第05講平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)用向量法計(jì)算或證明平面幾何中的相1.通過(guò)向量在幾何中應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)

關(guān)問(wèn)題.建模核心素養(yǎng).

2.會(huì)用向量法解決某些簡(jiǎn)單的物理學(xué)中的2.通過(guò)向量在物理中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素

問(wèn)題.養(yǎng).

02思維導(dǎo)圖

向?在平面幾何中的應(yīng)用利用平面向信判斷幾何圖形形狀

＜利用平面向?證明平行關(guān)系

L利用平面向或求線段的長(zhǎng)

,利用平面向量求面積比

向■在物理中的應(yīng)用；利用平面向量解決力的問(wèn)題

利用平面向量解決運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01向量在平面幾何中的應(yīng)用

(1)證明線線平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a%(aWO)OZdaOxi”X2yi[a(xi，

乃)，b(X2,J2)].

(2)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：同｛?巧.

(3)要證A,B,C三點(diǎn)共線，只要證明存在一實(shí)數(shù)2W0,使通灰，或若。為平面上任一點(diǎn)，則只需要

證明存在實(shí)數(shù)九〃(其中入+〃1),使宓而十〃dk

(4)用向量運(yùn)算解決平面幾何問(wèn)題的“三步法”

第一步：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向

量問(wèn)題.

第二步：通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系.

第三步：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

—.1—.

【即學(xué)即練1】在四邊形ABCD中，若=則四邊形45口）為（）

A.平行四邊形B.梯形C.菱形D.矩形

知識(shí)點(diǎn)02向量在物理中的應(yīng)用

（1）力向量

力向量包括大小、方向、作用點(diǎn)三個(gè)要素.在不考慮作用點(diǎn)的情況下，可利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

（2）速度向量

一質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻都有一個(gè)速度向量，該速度向量可以用有向線段表示.

（3）將物理量轉(zhuǎn)化為向量之后，可以按照向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【即學(xué)即練2】

已知三個(gè)力力（一2,-1）,力（一3,2）,力（4,—3）同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上

一個(gè)力力，則力（）

A.(11,—2)B.(1,-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

04題型精講

題型01利用平面向量判斷幾何圖形形狀

【典例1】（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知在四邊形A3GD中，AB=a+2,bBC=-4a-b>CD=-5a-3b>

則四邊形ABCD為（）

A.梯形B.正方形C.平行四邊形D.矩形

【變式1］在ZM8C中麗H阮H油+阮|，則/48C是

A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【變式2】若|西=|畫且麗=也，則四邊形A3CD的形狀為（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【變式3】在四邊形A3CD中，對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。，^3OA+OC=3OD+OB,則四邊形ABCD一

定是（）

A.矩形B.梯形C.平行四邊形D.菱形

題型02利用平面向量證明平行關(guān)系

【典例2】在“1BC中，點(diǎn)、M,N分別在線段AB,AC上，AM=2MB,4V=2NC.求證：MNIIBC.

【變式1】如圖，在四邊形ABC。中，點(diǎn)、E,F,G,H分別為BD,AB,AC和的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為平行四邊形.

D

【變式2】如圖，已知A28E,C尸是AABC的三條高，且交于點(diǎn)O,DGLBE于點(diǎn)G,于點(diǎn)H,

求證：HGHEF.

題型03利用平面向量求線段的長(zhǎng)

【典例3】如圖，在MBC中，點(diǎn)E為邊,上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段4c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且而=而，連接取

交BC于點(diǎn)。，求證：ED=DF.

【變式1】在梯形A3co中，BC>AD,AD//BC,點(diǎn)、E,尸分別是20，AC的中點(diǎn)，求證：EF=BC~AD

2

【變式2】用向量的方法證明如圖，在YABCD中，點(diǎn)E,尸分別是A。和。C邊的中點(diǎn)，BE,BE分別交

AC于點(diǎn)R,T.你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎？

題型04利用平面向量求面積比

【典例2】已知點(diǎn)P是VA3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若Q前麗，則△P3C與VA3C的面積比為（）

43

【變式1］（23-24高一下?四川南充?階段練習(xí)）已知點(diǎn)。是VA3c內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足西+2赤+歷=0,

△AOC的面積為匹，的七的面積為S,,則卷=.

d2

【變式2】若點(diǎn)M是△A3C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足3而0—荏一0,貝?。┘?5”與^Ai5c的面積之比

為（）

A.102B.11213C.1回4D.2回5

題型05利用平面向量解決力的問(wèn)題

【典例3】如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是耳，E，

且耳，E與水平夾角均為45。，|耳REl=10N,則物體的重力大小為N.

