第四章概率與統(tǒng)計章末測試

（考試時間：120分鐘試卷滿分：170分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（23-24高二下?福建福州,期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（）

A.某電子元件的壽命

B.高速公路上某收費站在一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)

C.某人早晨在車站等出租車的時間

D.測量某零件的長度產(chǎn)生的測量誤差

2.（23-24高二下?安徽安慶?期中）若隨機變量X的分布列如下表所示，且E（X）=6.3,則表中a的值為（）

X4a9

P0.50.1b

A.-14.39B.7C.5.61D.6.61

3.（23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí)）已知隨機變量X服從兩點分布，且P（X=l）=0.7,設(shè)y=2X-1,

那么。（y）的值是（）

A.0.84B.0.7C.0.4D.0.3

4.（23-24高二下?福建寧德?階段練習(xí)）已知變量x和，的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

X681012

y2356

根據(jù)上表可得回歸直線方程？=0.7x+a,據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)x=15時，＞=（）

A.7.8B.6.5C.9.6D.8.2

5.（23-24高二下?浙江?期中）從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機選出5名學(xué)生干部，抽到的女生人數(shù)的均

值為（）

6.（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，一個質(zhì)點從原點0出發(fā)，每隔一秒隨機等可能地向左或

向右移動一個單位，共移動4次，在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次2的位置的概

率為（）

-4-3-2-101234x

1131

A.-B.—C.—D.一

4886

7.（24-25高二上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M行某項圍棋比賽，勝者可獲得

48000元獎金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局數(shù)多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進行三局，甲兩

勝一負，由于突發(fā)因素?zé)o法進行后面比賽，如何分配獎金最合理？（）

A.甲24000元，乙24000元B.甲32000元，乙18000元

C.甲40000元，乙8000元D.甲38000元，乙12000元

8.（24-25高二上?四川眉山?階段練習(xí)）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，

只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他

將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為g,不下雨的概率

2

均為且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（24-25高二上?黑龍江?期中）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取

兩次,每次取一個球.事件V="第一次取出的球的數(shù)字是1"，事件N="第二次取出的球的數(shù)字是2",事件P=

“兩次取出的球的數(shù)字之和是8",事件Q="兩次取出的球的數(shù)字之和是7",貝！|（）

A.M與尸互斥B.尸與Q互斥C.N與P相互獨立D.M與。相互獨立

10.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）（多選）假設(shè)某廠有兩條包裝食鹽的生產(chǎn)線甲、乙，生產(chǎn)線甲正常情況

下生產(chǎn)出來的包裝食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N（500,52）（單位：g）,生產(chǎn)線乙正常情況下生產(chǎn)出來的包裝食鹽

[0-1000）2

質(zhì)量為晦隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為。⑴;欣羨一b,其中xeR'則「

附：隨機變量4?N.,O2),貝(JP(//-a<^<//+cr)?0.6827,P(//-2a<//+2cr)?0.9545,

P(〃-3b<。K;/+3b)七0.9973.

A.正常情況下，從生產(chǎn)線甲任意抽取一包食鹽，質(zhì)量小于485g的概率為0.135%

B.生產(chǎn)線乙的食鹽質(zhì)量無?N0OOO,IO。?）

曲線9（x）的峰值為1人

C.

D.生產(chǎn)線甲上的檢測員某天隨機抽取兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于515g,于是判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異

常，該判斷是合理的

11.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期末）某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個十位二進制數(shù)

A=ala2a3---al0（例如若“嗎,%%，為）=°，的，。4，%，/，%=1，則==0101001110）,已知4（%=1,2,…,10）出

現(xiàn)"0"的概率為出現(xiàn)"1"的概率為記*=凡+%+/+/+%。，則當(dāng)程序運行一次時（）

44一

3

A.X服從二項分布B.尸（X=l）=正萬

c.E（X）=?D.O（X）=*

44

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（23-24高二下?四川眉山?期末）以曲線丫=比次擬合一組數(shù)據(jù)時，經(jīng)Z=lnY代換后的線性回歸方程為

Z=3X+5,貝ijc=.

