熱點題型?選填題攻略

專題08平面向量與復(fù)數(shù)

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01用基底表示向量.........................................................................I

題型02平面向量共線定理推論...................................................................4

題型03向量數(shù)量積（幾何意義法）...............................................................7

題型04向量數(shù)量積（自主建系法）..............................................................11

題型05向量數(shù)量積（極化恒等式法）...........................................................15

題型06向量投影（投影向量）..................................................................19

題型07向量模（含最值范圍）..................................................................22

題型08向量夾角（含最值范圍）................................................................24

題型09復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算........................................................................27

O----------------題型探析?明規(guī)律----------*>

題型01用基底表示向量

【解題規(guī)律?提分快招】

如果瑟是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)任意向量九有且只有一對實數(shù)4，4,

使+44?

【典例（2023?北京豐臺?二模）如圖，在VABC中，AD為5C邊上的中線，若E為AD的中點，貝4瓦=

1—?3--

B.——AB——AC

44

1―?5—?

C.-AB——ACD.-AB--AC

4444

【答案】D

【知識點】平面向量的混合運(yùn)算、用基底表示向量

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計算可得.

［詳解］CE=CA+AE=CA+^AD=CA+^(CD-CAj=^CA+^CD

=_1AC+^-(AB-AC)

=_2AC+1AB.

44

故選：D

【典例1?2】(2023?北京海淀?一模)在VABC中，ZC=90°,ZB=30°fNBA。的平分線交3C于點D若

—?—?—?/cA

AD=AAB+JLIAC(^,AeR),則一=()

A

1i

A.—B.—C.2D.3

32

【答案】B

【知識點】平面向量基本定理的應(yīng)用

【分析】設(shè)AC=1,由角平分線定理求得器，然后由向量的線性運(yùn)算可用而，衣表示出而，從而求得/1,〃，

得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)AC=1,因為NC=90。，ZB=30°,所以AB=2,

CDAC11

又AD是，SAC的平分線，所以W=CD=：BC,

BDAB23

___,_________,___.i__k.i___k,9___?

AD=AC+W=AC+-CB=AC+-(AB-AC)=-AB+-AC,

3333

____.__i2

又AD=2AB+〃AC,所以X=§,〃=g,

所以4=；.

"2

故選：B.

【變式1-1］(2023?北京西城?一模)已知尸為VABC所在平面內(nèi)一點，甜=2掙，則()

uun1uun31—?2—?

A.AP=——AB+-ACB.AP=-AB+-AC

2233

uun3uun1uu?uun9uun1uurn

C.AP=-AB——ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【知識點】用基底表示向量、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】由題意作出圖形，如圖，則

1—,3■

=——AB+-AC,

22

故選：A.

【變式1-2](23-24高三上?北京?階段練習(xí))如圖，在VABC中，D是的中點.^BA=a,DA=b,則公=

()

A.3a-2bB.~^a+^>-a+2bD.a-2b

【答案】D

【知識點】用基底表示向量、向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解[AC=BC-~BA=,2jX：-BA=2(DA+AC^-BA=2b+2.AC-a,

以AC=a-2b,

故選：D

【變式1-3](23-24高一下?北京豐臺?期末)在VABC中，點D是邊AB的中點.記百=￡,CD=b,則而=

()

A.-a—2bB.-a+2bC.a—2bD.a+2b

【答案】B

【知識點】用基底表示向量

【分析】利用向量的線性運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】如圖，因為。為邊A3的中點，

A

?—.1-.1―?—.1―.1-.

所以AO'AB.CB-CO.CB-'CA,

所以國=C5+而=m+工赤二建」回+工麗,

2222

所以屈=2①-9=2石-￡.

故選：B.

題型02平面向量共線定理推論

【解題規(guī)律?提分快招】

OA=AOB+^iOB（2,〃為實數(shù)），若A,B,。三點共線0彳+〃=1

=1__?

【典例1-1］（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）己知AABC是邊長為1的正三角形，AN=3NC,P是BN上一息

—?—.2—?

S.AP=mAB+-AC,則（）

212

A.—B.—C.—D.1

993

【答案】A

【知識點】用基底表示向量、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量共線定理的推論

【分析】根據(jù)題意得Q=加通+|就，由尸，8，N三點共線求得加=§,利用向量數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

__.1_1_tunnun21111rLUKQHIT

【詳解】由河=—NC,得麗=上蔗，5.AP=mAB+-AC=mAB+-AN,

3499

Q1

而尸，民N三點共線，則加+§=1,即m=g，

-.1—.2—?