【變式1］（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，兩個(gè)力耳和E同時(shí)作用在一個(gè)物體上，其中耳的大小為

40N,方向向東，石的大小為3ON,方向向北，求它們的合力.

【變式2］（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，用兩根繩子把質(zhì)量為10kg的物體W吊在水平橫桿上,

ZACW=150°,4CW=12O。.求物體平衡時(shí)，A和3處所受力的大小.（繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，g=10m/s2）

【變式3］若向量的=（1,1）,西=（-3,-2）分別表示兩個(gè)力耳,瓦，則|耳+耳卜（）

A.而B.275C.百D.715

題型06利用平面向量解決運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題

【典例4】一條河兩岸平行，河的寬度為240點(diǎn)米，一個(gè)人從岸邊游向?qū)Π?己知他在靜水中游泳時(shí)，速度

大小為每分鐘12A米，水流速度大小為每分鐘12米.

①當(dāng)此人垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘米；

②當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對(duì)岸的需要分鐘.

【變式11一艘船從河岸邊出發(fā)向河對(duì)岸航行.已知船的速度E的大小為同=10km/h,水流速度W的大小

為E|=3km/h,那么當(dāng)航程最短時(shí)船實(shí)際航行的速度大小為km/h.

【變式2】一條河流的兩岸平行，一艘船從河岸邊的A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船在靜水中的速度匕的大小為

M=10m/s,水流速度匕的大小為|匕|=2m/s.設(shè)船行駛方向與水流方向的夾角為6,若船的航程最短，

則（）

八萬(wàn)八7i712"2九「

A.e=—B.e=—c.—<o<——D.——<e<——

322334

【變式3］）如果一架飛機(jī)向西飛行400km,再向東飛行500km,記飛機(jī)飛行的路程為s,位移為那么

5-問(wèn)=（）

A.800kmB.700kmC.600kmD.500km

05強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知兩個(gè)力月，工的夾角為90。，它們的合力大小為10N,合力與月的夾角為80。，那么月的大小為（）

A.5A/3NB.5NC.IOND.5及N

2.一只鷹正以與水平方向成30。角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽(yáng)光垂直于地面照射下來(lái)，鷹在地面上影

子的速度是70m/s,則鷹的飛行速度為（）

.50n506,?100A/36100

A.—m/sB.--------m/sC.---------m/sD.m/s

3333

3.（多選）關(guān)于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時(shí)間，正確的是（）

A.船垂直到達(dá)對(duì)岸所用時(shí)間最少

B.當(dāng)船速v的方向與河岸垂直時(shí)用時(shí)最少

C.沿任意直線航行到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間都一樣

D.船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)航行的距離最短

___.3―-1―-

4..若點(diǎn)加是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：AM48+:4。訓(xùn)以4即1與小ABC的面積之比為________.

44

5.如圖所示，分別在平行四邊形ABCD的對(duì)角線30的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F和點(diǎn)E，使DF=BE.

試用向量方法證明：四邊形AEb是平行四邊形.

6.如圖,在中,點(diǎn)￡為邊,上「點(diǎn)，點(diǎn)f為線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且1r耘,連接所交恥于

點(diǎn)、D,求證：ED=DF.

7.如圖，在細(xì)繩/上作用著一個(gè)大小為200N的力，與水平方向的夾角為45。，細(xì)繩上掛著一個(gè)重物，使細(xì)繩

的另一端與水平面平行，求物重G的大小.

8飛機(jī)從A地向西北飛行200km到達(dá)B地后，又從8地向東飛行100亞km到達(dá)C地，再?gòu)腃地向南偏東

80。飛行50匹km到達(dá)D地，求飛機(jī)從D地飛回A地的位移.

A

第05講平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)用向量法計(jì)算或證明平面幾何中的相1.通過(guò)向量在幾何中應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)

關(guān)問(wèn)題.建模核心素養(yǎng).

2.會(huì)用向量法解決某些簡(jiǎn)單的物理學(xué)中的2.通過(guò)向量在物理中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素

問(wèn)題.養(yǎng).

