第27講三角恒等變換（1）

知識梳理

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

s譏（a±0）=sinacosB土cosasinB，簡記作S（a±B）；

cos（a±0）=cosacosB干si幾asinB'簡記作C（a±s）；

tana但、_

-c邸尸百3a?3B，間記作T…?

2.二倍角公式

sin2a=2s而a?cosa；

2tana

tan!a=；

1一山，2a

cos2a=c。52a—si72a=2cos2cl—l=l—2si幾2a.

3.輔助鬲獲

._____ab

y=av應(yīng)x+bcosx=\/a2+b2s血(x+①)?其中(p為輔助角，且其中cos巾=荷T'S…荷

,b

(P=一.

a

4.公式的逆用及有關(guān)變形

tana±tanP=以幾（a±B）（1干口〃a?tan1）；

sina±cosa=也5加(狂了);

sina?cosa==^sin2a；

1-\~sinla=(si九a+cosa＞；

1—sinla=(s%a—cosa＞；

1-cos2a

sin9a=2；

l+cos2a

9L

cosa=o—：

cl—cos2a”上一八八

tana=l+cos2a(降暴公式);

l-cos2a=2S%2a；1+cos2a=2co$2a(升幕公式)

1＞【2022年新高考2卷】若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2迎cos(a+3)sinS，則()

A.tan(a—￡)=1B.tan(or+￡)=1

C.tan(cr—/?)=—1D.tan(a+￡)=—1

【答案】C

【解析】

由已矢口得：sinacos/?+coscrsin/?4-cosacos/?—sinasin/?=2(cosa—sina)sin0,

即：sinacos0—cosasin0+cosacos￡+sinasin￡=0,

即：sin(a—S)+cos(a-0)=0,

所以tan(a-/?)=-1,

故選：C

2、【2022年浙江】若3sina-sin￡=+S=],貝ijsina=,cos20

【答案】3V104

105

【解析】Q+S=，sin?=cosa,即3sina—cosa=V10,

即舊（甯sina-嚕cosa）=同，令sin。=察，cos。=富.

則Vl^sin(a-6)=VTU,「.a—9=]+2/CTT，kEZ,即a=9+習(xí)+2/CTT,

sina=sin(6+]+2ATT)=cos。=

則cos2/?=2cos2/7—1=2sin2a—1=1.

故答案為：鬻；2

0，S，tan2a=cosa…/

3、【2021年甲卷文科】若2-sina'則.&=()

且D.屈

A.叵B.更C.

1553

【答案】A

COSa

L1用解牛析仞J】Ltaan^2oac-.

2—sina

小sin2a2sincrcosacosa

..Ldll/cz——一-一.，

cos2。1—2sina2—sina

2sina1

i,..JV7DCX.-T—\JJc,解得sina=,

l2)1—2sin2a2—sin6z4

sinaV15

cosa=vAl-sin~a=-屏----，

4coser15

故選：A.

25兀/

4、【2021年乙卷文科】cos2—-cos—=()

1212

A.5B.立

C.叵D.g

2322

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得COS22-cos2”=cos2=-sin2二，再由二倍角公式即可得解.

【詳解】

2兀757r27C,271712萬.2""

由題意,cos-----cos——=cos>-----COS=cos-----sin——

1212122121212

71正

=cos—=

62

故選：D.

5、【2020年新課標(biāo)1卷理科】已知?！?0,兀)，且3cos2a-8cosa=5,則sina=()

A.立B.-

33

C.-D.好

39

【答案】A

【解析】

【分析】

用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosa的一元二次方程，求解得出cose,再用同角間的三角函

數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】

3cos2。一8cosc=5,得6cos之二―8cosa-8=0,

2、

即3cos2二一4cos°一4二0,解得cosa=-^或cosa=2(舍去)，

又ae(0,兀),sina=A/1-cos2a-.

故選：A.

,.71

6、【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知2tan0-tan(6+1)=7,貝！Jtan<=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.

【詳解】

)c八tan^+1廠

2tan8-tan18+7=7,「.2tan。--------=7,

1-tan

☆t=tana/wl,貝i]2f-小=7,整理得產(chǎn)-4r+4=0,解得t=2,即tan￡=2.

