平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的應(yīng)用(八大類型)

目錄

壓軸題型講練....................................................................1

類型一、利用平移求圖形的周長...................................................1

類型二、利用平移求圖形的面積...................................................2

類型三、利用平移求時間..........................................................4

類型四、利用旋轉(zhuǎn)求長度、角度...................................................5

類型五、利用旋轉(zhuǎn)求面積..........................................................7

類型六、利用軸對稱求角度........................................................9

類型七、利用軸對稱求和差的最值................................................10

類型八、利用軸對稱求面積.......................................................12

壓軸能力測評...................................................................14

”壓軸題型講練”

類型一、利用平移求圖形的周長

【例1】如圖，將三角形/8C(/C>/8)沿2c方向平移得至U4跖，DE與AC交于點.M.此時滿足

騎一穿4若心由6,則四邊形。MCF與四邊形,拉周長之差為()

【例2】如圖，AB=4cm,BC=5cm,AC=2cm,將△NBC沿2c方向平移acm(0<a<5),得到SEF,

連接4),則陰影部分的周長為cm.

【變式1-1】如圖，將周長為11的三角形/5C沿"8邊向右平移2個單位，得到"?U,則四邊形

的周長為.

【變式1-2］如圖，將三角形沿著射線2C方向平移6cm,得到三角形43'C',已知,43=5cm,

8c=3cm,AC=4cm,則四邊形的周長為cm.

【變式1-3］如圖，已知48=8,BC^IO,/C=4,將三角形4BC沿2c方向平移。(0<a<10)個單位長

度，得到三角形。E尸，連接4D,則陰影部分的周長為.

類型二、利用平移求圖形的面積

【例3】如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中/48C=90。，ZCAB=60°,8c=6,點/對應(yīng)直尺的亥U

度為9.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△Z2C移動到AHQC,點H對應(yīng)直尺的刻度為1,連接CC',

則四邊形BCC'g'的面積是()

A.48B.60C.55D.54

【例4】如圖，在所給的網(wǎng)格圖(每個小格均為邊長是1的正方形)中完成下列各題:

⑴作出三角形向右平移5格，向上平移2格后所得的三角形44G；

(2)AAL判斷44］與的位置關(guān)系，并求四邊形44避田的面積.

【變式2-1】如圖，一塊長為acm,寬為反m的長方形地板中間有一條裂痕(如圖甲)，若把裂痕右邊的一

塊向右平移3cm(如圖乙)，則產(chǎn)生的裂縫的面積是cm2

【變式2-2】ZUBC和AZ)EF是兩個形狀、大小完全相同的直角三角形，如圖①所示，三條邊8。、48、AC

的長分別是6cm、8cm、10cm,且3、C、D、廠在同一條直線上.

(1)如果△/呂。朝著某個方向平移后得如圖②所示，則a/BC平移的方向是什么？平移的距離是多少？

(2)△N8C平移至圖③所示的位置，如果BQ=6.4cm,則△￡?尸的面積是多少？

【變式2-3］如圖，將直角三角形48。沿45方向平移2cm得到DF交BC于點H,CH=2cm,

EF=5cm,求陰影部分的面積.

A

類型三、利用平移求時間

【例5】如圖，在△ABC中，8c=12cm,將△48C以每秒3cm的速度沿2c所在的直線向右平移，所得的

對應(yīng)圖形為力EF.設(shè)平移時間為/秒，若要使=3CE成立，則t的值為.

【例6】已知，大正方形的邊長為10厘米，小正方形的邊長為4厘米，起始狀態(tài)如圖所示.大正方形固定

不動，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直線平移.設(shè)平移的時間為f秒，兩個正方形重疊部分的面積為

S平方厘米.當(dāng)5=4時，小正方形平移的時間為秒.

【變式3-1］如圖，在三角形/5C中，8C=6cm,將三角形以每秒1cm的速度沿2c向右平移，得到三

角形DEF,設(shè)平移時間為/秒(t<6),若在AE,C三個點中，一個點到另外兩個點的距離存在2倍的關(guān)

系，則下列三人的說法：甲：“有兩種情況，/的值為2或3.”乙：“有三種情況，/的值為2或3或4.”丙:

“有四種情況，，的值為2或3或4或5.”其中正確的是()

AD

A.甲B.乙C.丙D.無法判斷

【變式3-2】已知小正方形的邊長為2厘米，大正方形的邊長為4厘米，起始狀態(tài)如圖所示，大正方形固定

不動，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直線平移，設(shè)平移的時間為t秒，兩個正方形重疊部分的面積

為S平方厘米，完成下列問題：

(1)當(dāng)t=1.5秒時，S=平方厘米；

(2)當(dāng)S=2時，小正方形平移的時間為秒.

【變式3-3］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，所給的正方形網(wǎng)格的每個小正方形邊長均為1個單位長度，每個

小正方形的頂點稱為格點，三角形/8C的三個頂點均在格點上，位置如圖所示，其中點現(xiàn)將三角

形N8C沿的方向平移，使得點A平移至圖中的點/'(2,-2)的位置.