所以AP=,A3+§AC,

所以=+￡X^=；+gxcos60o=!^

故選：A.

【典例1-2]（2023高三?全國?專題練習(xí)）已知VABC的重心為G,經(jīng)過點G的直線交于D交AC于E,

,UUUUL1U---.----.i11

AD=AAB，AE=juAC,則7+―=______.

X〃

【答案】3

【知識點】向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用、平面向量共線定理的推論

--1—?1—.11

【分析】先由向量的線性運(yùn)算求得AG=77Ao再由G,D,E三點共線得77+丁=1,即可求得

【詳解】

.2—.1/—.—AUtm1uun_、1—.

如圖，設(shè)廠為3C的中點，貝ijAG=zAb=二（AB+AC）,又AC=-AE9

33''A4

—1—>1—?1111

則AG=JAO+丁AE,又G,D,E三點共線，.0+1=1,即丁+—=3.

故答案為：3.

【變式1-1]（2024?河北?模擬預(yù)測）己知點A,民C是直線/上相異的三點，。為直線/外一點，且

2OA=3OB+AOC,則彳的值是（）

11

A.-1B.1C.--D.-

【答案】A

【知識點】平面向量共線定理的推論

【分析】化簡得OA=；O8+]OC,再利用三點共線系數(shù)和為1的結(jié)論即可得到方程，解出即可.

【詳解】2況=3礪+2玄，即西=]礪+耳而，

因為點A氏C是直線/上相異的三點，則點A,民C三點共線,

則W+g=l,解得2=—L

22

故選：A.

【變式1-2]（2024?天津河北二模）VABC是等腰直角三角形，其中A2，AC,|麗=1,尸是VABC所在平

面內(nèi)的一點，若方甌（彳20,〃20且4+2〃=2）,則G5在在上的投影向量的長度的取值范

圍是（）

A.0,弓B.隹1]C.[1,V2]D.[72,2]

【答案】B

【知識點】向量與幾何最值、平面向量共線定理的推論、求投影向量

【分析】根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【詳角軍】設(shè)詼=29，CP=ACA+!UCB（2>0,//>0J.2+2//=2）,

一.2?—?）

則CP=]CQ+〃C8（A>0,且,+〃=1）,

則戶在線段Q8上，如圖所示，

C

當(dāng)P與。重合時，亂在在上的投影向量的長度取得最大值，最大值為16|=1；

當(dāng)尸與B重合時，囪在而上的投影向量的長度取得最小值，最小值為工|圓|=也；

22

則亂在蘇上的投影向量的長度的取值范圍是,1]

故選：B.

【變式1-3]（2025高三?北京?專題練習(xí)）已知G是VABC的重心，過點G作一條直線與邊AB,AC分別

交于點E,F（點E,尸與所在邊的端點均不重合），設(shè)通=AC=yAF,則—十^1■的最小值是_____.

xy

【答案】|4

【知識點】向量加法的法則、向量數(shù)乘的有關(guān)計算、基本不等式求和的最小值、平面向量共線定理的推論

【分析】取BC中點。，根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算可得而=《通+由4G尸三點共線可得

x+y=3,再利用基本不等式即可求解.

【詳解】如圖：

A

―.2—?—.1—.1—,

取5C中點O,則AG=—A。，AD=-AB+-AC,

322

—?2—>2/1—?1—x—?y—?

AG=-AD=-\-AB+-AC\=-AE+^-AF,

33（22J33

QE,G,尸三點共線，.■『+2=1,即無+y=3,

33

4（2+2）=g

當(dāng)且僅當(dāng)欠=>=；3時，取等號.

4

故答案為：—.

題型03向量數(shù)量積（幾何意義法）

【解題規(guī)律?提分快招】

已知兩個非零向量［與B，我們把數(shù)量|￡||B|cos。叫做［與B的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作7B，即

a%=|a〃Icos。，

【典例1-1】（2024?北京朝陽?一模）如圖，圓E為VABC的外接圓，AB=4,AC=6,。為邊2C的中點，

則彷醺=（）

A

A.26B.13C.10D.5

【答案】B

【知識點】數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】由中點關(guān)系可得AD=2（A5+AC）,利用e為VABC的外接圓的圓心，可得

11

X2-8同理可得通?衣=自正『=即可得出結(jié)論.