13.（23-24高二下?天津和平?期中）甲從裝有除顏色外都相同的3個黑球和小個白球的布袋中隨機摸取一球，

有放回的摸取3次，記摸出黑球的個數(shù)為X,若E（X）=],則P（X=2）=.

14.（24-25高二上?湖北十堰?階段練習(xí)）假定某工廠甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種螺釘，產(chǎn)量依次占全廠

的45%、35%、20%,如果各車間的次品率依次為4%、2%、5%.現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品，則

它是由甲車間生產(chǎn)的概率是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（24-25高二上?四川眉山?期中）隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興

的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費空間的重要途徑.某媒體為了了解微短劇消費者的年齡分布，隨機調(diào)

查了200名消費者，得到如下列聯(lián)表：

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計

是微短劇消費者3045

不是微短劇消費者

合計100200

⑴根據(jù)小概率值夕=0.05的獨立性檢驗，能否認為"是微短劇消費者"與"年齡不超過40歲"有關(guān)聯(lián)？

（2）記2020~2024年的年份代碼尤依次為1,2,3,4,5,下表為2020~2023年中國微短劇市場規(guī)模及2024

年中國微短劇預(yù)測的市場規(guī)模》（單位：億元）與尤的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份代碼X12345

市場規(guī)模y9.436.8101.7373.9m

根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程為y=132.71x-192.85，求相關(guān)系數(shù)廠，并判斷該經(jīng)驗回歸方程

是否有價值.

2

參考公式：Z=7~、，其中〃=a+Z?+c+d,%05=3.841.

n--------￡（七一工）（外一y）_

JE（X-y）2=442.03,相關(guān)系數(shù),二?Z1r.V10=3.16.

曲-W畢f(xié)

若川20.75,則認為經(jīng)驗回歸方程有價值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16.(24-25高三上?重慶?期中)某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測,

得到一組數(shù)據(jù)X,如下表：

性能指標X6677808896

產(chǎn)品件數(shù)102048193

⑴求該項性能指標的樣本平均數(shù)元的值.若這批零件的該項指標X近似服從正態(tài)分布其中〃近似

為樣本平均數(shù)元的值，4=36,試求尸(74<X<92)的值.

(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機

床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02,乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01,現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件.

①求這件零件是次品的概率：

②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；

③若從這批機器零件中隨機抽取300件,零件是否為次品與該項性能指標相互獨立,記抽出的零件是次品，

且該項性能指標恰好在(74,92］內(nèi)的零件個數(shù)為y,求隨機變量丫的數(shù)學(xué)期望(精確到整數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量&服從正態(tài)分布N(〃,〃),則尸。<6W〃+b)q0.6827,

P("—2b<^<ju+2cr)?0.9545,P("—3b<J<〃+3b)?0.997.

17.(24-25高二上?北京?期中)圖像識別是人工智能領(lǐng)域的一個重要研究方向.某中學(xué)人工智能興趣小組研發(fā)

了一套根據(jù)人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學(xué)輸入了700張不同的人臉照片作

為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表(單位：張)：

可以識別

識別結(jié)果真實性別無法識別

男女

男180155

女202755

該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨立的.

⑴現(xiàn)從這700張人臉照片中隨機抽取，

①若抽取一張，求識別結(jié)果正確的概率；

②若抽取一張男性照片和一張女性照片，求至少有一張照片無法被成功識別（含無法識別或識別錯誤）的

概率；

（2）為處理無法識別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個方案：

方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；

方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；

方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性或女性概率均為70%）.

現(xiàn)從若干張不同人臉照片（其中男性、女性照片數(shù)量之比為1：1）中隨機抽取一張，分別用方案一、方案二、

方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為P1,P2,P3,試比較Pl，P2,P3的大小.（假設(shè)用頻

率估計概率，結(jié)論不要求證明）

18.（23-24高二下?河南漠河?階段練習(xí)）為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體

員工中隨機抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有N名員工，其中|■是男性，言是女性.