1-t

故選：D.

pfflBfll?------------------------------------------

1、sin45°cos15°+cos225°sin165°=()

A.lB.]C坐D.-3

【答案】B

【解析】sin45°cos15°+cos225°sin165°=sin450-cos15°+(-cos45°)sin15°=sin(45°-15°)=sin30。=,

4則sin（a+辨于（）

2、矢口COSG.~~5，G,＜兀,用,

A—也B親

從10J10

【答案】c

【解析】Vae^,2),且cos。=4.._3

:—苧..sina——亍

/.sin(a+?=—…X7^2

2_10.

=^~,貝Ucos(乃一2a)=(

3（2022?福建三明?模擬預(yù)測）若sina)

【答案】A

3

【角星析】cos（^7r-2a^=-cos2a=2sin2a-l=~~.

故選：A.

4、（2022?湖南?雅禮中學(xué)二模）已知3cos2夕一8coscr=5,則cosa=（）

A.--B.-C.-好D.@

3333

【答案】A

【解析】由題可得6cos20-8cos。一8=0,

、2

解得cosa=2（舍去），或cosi=-1.

故選：A.

--------------------------------------------------------------------

考向一利用兩角和(差)公式運(yùn)用

例、?福建?模擬預(yù)測)已知為銳角，且

1(1)(2022asink+[J=sin[a-1"則tana=()

A.73B.2+代C.76D.V6+^

【答案】B

【分析】

運(yùn)用兩角和與差的正弦公式和同角的商數(shù)關(guān)系，計(jì)算即可得到所求值

【詳解】

因?yàn)閟in[a+g=sinf，所以工sinaH———cosa=sina--cosa，

2222

所以(6+1卜。5￡=(有-1卜ina,所以tana=*^=2+G.

5/3—1

故選：B

(2)(2022?廣東?深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測)已知角6的終邊過點(diǎn)A(-U),則sin(5-6)=()

6

iV2+y/6D—\/2+^60A/2—y/6c—V2—y/6

4444

【答案】D

【分析】

JT

由任意三角形的定義求出sin。,cos。,由兩角差的正弦公式代入即可求出sin(￡-6).

6

【詳解】

因?yàn)榻恰５慕K邊過點(diǎn)A(-U),由任意三角形的定義知：sin6=￥，cos8=-

sin(—-0)=sin—cos0-cos—sin^=加—―.

6664

故選：D.

5兀

變式1、(2022年湖南常德市高三模擬試卷)下列選項(xiàng)中，與Sin^的值相等的是()

6

2兀oo

A.cos-^-B.cos18cos42°-sin18°sin42°

「tan30°+tan15°

C.2sin75°sin750D.---------；------7

1-tan30tan15

【答案】BC

57r7T12冗I

【解析】sin—=sin—=—,cos—=——，故A錯誤；

66232

cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos(l8°+42°)=cos60°=—,故B正確;

2sinl5°sin75°=2sinl50cosl5°=sin30°=L故C正確;

2

tan300+tan15°

=tan(30°+15°)=tan45°=l,故D錯誤.

1-tan30°tan15°

故選：BC

變式2、(1)若Q+4=彳，則(l—tana)(l—tan夕)=.

【答案】2

3兀tana+tan夕

【解析】因?yàn)閠anN=tan(儀+為=^;;;~~=—1,所以tanatan^—l=tana+tan色所以(1—tana)(l

41-tanoctanp

—tan份=1—tana—tan夕+tanoc-tan0=2.

(2)在△ABC中，tanA+tanB+^/3=^/3tanAtanB,貝！JC=；

【答案】I

ltanA+tanB「

【解析】由已知，得tanA+tan3=1§(tanAtanB—1),所以tan(A+B)=~~：———三=一，§.又0<A+B<K,

i-tanAtanD

2TTIT

所以A+3=§，所以C=Q.

