專題20三角形綜合

1.(2021?淮安中考)

【知識再現(xiàn)】

學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡稱‘班’定

理)”是判定直角三角形全等的特有方法.

【簡單應(yīng)用】

如圖(1),在△N8C中，ZBAC=90°,AB=AC,點、D、E分別在邊NC、AB1..若CE=BD,則線段4E和線

段的數(shù)量關(guān)系是4E=4D.

AA

B”------------------

圖⑴圖(2)備用圖

【拓展延伸】

在△/BC中，NBAC=a(90°<a<180°),4B=4C=m,點D在邊4c上.

(1)若點￡在邊上，且CE=BD,如圖(2)所示，則線段NE與線段相等嗎？如果相等，請給出證明；

如果不相等，請說明理由.

(2)若點￡在歷1的延長線上，且CE=5D.試探究線段4E與線段力。的數(shù)量關(guān)系(用含有a、加的式子表

示)，并說明理由.

【簡單應(yīng)用】

解：如圖(1)中，結(jié)論：AE=AD.

一

B”------------------

圖⑴

理由：VZA=ZA=90°,AB=AC,BD=CE,

：.RtA^SD^RtA^CE(HL),

：.AD=AE.

故答案為：AE=AD.

圖(2)

理由：如圖（2）中，過點C作CM_L比1交8/的延長線于河，過點8作用V_LC4交C/的延長線于N.

,:/M=NN=90°，ZCAM=ZBAN,CA=BA,

：.￡\CAM沿八BAN(AAS),

：.CM=BN,AM=AN,

,:/M=/N=90°,CE=BD,CM=BN,

：.RtACAffi^RtASA?(HL),

：.EM=DN,

:AM=AN,

：.AE=AD.

②如圖(3)中，結(jié)論：AE-AD=2m'cos(180°-a).

E

圖(3)

理由：在48上取一點歹，使得AD=CE'，則.過點C作C7U4E于T.

\"CE'=BD,CE=BD,

：.CE=CE',

；CTLEE',

：.ET=TE',

'/AT=AC9cos(180°-a)=m?cos(180°-a),

..AE-AD=AE-AE'=24T=2加?cos(180°-a).

2.(2021?撫順中考)如圖，RtZ\45C中，ZACB=90°,。為中點，點E在直線BC上(點￡不與點8,。重

合），連接過點。作。歹，交直線4。于點h連接

(1)如圖1,當(dāng)點尸與點/重合時，請直接寫出線段所與的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2,當(dāng)點廠不與點/重合時，請寫出線段/REF,8E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若NC=5,BC=3,EC=1,請直接寫出線段/尸的長.

備用圖

解：(1)結(jié)論：EF=BE.

:.EF=EB.

(2)結(jié)論:AF2+BE2^EF2.

理由：如圖2中，過點/作47L/C交ED的延長線于J,連接內(nèi).

C.AJ//BE,

：.ZAJD=ZDEB,

在△4?和△BED中,

fZAJD=ZDEB

<ZADJ=ZBDE)

,AD=BD

:.AAJDmABED(AAS),

:.AJ=BE,DJ=DE,

'：DF±EJ,

：.FJ=EF,

VZFAJ=90°,

：.AF2+AJ2=FJ2,

:.AF2+BE2=EF2.

(3)如圖3-1中，當(dāng)點E在線段8C上時，設(shè)/尸=x,則CF=5-x.

V5C=3,CE=1,

：.BE=2,

22222

'：EF=AF+BE=CF+CE,

.".X2+22=(5-x)2+l2,

.?人Y=11,

5

:.AF=1L.

5

如圖3-2中，當(dāng)點E在線段8c的延長線上時，設(shè)/尸=x,則C/=5-x.

圖3-2

?：BC=3,CE=l,

:.BE=4,

?；EF2=AF1+BE2=CF2+CE2,

Z.X2+42=(5-x)2+12,

??x=1,

：.AF=\,

綜上所述，滿足條件的“/的長為旦或1.