⑴當(dāng)N=10時，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮,

從N名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作在二項分布

中，即男性員工的人數(shù)X男性員工恰有2人的概率記作鳥.那么當(dāng)N至少為多少時，我們可以在誤

差不超過0.001（即6-￡40.001）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布（參考數(shù)據(jù):標士2404）

19.（24-25高二上?黑龍江齊齊哈爾?期中）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日為了解某地

區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了700名高一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這700名學(xué)

生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],（10,12],（12,14],

（14,16],（16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

O5

O4

O3

O2

O1

。

2681012141618日平均閱讀時間/小時

⑴從這700名學(xué)生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在。0,12］內(nèi)的概率；

（2）為進一步了解這700名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在

（12,14］,（14,16］,（16,18］三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3

人，記日平均閱讀時間在。4,16］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差；

⑶以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生，用P化）表示這10名學(xué)生中恰有

4名學(xué)生日平均閱讀時間在（8,12］內(nèi)的概率，其中左=0,1,2,10.當(dāng)尸?。┳畲髸r，寫出左的值.（寫

出證明）

第四章概率與統(tǒng)計章末測試

（考試時間：120分鐘試卷滿分：170分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（23-24高二下?福建福州?期中）下列敘述中，是離散型隨機變量的是（）

A.某電子元件的壽命

B.高速公路上某收費站在一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)

C.某人早晨在車站等出租車的時間

D.測量某零件的長度產(chǎn)生的測量誤差

【答案】C

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義直接求解.

【詳解】某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機變量；

一小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，是離散型隨機變量；

等出租車的時間是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量；

測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機變量.

2.（23-24高二下?安徽安慶?期中）若隨機變量X的分布列如下表所示，且E（X）=6.3,則表中a的值為（）

X4a9

P0.50.1b

A.-14.39B.7C.5.61D.6.61

【答案】C

【分析】根據(jù)隨機變量X的分布列的性質(zhì)求得6=0.4,再由期望的公式，求得a=7,最后利用方差的公式,

即可求解，得到答案.

【詳解】根據(jù)隨機變量X的分布列性質(zhì)，可得0.5+0.1+少=1,解得匕=04,

又由E（X）=4x0.5+ax0.1+9x0.4=6.3,解得a=7.

3.（23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí)）已知隨機變量X服從兩點分布，且尸（X=l）=0.7,設(shè)y=2X-1,

那么。（y）的值是（）

A.0.84B.0.7C.0.4D.0.3

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合兩點分布的方差公式和方差性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為隨機變量X服從兩點分布，

所以由題O（X）=0.7x（l-Q7）=0.21,又y=2X—1,

所以D（r）=D（2X-1）=22D（X）=4XO.21=0.84.

4.（23-24高二下?福建寧德?階段練習(xí)）已知變量x和，的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

X681012

y2356

根據(jù)上表可得回歸直線方程？=Q7x+a,據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)x=15時，y=（）

A.7.8B.6.5C.9.6D.8.2

【答案】A

【分析】利用回歸直線過樣本中心點求解〃，代入x=15即可.

左力.4■口j?口士.—6+8+10+12—2+3+5+6.

【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)尤=-----------=9,y=---------------=4

44

a=y—0.7x=4—0.7義9=—2.3

/.y=0.7x—2.3

當(dāng)x=15時，y=8.2

5.（23-24高二下?浙江?期中）從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機選出5名學(xué)生干部，抽到的女生人數(shù)的均

值為（）

369

A.-B.—C.—D.2

255

【答案】A

【分析】根據(jù)超幾何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.

【詳解】抽到的女生人數(shù)X可能為0,1,2,3,

尸―。）春啕，尸（x=D=詈嘿,

10521

P（X=2）=-^-=—,p（x=y）=-^=—,

C：o252C：o252

八211105c105c213

所以E(X)=0x---Fix---b2x---b3x---

2522522522522

6.（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，一個質(zhì)點從原點0出發(fā)，每隔一秒隨機等可能地向左或

向右移動一個單位，共移動4次，在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次2的位置的概

率為（）

-4-3-2-101234x

A.-B.-D.

486

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率與獨立事件的乘法公式，即可求解.

