物進(jìn)行排列，選一個(gè)的一定放中間，名字相同的放兩邊，

由于屬于不同的吉祥物，故有A；種排法，

綜上，有C；C；C；C；A；=24種排法；

其次，后排剩余兩個(gè)相同名字的吉祥物和另一個(gè)名字不同的吉祥物，

故有A；=2種排法，故共有24x2=48種不同的排法；

②前排含有三種不同名稱的吉祥物，

先從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各二選一，有C；C；C；種選法，

再進(jìn)行全排列，故有C；C；C；A；=48種排法；

同理后排有A；=6種排法，止匕時(shí)共有48x6=288種排法；

因此，共有48+288=336種排法，

故答案為：336.

【考點(diǎn)02涂色問(wèn)題】

6.現(xiàn)有四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為

【詳解】根據(jù)題意，用四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，每個(gè)部分都有4種涂色方法,

則有4x4x4x4x4=1024種涂色方法;

若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個(gè)區(qū)域，則有C；x2xA；=48

種涂色方法；②用四種顏色涂這5個(gè)區(qū)域，則有4xA：=96種涂色方法，所以若其中任意有公共邊的兩塊著

不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共

1449

邊的兩塊著不同顏色的概率為R=

102464

故選：C

7.地圖涂色是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個(gè)區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏

【答案】A

【詳解】將圖形區(qū)域氛圍上下左右，

若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有4x3x3=36種；

若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有4*3*2x2=48種，

所以共有36+48=84種，

故選：A

8.如圖所示，有5種不同的顏色供選擇，給圖中5塊區(qū)域A,B,C,D,￡染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色,

【答案】420

【詳解】選擇3種顏色，則8,。同色，且C,E同色，共A；=60種情況;

選擇4種顏色，則B,。同色，或C,E同色，共2xA；=240種情況;

選擇5種顏色，共A；=120種情況；故共有60+240+120=420種情況.

故答案為：420

9.中國(guó)古代哲學(xué)用五行“金、木、水、火、土'’來(lái)解釋世間萬(wàn)物的形成和聯(lián)系，如圖，現(xiàn)用3種不同的顏色

給五“行”涂色，要求相鄰的兩“行”不能同色，則不同的涂色方法種數(shù)有（）

A.24B.36C.30D.20

【答案】C

【詳解】設(shè)3種不同的顏色為4,瓦c,

對(duì)于“火、土”兩個(gè)位置有舁6種不同的涂色方法，不妨設(shè)“火、土”兩個(gè)位置分別為a、b,

1.若“金”位涂色為。，則有：

①若“水”位涂色為6,貝廣木”位涂色為。，共1種不同的涂色方法；

②若“水”位涂色為c‘貝『'木"位涂色為6,共1種不同的涂色方法；

共2種涂色可能；

2.若“金”位涂色為c,則有：

①若“水”位涂色為貝『‘木"位涂色為匕或共2種不同的涂色方法；

②若“水”位涂色為6,貝廣木”位涂色為。，共1種不同的涂色方法；

共3種涂色可能；

綜上所述：共6義（2+3）=30種不同的涂色方法.

故選：C.

10.對(duì)如下編號(hào)為1,2,3,4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色,

則在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是（）

4

23

1

【答案】A

【詳解】由題意可知，整個(gè)事件需要分四步，按照格子標(biāo)號(hào)依次涂色即可；

若在1號(hào)格子涂灰色，則2號(hào)格子還有3種選色方案，同時(shí)3號(hào)格子也有3種選色方案，4號(hào)格子還剩2種

選色方案，

即1號(hào)格子涂灰色的方案總數(shù)為3x3x2=18種；

若1號(hào)格子和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色，則2號(hào)格子還有3種選色方案，3號(hào)格子還有2種選色方案，

即1號(hào)和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色的方案總數(shù)為3x2=6種；

所以，在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是P=2=!

183

故選：A.

