人教版九年級上冊期末試卷（1）

一、精心選一選（本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出四個

答案，其中只有一個是正確的）

1.（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）

A.3(x+1)2=2(x+1)B.、+2=0C.ax2+bx+c=0D.X2+2X=X21

PA

2.（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,將其折疊，使AB邊落在對角

線AC上，得到折痕AE,則點E到點B的距離為（）

22

3.（3分）在一個四邊形ABCD中，依次連接各邊的中點得到的四邊形是菱形，

則對角線AC與BD需要滿足條件是（）

A.垂直B.相等C.垂直且相等D.不再需要條件

（分）已知點（、（丫、（）都在反比例函數(shù)丫=的

4.3A-2,yQB-1,2）C3,y32

X

圖象上，則（）

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

5.（3分）學(xué)生冬季運動裝原來每套的售價是100元，后經(jīng)連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在

的售價是81元，則平均每次降價的百分數(shù)是（）

A.9%B.8.5%C.9.5%D.10%

6.（3分）甲、乙兩地相距60km,則汽車由甲地行駛到乙地所用時間y（小時）

與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)圖象大致是（）

第1頁（共28頁）

7.（3分）二次三項式x2-4x+3配方的結(jié)果是（）

A.（X-2）2+7B.（x-2）2-IC.（x+2）2+7D.（x+2）2-1

8.（3分）函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過（1,-1）,則函數(shù)y=kx-2的圖象是（）

9.（3分）如圖，矩形ABCD,R是CD的中點，點M在BC邊上運動，E,F分別

是AM,MR的中點，則EF的長隨著M點的運動（）

A.變短B.變長C.不變D.無法確定

10.（3分）如圖，點A在雙曲線y=2上，且OA=4,過A作AC，x軸，垂足為C,

X

OA的垂直平分線交OC于B,則aABC的周長為（）

A.2有B.5C.4行D.V22

二、你能填得又快又準嗎？（共8小題，每題4分，共32分）

11.（4分）反比例函數(shù)尸些■的圖象在一、三象限，則k應(yīng)滿足—.

X

12.（4分）把一個三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的1倍,

2

第2頁（共28頁）

那么邊長應(yīng)縮小到原來的一倍.

13.（4分）已知一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-4=0有一個根為零，則a

的值為—.

14.（4分）已知旦=卜=￡_,則a+2b+c=.

5343a+b+2c

15.（4分）如圖，雙曲線尸&&卉0）上有一點A，過點A作AB_Lx軸于點B,△

X

AOB的面積為2,則該雙曲線的表達式為—.

16.（4分）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,CD^AB于D,若AD=1,BD=4,

則CD=.

17.（4分）如圖，在梯形ABCD中,AD〃BC,AC,BD交于點0,SAAOD：SACOB=1：

9,貝!JS^DOC：SABOC=-

18.（4分）如圖，在aABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE//BC.若AD=4,

BC

第3頁（共28頁）

三、解答題：（共9道題，總分88分）

19.（8分）解方程

（1）2x2_2揚-5=0；

（2）（y+2）2=（3y-1）2.

20.（8分）已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m,某一

時刻AB在陽光下的投影BC=3m.

（1）請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影；

（2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m,請你計算

DE的長.

21.（10分）如圖，在AABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點

作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連接BF.

（1）線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當^ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由.

22.（10分）已知甲同學(xué)手中藏有三張分別標有數(shù)字工，1,1的卡片，乙同學(xué)

24

手中藏有三張分別標有1，3,2的卡片，卡片外形相同.現(xiàn)從甲乙兩人手中各任

取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為a,b.

（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果.

（2）現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則：若所選出的a,b能使得ax2+bx+l=0有兩個不

相等的實數(shù)根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝.請問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請你

用概率知識解釋.

23.（10分）如圖，分別以RgABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊4ACD及

第4頁（共28頁）

等邊^(qū)ABE,已知：NBAC=30°,EF±AB,垂足為F,連接DF.

（1）試說明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形.