【詳解】質(zhì)點移動4次，共有2x2x2x2=16種情況,

設(shè)質(zhì)點第一秒位于1的位置為事件為A,則P（A）=；,

記質(zhì)點兩次經(jīng)過質(zhì)點2為事件3,若第一步位于1,則還有3步，想要經(jīng)過質(zhì)點2兩次,

則有1—2—332,1—2—1—2兩種情況,

21

所以P(AB)=/=7，

loo

1

則尸（*4）=號黑

=i=l

-T-4

2

7.（24-25高二上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M行某項圍棋比賽，勝者可獲得

48000元獎金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局數(shù)多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進行三局，甲兩

勝一負，由于突發(fā)因素?zé)o法進行后面比賽，如何分配獎金最合理？（）

A.甲24000元，乙24000元B.甲32000元，乙18000元

C.甲40000元，乙8000元D.甲38000元，乙12000元

【答案】A

【分析】根據(jù)甲乙兩人最終獲勝的概率即可按比例分配.

11113

【詳解】乙最終獲勝的概率為=甲最終獲勝的概率為1一===,

22444

所以甲乙兩人按照3:1分配獎金才比較合理，

31

所以甲48000x—=36000元，乙48000x-=l2000元,

44

8.（24-25高二上?四川眉山?階段練習(xí)）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨,

只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他

將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為:，不下雨的概率

2

均為且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為

()

1620828

A.—B.—C.—D.—

81812781

【答案】A

【分析】計算對立事件的概率，從下雨次數(shù)入手，分類討論計算兩天都不淋雨的概率，即可得至少有一天

淋雨的概率.

【詳解】解："至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，

連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數(shù)共有4次.

⑴4次均不下雨，概率為：(1)4=[;

⑵有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：2x|x(|)3=if；

⑶有2次下雨但不淋雨，共3種情況：

①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第

二天上班時不下雨，下班時下雨；

期方dc/、2，2、21212122116

概率為：2x(―)x(—)+—x—x—x—+—x—x—x—=—；

333333333381

⑷有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，

1,24

概率為：2x(-)3x-=-

j3ol;

⑸4次均下雨，概率為：吁)4==;

hKTJXH幺AXrrre、11616164153

兩天都不淋雨的概率為：—+—+—+—+—~，

olololololol

cono

所以至少有一天淋雨的概率為：1-77=77.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.(24-25高二上?黑龍江?期中)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取

兩次,每次取一個球.事件〃="第一次取出的球的數(shù)字是1",事件N="第二次取出的球的數(shù)字是2",事件P=

"兩次取出的球的數(shù)字之和是8",事件Q="兩次取出的球的數(shù)字之和是7",貝|()

A.M與P互斥B.尸與Q互斥C.N與P相互獨立D.M與Q相互獨立

【答案】ABD

【分析】列舉出基本事件，再根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的定義判斷即可.

【詳解】依題意從中有放回地隨機取兩次球，則可能結(jié)果有：

(1,1),(L2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36個結(jié)果.

事件M包含的基本事件有：（1,1）,。,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）共6個；

事件N包含的基本事件有：（1,2）,（2,2）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）共6個;

事件尸包含的基本事件有：（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）共5個;

事件。包含的基本事件有：。,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6個;

對于A：顯然事件M與事件?不可能同時發(fā)生，所以M與尸互斥，故A正確;

對于B：事件尸與事件Q不可能同時發(fā)生，所以尸與Q互斥，故B正確；

對于C：因為P（N）=〉1，P（尸）=3P（NP）=?P（N）.P（P）,

30OJOJO

所以N與尸不獨立，故C錯誤;

對于D：因為尸（M）=/=:，P⑼—=P（MQ）=^=P（M）P（Q）,

300JOoJO

所以M與Q相互獨立，故D正確.

BD

10.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）（多選）假設(shè)某廠有兩條包裝食鹽的生產(chǎn)線甲、乙，生產(chǎn)線甲正常情況

下生產(chǎn)出來的包裝食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N（500,52）（單位：g）,生產(chǎn)線乙正常情況下生產(chǎn)出來的包裝食鹽

](x—l(W

質(zhì)量為陰，隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為0（X）=2000其中xwR,貝I］（)

10而

附：隨機變量4~N(，,b?),則尸(〃一b4J4〃+cr)。0.6827,尸(〃一2b4J4〃+2b)。0.9545,

P（/J-3（T<^<JU+3（T）^0.9973.