【考點(diǎn)03分組分配問(wèn)題】

H.現(xiàn)安排甲、乙、丙三位同學(xué)在星期一到星期六值日，每人兩天，且都不連續(xù)值日的不同方法種數(shù)為()

A.6B.15C.20D.30

【答案】D

【詳解】把星期一到星期六記為1,2,3,4,5,6,則不連續(xù)值日的三組數(shù)可列舉為(1-3,2-5,4-6),

(1-4,2-5,3-6),

(1-4,2-6,3-5),(1-5,2-4,3-6),(1-6,2-4,3-5),

所以符合條件的方法有5A；=30種.

故選：D

12.某高校有8名研究生要去小興安嶺采集植物樣本，其中男生6人，女生2人，將這8人分成兩組，若

要求每組至少2人，且兩名女生不單獨(dú)成組，則不同的分組方案共有()

A.240種B.158種C.126種D.118種

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，分3種情況討論:

①分為4,4的兩組時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)兩名女生單獨(dú)成組情況，有晨=35種分組方法；

2

②分為3,5的兩組時(shí)，有C；xC；=56種分組方法；

③分為2,6的兩組時(shí)，有C；x屋=28種分組方法，其中有1種兩名女生單獨(dú)成組情況，

則有27種符合條件的分組方法，故共有35+56+27=118種分組方法.

故選：D

13.在第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)期間，中國(guó)中央電視臺(tái)體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個(gè)人參加當(dāng)天

A,B,C三個(gè)比賽場(chǎng)地的現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道，且每個(gè)場(chǎng)地至少安排一人，甲不在A場(chǎng)地的不同安排方法數(shù)為（）

A.32B.24C.18D.12

【答案】B

【詳解】按照A場(chǎng)地安排人數(shù)，可以分以下兩類：

第一類，A場(chǎng)地安排1人，共C；C；A；=18種安排方法，

第二類，A場(chǎng)地安排2人，共C；A；=6種安排方法，

由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有18+6=24（種）不同安排方法.

故選：B

14.十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議于2023年3月5日在北京召開(kāi).會(huì)議期間，會(huì)議籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的

5名工作人員分配到3個(gè)會(huì)議廳負(fù)責(zé)進(jìn)場(chǎng)引導(dǎo)工作，每個(gè)會(huì)議廳至少1人.每人只負(fù)責(zé)一個(gè)會(huì)議廳，則甲、

乙兩人不分配到同一個(gè)會(huì)議廳的不同安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】114

【詳解】將5名工作人員分配到3個(gè)會(huì)議廳，人數(shù)組合可以是LL3和1,2,2,

人數(shù)組合是LL3時(shí)，共有啖與xA；=60種情況，

A2

其中甲、乙兩人分配到同一個(gè)會(huì)議廳的情況為反空xA；=18種,

A2

從而甲、乙兩人不能分配到同一個(gè)會(huì)議廳的安排方法有60-18=42種;

人數(shù)組合是122時(shí)，共有受已*與=90種情況,

其中甲、乙兩人分配到同一個(gè)會(huì)議廳的情況為C；C；xA；=18種，

從而甲、乙兩人不能分配到同一個(gè)會(huì)議廳的安排方法有90-18=72種，

所以甲、乙兩人不分配到同一個(gè)會(huì)議廳的不同安排方法共有42+72=114種.

故答案為：114.

15.A、B、C、D、E5所學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)研學(xué)基地供選擇，

每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，且每個(gè)基地至少有1所學(xué)校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學(xué)校去的不同

的選擇種數(shù)共有()

A.36種B.42種C.48種D.60種

【答案】B

【詳解】①A校去乙地有C；C；A；=24種；

②A校與另一所學(xué)校去丙地有C：C；=12種，

③A校單獨(dú)去丙地有C；=6種，

所以共有24+12+6=42種，

故選:B.

【考點(diǎn)04二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)系數(shù)】

16.在展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()

X

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

4rr

【詳解】二項(xiàng)式(x-±)4展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+l=qx-(-A)=(-D'Qxj/?N,r44,

XX

由4-4廠=0,得r=l,則(x-])“展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是第2項(xiàng)，

X

所以常數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為c：=4.