5

3.（2021?郴州中考）如圖1,在等腰直角三角形48c中，/BAC=90°,點、E,尸分別為48,NC的中點，H為線

段￡尸上一動點（不與點￡,尸重合），將線段繞點N逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到NG,連接GC,HB.

U）證明：△4HB會AAGC；

（2）如圖2,連接GFHG,HG交AF于點、Q.

①證明：在點〃的運動過程中，總有/加6=90°；

②若AB=AC=4,當(dāng)EH的長度為多少時4/06為等腰三角形？

VZBAC^90°,

NBAH=NCAG,

,：AB=AC,

：./\ABH^/\ACG⑸S）；

（2）①證明：如圖2,在等腰直角三角形/BC中，ZBAC^90°,

A

G

圖2

；?NABC=NACB=45°,

■:點E,一分別為Z分/C的中點,

工石尸是△45。的中位線，

：.EF//BC,AE=1AB,AF=1AC,

22

：.AE=AF,/AEF=NABC=45°,/AFE=/ACB=45

■:/EAH=/FAG,AH=AG,

???△AEmdAFG(SAS)f

:.NAFG=NAEH=45°,

：.ZHFG=45°+45°=90°；

②分兩種情況：

z)如圖3,/Q=QG時，

'：AQ=QG,

：.ZQAG=ZAGQ,

VZHAG=ZHAQ+ZQAG=ZAHG+ZAGH=90°,

AZQAH=/AHQ,

：.AQ=QH=QG,

?：AH=AG,

：.AQ±GHf

VZAFG=ZAFH=45°,

ZFGQ=ZFHQ=45°,

：.NHFG=NAGF=NAHF=90°,

，四邊形///尸G是正方形，

\"AC=4,

：.AF=2,

:.FG=EH=版,

，當(dāng)即的長度為正時，ZX/QG為等腰三角形;

法）如圖4,當(dāng)ZG=0G時，AGAQ=ZAQG,

G

VZAEH=ZAGQ=45°,NEAH=NGAQ,

：.ZAHE=ZAQG=ZEAH,

:.EH=AE=2,

當(dāng)即的長度為2時，A/OG為等腰三角形；

綜上，當(dāng)?shù)拈L度為血或2時，△ZQG為等腰三角形.

4.（2021?大連中考）己知48=AD,AE=EF,NABD=/AEF.

（1）找出與/相等的角并證明；

（2）求證：ZBFD=ZAFB；

（3）AF=kDF,ZEDF+ZMDF=ISO0,求3L

MF

證明：?：/DBF+NABF=/ABD,ZABD=ZAEF,

：.ZDBF+ZABF=ZAEF,

???ZAEF=NBAE+/ABF,

：./BAE+NABF=NDBF+NABF,

：.NBAE=/DBF.

圖1

(2)證明：如圖2,連接4。交8尸于點G,

?：AB=BD,AE=EF,

?ABBD

AEEF

,?ZABD=ZAEF,

；.A4BDs△4EF,

：.ZBDG=ZAFB,

'：ZBGD=ZAGF,

：.△BGDs^AGF,

?BGDG

"AG'FG"

?BGAG

"DG'FG"

NAGB=NFGD,

ZUGBs△尸GO,

ZBAD=ZBFD,

'：ZBAD=ZBDG=NAFB,

：./BFD=ZAFB.