24.（10分）如圖，已知A（-4,n）,B（2,-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象

和反比例函數(shù)行史的圖象的兩個交點；

X

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積;

（3）求不等式kx+b-我<0的解集（請直接寫出答案）.

25.（10分）某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可

售出500張，每張盈利0.3元.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措

施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售

出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元？

26.（10分）如圖，Pi、P2是反比例函數(shù)修（k>0）在第一象限圖象上的兩點,

X

點Ai的坐標為（2,0）,若△PQAi與△P2A1A2均為等邊三角形.

（1）求此反比例函數(shù)的解析式；

（2）求A2點的坐標.

第5頁（共28頁）

27.（12分）如圖，在△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,動點E（與點A,C不重

合）在AC邊上，EF〃AB交BC于F點.

（1）當4ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時，求CE的長；

（2）當4ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長；

（3）試問在AB上是否存在點P,使得4EFP為等腰直角三角形？若不存在，請

簡要說明理由；若存在，請求出EF的長.

第6頁（共28頁）

參考答案與試題解析

一、精心選一選（本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出四個

答案，其中只有一個是正確的）

1.（3分）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）

A.3(x+1)2=2(x+1)B.2=0C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2-1

x2AV

【考點】一元二次方程的定義.

【分析】一元二次方程有四個特點:

（1）只含有一個未知數(shù)；

（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（3）是整式方程.

（4）二次項系數(shù)不為0.

【解答】解：

A、3（x+1）2=2（x+1）化簡得3x2+4x-4=0,是一元二次方程，故正確;

B、方程不是整式方程，故錯誤；

C、若a=0,則就不是一元二次方程，故錯誤；

D、是一元一次方程，故錯誤.

故選:A.

【點評】判斷一個方程是不是一元二次方程：

首先要看是不是整式方程；

然后看化簡后是不是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

這是一個需要識記的內(nèi)容.

2.（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,將其折疊，使AB邊落在對角

線AC上，得到折痕AE,則點E到點B的距離為（

BEC

第7頁（共28頁）

A.』B.2C.AD.3

22

【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質(zhì).

【專題】幾何圖形問題.

【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF,BE=EF,設(shè)出未知數(shù)，在RtaEFC中利

用勾股定理列出方程，通過解方程可得答案.

【解答】解：設(shè)BE=x,

VAE為折痕，

.?.AB=AF,BE=EF=X,ZAFE=ZB=90",

RtAABC中，AC=^+2=^22+^2=5,

.,.Rt/XEFC中,FC=5-3=2,EC=4-X,

/.（4-x）2=x2+22,

解得x=2.

2

故選A.

【點評】本題考查了折疊問題、勾股定理和矩形的性質(zhì)；解題中，找準相等的量

是正確解答題目的關(guān)鍵.

3.（3分）在一個四邊形ABCD中，依次連接各邊的中點得到的四邊形是菱形，

則對角線AC與BD需要滿足條件是（）

A.垂直B.相等C.垂直且相等D.不再需要條件

【考點】中點四邊形.

【分析】因為菱形的四邊相等，再根據(jù)三角形的中位線定理可得，對角線AC與

BD需要滿足條件是相等.

【解答】解：???四邊形EFGH是菱形，

EH=FG=EF=HG=1BD=1TXC,故AC=BD.

22

故選B.

第8頁（共28頁）

D

G

【點評】本題很簡單，考查的是三角形中位線的性質(zhì)及菱形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵

在于牢記有關(guān)的判定定理，難度不大.

4.（3分）已知點A（-2,yi）、B（-1,丫2）、C（3,y3）都在反比例函數(shù)y=8的

X

圖象上，則（）

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點解答即可.

【解答】解：..3〉。，函數(shù)圖象在一，三象限，由題意可知，點A、B在第三象

限，點C在第一象限，

???第三象限內(nèi)點的縱坐標總小于第一象限內(nèi)點的縱坐標，

丫3最大，

???在第三象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

yz<yi.

故選：D.