故選：A

17.若卜+J]的二項(xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中:的系數(shù)為—.

【答案】6

【詳解】Q+J的展開(kāi)式為勺=仁或『r=0jL,〃，

因?yàn)槎?xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)相等，

所以C；=C：,所以”=6,

令6-2r=T,解得r=5,

所以該展開(kāi)式中的二系數(shù)為C：=6.

X

故答案為：6.

18.已知(x-2y)"的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中的犬寸項(xiàng)的系數(shù)為()

A.—4B.84C.—280D.560

【答案】B

【詳解】因?yàn)?x-2y)"的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C；=C：.則〃=7

?

又因?yàn)?x-2y)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+l=7T(-2y)\

令r=2,所以展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為C；(-2)2=84.

故選：B.

19.已知多項(xiàng)式(x+2)3(x—I)，=6(了+1)，+a?(x+1)，+…+%(x+1)+/，則%=.

【答案】16

6

【詳解】令f=x+l,則Q+1)*"—2>=+的fH------1-a-jt+as,

因?yàn)椤?1)3的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=Cb,/?=0,1,2,3,

所以令r=2可得(r+1)?的展開(kāi)式中一次項(xiàng)為Cjt=3t,令r=3可得(t+1)3的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為1,

又因?yàn)?-2)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為2y,左=0,123,4,

所以令左=3可得。-2)4的展開(kāi)式中一次項(xiàng)為C：(-2*=-32f,令左=4可得。-2y的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

C：(-2)4=16,

所以％=16x3+(-32)xl=16.

故答案為：16.

56

20.已知多項(xiàng)式(尤一2)5+(x-l)6=%+“］龍H-----Fa5x+a6x,則q=.

【答案】74

【詳解】對(duì)于（"2）5,

其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為（+1=C）5-，（一2丫，

令5-r=l,得廠=4,

故4=C；X（-2）4=80X,

對(duì)于（無(wú)一1）6,

其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為7M=C%64（_I）*,

令6—k=l,得k=5,故"=C：x（—I），=—6x,

所以q=80+（-6）=74.

故答案為：74.

【考點(diǎn)05二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和】

21.在13元2一的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【詳解】由題得2"=64n〃=6,

所以二項(xiàng)式一1]的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是6+1=7.

故選：A.

22.（多選）若（1+2x）2°%=“°+〃]%+〃2工2-H^2024-^2024,則下列正確的是（）

A.%=2024B.%+%+—+”2024=32024

C.%-6+%一”3+,,,+”2024=]D.q-2a2+3。3_***_2024%024=一2024

【答案】BC

【詳解】對(duì)于A：令x=0,則%=1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：令X=l,則。0+4+…+。2024=32°”,故B正確；

對(duì)于C：令X=_l,則%+出一%+…+。2024=1，故C正確；

對(duì)于D,由（1+2x）2。"=1+d^X+ClnX~+???+。2024“2°~4，

22023

兩邊同時(shí)求導(dǎo)得2024x2x(l+2x)2°23^al+2a2x+3aix+■■■+2024a2024x,

令x=—1,貝Uq—2%+3a3H------2024%024=—4048,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

23.已知(無(wú)-1)"的二項(xiàng)展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為64,若

(x_1)"=CIQ+q(x+l)+凡(x+1)?+...+a“(x+1)”,貝Uq

【答案】448

【詳解】???(x-1)”的二項(xiàng)展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為64,

；.2"T=64,即〃=7,

則(x-1)7=[(x+1)-2]7的通項(xiàng)公式為乙1=c；(x+1)7Y(-2)上，

令7—左=1,貝IJk=6,

所以4=C；X(-2)6=448.