(1)在圖中畫出三角形并寫出點8的對應(yīng)點？的坐標(biāo)為，點C的對應(yīng)點C'的坐標(biāo)為；

(2)線段沿的方向平移到48的過程中掃過的面積是；(直接填寫結(jié)果)

(3)將直線以每秒1個單位長度的速度向右平移，平移秒時該直線恰好經(jīng)過點(2,2).(直接填寫結(jié)

果)

類型四、利用旋轉(zhuǎn)求長度、角度

【例7】如圖，△48C中，4B=4,8c=7,將△48C沿射線3c的方向平移，得到再將AHQC

繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)60。后，點5,恰好與點C重合，則平移的距離和的度數(shù)分別為（）

C.3,30°D.4,30°

【例8】如圖，在△48C中，AC=34i，將△48C繞點C逆時針轉(zhuǎn)至AOEC的位置，其中點A與點。是對

應(yīng)點，且點。在48邊上，此時8。=3百-3,ZBCD^15°,延長EC交Z8于點尸.若NE=30。，則

FD=

【變式4-1】如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使點C落在邊上的點￡處，點5落在點。處，連接

BD,若NDAC=NDBA,則NA4C為（）

35°C.32°D.40°

【變式4-2］如圖，在△NBC中，ZCAB=IQQ°,將AABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△"B'C',點C的

對應(yīng)點為CL點C恰好在3c邊上，n.ZC'AB=3ZABC,則/NAB，角度為

B'

【變式4-3】如圖，NC。。在的內(nèi)部繞點。自由旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中N/O8、NCO。的大小始終保持

不變，其中首先NCOD繞點。順時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒6。，旋轉(zhuǎn)開始前。C與。4

重合，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至。。與08重合時，NC0D立即再以另一速度繞點。逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至OC與。/重

合時，旋轉(zhuǎn)停止，設(shè)時間為f秒，記郎°=NAOC-NBOD,少用含，的代數(shù)式表示，已知繞點。順時

針勻速旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)"5和10時，與之對應(yīng)的少的兩個值互為相反數(shù)；NC。。從開始旋轉(zhuǎn)到最后停止,

整個過程總用時33秒.

順時針

逆時針

(l)NCOD繞點。順時針勻速旋轉(zhuǎn)過程中，少的值的變化情況:(填“由負(fù)到正''或"由正到負(fù)”);

⑵求的大小及NCOD逆時針旋轉(zhuǎn)時的速度;

⑶在整個旋轉(zhuǎn)過程中，若少=60,直接寫出，的值.

類型五、利用旋轉(zhuǎn)求面積

【例9】如圖，直角△/8C的直角頂點為C,且/C=3,8C=4,N8=5,將此三角形繞點/順時針旋轉(zhuǎn)90。

到直角的位置.則在旋轉(zhuǎn)過程中，3c邊掃過的面積是.（結(jié)果保留兀）

【例10】將一副三角板按圖①的方式放置（有一條邊重合），把含45。角的直角三角板5。繞點C逆時針

旋轉(zhuǎn)30。，得到△B'CD',如圖②，其中/2=2.

①②

⑴求B'C的長；

⑵求A/BQ的面積.

【變式5-1］如圖，將繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△HQC,連接

⑴若Nl=25。，則N544'=°；

⑵若BC=1,AC=3,求△44月的面積與周長.

【變式5-2］如圖，在△NBC中，AB=6,將繞點3按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30。后得到求陰影

部分的面積.

【變式5-3］如圖，把一個含有30。角的直角三角尺4CB繞30。角的頂點8順時針旋轉(zhuǎn)，使得點/與C8延長

線上的點E重合，其中點C的對應(yīng)點為點D

（2）4CBD是三角形；

⑶若BC=2拒,求△CBZ）的面積.

類型六、利用軸對稱求角度

【例11】將長方形紙片48。按如圖所示方式折疊，使得/4E3'=40。，其中ER,EG為折痕，貝UNEEG

的度數(shù)為（）

C.80°D.110°

【例12】將一張正方形紙片4BC。如圖所示的方式折疊（其中NEMB=4=NC=ND=90。），AE,小為折

痕，點8、。折疊后的對應(yīng)點分別為"、D',若NB'4D'=10。,則ZE4尸的度數(shù)為.

【變式6-1］如圖，點￡為長方形紙片/BCD的邊2c上一點，將長方形紙片分別沿NE,跖折疊，使點

B,C分別與點G,H重合，點E,G,〃恰好在同一條直線上.若NAEH=3NHEF,則/AEH-NHEF

C.45°D.60°

【變式6-2］如圖，在長方形中，5D是對角線，將△A3。沿直線3。折疊，點/落在點尸處，BF

交邊CD于點E,若NABD=25。,則NCA廠的度數(shù)為.

【變式6-3】點O,￡分別是長方形紙片48co邊/瓦/。上的點，沿OE,OC翻折，點/落在點H處，點、B

⑵如圖2,當(dāng)點5,落在/EC%'的內(nèi)部時，若乙4?！?36。，ZBOC=64°,求乙4'。"的度數(shù);

⑶當(dāng)點H,9落在/C0E的內(nèi)部時，若/COE=a,求乙4'。9的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

類型七、利用軸對稱求和差的最值

【例13］如圖所示，在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題：(用直尺畫圖，保留痕跡)

(1)求出格點ZUBC(頂點均在格點上)的面積:

⑵畫出格點MBC關(guān)于直線DE對稱的；

⑶在DE上找一點尸使得P周長最??；

(4)在DE上找一點〃，使得最大.