2-2-ZL18,

--1—.—.

【詳解】由于。是8C邊的中點，可得AO=5（AB+AC）,

E是7ABe的外接圓的圓心，

AE-AB^AE\\AB\cosZBAE=-\AB\1=-x42=8,

22

同理可得荏?/=]蔗|2=18,

：.AD-AE=-（AS+AC）-AE=-AEAB+-AE-AC=-x8+-xl8=13.

22222

故選：B

【典例1-2】（2024?北京門頭溝?一模）已知。是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點，則前.蒞的取值范

圍是（）

A.[V3,4]B.[73,2]

C.[0,2]D.[2,4]

【答案】D

【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得I高|cosZDA8e[l,2],再由額.而=|而||通|cosZDAB即可求

范圍.

【詳解】由。在邊8C上運(yùn)動，且△ABC為邊長為2的正三角形，

所以O(shè)WZDABW（,貝1]|福卜05/加8€[1,2],

由瓦?詬=|而||詬|cos/DABe[2,4].

故選：D

【變式1-1]（23-24高三下?北京西城?開學(xué)考試）如圖，圓M為VABC的外接圓，AB=4,AC=6,N為

邊的中點，則麗?麗7=（）

A.10B.13C.18D.26

【答案】B

【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求解可得可得亞.福與祝./，再根據(jù)平面

向量的運(yùn)算可得出結(jié)論.

__.1__.__.

【詳解】QN是BC邊的中點，可得AN=5（A8+AC）,

M是VABC的外接圓的圓心，

AM-m=\AM\\AB\cosZBAM=-\AB\2=-x42=S,

22

同理可得麗|不可『=18,

2

AN-AM=-（AB+AT）AM=-AMAB+-AMAC=-x8+-xl8=13.

22222

故選：B.

【變式1-2］（23-24高一下?北京海淀?期中）如圖，已知四邊形ABC。為直角梯形，AB±BC,ABHDC,

27r.____

AB=1,AD=3,=『，設(shè)點尸為直角梯形ABC。內(nèi)一點（不包含邊界），則荏.通的取值范圍是（）

【答案】A

【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】依題意過點。作交54的延長線于點E,即可求出AE,設(shè)Q與通的夾角為0,結(jié)合圖

形即可得到而在罰方向上的投影的取值范圍，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計算可得；

3

【詳解】解：依題意過點。作交54的延長線于點則AE=ADcos60。=,

設(shè)而與麗的夾角為凡

因為點尸為直角梯形ABCD內(nèi)一點（不包含邊界），所以Q在初方向上的投影|Q|cos。，且

--1<|AP|cos6）<1,

所以題.Q=|而,麗卜os6?=|同cos6?e1_T』）

【變式1-3]（23-24高一下?江蘇揚(yáng)州,期中）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪

花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團(tuán)的91朵“小雪花"匯聚成一朵代表全人類“一起

走向未來"的"大雪花"的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形ABCDEF

（如圖②）.已知正六邊形的邊長為1,點Af滿足施=《（順+正），則|汨|=；若點尸是其內(nèi)部一

點（包含邊界），則通.通的最大值是

圖①圖②

【答案】―/0.5|/1.5

2N

【知識點】已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】由題可得|初|=|%刁=1,〈福，*”夸，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則即得口而l=g,然后利用數(shù)

量積的定義結(jié)合正六邊形的性質(zhì)即得.

【詳解】由題可知畫=網(wǎng)=1,例正”與，

AM2=1（AB+AF）2=?加+2相IF+/）=；（1-2xg+l]=1,

￡

2

設(shè)向量Q,通的夾角為6,設(shè)尸在直線的射影為P,要使福?通的最大則嗚TT），因為

C

AP-AB=\AP\-\AB\COS3=\AP^AB\,如圖可知當(dāng)尸在處時，Q.通最大,

此時網(wǎng)=國=6招/，審布=6xlx#'

故答案為：I

乙2

題型04向量數(shù)量積（自主建系法）

【解題規(guī)律?提分快招】

根據(jù)圖形建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，

用坐標(biāo)表示點

建立函數(shù)關(guān)系

根據(jù)函數(shù)關(guān)系求值

【典例1-1】（2024?北京?三模）已知點N在邊長為2的正八邊形A，A的邊上，點河在邊A4上，則

麗?硒的取值范圍是（）

A.[-4-2也2qB.[<4+20]

C.[-2也4+2回D.卜2也4]

【答案】C

【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量與幾何最值

【分析】以4為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點M、N的坐標(biāo)，計算W?麗即可.