故答案為：448.

u/八55432m[+Q]

24.右(x+2)=a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,貝!j+a+a

…小121

【答案】—

122

【■^解】x=1?得(1+2)=243=%+/+/+的+4+4，

令X=—1,(一1+2^5—1——%+/-/+%—〃1+4,

(%+%+/+g+G+〃o)—(—%+%—。3+%—%+%)243-1

則a+a+a=121,

53122

口(〃5+包+生+%+4+)+(一〃5+〃4—〃3+a?-4+CLQ)243+1

且-----------------------------------------------=------122,

Q5+Q3+4121

故

%+。2+〃0122

121

故答案為：王

25.在(3-%)(1-X)5展開(kāi)式中，元的奇數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)和為()

A.-64B.64C.-32D.32

【答案】A

5

【詳解】設(shè)(3—X)(1—X)5=4+4%++%%3+_|_a5x_|_4%6,

令X=1可%+〃[+%+〃3+“4+，5+〃6=。，

令*X——1可*Q。—4+。2—。3+“4—。5+〃6=128,

...0—128.

所rr1以％+/+%=—————r64,

即在(3-尤)(1-尤)5展開(kāi)式中，X的奇數(shù)次累的項(xiàng)的系數(shù)和為-64.

故選：A

【考點(diǎn)06三項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)系數(shù)】

26.(x-2y+z)8的展開(kāi)式中孫2z5的系數(shù)為.

【答案】672

【詳解】由題設(shè)，含孫2z5的項(xiàng)為C?xC；(-2)2y2xC〉5,

故其系數(shù)為C；XC；x(-2)2xC；=672.

故答案為：672.

27.若(x+a)2(x-2)(x-3)(x-4)(x+b)的展開(kāi)式中，x，項(xiàng)的系數(shù)為-8,則曲的最大值為_(kāi).

【答案】1/0.125

O

【詳解】(x+a)2(x-2)(x-3)(x-4)(x+Z?)=(x+tz)2(x+Z;)(x-2)(x-3)(x-4),

X(X-2)(X-3)(X-4)=X3-9X2+26X-24,

故(x+a)2(x-2)(x-3)(x-4)(x+Z?)=(x+<7)2,'-9f+26%—24),

/可由(%+〃)2,"+勾,卜3_9/+26%—24)分別提供//,%2得到，或者提供Jx。,V得到，或者提供羽

得至IJ,

故項(xiàng)的系數(shù)為為％2%(—9%2)+%%(%3)+23；(%3)=(_9+b+24)%5,

故一9+6+2々=一8,BPb+2a=l,

要使曲最大，貝U。,方需為正數(shù)，

因此b+2a=122同，故當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=1時(shí)取等號(hào)，

故答案為：—

O

(1A52

28._Y+3+y的展開(kāi)式中匕的系數(shù)為

【答案】-30

(1V(21)

【詳解】解：因?yàn)?Y+3+是由5個(gè)Tc相乘得至I，

21

使用要想產(chǎn)生匕，則-/出1個(gè)，7T出2個(gè),y出2個(gè)，

Xyjx'

故所求系數(shù)為c；?(-!)?砥=-30.

故答案為：-30

29.在+的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)___.

【答案】81

【詳解】

(2犬——+”的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式：

2x--)r,r=0,l,2,3,4,5.

X

(2了-1的通項(xiàng)公式：(2x)'"(xTy=2r-k(-l)AC>r-2\r>k,r,k￡^.

故(2尤-L+1)的通項(xiàng)為卻|=

2飛；(-1/,r2k,r,keN

令r-2%=0,貝!J&=0,r=0；k—1,r=2；k—2,r=4.

因此常數(shù)項(xiàng)1+2xC；x(-IpxC；+2?C；x(-l)2xC；=81.

故答案為：81.

510

30.(多選)設(shè)(l+3x+2x~)=Z,則下列關(guān)于％的計(jì)算正確的是()

i=0

A.C'-3-C^23+C^33-C^22

B.C^-C^25+C^C^24+C^-C^23+C^-C；-22

C.Cj-33-22+C^-3-23

D.C^C；.33-22+C^-C^3-2)3

【答案】ABD

【詳解】考慮(l+3x+2元2)5=0+3x+2尤2).(I+3X+2尤2)…(1+3尤+2/)，

則％=C；3C123+C>33.C；-22,故A正確.