02思維導(dǎo)圖

向?在平面幾何中的應(yīng)用利用平面向量判斷幾何圖形形狀

<利用平面向?證明平行關(guān)系

L利用平面向或求線段的長(zhǎng)

,利用平面向■求面積比

;利用平面向量解決力的問(wèn)題

向■在物理中的應(yīng)用

、利用平面向或解決運(yùn)動(dòng)的問(wèn)速

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01向量在平面幾何中的應(yīng)用

(1)證明線線平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a%(aW0)㈡從aOxiy>2%[。(尤1，

yi),b(xi,>2)].

(2)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：巧.

(3)要證A,B,C三點(diǎn)共線，只要證明存在一實(shí)數(shù)2W0,使逐函乙或若。為平面上任一點(diǎn)，則只需要

證明存在實(shí)數(shù)3〃(其中力+〃1),使交應(yīng)+〃協(xié).

(4)用向量運(yùn)算解決平面幾何問(wèn)題的“三步法”

第一步：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向

量問(wèn)題.

第二步：通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系.

第三步：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

【即學(xué)即練1】在四邊形ABCD中，若的=一3°,則四邊形至。＞為()

A.平行四邊形B.梯形C.菱形D.矩形

【答案】C

【分析】

根據(jù)向量共線即可判斷.

—.1—.

【詳解】四邊形ABC。中，若=

則AB〃CD,S.AB=^CD,

所以四邊形ABCD是梯形.

知識(shí)點(diǎn)02向量在物理中的應(yīng)用

(1)力向量

力向量包括大小、方向、作用點(diǎn)三個(gè)要素.在不考慮作用點(diǎn)的情況下，可利用向量運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

(2)速度向量

一質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻都有一個(gè)速度向量，該速度向量可以用有向線段表示.

(3)將物理量轉(zhuǎn)化為向量之后，可以按照向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【即學(xué)即練2】

已知三個(gè)力力(-2,-1),力(一3,2),力(4,-3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上

一個(gè)力力，則力()

A.(-1,-2)B.(1,-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

【答案】A

【解析】由物理知識(shí)知力+應(yīng)+力+力0,故人一5+方+力)(1,2).

04題型精講

k—

題型01利用平面向量判斷幾何圖形形狀

【典例1】(24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè))已知在四邊形A3CD中，AB=a+2b，BC=^a-b，CD^-5a-3b，

則四邊形ABCD為()

A.梯形B.正方形C.平行四邊形D.矩形

【答案】A

【分析】利用向量的運(yùn)算得到那=2昵，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)辂?萬(wàn)+2石，BC=-4a-b，CD=-5a-3b>

所以通=福+交+①=,+2石）+（-4/一5）+（—5日-35）=-8萬(wàn)一25.

UUUUCIU

所以AD=2BC.

所以AD〃3C且|前卜國(guó)，

所以四邊形ABCD為梯形..

【變式1］在2MBe中，網(wǎng)=匹卜|通+明岫ABC是

A.直角三角形B.等邊三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)判定即可.

【詳解】AB+BC=AC,^\\AB\=\BC|=|AC故zMBC是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用向量判定三角形形狀的方法，屬于基礎(chǔ)題型.

【變式2】若|碼=|碼且麗=也，則四邊形ABCD的形狀為（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【答案】D

【分析】根據(jù)條件中的向量關(guān)系反映出來(lái)大小關(guān)系和方向關(guān)系來(lái)判斷.

【詳解】麗=也可知，四邊形A3CD為平行四邊形，

又因?yàn)镮9|=|而I,

所以四邊形A3CD為菱形.

【變式3】在四邊形A3CD中，對(duì)角線AC與3。交于點(diǎn)。，^3OA+OC=3OD+OB,則四邊形A3CD一

定是（）

A.矩形B.梯形C.平行四邊形D.菱形

【答案】C

【分析】利用向量判斷四邊形形狀首先考慮判斷對(duì)邊的位置與大小關(guān)系，根據(jù)變形可得3次=屈，可得四

邊形為梯形.

【詳解】由3麗+反=3礪+礪，得3（次-歷）=礪-交，

所以3次=麗,

可得AD〃BC且ADw3C.

所以四邊形ABC。一定是梯形.

題型02利用平面向量證明平行關(guān)系

【典例2】在AASC中，點(diǎn)以，N分別在線段A8,AC上，AM=2MB,㈤V=2NC.求證：MN/IBC.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】證明：設(shè)麗=￡,AC=b，貝1」配=/一通=石一￡.