【點評】在反比函數(shù)中，已知各點的橫坐標，比較縱坐標的大小，首先應(yīng)區(qū)分各

點是否在同一象限內(nèi).在同一象限內(nèi)，按同一象限內(nèi)點的特點來比較，不在同一

象限內(nèi)，按坐標系內(nèi)點的特點來比較.

5.（3分）學(xué)生冬季運動裝原來每套的售價是100元，后經(jīng)連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在

的售價是81元，則平均每次降價的百分數(shù)是（）

A.9%B.8.5%C.9.5%D.10%

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】增長率問題.

第9頁（共28頁）

【分析】設(shè)平均每次降價的百分數(shù)是X,則第一次降價后的價格是100（1-X）,

第二次降價后的價格是100（1-x）（1

-x）,根據(jù)“現(xiàn)在的售價是81元”作為相等關(guān)系列方程求解.

【解答】解：設(shè)平均每次降價的百分數(shù)是x,依題意得100（1-x）2=81,

解方程得xi=0.1,X2=1.9（舍去）

所以平均每次降價的百分數(shù)是10%.

故選D.

【點評】本題運用增長率（下降率）的模型解題.若設(shè)變化前的量為a,變化后

的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（l±x）2=b.（當

增長時中間的"±"號選"+",當降低時中間的"土"號選"-"）

6.（3分）甲、乙兩地相距60km,則汽車由甲地行駛到乙地所用時間y（小時）

與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)圖象大致是（）

【考點】反比例函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)實際意義，寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的類型，以及自變量的取

值范圍即可進行判斷.

【解答】解：根據(jù)題意可知時間y（小時）與行駛速度x（千米/時）之間的函數(shù)

關(guān)系式為：丫=毀（x>0）,所以函數(shù)圖象大致是B.

X

故選B.

【點評】主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關(guān)

系式從而判斷它的圖象類型，要注意自變量x的取值范圍，結(jié)合自變量的實際范

第10頁（共28頁）

圍作圖.

7.（3分）二次三項式x2-4x+3配方的結(jié)果是（）

A.（X-2）2+7B.（X-2）2-IC.（x+2）2+7D.（x+2）2-1

【考點】配方法的應(yīng)用.

【分析】在本題中，若所給的式子要配成完全平方式，常數(shù)項應(yīng)該是一次項系數(shù)

-4的一半的平方；可將常數(shù)項3拆分為4和-1,然后再按完全平方公式進行

計算.

【解答】解：x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1.

故選B.

【點評】在對二次三項式進行配方時，一般要將二次項系數(shù)化為1,然后將常數(shù)

項進行拆分，使得其中一個常數(shù)是一次項系數(shù)的一半的平方.

8.（3分）函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過（1,-1）,則函數(shù)y=kx-2的圖象是（）

【考點】一次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】待定系數(shù)法.

【分析】先根據(jù)函數(shù)y=k的圖象經(jīng)過（1,-1）求出k的值，然后求出函數(shù)y=kx

X

-2的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標解答.

【解答】解：???圖象經(jīng)過（1,-1）,

/.k=xy=-1,

???函數(shù)解析式為y=-x-2,

所以函數(shù)圖象經(jīng)過（-2,0）和（0,-2）.

故選A.

【點評】主要考查一次函數(shù)y=kx+b的圖象.當k<0,b<0時，函數(shù)y=kx+b的

圖象經(jīng)過第二、三、四象限.

第11頁（共28頁）

9.（3分）如圖，矩形ABCD,R是CD的中點，點M在BC邊上運動，E,F分別

是AM,MR的中點，則EF的長隨著M點的運動（）

A.變短B.變長C.不變D.無法確定

【考點】三角形中位線定理；矩形的性質(zhì).

【專題】壓軸題；動點型.

【分析】易得EF為三角形AMR的中位線，那么EF長恒等于定值A(chǔ)R的一半.

【解答】解：：E,F分別是AM,MR的中點，

...EF=LXR,

2

???無論M運動到哪個位置EF的長不變，故選C.