考慮(1+3x+2f)5=(1+x)5-(1+2x)5,

則%=C；爹+C；2+C〉C；+C；.《"，故B正確.

5

ss5r2r

考慮(1+3》+2/)=((l+3x)+2尤2)=^C；(l+3x)"-2x,

r=0

236

其中含有丁的項(xiàng)為C；(1+3x)3,22/+C3(I+3X).2X,

所以%=C3.22+C?3-23,故C錯(cuò)誤.

考慮(1+3x+2/『=(1+(3.x+2x2)『=(3x+2x2丫，

r=0

55

其中含有丁的項(xiàng)為c；(3x+2尤2『+c；(3x+2尤2『=Jc；(3+2x)“+xC1(3+2x),

所以%=C：C；33.22+C；C；32,故D正確.

故選:ABD.

【考點(diǎn)07多項(xiàng)乘積展開(kāi)式的指定項(xiàng)系數(shù)】

31.(f+l)(x-與展開(kāi)式中尤3的系數(shù)為—.

X

【答案】30

【詳解】二項(xiàng)式(N——)5的展開(kāi)式中，1項(xiàng)為C》(——)2=40%,丁項(xiàng)為C；%4(__)=_IO%3,

XXX

2

因此(f+1)(%—)5展開(kāi)式中了3項(xiàng)為x2,40x+1-(―10x3)=3Ox3,

X

所以所求系數(shù)為30.

故答案為：30

32.(g/一+的展開(kāi)式中，其中不含尤的項(xiàng)為.

【答案】萬(wàn)y"和-V

［詳解】由二項(xiàng)式定理可得|:+y；展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+i=C；QJ’了=簽，

所以多項(xiàng)式的展開(kāi)式中不含尤的項(xiàng)分別為：

=[y4和_yxC：y6=-y\

2x2

故答案為：梳答和—-.

33.(x+2y)(x-y)5的展開(kāi)式中三/的系數(shù)是()

A.-10B.0C.10D.30

【答案】C

【詳解】依題意可知，含X13的項(xiàng)是xxC；x尤。*(-'丫+2yxC；x尤3乂(一月2

=-10.X3/+20尤3y3=10尤3y3,

所以x與3的系數(shù)是10.

故選：C

34.已知(無(wú)3_尤+1)”1+：」的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為8,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】-2

【詳解】令x=l,可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和(13_1+1)”(1+1)-2=2"+2=8=23,解得“=1；

r32r

1+的展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r+i=C；?(xf-QJ=C；?x-,

因?yàn)?d一尤+1)卜+Jj=X3]尤+(]一x[尤+:[+]尤+,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為

%3.廠3—%.C%T=1—3=—2,

故答案為：-2.

828

35.已知(%+3)(%+2)=a。+ar(%+1)+a2(x+l)+—Fa8(x+l)+a9(x+，貝|他=()

A.8B.10C.28D.29

【答案】B

【詳解】(X+3)(X+2)8=[(x+l)+2][(x+l)+l『,

8

其中[(x+1)+1]展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+l=C；(x+1廣.V=C；(x+1廣，reN且rW8,

當(dāng)r=0時(shí)，7；=C：(X+1)8=(X+1)8,此時(shí)只需乘以第一個(gè)因式[(x+l)+2]中的2,可得2(尤+1『；

當(dāng)廠=1時(shí)，＜=(4(尤+1)7=8(尤+1)7,此時(shí)只需乘以第一個(gè)因式［(*+1)+2］中的(x+1),可得8(x+lf.

所以《=2+8=10.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是把(犬+3e+2)8表示成［(尤+1)+2］［(尤+1)+17，利用即可二項(xiàng)式定

理求解.