又AM=2MB,AN=2NC.

所以司？=-屈=-￡,AN=-AC=-b.

3333

在AAW中，MN=AN-AM=^[b-aj,

----2—■

所以MN=§BC,即麗與前共線，故MNHBC.

【變式1】如圖，在四邊形ABC。中，點(diǎn)、E,F,G,H分別為B￡),AB,AC和C。的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為平行四邊形.

B

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E,F,G,X分別為AB,AC和C。的中點(diǎn),

所以定=g瓦5,而二亞所以既=麗，

又因?yàn)镕E與G”不共線，所以FE〃GH,且FE=GH,

所以四邊形EFGH為平行四邊形.

【變式2】如圖，已知是44BC的三條高，且交于點(diǎn)O,DGL3E于點(diǎn)G,DHLCF于點(diǎn)H,

求證：HGHEF.

A

【解析】證明：由題意，DG1BE'AELBE'GD//AE.

設(shè)函=2礪（幾片0）,則通=幾面.

同理通=4麗.

^^FE=AE-AF=A（DG-DH）=AIiG.

：.FE//HG,：.HG//EF.

題型03利用平面向量求線段的長(zhǎng)

【典例3】如圖，在皿C中，點(diǎn)E為邊鉆上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且1r前，連接防

交3c于點(diǎn)，求證：ED=DF.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】證明：如圖，以點(diǎn)3為原點(diǎn)，2C所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=1

設(shè)----=-----=A,C(l,0),A(^a,b),D(d,O),

ABAC

則E(2a,孫,AC=(1-a-b),

所以CF=AAC=(2,(1—a),—A,b),所以F(2,(l—a)+\,—Ab).

所以而=3-/la,—2b),OF=(2(1-a)+-2/J).

因?yàn)镋,D,尸共線，所以前〃力F,

所以—4b(d—Aa)——Ab[A(l—a)+1—6?],化簡(jiǎn)得2d=A+1.

因?yàn)镋D—DF=(d——Ah')—(A—Act+1-^7,—Ah')

=(2<5?-2-l,0)=(0,0)=6,

所以瓦5=麗，所以ED=D7L

【變式1】在梯形ABCD中，BC>AD,ADIIBC,點(diǎn)、E,尸分別是瓦〉A(chǔ)C的中點(diǎn)，求證：EF=BC~AD

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E，尸分別是30，AC的中點(diǎn)，

—.1—.—.1—.

所以E2=—OB,CF=-CA.

22

所以麗=麗+配+0?=工麗+而+工夙.

22

S^BC+C4+AD+DB=0,

所以DB+CA=DA+CB,

~.1.__.__.~RC-AD

所以EF=t（CB+ZM）+BC=---.

因?yàn)锽C>AD,AD!IBC,且而與死同向,

反IT砌BC-AD

所以I房1=即EF=

222

【變式2】用向量的方法證明如圖，在YASCD中，點(diǎn)E,尸分別是A。和。C邊的中點(diǎn)，BE,8尸分別交

AC于點(diǎn)R,T.你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎？

【答案】AR=RT=TC,理由見(jiàn)解析

【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以前=蒞+濕，

設(shè)衣二彳/，

因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以而=2通，

i^A^=2AC=A（AZ）+AB）=A（2A￡+AB）=22AE+AAB,

又因?yàn)榉呆轊三點(diǎn)共線，

可設(shè)麗=m麗,即須一荏="2（衣一荏），

即AR=mAE+（1—??7）AB,

fm=221__,1__.

故，，，相加可得3X=1,解得2=不^AR=-AC,

\l-m-A33

同理可證方=；無(wú)，

故可知A,T為AC的三等分點(diǎn)，故4?=RT=TC.

題型04利用平面向量求面積比

__k3__?9__?

【典例2】已知點(diǎn)P是VA3c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^AP=-BC--BAf則△P5C與VA5C的面積比為（）

1123

A.-B.—C.—D.一

3234

【答案】A

【分析】假設(shè)VA5c是等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系，求得尸點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得△PBC與VA3c的

面積比.

【詳解】假設(shè)VA2C是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2,

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（%y）,

則3（0,2）,C（2,0）,肥=（2,-2）,麗=（0,-2）,

___3___2__.

依題意而號(hào)而麗,

4?3

即依力=夕2，-2）-皇0,-2）

2，-6

S△ABRC=-X2X2=2,

S&PBC~S4PAe+S4ABC—S/AB

「1-32

=-x2x—i—x2x2—x2x-=—1-2———

26222623

2

所以△P8C與VABC的面積比為3=1_.