【點評】本題考查三角形中位線等于第三邊的一半的性質(zhì).

10.（3分）如圖，點A在雙曲線y=2上，且OA=4,過A作AC，x軸，垂足為C,

X

OA的垂直平分線交OC于B,則^ABC的周長為（）

A.2A/TB.5C.4V?D.V22

【考點】反比例函數(shù)綜合題.

【專題】綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB,由此推出^ABC的周長=OC+AC,

設(shè)OC=a,AC=b,根據(jù)勾股定理和函數(shù)解析式即可得到關(guān)于a、b的方程組

ab二6

2,解之即可求出^ABC的周長.

22

la+b=4

【解答】解：：OA的垂直平分線交OC于B,

第12頁（共28頁）

，AB二OB,

「?△ABC的周長=OC+AC,

設(shè)OC=a,AC=b,

（

則nil：\ab2=622^

[a2+b2=42

解得a+b=2/y,

即aABC的周長=OC+AC=2/F.

故選：A.

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象性質(zhì)和線段中垂線性質(zhì)，以及勾股定理的綜合

應(yīng)用，關(guān)鍵是一個轉(zhuǎn)換思想，即把求^ABC的周長轉(zhuǎn)換成求OC+AC即可解決問

題.

二、你能填得又快又準嗎？（共8小題，每題4分，共32分）

11.（4分）反比例函數(shù)尸些■的圖象在一、三象限，則k應(yīng)滿足k>-2.

X

【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì).

【分析】由于反比例函數(shù)泮1的圖象在一、三象限內(nèi)，則k+2>0,解得k的取

X

值范圍即可.

【解答】解：由題意得，反比例函數(shù)廠至2的圖象在二、四象限內(nèi)，

X

則k+2>0,

解得k>-2.

故答案為k>-2.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，重點是注意y=K（kWO）中k的取值，

X

①當k>0時，反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限；②當k<0時，反比例函數(shù)的

圖象位于二、四象限.

12.（4分）把一個三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的2倍,

2

那么邊長應(yīng)縮小到原來的電倍.

2

第13頁（共28頁）

【考點】相似三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可.

【解答】解：?.?改做的三角形與原三角形相似，且面積縮小到原來的1倍，

2

邊長應(yīng)縮小到原來的返倍.

2

故答案為：返.

2

【點評】本題考查了相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

13.（4分）已知一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-4=0有一個根為零，則a

的值為-4.

【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義.

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相

等的未知數(shù)的值，即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將x=0代入原方程

即可求得a的值.

【解答】解：把x=0代入一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-4=0,

可得a2+3a-4=0,

解得a=-4或a=l,

???二次項系數(shù)a-1#0,

二.a￥1,

a=-4.

故答案為：-4.

【點評】本題逆用一元二次方程解的定義易得出a的值，但不能忽視一元二次方

程成立的條件a-1#0,因此在解題時要重視解題思路的逆向分析.

14.（4分）已知娶旦=￡,則&+2b+c=絲.

5343a+b+2c

【考點】比例的性質(zhì).

【分析】根據(jù)已知比例關(guān)系，用未知量k分別表示出a、b和c的值，代入原式

中，化簡即可得到結(jié)果.

第14頁（共28頁）

【解答】解：設(shè)委也■=￡=%

534

.*.a=5k,b=3k,c=4k,

?a+2b+c=5k+6k+4k=15k=15

…3a+b+2c-15k+3k+8k-261T26，

故答案為：11.

26

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（4分）如圖，雙曲線產(chǎn)上&0。）上有一點A,過點A作AB，x軸于點B,△

X

AOB的面積為2,則該雙曲線的表達式為v=-4.

【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在的象限判斷出的符號，再根據(jù)求

kSAAOB=2

出k的值即可.

【解答】解：???反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，...k<o,

SAAOB=2,.*.|k|=4,k=-4,即可得雙曲線的表達式為:y=-―,

X

故答案為：y=-A.