A.正常情況下，從生產(chǎn)線甲任意抽取一包食鹽，質(zhì)量小于485g的概率為0.135%

B.生產(chǎn)線乙的食鹽質(zhì)量x~N（1000,1002）

C.曲線9（x）的峰值為石總

D.生產(chǎn)線甲上的檢測員某天隨機抽取兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于515g,于是判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異

常，該判斷是合理的

【答案】ACD

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合給定區(qū)間上的概率值可判斷A；根據(jù)隨機變量x的概率分布密度函數(shù)可判

斷B,C；根據(jù)正態(tài)分布的"3b"原則可判斷D.

【詳解】對于A,設(shè)生產(chǎn)線甲正常情況下生產(chǎn)出來的包裝食鹽的質(zhì)量為X,則X~N（500,52）,

1-09973

其中〃=500,b=5,則P(X<485)=P(X<〃—3b)a——-——=0.00135=0.135%,A正確;

[0-1000）2

對于B,隨機變量X的概率分布密度函數(shù)9（%）=元*已一一^,有〃=1000,<7=10,因此生產(chǎn)線乙的食

鹽質(zhì)量X~N（1000,102）,B錯誤;

對于C,因為一（龍――廠40,當(dāng)且僅當(dāng)尤=1000時取等號,

200

因此當(dāng)％=1000時，9（X）max=10篇i'C正確;

1-Q9973

對于D,P(X>515)=P(X>〃+3b)比——-——=0.00135=0.135%,

說明生產(chǎn)線甲上抽到質(zhì)量大于515g食鹽的可能性很低,

則隨機抽取兩包其質(zhì)量均大于515g,說明判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常是合理的，D正確.

故選:ACD.

11.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期末）某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個十位二進制數(shù)

A=a1a2a3--a10（例如若生,%，〃5，。6，1（）=0,a29a4,a7,a8,a9=1,則A=0101001110）,已知為（左=1,2,…,10）出

現(xiàn)"0"的概率為出現(xiàn)"1"的概率為g,記X=4+4+&+/+4。，則當(dāng)程序運行一次時（）

44一

3

A.X服從二項分布B.P（X=1）=—T7

1024

C.E（X）="D.O（X）="

44

【答案】AC

【分析】根據(jù)二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用公式計算出X的期望

和方差后可判斷CD的正誤.

【詳解】由二進制數(shù)A的特點知，每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0,1且每個數(shù)位上的數(shù)字互不影響，

故X中1出現(xiàn)次數(shù)的可能取值有0」,2,3,4,5,則X可能取值情況與之相同,

由二項分布的定義可得：故A正確.

故P（X=1）=C；X^X[1]=工-,故B錯誤；

54⑷1024

3153115

所以E（X）=5x==—,D（X=5X4X-=-1,故C正確,D錯誤.

'"44''4416

C.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（23-24高二下?四川眉山?期末）以曲線y=ce網(wǎng)擬合一組數(shù)據(jù)時，經(jīng)Z=lny代換后的線性回歸方程為

Z=3X+5,貝ijc=.

【答案】e5

【分析】利用對數(shù)的運算法則，再結(jié)合回歸方程即可求解.

【詳解】因為丫=比出，

所以InY=ln（ceK）=Inc+Inekx=Inc+,

令Z=lny,則Z=lnc+AX,

又因為Z=3X+5,

所以lnc=5,k=3,

所以c=/.

故答案為：e5.

13.（23-24高二下?天津和平?期中）甲從裝有除顏色外都相同的3個黑球和機個白球的布袋中隨機摸取一球，

有放回的摸取3次，記摸出黑球的個數(shù)為X,若E（X）=1,貝l]P（X=2）=.

【答案】f3

O

【分析】根據(jù)己知可得x~43,舄）由E（x）=|得加=3；由此可以得到P（X=2）的值.

【詳解】甲從裝有除顏色外完全相同的3個白球和機個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回的摸取3次，

記摸得黑球個數(shù)為X,則乂~8口,々],

Vm+3）

333

0E（X）=—,團E（X）=3x------=—,0m=3,

回尸（X=2）=C；xg：子|.

3

故答案為：—.

O

14.（24-25高二上?湖北十堰?階段練習(xí)）假定某工廠甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種螺釘，產(chǎn)量依次占全廠

的45%、35%、20%,如果各車間的次品率依次為4%、2%、5%.現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品，則

它是由甲車間生產(chǎn)的概率是.