?"3

【變式1］（23-24高一下,四川南充?階段練習(xí)）已知點(diǎn)。是VABC內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足西+2礪+無(wú)=6，

△AOC的面積為匹，血七的面積為邑，則今=.

【答案】2

【分析】利用區(qū)+2漏+^確定點(diǎn)。的位置，如圖所示，結(jié)合三角形面積關(guān)系求解.

【詳解】因?yàn)榈Z+2赤+^

所以市+反=-2礪=2的，

所以前=：（兩+討），取AC的中點(diǎn)O,則說(shuō)=；（西+元）,.?.防=心方，

所以。為8。的中點(diǎn)，如圖所示，則△AOC的面積為R,ABOC的面積為$2，

所以今=2.

故答案為：2

【變式2】若點(diǎn)〃是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足3戒一通一衣。，貝IjAABM與AABC的面積之比

為（）

A.102B.103C.104D.205

【答案】C

【分析】由平面向量的加法結(jié)合已知可得M為AD的三等分點(diǎn)，然后由等高的三角形面積之比等于底邊之

比可得.

【詳解】如圖，。為2C邊的中點(diǎn)，

—.1—.—.

貝I]AO=/(AB+AC)

因?yàn)?而一衣一衣。

所以3破=通+加=2而，

___.2—.

所以4W=jAD

21

所以

'z1S△AAbJ5VlM=3—SRAAtSDM=3—SAADgC

題型05利用平面向量解決力的問(wèn)題

【典例3】如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，己知兩條繩上的拉力分別是耳，E，

且耳，耳與水平夾角均為45。，|耳1=1凰|=10N,則物體的重力大小為.N.

【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算結(jié)合力的合成即可求解.

【詳解】一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，所以重力IGHR+EI，

因?yàn)槎?居與水平夾角均為45°,I耳R&=1ON,

由向量加法的平行四邊形法則可知4+E1的方向是豎直向上的，且

|耳+耳|=2|耳|sin45°=2xl0x2=10忘,所以物體的重力大小為10&N.

故答案為：100.

【變式1］（24-25高一上,全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，兩個(gè)力耳和耳同時(shí)作用在一個(gè)物體上，其中耳的大小為

40N,方向向東，月的大小為30N,方向向北，求它們的合力.

3

方向?yàn)闁|偏北正切值為I的角.

【分析】根據(jù)力的合成法則可求答案.

【詳解】因?yàn)槎拇笮?0N,方向向東，月的大小為30N,方向向北,

所以它們合力的大小為7302+402=5ON，

八303

tan〃=——=一,

404

3

所以合力的大小為5ON,方向?yàn)闁|偏北正切值為薩角.

【變式2](24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))如圖，用兩根繩子把質(zhì)量為10kg的物體W吊在水平橫桿AB上,

ZACW=150°,NBCW=120。.求物體平衡時(shí)，A和8處所受力的大小.(繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，g=10m/s2)

【答案】A和8處所受力的大小分別為50百N,50N.

【分析】根據(jù)力的分解及平行四邊形法則可求答案.

【詳解】設(shè)A和8處所受力分別為耳，耳，C處所受兩繩的拉力的合力為前，物體重力為雨,

物體所受的重力為100N,根據(jù)力的平衡，所以|耳+司=100N；

因?yàn)镹ACW=150。，所以NACO=30。，所以同=100cos30。=50指N；

因?yàn)镹3CW=120°,所以N3CO=60°,所以|同=100cos60。=50N.

【變式3]若向量?jī)?(1,1),兩=(-3,-2)分別表示兩個(gè)力耳，瓦，則|用+典=()

A.回B.245C.45D.V15

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求得月+月=0"+0癡=(-2,-1),結(jié)合向量模的運(yùn)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，向量加=(1,1),西=(-3,-2)分別表示兩個(gè)力耳月，

可得耳+用=?+兩=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),

所以|耳+同="-2)2+(-1)2=君.

題型06利用平面向量解決運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題

【典例4】一條河兩岸平行，河的寬度為240忘米，一個(gè)人從岸邊游向?qū)Π?已知他在靜水中游泳時(shí)，速度

大小為每分鐘12君米，水流速度大小為每分鐘12米.