變式3、(1)己知a是第二象限角，且sintz=走,

tan(?+/?)=-2,則tan￡=,

5

3

【答案】-1

【解析】由a是第二象限角，且sina=好，可得cosa=—3&，tan?=--

552

/tana+tan0c1

由tan(a+力)=-2,可得;-------------=-2代入tan。二一一

'71-tan6rxtan/?f2

3

可得tan/,

3

故答案為：-

4

變式3、(2)已知sina=sin(a+g+g,則cos(a+聿)的值為()

D「平

A-3B-33

【答案】B

in(a+兀3+g,得sina=sinotcos胃+cosasin1+；=聶】na+坐cosa+1,則坐cosa-|sin

【解析】由sinasin3,

1

a=-g,即cosla+=

6)-3

方法總結(jié)：考查兩角和差的三角函數(shù).公式的結(jié)構(gòu)特征要記牢，在求值、化簡時(shí)，注意觀察角度、函數(shù)名、

所求角與已知角之間的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?求角問題的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，

選擇的標(biāo)準(zhǔn)是，在角的范圍內(nèi)根據(jù)函數(shù)值，角有唯一解.本題考查邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想.

考向二二倍角公式的運(yùn)用

例2、（2022年深圳市深圳中學(xué)高三模擬試卷）（多選題）下列各式的值等于的是

~T

2tan22.5°

A.2sin67.5°cos67.5°B.2cos2--1C.l-2sin215°

121-tan222.5°

【答案】BC

【解析】】2sin67.5°cos67.5°=sinl35°=—，故A錯誤

2

2cos2--1-cos—=>故B正確

1262

l-2sin215°=cos30°=—,故。正確

2

2tan22.5°

=tan45°=1故D錯誤

1-tan222.5°

綜上所述，故選B,C

變式1、（1）化簡：（一，一tan?（1+tanoc-tan=

tan2一

2

【答案】

sina

a./

?—.sin^

cos2sin2sina2

【解析】原式=-1+

.aacosaa

sin^cos21cos。

a.aa,..aa

cos?o-sin?\cosoccos7+sinasm7_cos7-

2222_2cosa22

.aaa~sina(z-sina

sin^cos2cosacos/cosacos]

cos2a

(2)求證:4sin2a.

1a

atan2

tan2

.aa

ocos9asinTcosT

cos7acosa2，

【解析】左邊=

a.a~.a~.a

COSTsin5cos與一sin?,cos^r—sin?^j

.aa.aa

sin5cos5sin^cosy

.aa

cos9asin^cos]

aa1.

cosacosasm^cos2—2sinacosa

所以原式成立.

兀1三匹〕

變式2、已知cos|g+ajcosl/a不建3'2)

(1)求sin2a的值;

⑵求tana一舟;的值.

Ldll(X

【解析】(l)cos《+a)cos|(xj=cosl|+ajsing71+a=|sin|2a+^1

64

(2a+%]

sin2a=sin

.71

=sinsin3

1J3

又由(1)知sin2a=2,「.cos2a=一方-.

1sinacosa

..tana—=一

tanacosasina

siiA/—cos2a—2cos2a

2X—邛p=2-V3.

sinacosa-sin2a

2

已知sin[a+g]=g,則sin[2a+2]的值為(

變式3、（2022?江蘇如皋?高三期末）)

C.一走D.B

22

【答案】B

【解析】Qsin,+[=；

:.sin12a+力=sin2,+曰一1=-cos2^a+:|-^=-l-2sin2^ar+J|-

1

2

故選:B

方法總結(jié)：本題考查二倍角公式的簡單應(yīng)用.三角函數(shù)式的化簡要注意以下3點(diǎn)：①看角之間的差別與聯(lián)

系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；②看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化

弦”；③看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升基”等.本題

考查運(yùn)算求解能力，邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想.

考向三公式的綜合運(yùn)用

(l+sinO+cos。)Isin^-COS2)

例3、化簡:----環(huán)嬴----(°"

HjrH

【解析】由?！辏?,71）,得0<5<菱，，COS]>0.

因此、2+2cos8=4COS2^=2COS^.

/g

又(1+sinO+cos。)卜in1一ee

[2COS2

=2cos<sin<-os<g

C=12cos2cos仇

0

-2cos5cos9

故原式==—CQSO.