【詳解】以4為原點，44為X軸，AA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)Na，yJ,A/Q,O),則可才=(%,0),同=(4％),

所以麗?而=%々，

TT

由于正八邊形的每個外角都為了；

4

則X2￡[。，2],玉G[―,2+V2],

所以融?而=卒24-2倉4+2句

故選：C

【典例1-2](2024?北京昌平?二模)已知正方形ABCD的邊長為1,點P滿足Q=X通(九＞0).當(dāng)時，

ACPD=;當(dāng)4=時，斤.而取得最大值.

21

【答案】|1/0.5

【知識點】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】第一空建立如圖所示坐標(biāo)系，用坐標(biāo)分分別表示出〃=。,1),而再計算數(shù)量積即可;

第二空建立如圖所示坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出麗=(尢-1),PC=(1-2,1),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算數(shù)量積

的最大值即可.

【詳解】根據(jù)題意，建立以A為原點的平面直角坐標(biāo)系，如圖

則A(0,0),C(l,l),0(0,1),8(1,0)

因為正方形ABC。的邊長為1,AP=2AB(2>0)

當(dāng)人;時，0),所以尸go

所以衣=(1,1),而=,;』)

所以工?麗=1{-j+l=g;

因為Q=彳畫；l>o),所以尸(40),

所以加=(4一1),PC=(1-2,1),

所以卮?麗uXaTAlnTZ+a—lT”!3

4

所以當(dāng)2=g時，定.赤取得最大值.

故答案為：

3N

【變式1-1](2024?北京朝陽?一模)在VABC中，AB=AC=2,BC=2g,點尸在線段BC上.當(dāng)麗.而取

得最小值時，PA=()

【答案】B

【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量模的坐標(biāo)表示

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示數(shù)量積，并求最小值，求得再的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】如圖，以BC所在直線為x軸，以8C的垂直平分線建立>軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

所以4(0,1),B(-V3,0),C(73,O),設(shè)P(X,O),

則用=(-x,l),PB=(-73-X,0),

貝lj西.而=_%?—x)—%2+1-1

當(dāng)X=_乎時，耳.而取得最小值，止匕時百=1#,",|酬=J曰J+1=弓.

故選：B

【變式1-2］（2024?北京東城?一模）已知正方形ABC。的邊長為2,尸為正方形ABC。內(nèi)部（不含邊界）的

動點，且滿足西.麗=0，則萬?麗的取值范圍是（）

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

【答案】D

【知識點】向量與幾何最值、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】通過建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（x,y）,得到P的軌跡方程，最后得到蘇.而的表達(dá)式，根據(jù)函

數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.

【詳解】以中點為原點建立如下直角坐標(biāo)系；

則A(—l⑼,3(1,0),c(l,2),0(-1,2),

設(shè)尸(x,y),貝！1PA=(—1—x,—y),PB—(1—x,—y),

貝I]麗?麗=_(1—尤2)+/=0,

即r+y2=l,貝ijx2-l=-y2,其中一0<y<1,

貝Q=(Iy_2)W=(x+l,y_2),0<y<l

貝!]/.麗=;c2_]+(y_2)2=_y2+(y_2)2=Ty+4e[0,4),

故選：D.

【變式1-3](2024?北京通州?一模)在矩形ABC。中，AB=2,BC=0,點尸在AB邊上，則向量而在

向量而上的投影向量的長度是一，。.麗的最大值是

【答案】6-2

【知識點】數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求投影向量

【分析】根據(jù)投影向量的概念，可求得向量而在向量無上的投影向量的長度；

建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出蘇.麗，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

【詳解】由題意可得||齊|?cosNPC2|=|函|=若，

即向量而在向量區(qū)上的投影向量的長度是6；

如圖，以A為坐標(biāo)原點，A2為x軸，為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)尸（羽0）,（04xf2）,則A（0,0）,B（2,0）,C（2,我,。（0,我，

故方=食一2,-百），而=（-無，返），

則齊?麗=-f+2無一3=-（X-1）2-2,

當(dāng)x=lw[0,2]時，區(qū).而取最大值為-2,

故答案為：6；-2

題型05向量數(shù)量積（極化恒等式法）

【典例1-1】（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，A5是圓。的一條直徑且AB=2,是圓。的一條弦，且