①當(dāng)此人垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘米；

②當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對(duì)岸的需要分鐘.

【答案】24；20.

【分析】（1）求出J（124）?+122即得解;

（2）求出他游到河對(duì)岸的速度即得解.

【詳解】解：（1）如圖所示，當(dāng)此人垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小為J（12百尸+12?=24,

他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘24米.

（2）如圖所示，當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對(duì)岸的速度為J（12君了-凌=12&,所以他游到河對(duì)

岸的需要經(jīng)坐=20分鐘.

12V2

【變式11一艘船從河岸邊出發(fā)向河對(duì)岸航行?己知船的速度元的大小為同=10km/h,水流速度的大小

為同=3km/h,那么當(dāng)航程最短時(shí)船實(shí)際航行的速度大小為km/h.

【答案】回

【分析】

利用勾股定理求得正確答案.

【詳解】要使航程最短，則船實(shí)際航行應(yīng)正對(duì)著河對(duì)岸航行，

所以船實(shí)際航行的速度大小為J寸-同2=791km/h.

故答案為：回

【變式2】一條河流的兩岸平行，一艘船從河岸邊的A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船在靜水中的速度匕的大小為

聞=10m/s,水流速度V2的大小為卜|=2m/s.設(shè)船行駛方向與水流方向的夾角為。，若船的航程最短，

貝U（）

【答案】D

【分析】利用垂線段最短得到船的行駛方向，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求出夾角

【詳解】解：當(dāng)航線垂直于河岸時(shí)，航程最短，

如圖，在VABC中，AB=10,BC=2,所以sin/2AC=ge[o,g],

TT

所以/BACw,所以夕=5+N3AC￡

【變式3]）如果一架飛機(jī)向西飛行400km,再向東飛行500km,記飛機(jī)飛行的路程為％位移為那么

$-優(yōu)|=（）

A.800kmB.700kmC.600kmD.500km

【答案】A

【分析】根據(jù)路程、位移的概念分別求出$、口即可得解.

【詳解】因?yàn)橐患茱w機(jī)向西飛行400km,再向東飛行500km,

貝U飛機(jī)飛行的路程s=400+500=900（km）,

位移為向東100km,所以問(wèn)=100（km）,

所以s一同=900-100=800（km）.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知兩個(gè)力月，F(xiàn)?的夾角為90。，它們的合力大小為10N,合力與月的夾角為80。，那么耳的大小為（）

A.573NB.5NC.10ND.572N

【答案】C

【解析】如圖，OA=FX,OB=E，NAOC=60。，ZOAC=90°,|oc|=10.

在RtMMC中，有|函|=|因cos/AOC=5,

所以，月的大小為5N..

2.一只鷹正以與水平方向成30。角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽(yáng)光垂直于地面照射下來(lái)，鷹在地面上影

子的速度是70m/s,則鷹的飛行速度為（）

.5005073,C1006100,

A.—m/sB.-------m/sD.----m/s

33''33

【答案】D

【解析】如圖所示：

由題意知：同=川=50//s,

3.（多選）關(guān)于船從兩平行河岸的一岸駛向另一岸所用的時(shí)間，正確的是（）

A.船垂直到達(dá)對(duì)岸所用時(shí)間最少

B.當(dāng)船速v的方向與河岸垂直時(shí)用時(shí)最少

C.沿任意直線航行到達(dá)對(duì)岸的時(shí)間都一樣

D.船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)航行的距離最短

【答案】CD

【解析】設(shè)船在靜水中的速度為v,水流速度為W，船實(shí)際速度為％，

兩岸間的垂直距離為s；

I--------S

對(duì)于ABC,船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，.="一；,則所用時(shí)間，=了；

當(dāng)船速V的方向與河岸垂直時(shí)，所用時(shí)間/=,；

V

???V2%，二當(dāng)船速V的方向與河岸垂直時(shí)，用時(shí)最少，

且沿不同直線航行到達(dá)對(duì)岸的事件不相同，A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，航行的距離為兩岸間的垂直距離，

此時(shí)距離最短，D正確.D.

___.3--1—.

4.若點(diǎn)用是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：AM--AB+-AC.KU42加與小ABC的面積之比為______.

44

【答案】1：4

【分析】由己知得出M,B,C三點(diǎn)共線，令函=詼,利用平面向量的加法法則可得2值，進(jìn)