…318

【答案】行

【分析】先根據(jù)全概率公式求出尸(人)，再帶入貝葉斯公式計算即可.

【詳解】設(shè)"從待出廠產(chǎn)品中取出1個是次品"為事件A,從待出廠產(chǎn)品中取出1個產(chǎn)品是甲、乙、丙車間生產(chǎn)

的事件分別為事件片，

B2,B3,

則尸(4)=045,P(B2)=0.35,P色)=02,P(A|B1)=0.04,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.05,

由全概率公式得尸(A)=尸(4)P(AI4)+尸(5)尸⑷鳥)+尸(鳥)尸⑷鳥)

=0.45x0.04+0.35x0.02+0.2x0.05=0.035,

現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品，則它是由甲車間生產(chǎn)的概率是

,八一P(ABJ_P(4)P(A|4)_0.45x0.0418

1一P(A)一P(A)~0.035-35,

1Q

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(24-25高二上,四川眉山?期中)隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興

的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費空間的重要途徑.某媒體為了了解微短劇消費者的年齡分布，隨機調(diào)

查了200名消費者，得到如下列聯(lián)表：

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計

是微短劇消費者3045

不是微短劇消費者

合計100200

⑴根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為"是微短劇消費者"與"年齡不超過40歲"有關(guān)聯(lián)？

(2)記2020~2024年的年份代碼尤依次為1,2,3,4,5,下表為2020~2023年中國微短劇市場規(guī)模及2024

年中國微短劇預(yù)測的市場規(guī)模y(單位：億元)與尤的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份代碼X12345

市場規(guī)模y9.436.8101.7373.9m

根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=132.71x-192.85，求相關(guān)系數(shù)r,并判斷該經(jīng)驗回歸方程

是否有價值.

n^ad-bcf

參考公式：r=其中〃=a+/?+c+d,%05=3341.

(a+6)(c+〃)(a+c)(b+d)

n---------￡仁-元）（%一9）

（X一夕『二442.03,相關(guān)系數(shù)r=?/'—i-V10=3.16.

牌-寸件,一寸

若“20.75,則認為經(jīng)驗回歸方程有價值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴有關(guān)聯(lián)

（2）r?0.95,該經(jīng)驗回歸方程有價值.

【分析】（工）先補全2x2列聯(lián)表，再計算卡方，根據(jù)獨立性檢驗原則即可判斷;

（2）通過給出的經(jīng)驗回歸方程公式求相關(guān)系數(shù)，再判斷.

【詳解】（1）2x2列聯(lián)表如下：

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計

是微短劇消費者301545

不是微短劇消費者7085155

合計100100200

零假設(shè)是微短劇消費者"與"年齡不超過40歲"無關(guān)聯(lián),

200x(30x85-70x15)2

因為力2

x6.452>3.841=x005，

100x100x45x155

根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷不不成立，即認為“是微短劇消費者"與"年齡不超過40

歲”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05.

(2)由x的取值依次為L2,3,4,5,得［=3，￡(^,-1)2=10,

7=1

因為經(jīng)驗回歸方程為y=132.71尤—192.89，

55

￡(%-可(%-反)￡(%-可(%-刃

所以B------------=X——------------=132.71,

Ai=\My

5

所以Z&-可(％-歹)=1327.1,

4=1

5

因為卜=0.95>0.75,所以該經(jīng)驗回歸方程有價值.

16.（24-25高三上?重慶?期中）某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測,

得到一組數(shù)據(jù)X,如下表：

性能指標X6677808896

產(chǎn)品件數(shù)102048193

⑴求該項性能指標的樣本平均數(shù)元的值.若這批零件的該項指標X近似服從正態(tài)分布其中〃近似

為樣本平均數(shù)元的值，（T2=36,試求P（74<X492）的值.

⑵若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機

床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02,乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01,現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件.