【考點(diǎn)08二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的最值問(wèn)題】

36.若-g］的二項(xiàng)展開(kāi)式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則其展開(kāi)式中5的系數(shù)為()

A.8B.28C.70D.252

【答案】D

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開(kāi)式中當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，

即二項(xiàng)式系數(shù)中第5個(gè)即C：最大，

所以由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，

展開(kāi)式中共9項(xiàng)，n=8,又=^3x2-x^',

則13戶-x—J二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式

，l_A8-r8—3r

*+i=C；3/(-x-')r=C；(-l)r38-rx^,r=0,1,2,■■-,?.

Q_1

令一^=-5/=6,所以二的系數(shù)為C，32=9C；=252.

故選：D.

37.在二項(xiàng)式。-2x)5的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的一項(xiàng)為.

【答案】80x4

【詳解】由題設(shè)，二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為&i=Gl5T(-2x/=(-r=0,l,2,…,5,

易知r=0,2,4時(shí)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)為正，『=1,3,5時(shí)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，

又7］=1,7；=(-2)2C；X2=40X2,7；=(-2)4Cy=80x4,

所以系數(shù)最大的一項(xiàng)為80/.

故答案為：80/.

38.（多選）已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值與的展開(kāi)式中:的系數(shù)相等，則實(shí)數(shù)a

的值可能為（）

A.亞B.-72C.—D.一也

22

【答案】AB

【詳解】卜-的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為c；=6,

的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為J=C/“L=//"，

令3-2廠=-1得，丫=2、

故展開(kāi)式中工的系數(shù)為C>2,故3/=6,解得a=±0.

X

故選：AB

39.已知卜2+2）的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)之比為;，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大

的項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】1120

【詳解】設(shè)卜+:泉]展開(kāi)式的通項(xiàng)為&=q[2]=&2""管（70,1,2…明故第四項(xiàng)的系數(shù)

「3?310323731

為C；23,倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)672"一3,所以潛產(chǎn)="...『靖；,己與?=產(chǎn)=“解得〃=8,所以

第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故最大項(xiàng)的系數(shù)為C；2,=1120.

故答案為：1120

40.已知（1-3x）"展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是10,則〃=,展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)

是.

【答案】5405/

【詳解】由題意，知C；=10,所以〃=5,

又小=Cj(-3x)\將r=0,1,2,3,4,5依次代入,

r=0時(shí),7]=建（-3以=1；r=l時(shí)，7；=C；（-3元＞=-15尤；

廠=2時(shí)，n=C；（-3x）2=90x2；/=3時(shí)，7；=（-3x）3=-270x3；

r=4時(shí)，n=（2；（-3尤）4=405/；r=5時(shí)，"=C；（一3x）5=-243尤

所以系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為405j.

故答案為：5；405x4.

【考點(diǎn)09楊輝三角】

41.如圖所示，在楊輝二角中，斜線A8上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,

L記這個(gè)數(shù)列前〃項(xiàng)和為S（〃），貝lJS（13）=.

1

11A

12rY

13cy1

14<-6/41

15IQ/1051

【答案】111

【詳解】由“楊輝三角”的性質(zhì)，得幾=C+c；)+(c；+C)+...+(c；+c；)

=(c；+C；HbC；)+(C；+C；+.,,+C8)

=(2+3+…+8)+(C；+C；+.??+(

=^1|hZ+(c+c"..+c力

=35+(C；+C；+…+C；)=...

=35+C；=35+^^=119,

3x2x1

所以兒=兀-(4=119-8=山.

故答案為：111.

42.楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多

性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多規(guī)律，如圖是一個(gè)5階楊輝三角.

行

筍0

筍行

1

筍2行

筍行

與3行

第4行

5

.

值為

〃的

5,則

為3:

的比

個(gè)數(shù)

第5

數(shù)與

第3個(gè)

到右

從左

”行中

若第

】7

【答案

,

，…,C：

，c；，C

為C

分別

到右

從左

行的數(shù)

第〃

可知

題意

】依

【詳解

1）

”（〃一

2

,

3

12

3

3

C

=

去），