【例14］如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，。的

頂點均在格點上，點C的坐標(biāo)為(5,1).

(1)畫出△48C關(guān)于x軸對稱的△4片。，

(2)在V軸上確定一個點P,連接8P、CP,使3P+C尸的和最小并寫出點P的坐標(biāo)

【變式7-1］如圖，已知△4BC,點C在y軸上.

⑴畫△/8C關(guān)于y軸對稱的4ABe；

(2)在x軸上畫出點尸，使周長最小.

【變式7-2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△NBC的頂點44,1),5(1,2),C(2,4)均在正方形網(wǎng)格的格點上.

⑴畫出△N5C關(guān)于x軸對稱的圖形△4片。，并寫出頂點G的坐標(biāo);

⑵求耳。的面積；

(3)在y軸上找一點P,使得P8+PC最小.

【變式7-3］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圖中的小方格都是邊長為1的正方形,△/3C各頂點坐標(biāo)分別為

^（1,4）,5（2,1）,C（3,3）.

⑴若^A'B'C是△4BC關(guān)于y軸的對稱圖形；請直接寫出^A'B'C'三點坐標(biāo)

A'_B'_C_

（2）在y軸上求作一點尸，使得點尸到點4,2的距離之和最小.

類型八、利用軸對稱求面積

【例15】（梯形面積計算）梯形（如圖）是由一張長方形紙折疊而成的.這個梯形的高是cm,

面積是cm2.

【例16］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小方格都是邊長為1的正方形，△NBC的頂點均在格點上.

(1)作出AABC關(guān)于y軸對稱的△4呂G,并直接寫出點&的坐標(biāo);

⑵連接《4，CQ,求四邊形/4GC的面積.

【變式8-1］如圖，在扇形/。8中，4408=105。，半徑。4=8,將扇形NO8沿過點8的直線折疊，點。

恰好落在標(biāo)上的點。處，折痕交04于點C,則圖中陰影部分的面積是.(結(jié)果保留兀)

【變式8-2】利用圖形分、和、移、補探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法.如圖1,8。是長方

形/BCD的對角線，將△38分割成兩對相同的直角三角形和一個小正方形，然后按圖2重新擺放.

3.

(2)右。=3,b=—,則長方形4BCD的面積是

2-------

【變式8-3］如圖：方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，先將△/BC向上平移3個單位長

度,再向右平移2個單位長度，得到△其耳。.

(1)在圖中畫出△4片。1；

(2)平移后△43G三個頂點坐標(biāo)分別為：4()、用()、G()；

⑶若了軸有一點尸，使△P8C與△4BC面積相等，則尸點的坐標(biāo)為.

”壓軸能力測評”

1.如圖，點P是外的一點，點M,N分別是NNO3兩邊上的點，點P關(guān)于0/的對稱點。恰好落

在線段ACV上，點P關(guān)于02的對稱點火落在的延長線上.若PM=2.5cm,PN=3cm,施V=4cm,則

線段。尺的長為（）

A.4.5cmB.5.5cmC.6.5cmD.7cm

2.如圖，在銳角△4BC中，48=15,△NBC的面積為90,BD平分N4BC,若E、尸分別是跳入2C上的

動點，則CE+E尸的最小值為（）

3.△48C中，ZACB=90°,//8C=30。，48=8,5。是△N8C的角平分線，點E、尸分別是線段8。、

線段48上的動點，則NE+EF的最小值是（）

4.在RtZ\/3C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,48=10.現(xiàn)將△48C按如圖那樣折疊，使點C落在4B

上的點。處，折痕為8E,則DE的長為（）

A.3B.4C.6D.5

5.如圖，在△/BC中，AD1BC,BC=6,AD=?>,將△/BC沿BC的方向平移2個單位后，得到AHS'C,

連接4C,則的面積為

6.在學(xué)習(xí)“生活中的軸對稱”之后，小穎對圖形的變換進行操作實踐.尸為長方形紙片/BCD的邊上一

點，點￡,M分別為4D,。上的動點，如圖，先把紙片48CD沿尸E對折，點/與翻折至點尸：再把紙片

沿對折，點8翻折至點X.當(dāng)點E,M運動時，若47狎=34。，則+=

7.如圖，在△4BC中，48=6,將△ASC平移5個單位長度得到△4片。，〃r是48的中點，則瓶4的最

8.如圖，長方形紙片/BCD,點P在邊40上，點、M,N在邊CB上，連接尸M,PN.將ZDPN對折,

點。落在直線尸N上的點〃處，得折痕尸￡；將“加f對折，點/落在直線尸朋■上的點4處，得折痕

PF.若NMPN=3Q°,則NE尸尸=

9.如圖所示，已知。是一/尸3內(nèi)的一點，點〃、N分別是。點關(guān)于尸/、PB的對稱點，MN點