EF=1,點P在線段砂上，則陽.而的最小值是（）

E

PF

13

C.——D.——

2424

【答案】B

【知識點】向量加法的法則、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】由題意可得西.麗=|囪2-1,則當(dāng)西最小時，西?麗取得最小值,然后結(jié)合圓的性質(zhì)可求出訪

的最小值，從而可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得，

PAPB=(Pd+OA)(Pd+OB)=(PO+OA)(Pd-OA)=Pd2-OA=^P0^

為使西?麗最小，只需忸4最小，

所以只需根據(jù)圓的性質(zhì)可得，此時尸為所中點，

又￡F=1,因此西=卜_出=2^,

(6丫

所以西?麗的最小值為岑-i=-4.

24

故選：B

【典例1-2](24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí))已知棱長為2的正方體ABC。-AAG2,點P是其表面

上的動點，該正方體內(nèi)切球的一條直徑是則兩.兩的取值范圍是.

【答案】[0,2]

【知識點】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量與幾何最值、多面體與球體內(nèi)切外接問題

【分析】利用極化恒等式化兩.兩為所2一兩,從而轉(zhuǎn)化為動點M到正方體中心的最大與最小距離問

題，從而即可求解.

【詳解】

AB

設(shè)內(nèi)切球的球心為0,

由麗.西二陷+西^回+兩）=（而+西）.（而-兩］兩-兩2,

已知正方體ABC￡>-A8|G2的棱長為2,所以內(nèi)切球的直徑MN=2,

所以兩?麗=所2_1，由于點尸是正方體ABCD-ABCQ表面上的動點，

可知：P0e［l,退］,即兩.麗=府2_140,2］,

故答案為：［0,2］.

【變式1-1］（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的

中心，圓。的半徑為2,圓。的直徑MV〃CD,點尸在正六邊形的邊上運(yùn)動，則兩.JW的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【知識點】向量與幾何最值、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】根據(jù)的.麗=用2一4,結(jié)合正六邊形的性質(zhì)求解|所|的范圍即可.

【詳解】如圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，AOAB,△OBC,AOCD,"DE,AOEF,AOE4均

是邊長為4的等邊三角形，

當(dāng)點尸位于正六邊形ABCDEF的頂點時，|而|取最大值4,

當(dāng)點尸為正六邊形各邊的中點時，|叫取最小值，即同，「4s嗚=2有，

所以國e[264].

所以加.麗=（而+加）.（而+兩）=（由+加）.（麗-加卜所2—4?8,12],

即兩?麗■的最小值為8.

故選：D

【變式1-2]（24-25高一上?浙江杭州?階段練習(xí)）在VABC中，尸在VABC的三邊上運(yùn)動，是VA5c外

接圓的直徑，若AB=2,BC=3,AC=4,則兩.兩的取值范圍是.

【答案】[Y,。]

【知識點】正弦定理求外接圓半徑、余弦定理解三角形、向量加法的法則、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】設(shè)VABC外接圓圓心為。，半徑為R,利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積可得

PMPN=（Pd+OMy（Td+ON）=[pd+OM）（Pd-OM）=PO-OM2=PO2再結(jié)合圓的幾何性質(zhì)

確定其最大最小值可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)VABC外接圓圓心為0,半徑為R,

由余弦定理有cosA=4：y,9=U,所以sin4=Jl-cos?A=3括5,

2-2-41616

由正弦定理有匹；=2R,即R=8叵，

smA15

PMPN=[^+OMy[W+ON^=[PO+OMy[pd-dM^

——>2>2>264

=PO-OM=PO——,

15

設(shè)。到VA5c三邊AB,BC,C4的距離分別為4,%，4，則

所以囪的最小值為嚕，最大值為誓,

22

64

即兩.兩的最小值為-[=-4,最大值為金一。,

15

所以兩.兩的取值范圍是［T,。］.

故答案為：［T,。］.

題型06向量投影（投影向量）

【解題規(guī)律?提分快招】

①定義：在平面內(nèi)任取一點。，作。必=2,兩=坂.過點M作直線ON的垂線，垂足為“i，則次弓就

是向量Z在向量辦上的投影向量.

b岫N

②投影向量計算公式:

當(dāng)。為銳角（如圖（1））時，W與工方向相同，幾=|喃I(xiàn)=|2cos。，所以的=|阿|1=|￡|cos。"；

當(dāng)。為直角（如圖（2））時，2=0,所以詼2=0=|￡|cos^|E

當(dāng)。為鈍角（如圖（3））時，0必與工方向相反，所以

2=-1OMX|=-1a|cosZMOMX=-\a\cos(^-0)=\a\cos0,即OM{=\a\cosOe.