圖2

(3)如圖3,作點。關(guān)于直線AF的對稱點D',連接MT、DD',作E"〃必T交4c于點H,則8尸垂直

平分DD',

：.D'F=DF,D'M=DM,

;MF=MF,

：.△D,MF^ADMF,

：.ZEHF=AMD'F=ZMDF,

■:NEDF+NMDF=18G°,/EHA+/EHF=180°,

：.ZEDF=ZEHA,

:ZEFD=ZAFB=ZEAH,EF=AE,

:.LEFD<AEAH(AAS),

:.DF=AH,

Ag__EF^HF

7=；DF=DF,

MFMFD'F

?AE二HF二AF-AH二AF-DF二AF

=

"MF"DFDF=DF=OF-1'

;AF=kDF,

A

圖3

5.（2021?銅仁中考）如圖，在△N8C中，ZACB=90a,8c=6傷加，AC=12cm.點尸是C4邊上的一動點，

點尸從點C出發(fā)以每秒2c加的速度沿C4方向勻速運動，以CP為邊作等邊△CP。（點8、點。在NC同側(cè)），

設(shè)點P運動的時間為x秒，△NBC與△CP0重疊部分的面積為S.

（1）當(dāng)點。落在△NBC內(nèi)部時，求此時△NBC與△CPQ重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示，不要求寫x

的取值范圍）；

（2）當(dāng)點0落在N8上時，求此時△NBC與△CP。重疊部分的面積S的值；

（3）當(dāng)點0落在△N8C外部時，求此時△/5C與△CP。重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示）.

解：（1）如圖1中，當(dāng)點。落在△N8C內(nèi)部時，S=Y?X（2x）2=丁泉2.

圖1

（2）如圖2中，當(dāng)點0落在N8上時，過點。作。于

B

'：ZQHA=ZACB=90°,

：.QH//BC,

?QH=AH

..而AC，

??x=12-x

??—-----，

67312

...x=4,

ACP=8,CH=PH=4,

.?.5=^AX82=16V3.

4

(3)如圖3中，點0落在△/BC外部時，設(shè)CQ交AB于N,PQ交AB于M,過點N作4c于“，過點M

作⑷L4c于J,作NT//PQ交AC于T.

由(2)可知，CH=HT=4,CT=NT=8,A7f=4?，4T=4,

?S&BCN=-XX4=125/3,

,JNT//PM,

：.△AMPs^ANT,

?虹=町

"ATNH'

?12-2x=MJ

:而=12a-2心,

_=XX2

?'?S=S^ABCS^BCN~5A^P-^-6A/312-12A/3-Ax(12-2x)X(=-2A/3X+24^/3Y-

48?(4<xW6).

6.(2021?湖北中考)已知△N8C和△DEC都為等腰三角形，AB=AC,DE=DC,ZBAC=ZEDC=n°.

⑴當(dāng)n=60時,

①如圖1,當(dāng)點。在/C上時，請直接寫出與ND的數(shù)量關(guān)系：BE=AD

②如圖2,當(dāng)點。不在NC上時，判斷線段與ND的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(2)當(dāng)〃=90時,

①如圖3,探究線段3E與ND的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②當(dāng)BE〃AC,AB=3圾,時，請直接寫出。C的長.