X

【點評】本題考查的是反比例系數(shù)k的幾何意義，即在反比例函數(shù)的圖象上任意

一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是

且保持不變.

2

16.（4分）如圖，在RtZkABC中，NACB=90。，CD，AB于D,若AD=1,BD=4,

則CD=2.

第15頁（共28頁）

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】首先證△ACDs^CBD,然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出CD

的長.

【解答】解：Rt^ACB中，NACB=90°,CD±AB；

AZACD=ZB=90°-NA；

又：NADC=NCDB=90°,

/.△ACD^ACBD；

.*.CD2=AD?BD=4,即CD=2.

【點評】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì).

17.（4分）如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AC,BD交于點O,SAAOD：SACOB=1：

9,則SADOC：SABOC=1：3.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形.

【專題】壓軸題.

【分析】根據(jù)在梯形ABCD中，AD/7BC,AC,易得△AODs^cOB,且S^AOD：S

△COB=1：9,可求電1則SAAOD：SADOC=1：3,所以S^DOC：SABOC=1：3.

OC3

【解答】解：根據(jù)題意，AD〃BC

/.△AOD^ACOB

SAAOD：SACOB=1：9

AO.1

0C--3

則SAAOD：SADOC=1：3

所以SADOC：SABOC=3：9=1：3.

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的

第16頁（共28頁）

平方.

18.(4分)如圖，在aABC中，點D、E分別在AB、AC±,DE〃BC.若AD=4,

DB=2,則邁的值為3.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】由AD=3,DB=2,即可求得AB的長，又由DE〃BC,根據(jù)平行線分線段

成比例定理，可得DE：BC=AD：AB,則可求得答案.

【解答】解：VAD=4,DB=2,

，AB=AD+BD=4+2=6,

：DE〃BC,

△ADE^AABC,/.AD__DE_￡_2_,

AB-BC6-3

故答案為：z.

3

【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理.此題比較簡單，注意掌握比例線

段的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

三、解答題：(共9道題，總分88分)

19.(8分)解方程

(1)2x2_2揚-5=0；

(2)(y+2)2=(3y-1)2.

【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.

【分析】(1)利用求根公式計算即可；

(2)利用因式分解可得到(4y+l)(3-2y)=0,可求得方程的解.

【解答】解：

(1)'."a=2,b=-2./2>c=-5,

第17頁(共28頁)

.*.△=(-2圾)2-4X2X(-5)=48>0,

???方程有兩個不相等的實數(shù)根，

)屈_&±

??A----------2--7--2----±-----------------2--a--,

_2X22

即丫］=&+2立勺立二叵,

22

(2)移項得(y+2)2-(3y-1)2=0,

分解因式得(4y+l)(3-2y)=0,

解得yi=-―，Y2=—.

42

【點評】本題主要考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式是解

題的關(guān)鍵.

20.(8分)已知，如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m,某一

時刻AB在陽光下的投影BC=3m.

(1)請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影；

(2)在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m,請你計算

DE的長.

L1

【考點】平行投影；相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定.

【專題】計算題；作圖題.

【分析】(1)根據(jù)投影的定義，作出投影即可；

(2)根據(jù)在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例；構(gòu)造比例關(guān)系延二邑計

DEEF

算可得DE=10(m).

【解答】解：(1)連接AC,過點D作DF〃AC,交直線BC于點F,線段EF即為

DE的投影.

(2)：AC〃DF,ZACB=ZDFE.

VZABC=ZDEF=90"AAABC^ADEF.

第18頁(共28頁)

AAB工金.?.DE=10(m).

DE-EFDE-6

說明：畫圖時，不要求學(xué)生做文字說明，只要畫出兩條平行線AC和DF,再連接

EF即可.

【點評】本題考查了平行投影特點：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比

例.要求學(xué)生通過投影的知識并結(jié)合圖形解題.

21.(10分)如圖，在AABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點

作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連接BF.

(1)線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)當aABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由.