①求這件零件是次品的概率：

②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；

③若從這批機器零件中隨機抽取300件,零件是否為次品與該項性能指標相互獨立,記抽出的零件是次品，

且該項性能指標恰好在（74,92］內(nèi)的零件個數(shù)為y,求隨機變量y的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量占服從正態(tài)分布N（月,/）,則P。464〃+b）a0.6827,

尸（“一2crVJW〃+2cr）=0.9545,P（/7-3cr<^<//+3cr）?0.997.

【答案】⑴80,0.8186

⑵①白；②：；③4

oUJ

【分析】（1）計算出平均數(shù)后可得X~N（80,36）,結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可得解；

（2）①借助全概率公式計算即可得；②按照條件概率公式計算即可；③借助二項分布期望公式計算即可

得.

【詳解】（1）x=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80>

因為X~N（80,36）,所以0=6,

則尸（74<XV92）=gp（〃一2（TVXV〃+2b）+；尸（〃一bVX+

0.9545+0.6827

=0.8186

'2

（2）①設(shè)"抽取的零件為甲機床生產(chǎn)"記為事件A，

"抽取的零件為乙機床生產(chǎn)"記為事件4，

"抽取的零件為次品"記為事件5,

則P(A)=；,P(4)=p尸(3IA)=O.O2,尸(314)=0.01,

則尸(B)=尸(A)尸(BIA)+尸(4)尸(BI4)=：xo.o2+3o.oi=T=高

-X0.02

4

=3_____

②"）"瑪產(chǎn)15

60

③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標在（74,92］內(nèi)的概率？=擊*0.8186,

且隨機變量3（300,p）,

所以E（y）=300。=300x\0.8186=4.093?4,

60

所以隨機變量y的數(shù)學(xué)期望為4.

17.（24-25高二上?北京?期中）圖像識別是人工智能領(lǐng)域的一個重要研究方向.某中學(xué)人工智能興趣小組研發(fā)

了一套根據(jù)人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學(xué)輸入了700張不同的人臉照片作

為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：

可以識別

識別結(jié)果真實性別無法識別

男女

男180155

女202755

該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨立的.

⑴現(xiàn)從這700張人臉照片中隨機抽取，

①若抽取一張，求識別結(jié)果正確的概率；

②若抽取一張男性照片和一張女性照片，求至少有一張照片無法被成功識別（含無法識別或識別錯誤）的

概率；

（2）為處理無法識別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個方案：

方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；

方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；

方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性或女性概率均為70%）.

現(xiàn)從若干張不同人臉照片（其中男性、女性照片數(shù)量之比為1：1）中隨機抽取一張，分別用方案一、方案二、

方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為B，P2,P3,試比較B，P2,的大小.（假設(shè)用頻

率估計概率，結(jié)論不要求證明）

Q17

【答案】（1）①筋；②行

(2)P2>P3>A.

【分析】（1）①利用全概率公式求概率；②應(yīng)用獨立乘法、互斥事件加法公式求概率;

（2）分別求出方案一、方案二、方案三進行識別正確的概率，然后比較大小.

【詳解】（1）①若A表示抽到男性，8表示抽到女性，M表示識別為男性，尸表示識別為女性,

23

由題設(shè)"6)=200,<5)=300,所以尸(A)=『P(B)=-,

911

又〃(M|A)=180,n(F|B)=275,所以p(M|A)=卡，P(F|B)=—,

91

所以抽取一張，求識別結(jié)果正確的概率尸二尸（加IA）P（A）+P（F|B）P（B）=需

_—一1一I

②由“(M|A)=20,〃仍18)=25,所以尸(M|A)=而，P(F|B)=—,

所以抽取一張男性照片和一張女性照片，至少有一張照片無法被成功識別的概率為

「11191117

110121012101240

931

⑵程序?qū)⒛猩R別正確的頻率為6識別為女生的頻率為和無法識別的頻率為市

1111

程序?qū)⑴R別正確的頻率為3,識別為男生的頻率為A，無法識別的頻率為者,

由頻率估計概率得

191111、H440

p,——x------1—x(-------1--------)=——--------,

12102126012480

1,91111221442

=-X(------1-------)H-x—=---------=---------

221040212240480

19111111111441

以=-X-----F—X——X—+—X------F—X——X——二----------

321024022122602480

所以P2>“.

18.（23-24高二下?河南漫河?階段練習(xí)）為不斷改進勞動教育，進一步深化