圖1圖2圖3

解：（1）①當(dāng)"=60時，△4BC和△DEC均為等邊三角形,

：.BC=AC,EC=DC,

又，：BE=BC-EC,

AD=AC-DC,

：.BE=AD,

故答案為：BE=AD；

②BE=AD,理由如下：

當(dāng)點。不在NC上時，

VZACB=ZACD+ZDCB=60°,ZDCE=ZBCE+ZDCB=60°,

ZACD=ZBCE,

在△/CD和△BCE中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE>

kDC=EC

AAACD^^BCE(SAS),

；.AD=BE；

（2）@BE=?/2AD,理由如下：

當(dāng)”=90時，在等腰直角三角形。EC中：]￡=sin45。"1,

EC2

在等腰直角三角形/8C中：—=in45°=-

BCs'2

VZACB=ZACE+ZECB=45°,ZDCE=ZACE+ZDCA=45°,

ZECB=ZDCA

在△DQ4和△ECB中，

'DC'AC貝

<EC=BC

LZDCA=ZECB

△DCAS^ECB,

.ADV2

?------=-----,

BE2

②DC=5或JW，理由如下：

當(dāng)點。在△48C外部時，設(shè)EC與交于點尸，如圖所示：

,:AB=3AD=\

由上可知：AC—AB—3\[2'2E=J^AD=M，

%：BE"AC,

ZEBF=ZCAF=90°,

而NEFB=NCFA,

：.△EFBs^CFA,

.EFBFBE=也=1

"CF"AF'AC有7T

:.AF=3BF,而4B=BF+AF=3a，

：'BF=\*37^=邛^，

在中：吁向高乂加）2+（平）2:平,

又,?CF=3EF=3X5衣=至返，

44

：.EC=EF+CF：(或EC=4￡戶=5&),

在等腰直角三角形DEC中，DC=EC?cos45°=5&X返=5.

2

當(dāng)點。在△4BC內(nèi)部時，過點。作D8L/C于〃

,:AC=3近,AD=\,ZDAC=45°

:.AH=DH=返，CH=AC-AH=^f^,

22

CD=VDH24CH2=(^)2+(^-)2=

綜上所述，滿足條件的CD的值為5或丁石.

7.(2020?吉林中考)如圖，△N8C是等邊三角形，AB=4cm,動點P從點/出發(fā)，以2c加/s的速度沿48向點8

勻速運動，過點尸作尸0LAB,交折線/C-C5于點Q,以尸。為邊作等邊三角形PQD,使點/,。在PQ異

側(cè).設(shè)點尸的運動時間為x(s)(0<x<2),△尸。。與△48C重疊部分圖形的面積為y(cm2).

(1)AP的長為2xcm(用含x的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點。落在邊BC上時，求x的值.

(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

解：(1):動點P從點N出發(fā)，以2c加/s的速度沿向點8勻速運動,

.'.AP的長為2xcm；

故答案為：2x；

(2)當(dāng)點。落在8c上時，如圖1,

BP=AB-AP=4-2x,

：.ZQPA=90°,

???△尸0D等邊三角形，△Z5C是等邊三角形,

=ZB=ZDPQ=60°,PQ=PD,

；./BPD=3G°,

：?NPDB=90°,

C.PDLBC,

：.AAPQ^ABDP(AAS)f

：.BD=AP=2x,

■:BP=2BD,

??4—2x4x,

解得x=2；

3

(3)①如圖2,當(dāng)0<xW2時，

:在RtZ\/P0中，AP=2x,ZA=60°,

：.PQ=AP-tan60°=2心，

?.?△P0D等邊三角形，

；?SAP”=,X2?3x=3落

所以y=3j§r2；

②如圖3,當(dāng)點。與點C重合時，

圖3

此時CPLAB,

所以/尸=145,即2x=2,

2

解得x=l,

所以當(dāng)2<xWl時，如圖4,設(shè)PD、0D與8C分別相交于點G、H,

3

圖4

\9AP=2x,

：.BP=4-2x,/。=2/尸=4x,

:.BG=LBP=2-X

2

:.PG=4^pG=M(2-x),

2

.\SAPBG=^LXBG-PG=^(2-X),

22

'：AQ=2AP=4x,

：.CQ=AC-AQ=4-4x,

:?QH=M：Q=M(4-4X),

:?SAQCH="CQ?QH=?(4-4x)2,

~22

■:S“BC=，X4X2?=4近

?'?S四邊形PGHQMSAJBC-S^PBG-S^QCH_S"PQ

=4A/3-—(2-x)2一返(4-4x)2-±X2xX2JSv

222

=-生氏2+i8?r-6A/3)

2

所以尸-2限好+18份-6正；

③如圖5,當(dāng)l<x<2時，點。運動在3c邊上,

設(shè)與BC相交于點G,

圖5

此時PG=8P?sin60°=(4-2x)X(■=?(2-x),

<PB=4-lx,

：.BQ=2BP=2(4-2x)=4(2-x),

:?BG=LBP=2-x,

2

:.QG=BQ-BG=3(2-x),

???重疊部分的面積為:

S△/0G=/XPG.QG=￡X?(2-XA3(2-x)=^3,(2-x)2

所以y=挈.(2-X)2.

綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：

當(dāng)OVxWZ時，y=3y/3^2；

3

當(dāng)2<xWl時，y=-見返P+18心-6?；

32

當(dāng)l<x<2時，y=^!^(2-x)2.

2

8.(2020?牡丹江中考)在等腰△N8C中，AB=BC,點。，￡在射線比1上，BD=DE,過點￡作￡尸〃BC,交射線

C4于點尸.請解答下列問題:

圖①圖②圖③

(1)當(dāng)點￡在線段上，CD是△/C8的角平分線時，如圖①，求證：AE+BC=CF；(提示：延長CD,FE

交于點M.)

(2)當(dāng)點￡在線段A4的延長線上，CD是△NC3的角平分線時，如圖②；當(dāng)點￡在線段8/的延長線上，CD

是△NC2的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段/E,BC,C尸之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

(3)在(1)、(2)的條件下，若DE=2AE=6,則CF=18或6.

解：(1)如圖①，延長CD,FE交于點M.

;AB=BC,EF//BC,

：.ZA=ZBCA=ZEFA,

：.AE=EF,

C.MF//BC,

：.ZMED=ZB,ZM=ZBCD,

又,:NFCM=/BCM,

：.ZM=ZFCM,

:.CF=MF,

又■:BD=DE,

:.叢MED”ACBD(AAS),

：.ME=BC,

：.CF=MF=ME+EF=BC+AE,

即AE+BC=CF-,

圖①

(2)當(dāng)點E在線段A4的延長線上，CD是△4C8的角平分線時，BC=AE+CF,

如圖②，延長CD,EF交于點、M.

由①同理可證四△CAD(AAS),

：.ME=BC,

由①證明過程同理可得出am=CF,AE=EF,

：.BC=ME=EF+MF=AE+CF；

當(dāng)點E在線段BA的延長線上，CD是△NC2的外角平分線時，AE=CF+BC.

如圖③，延長CD交跖于點

由上述證明過程易得△MED必△CBD（AAS）,BC=EM,CF=FM,

又,：AB=BC,

NACB=NCAB=ZFAE,

'：EF//BC,

：.NF=ZFCB,

：.EF=AE,

：.AE=FE=FM+ME=CF+BC；

（3）C尸=18或6,

當(dāng)?！?2/E=6時，圖①中，由（1）得：AE=3,BC=AB=BD+DE+AE=15,

：.CF=AE+BC=3+15=18；

圖②中，由（2）得：AE=AD=3,BC=AB=BD+AD=9,

:.CF=BC-AE=9-3=6；

圖③中，DE小于幺E,故不存在.

答案：18或6.

9.（2020?泰安中考）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形,

N/C2與NEC。恰好為對頂角，/ABC=/CDE=90°,連接AD,48=20,點尸是線段CE上一點.

探究發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)點尸為線段CE的中點時，連接。尸（如圖（2））,小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BDLDF.你認(rèn)為此結(jié)論

是否成立？是.（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BDLDF,則點尸為線段CE的中點.請判斷此結(jié)論是否成立.若成立,

請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

問題解決：

（3）若4B=6,CE=9,求的長.

解：（1）如圖（2）中,

圖（2）

VZ￡￡>C=90°,EF=CF,

：.DF=CF,

：.ZFCD=ZFDC,

：N4BC=90°,

：.ZA+ZACB=90°,

,:BA=BD,

：.ZA=ZADB,

'：/ACB=NFCD=ZFDC,

ZADB+ZFDC=90°,

：?/FDB=90°,

：.BD±DF.

故答案為是.

(2)結(jié)論成立：

理由：?:BDJLDF,EDLAD,

：.ZBDC+ZCDF=90°,ZEDF+ZCDF=90°