【考點】矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出NAFE=NDCE,然后利用“角角邊"

證明4AEF和ADEC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=CD,再利用等量

代換即可得證；

(2)先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平

行四邊形，再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知NADB=90。，由等腰

三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC.

【解答】解：(1)BD=CD.

理由如下：依題意得AF〃BC,.*.ZAFE=ZDCE,

是AD的中點，；1￡=口￡,

第19頁(共28頁)

在AAEF和ADEC中，

'/AFE=/DCE

<NAEF=NDEC，

,AE=DE

/.△AEF^ADEC(AAS),...AF=CD,

VAF=BD,.*.BD=CD；

(2)當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形.

理由如下：：AF〃BD,AF=BD,.,.四邊形AFBD是平行四邊形，

VAB=AC,BD=CD(三線合一)，，NADB=90°,，口AFBD是矩形.

【點評】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定,

是基礎(chǔ)題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵.

22.（10分）已知甲同學(xué)手中藏有三張分別標有數(shù)字工，1,1的卡片，乙同學(xué)

24

手中藏有三張分別標有1，3,2的卡片，卡片外形相同.現(xiàn)從甲乙兩人手中各任

取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為a,b.

（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果.

（2）現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則：若所選出的a,b能使得ax2+bx+l=0有兩個不

相等的實數(shù)根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝.請問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請你

用概率知識解釋.

【考點】游戲公平性；根的判別式；列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖即可求得所有等可能的

結(jié)果；

（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用

概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲

規(guī)是否公平.

【解答】解：（1）ffll樹狀圖得：

第20頁（共28頁）

???(a,b)的可能結(jié)果有(［，1)、(1,3)、(1,2)、(1,1)、(1,3)、(1,

222444

2)、(1,1)、(1,3)及(1,2),

I.(a,b)取值結(jié)果共有9種；

(2)*.*當a=—,b=l時，A=b2-4ac=-l<0,此時ax2+bx+l=0無實數(shù)根,

2

當a=_L,b=3時，442-4ac=7>0,此時ax2+bx+l=O有兩個不相等的實數(shù)根，

2

當a=L,b=2時，A=b2-4ac=2>0,此時ax2+bx+l=O有兩個不相等的實數(shù)根,

2

當a=—,b=l時，A=b2-4ac=0,此時ax2+bx+l=0有兩個相等的實數(shù)根，

4

當a=L,b=3時，442-4ac=8>0,此時ax2+bx+l=O有兩個不相等的實數(shù)根，

4

當a=L,b=2時，442-4ac=3>0,此時ax2+bx+l=O有兩個不相等的實數(shù)根，

4

當a=l,b=l時，A=b2-4ac=-3<0,此時ax2+bx+l=O無實數(shù)根，

當a=l,b=3時,A=b2-4ac=5>0,此時ax2+bx+l=O有兩個不相等的實數(shù)根,

當a=l,b=2時,A=b2-4ac=0,此時ax2+bx+l=O有兩個相等的實數(shù)根，

.--P(甲獲勝)=P(A>0)=$>P(乙獲勝)=&,

99

???這樣的游戲規(guī)則對甲有利，不公平.

開始

1

甲11

24

/N/N

32132132

【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的

概率，概率相等就公平，否則就不公平.

23.(10分)如圖，分別以RQABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊4ACD及

等邊AABE,已知：NBAC=30°,EF±AB,垂足為F,連接DF.

(1)試說明AC=EF；

(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形.

第21頁(共28頁)

【考點】平行四邊形的判定；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】(1)首先由Rt^ABC中，由NBAC=30。可以得到AB=2BC,又由4ABE是

等邊三角形，EFXAB,由止匕得至UAE=2AF,并且AB=2AF,然后證得^AFE之4BCA,

繼而證得結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)知道EF=AC,而^ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD,并且AD

±AB,而EFLAB,由此得到EF〃AD,再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四

邊形ADFE是平行四邊形.