當(dāng)。=0時，2=|cz|,所以。=|a|e=|a|cos0e；

當(dāng)。=兀時，X=-同，所以O(shè)M[--\a\e=\a\COSTIe

綜上可知，對于任意的夕6[0,可，都有啊'=向cos。5

【典例1-13（23-24高一下,北京大興?期中）已知日石是夾角為120。的兩個非零向量，且同咽，若向量￡+"

在向量2上的投影向量為3%，則（）

““o4G

A.-4B.———

3

C.4D.述

3

【答案】A

【知識點】求投影向量、數(shù)量積的運(yùn)算律、用定義求向量的數(shù)量積

【分析】設(shè)W=W=1,計算出向量￡+在向量￡上的投影向量為[般由題知投影向量為3%，所以

1-1^=3,解出4的值.

【詳解】設(shè)忖=W=1,則〃/=（〃+花）=|4+幾〃.3=i-g/i,

〃帆COS（〃,B）=一）,Q.

所以向量￡+與在向量￡上的投影的數(shù)量為4（：：'°）=1-2'=1_工/

問12

因為投影向量是11-；嗚="-/1=3￡,所以1_/=3,解得力=-4,

故選：A.

【典例1-2]（23-24高二上?北京通州,期中）在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，已知荏=（2,0,0）,AC=（0,2,0）,

AD=（0,0,2）.則麗與誣的夾角的余弦值為；而在在的投影向量1.

【答案】1/0.5（1,-1,0）

【知識點】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示、求投影向量

【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出而與通的坐標(biāo)，然后由向量夾角的運(yùn)算公式和投影向量的計算

公式即可求出結(jié)果.

【詳解】因為荏=（2,0,0）,AC=（O,2,O）,用=（0,0,2）,

所以6=蒞一前^（。，一工？），CB=AB-AC=（2,-2,0）,

.—.CD.CB41

所以cos<C￡>,CB)=1~~n~I=———產(chǎn)=-

所以國同2V2X2A/22，

前在9的投影向量為|阿cos(西畫莆=(1，T。).

故答案為：|；(i,-i,o).

【變式1-1](2024?北京?模擬預(yù)測)已知向量2=(1,-右)，￡在后上的投影向量為3I,卜+,=小，貝U

W=----------

【答案】近

2

【知識點】求投影向量、坐標(biāo)計算向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】Z在B上的投影向量為g],由投影向量公式可得2。石=歸『，再由|商+同=近，兩邊同時平方可

求出陣

【詳解】向量方=(1,一退)，同=2,

]_d'bb1?[2

￡在石上的投影向量為]b,則下=r得2那B=W,

|a+S|=>/7,則(M+B)=a2+2a-b+b2=|o|2+2|^|=4+2問=7,

解得w=9.

故答案為：漁

2

【變式1-2](23-24高一下?北京?期中)已知向量:=(1,—1),B=(-2,l),則2%+B=;向量￡在B上

的投影向量的坐標(biāo)為.

【答案】(0,-D(|,-|)

【知識點】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計算向量的模、求投影向量

【分析】運(yùn)用平面向量加法、向量數(shù)量積、向量的模、投影向量公式計算即可.

【詳解】解：a=(1,-1),5=(-2,1),

則2%+后=(2,—2)+(-2,1)=(0,-1)；

a-b=1x(—2)+(—1)x1=—3,|B|=J(—2)2+F=加，

a-bb3-f63、

故向量Z在5上的投影向量的坐標(biāo)為:

故答案為：（0,-1）；（g,-g）.

【變式1-3］（23-24高一下?北京門頭溝?期中）設(shè)向量1與石的夾角為60。，且網(wǎng)=20,忖=百，貝U苕在B

方向上的投影數(shù)量為.

【答案】五

【知識點】求投影向量、平面向量數(shù)量積的幾何意義

【分析】由向量的投影公式即可求解.

【詳解】由題意1在B方向上的投影數(shù)量為同8$60。=拒.

故答案為：72.

