第8章實數(shù)（單元測試卷）

一、選擇題（10小題，每小題2分，共20分）

1.在實數(shù)：3.21,汽,也,中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.下列說法錯誤的是（）

A.3是9的一個平方根B.-1的立方根是-1

C.J話的平方根是±2D.1的平方根是1

3.若J102.01=10.1,則J1.0201=()

A.0.101B.1.01C.101D.1010

4,若注取-L817,計算32一4竹-99竹的結(jié)果是)

A.-100B.181.7C.-181.7D.-0.01817

5.已知加=C，則加的估值范圍正確的是()

A.1<m<2；B.2<m<3；C.3<m<4；D.4<m<5

6.已知43"2=4,6是1的立方根,則3a-26的平方根為（）

A.+3B.±4C.±5D.±6

7.如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖，下面說法:

①當輸出值y為3時，輸入值x為3或9；

②當輸入值x為16時，輸出值y為逝；

③對于任意的正無理數(shù)y,都存在正整數(shù)x,使得輸入后能夠輸出y.

④存在這樣的正整數(shù)x,輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值.其中錯

誤的是()

A.①②B.②④C.①④D.①③

8.若忖=4,y2=9,且=則x+y=()

A.1或7B.-1或-7C.T或7D.1或-7

9.十六世紀，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞把大正方形分割成11個小正方形.若圖中所給的三個

小正方形的面積分別為4,9和16,則這個大正方形的邊長為()

10.設(shè)[可表示最接近X的整數(shù)(.〃+0.5,〃為整數(shù))，則=

()

A.132B.146C.164D.176

二、填空題(8小題，每小題2分，共16分)

11.計算：J(-2)2+酶=.

12.27的立方根是,9的平方根是

13.若(2x+5)，J3y-6=。,則.y-2x=.

14.規(guī)定：用{加}表示大于加的最小整數(shù)，例如=2,{4}=5,{-1.5}=-1等；用[m]表示不大于機

的最大整數(shù)，例如[1]=M2]=2,[-3.2]=-4,

(1){2.4}=；[-8]=；

(2)如果整數(shù)x滿足關(guān)系式：3{x}+2[x]=18,貝l]x=.

15.若一個正數(shù)x的平方根是根7-a和#3°-1,則媯的值為

16.數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基

礎(chǔ).如圖所示，面積為5的正方形/BCD的頂點A在數(shù)軸上，且點A表示的數(shù)為1,若點￡在

數(shù)軸上（點￡在點A左側(cè)），kAD=AE,則點E所表示的數(shù)為

17.若a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所不，化簡-）+[++小伍+域=

II11A

ba0c

18.小明用計算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

X2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四個推斷:

①J2.2801=1.51

②一定有3個整數(shù)的算術(shù)平方根在15.5?15.6之間

③對于小于15的兩個正數(shù)，若它們的差等于0.1,則它們的平方的差小于3.01

④16.22比16.『大3.23

所有合理推斷的序號是.

三、解答題（10小題，共64分）

19.求下列各式中x的值：

⑴4/+1=10；（2）（尤-1>=-：.

O

2

20.計算："-一網(wǎng)+（一2），

21.已知a-2的立方根是1,3a+Ul算術(shù)平方根是3,g的整數(shù)部分是c.

(1)求a,b,c的值.

⑵求3"46+2c的平方根.

22.課堂上，老師出了一道題：比較U與目的大小.

33

小明的解法如下：

解.M-22_

，-3§一3--3-'

?.-19>16,.-.V19>4.V19-4>0.

V19-4八V19-22

333

我們把這種比較大小的方法稱為作差法.

請仿照上述方法，比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

⑴1-石和1-6;

⑵u和|；

28

⑶/-3和2.

23

23.閱讀材料：求1+2+22+23+…+2刈9+2皿。的值.

解:設(shè)S=l+2+22+23+…+2*22。2。①,將等式①的兩邊同乘以2,

#25=2+22+23+24+...+22020+22021@,

用②-①得，2S-S=2202'-1,

即S=2?⑼一1.

即1+2+2?+23+...+22019+22020=22021-1.

請仿照此法計算：

(1)請直接填寫1+2+2?+23的值為

⑵求1+5+5?+53+...+5i°值；

2O192O2O2021

⑶求1-10+102_1()3+104—105+..._1O+1O-1O的值.

24.（1）下面是小李探索省的近似值的過程，請補充完整：

我們知道面積是3的正方形的邊長是有，且行>1.設(shè)6=l+x,可畫出如下示意圖.由面積

公式，可得Y+2X+1=3.當/足夠小時，略去X?,得方程解得》=_,即百

1X

x

1

（2）仿照上述方法，若設(shè)6=2-）（0<><1）,求G的近似值.（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫

出6的近似值）

25.根據(jù)下表回答下列問題:

X1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918

X2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324

（1）295.84的算術(shù)平方根是316.84的平方根是_；

（2）J299.3—（保留一位小數(shù)）

（3）J29241=_,73.1329=_;

⑷若石介于17.6與17.7之間，則滿足條件的整數(shù)門有_個;

（5）若GX這個數(shù)的整數(shù)部分為m,求j3"z-5-的值.

26.新定義：若無理數(shù)"的被開方數(shù)（T為正整數(shù)）滿足+（其中n為正整數(shù)），則

稱無理數(shù)"的“青一區(qū)間”為+同理規(guī)定無理數(shù)-6的“青一區(qū)間”為（-"-1，-"）.例

如：因為f<2<22,所以血的“青一區(qū)間”為（L2）,一行的“青一區(qū)間”為（-2,-1）,請回答

下列問題：

（1）比7的“青一區(qū)間”為--后的“青一區(qū)間”為二

⑵若無理數(shù)6（a為正整數(shù)）的“青一區(qū)間”為（2,3）,小的“青一區(qū)間”為（3,4）,求g

的值.