【解答】證明：(1),.,內(nèi)△ABC中,ZBAC=30",

.,.AB=2BC,

又?.,△ABE是等邊三角形，EFXAB,

.\AB=2AF

.?.AF=BC,

在RtAAFE和RtABCA中，

(AF=BC；

lAE=BA，

ARtAAFE^RtABCA(HL),

，AC=EF；

(2)???△ACD是等邊三角形，

ZDAC=60°,AC=AD,

ZDAB=ZDAC+ZBAC=90°

XVEFlAB,

.?.EF〃AD,

VAC=EF,AC=AD,

，EF=AD,

??.四邊形ADFE是平行四邊形.

第22頁(共28頁)

【點評】此題考查了平行四邊形的判定、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判

定與性質(zhì).注意證得RtaAFETRt^BCA是關(guān)鍵.

24.(10分)如圖，已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象

和反比例函數(shù)嚴的圖象的兩個交點；

X

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積;

(3)求不等式kx+b-皿＜0的解集(請直接寫出答案).

X

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】計算題；壓軸題；待定系數(shù)法.

【分析】(1)把A(-4,n),B(2,-4)分別代入一次函數(shù)y=kx+b和反比例

函數(shù)y=2,運用待定系數(shù)法分別求其解析式；

X

(2)把三角形AOB的面積看成是三角形AOC和三角形OCB的面積之和進行計

算；

(3)由圖象觀察函數(shù)y=2的圖象在一次函數(shù)y=kx+b圖象的上方，對應(yīng)的x的范

X

圍.

【解答】解：(1)VB(2,-4)在丫=史上,

X

/.m=-8.

...反比例函數(shù)的解析式為y=-苴.

X

?.?點A(-4,n)在y=一當上，

X

An=2.

第23頁(共28頁)

?.A(-4,2).

：y=kx+b經(jīng)過A(-4,2),B(2,-4),

.f-4k+b=2

'(2k+b=-4'

解之得

k=-1

b=-2

一次函數(shù)的解析式為y=-x-2.

(2)：(：是直線AB與x軸的交點，

當y=0時，x=-2.

.?.點C(-2,0).

：.OC=2.

：.SAAOB=SAACO+SABCO=A-X2X2+lx2X4=6.

22

(3)不等式kx+b-皿<0的解集為：-4Vx<0或x>2.

X

【點評】本題考查了用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的比例系數(shù)k,求出函數(shù)解析

式；要能夠熟練借助直線和y軸的交點運用分割法求得不規(guī)則圖形的面積.同時

間接考查函數(shù)的增減性，從而來解不等式.

25.(10分)某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可

售出500張，每張盈利0.3元.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措

施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售

出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】經(jīng)濟問題；壓軸題.

【分析】等量關(guān)系為：(原來每張賀年卡盈利-降價的價格)X(原來售出的張

數(shù)+增加的張數(shù))=120,把相關(guān)數(shù)值代入求得正數(shù)解即可.

【解答】解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元，現(xiàn)在的利潤是(0.3-x)元，則商城多

售出100x4-0.1=1000x張.

(0.3-x)(500+1000X)=120,

第24頁(共28頁)

解得Xi=-0.3（降價不能為負數(shù)，不合題意，舍去），x2=0.1.

答：每張賀年卡應(yīng)降價0.1元.

【點評】考查一元二次方程的應(yīng)用；得到每降價x元多賣出的賀年卡張數(shù)是解決

本題的難點；根據(jù)利潤得到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

26.（10分）如圖，Pi、P2是反比例函數(shù)修（k>0）在第一象限圖象上的兩點,

X

點Ax的坐標為（2,0）,若△PiOAi與△P2A1A2均為等邊三角形.

（1）求此反比例函數(shù)的解析式；

（2）求A2點的坐標.

【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等

邊三角形的性質(zhì).

【分析】（1）首先作PiBLOAi于點B,由等邊△PQAi中，OAi=2,可得OB=1,

PiB=?,繼而求得點％的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得此反比例函數(shù)的

解析式；

（2）首先作P2C