題型07向量模（含最值范圍）

【解題規(guī)律?提分快招】

|a\=y/a-a=+y：

【典例1-1］（23-24高三上?北京豐臺?期中）已知向量泡滿足忖=2,忖=1,且］B=1，則卜+2方卜（~）

A.12B.2gC.4D.2

【答案】B

【知識點】已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運(yùn)算律

【分析】借助向量的模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得.

【詳解】卜+2囚="￡+2葉=J，+4=B+4懷=74+4x1+4x1=273.

故選：B.

【典例1-2］（23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí)）己知平面向量a,b,滿足2=（1,3）,|昨1,則|的

取值范圍是

【答案】［亞-1,亞+1］

【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、坐標(biāo)計算向量的模

【分析】求出|￡|,再用5的夾角。表示出卜一彳即可得解.

【詳解】因2=（1,3）,則|Z|=標(biāo)，設(shè)商，石的夾角為伙0<。<乃），

MW|a-S|=^（a—b）2=\a-2a-b+b=^/ll—2>/10cos^>而-1推osO1,

因此，711-2^<|a-<A/11+2^0,即如一14日-石卜祈+1,

所以的取值范圍是[框-1,師+1].

故答案為：[亞-1,亞+1]

【變式1-1]（23-24高一上?北京西城?期末）如圖，A8為半圓的直徑，點C為A8的中點，點M為線段A8

上的一點（含端點A,B）,若4?=2,則熙+網(wǎng)的取值范圍是（）

A.[1,3]B.[5/2,3]

C.〔3,如]D.[V2,^/TO]

【答案】D

【知識點】向量的模、已知數(shù)量積求模、向量與幾何最值

【分析】根據(jù)題意可得出04|標(biāo)上2,然后根據(jù)向量的運(yùn)算得出“+函2=（/+礪『=（網(wǎng)可+]『+],

從而可求出答案.

【詳解】因為點c為AB的中點，AB=2,所以國|=0,/C42=（,

所以困+珂°=（AC+MB^=AC2+MB2+2AC-MB

=J相2+1阿2+斗園1碉=網(wǎng)+斗阿+(網(wǎng)+

cos(22=+1,

因為點M為線段A8上的一點，所以。4畫42,所以2W（^+iy+lV10,

所以國+碉的取值范圍是[丘E],

故選：D.

【變式1-2]（23-24高三上,北京昌平?期末）已知向量a5滿足|Z|=4,5在乙方向上的投影為2,則口+20

的最小值為（）

A.2B.20C.8D.10

【答案】C

【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求模

【分析】由題意得到投影什cos0=2,得出￡石和忖=高22,即可得到卜+2q的最小值.

【詳解】因為5在江方向上的投影為2,所以Wcos0=2.

所以a?b=|a|x|&|cos6=4x2=8,且忖=―>2.

因為卜+2.=（〃+2石）-a+4a?b+4b=16+32+4忖>64,

所以%+2同=8.

IImin

故選：c

【變式1-3］（24-25高三上?北京西城,期末）折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時能夠二頭合并歸一而

一2

得名.某折扇的扇面是一個圓臺的側(cè)面展開圖，如圖所示.設(shè)AZ）=2OD=2,ZAOB=-n,則扇面（圖中扇環(huán)）

部分的面積是,\OD-CB\=.

【知識點】扇形面積的有關(guān)計算、已知數(shù)量積求模

【分析】根據(jù)扇形面積公式，即可求解扇面的面積；根據(jù)向量數(shù)量積公式求模.

2兀

【詳解】由條可知，AO=2+1=3,ZAOB=—,

127r12冗7T.

所以扇形的面積H=5x3x32=3兀，扇形OOC的面積邑=］XyxF=了

所以扇面的面積是S|-$2="；

3

\OD-CB\=4oD+CB-2ODCB=^l+4-2xlx2xcosy=77.

故答案為：5；百

題型08向量夾角（含最值范圍）

【解題規(guī)律?提分快招】

仆a=￡4=X/2+%%

【典例1-1］（2024?北京?模擬預(yù)測）平面向量％,B滿足口=3B，且忖-0=4,貝上與屋刃夾角的正弦值

的最大值為（）

12

AB.—cD.

-:3-1

【答案】B

【知識點】余弦定理解三角形、向量夾角的計算、基本不等式求和的最小值

【分析】設(shè)上函，b=OB，則=麗，設(shè)忸|=加，同=3凡cosNOAB=：+3,根據(jù)均值不等式計