2cos5

變式1、（1）（2022?湖北江岸?高三期末）計(jì)算tan70。cos10。（百tan20°-1）=（

A.1B.-1C.gD.--

22

【答案】B

【解析】

tan70°cos100（若tan20°-1）=cot20°cos10°（括tan200-1）

*cosl。。［百里”

-1

sin20°Icos20°

*cosl。。'百sin20。-cos20。］

sin20°、cos20°,

疆（Am2°j°s2。。

冷2smg

-sin20°

sin20°

=-l

故選：B

sin122cos12-1

(2)(2022?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末)()=

6-tan12。

【答案】：

O

【解析】因?yàn)閟inl2°（2cos212°-1）.sin12°cos12°cos24°_〈sm48]j.

V3-tanl2°-73cos120-sin12°-2sin48°-8

故答案為：—

o

變式2、（1）（2022年福建龍巖市高三模擬試卷）已知cos（a+￡）=—奇，cos2?=,其中a,夕為

銳角，以下判斷正確的是（）

八?。_120/19小

A.sin2CK———B.cos（tz—B）=---------

13I65

C.cosacos/3=^~c11

D.tanartanp=—

【答案】AC

【解析】因?yàn)閏os（a+，）=—好，cos2e=-三，其中a,夕為銳角，故。+齊?0,兀）

513

/12

所以：sin2a=71-cos2la=一,故A正確；

13

因?yàn)閟in（6Z+6）=Jl-cos（a+0y=~~~，

所以cos(a-/?)=cos[2a—(a+/?)]=cos2acos(a+/)+sin2asin(a+/3)

+"義氈="百，故B錯誤；

13565

可得cosacosp=g[cos(a+/?)+cos(cr-^)]=+=，故C正確;

可得sinasin/?=g[cos(a—/7)—cos(a+y0)]=；[2^^一(-^^)]='||j^,所以

萬sinasinB21

1almta”=嬴訴TW，故D錯誤.

故選:AC

（2）（2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模）已知sin3-￡1+cosa=|

貝ljCOSI2(7+yj=)

72424

A.BD.

25-i2525

【答案】B

【解析】sina——+cosa=——sina——cosa+cosa=一,

I6J225

所以+幾sa』

225

所以sin(e+.)=|,

cos2a+—=cos2a+—=l-2sin2a+—=l-2x——=——,

I3)(6)I6)2525

故選:B.

方法總結(jié)：（1）三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原貝U：

一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.

（2）三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補(bǔ)等），尋找式子和三角函數(shù)

公式之間的共同點(diǎn).

---------------------------------------------------------------------------------------------

1、（2022?福建?模擬預(yù)測）己知C為銳角，且sin（a+m=sin[-f,則tana=（）

A.V3B.2+6C.&D.G+6

【答案】B

【解析】

因?yàn)閟in[a+g,所以，sina+^^cosau/'Sina-工cosa,

2222

所以（6+1卜osa二（百一1卜ini,所以tana=卓擔(dān)=2+班.

,3—1

故選：B

3TT,2J,sin^-|,sin(?)=3os^則ta"=

2、（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知ae+/?C

2

B?4一9

A.-3C.3D.-

2

【答案】D

【解析】

由于sina=-g3且4]￡,271),則有4

cosa=—

55

1849

由sincifCOs/?+coscrsin/?=3cos/?得，—cos；0=—siny0,故tan4=—,

故選：D.

3

3、（2022?廣東湛江?二模）若tan（a-￡）=j，tan尸=2,貝ijtantz=

7

【答案】北

【解析】

3

因?yàn)閠an(a_/7)=],tan'=2,

3

11

所以tana-tan[(a_/?)+[]=，a：(：夕黑：乙二工一7

L」tan/7]_上*241

~2

7

故答案為：2

0，W],tan(a+尸)=g,則tan'=

4、（2022?廣東韶關(guān)?一模）若sin（?一￡

2

【答案】|

【解析】

因?yàn)閟in(萬一a)=^^,二￡〔0,n,所以sina=m°,所以cosa=Jl-sin2a=,所以tanasina_1