⑶實數(shù)x,y,滿足關(guān)系式：G+2023+（_y—4）2=2023,求歷的“青一區(qū)間”.

答案

一、選擇題

1.B

【分析】本題主要考查無理數(shù)的定義，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.無理數(shù)即為無限

不循環(huán)小數(shù)，即可得到答案.

【詳解】解：無理數(shù)即為無限不循環(huán)小數(shù)，

萬，省是無理數(shù)，

故選B.

2.D

【分析】本題考查平方根與立方根，解題的關(guān)鍵是熟練正確理解平方根與立方根的定義，本題

屬于基礎(chǔ)題型.根據(jù)平方根與立方根的定義即可求出答案.

【詳解】解：A、3是9的平方根，故A不符合題意.

B、T的立方根是-1,故B不符合題意.

C、V16=4,4的平方根是±2,故C不符合題意.

D、1的平方根是±1,故D符合題意.

故選：D.

3.B

【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.將1.0201

變形為*X102.01的形式，再利用算術(shù)平方根的意義解答即可.

【詳解】解：V1.0201102,0102.01=1.01.

故選：B.

4.B

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，先把注的系數(shù)相加減，再把注=-1.817代入計算即可.

【詳解】M：V^/=6=-1.817,

3^6-4^6-99^6

=-100V=6

=-100x(-1.817)

=181.7.

故選B

5.B

【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)無理數(shù)的估

算進行解答即可.

【詳解】解：???"＜&＜囪,

故2〈加＜3,

故選B.

6.B

【分析】本題主要考查了立方根和平方根，由b是1的立方根得出6=1,進而3a-26=3“-2,

結(jié)合已知條件即可得出答案.

【詳解】解：是1的立方根，

：.b=\,

3。-26=3。一2x1=3。一2,

J3a-2=4

/.3a-26的平方根為±4,

故選：B.

7.D

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的定義，算術(shù)平方根，根據(jù)運算規(guī)則即可求解.

【詳解】解：①x的值不唯一.x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；

②輸入值x為16時，屈=4幣=2,即片近，故②說法正確；

③對于任意的正無理數(shù)y,都存在正整數(shù)x,使得輸入x后能夠輸出y,如輸入/，算術(shù)平方

根式是兀，輸出的y值為兀，故③說法錯誤；

④當x=l時，始終輸不出y值.因為1的算術(shù)平方根是1,一定是有理數(shù)，故④原說法正

確.

其中錯誤的是①③.

故選：D.

8.B

【分析】本題主要考查絕對值求值以及平方根，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.求出X、y

的值，根據(jù)=得出滿足條件的X>的值，從而計算出答案.

【詳解】解：?小1=4,J2=9,

x=±4,y=±3

\x-y\=y-x,

x<y

當x=4時，不符合題意，

當x=_4,y=-3時，x+j=-4-3=-7；

當x=-4,y=3時，x+y=_4+3=_［；

故選B.

9.C

【分析】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用.利用算術(shù)平方根的定義分別求得最中間的小正方形的邊

長，面積為9的正方形的左下角小正方形的邊長，繼而求得其左邊兩個小正方形的邊長之和,

大正方形中左下角和右下角兩個正方形的邊長，繼而求得答案.結(jié)合已知條件求得最中間的小

正方形的邊長，面積為9的正方形的左下角小正方形的邊長是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:.圖中所給的三個小正方形的面積分別為4,9和16,

???可得三個正方形的邊長分別為2,3,4,

，最中間的小正方形的邊長為3-2=1,

,面積為9的正方形左下角小正方形的邊長為3+2-4=1,

，面積為9的正方形的左邊兩個小正方形的邊長之和為3+1=4,

???大正方形中左下角的正方形的邊長為4-1=3,

...大正方形中右下角的正方形的邊長為2+4=6,

二大正方形的邊長為3+4+6=13,

故選：C.

10.D

【分析】先計算出16,2.5。3.52,份，5.52,即可得出［&］,［亞］，［間L］J磯中有2

個1,4個2,6個3,8個4,10個5,H個6,從而可得出答案.

【詳解】解：1.52=2.25,即=［q=1,則有2個1；

2.52=6.25,即［向，］何，］后I，［伺都是2,則有4個2；

3.5?=12.25,同理，可得出有6個3;

4.52=20.25,同理,可得出有8個4;

5.52=30.25,同理，可得出有10個5;

則剩余11個數(shù)全為6.

故［&］+"+［6］+…+［珂

=1x2+2x4+3x6+4x8+5x10+6x11=176.

故選:D.

二、填空題

11.4

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的意義化簡，再算加減即

可.

【詳解】解：QF+W=2+2=4.

故答案為:4.

12.3+3

【分析】本題考查了立方根與平方根的求解，正確計算是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：27的立方根是3,9的平方根是±3,

故答案為:3,±3.

13.7

【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，以及求代數(shù)式的值，先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出x和y的值,

然后代入所給代數(shù)式計算即可.

【詳解】解：..?(2x+5『+j3y-6=0,

2x+5=0,3y-6=0,

?5y=2。,

故答案為：7.

14.3-83

【分析】本題考查了實數(shù)的新運算問題，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)定義的內(nèi)涵計算即可.

(2)根據(jù)定義，將等式3{x}+2[x]=18,轉(zhuǎn)化為方程3(x+l)+2x=18,求解即可.

【詳解】(1){2.4}=3；[-8]=-8；

故答案為:3,-8.

(2)根據(jù)定義，3{x}+2[x]=18,轉(zhuǎn)化為方程3(x+l)+2x=18,

解得x=3,

故答案為：3.

15.-2

【分析】此題主要考查了平方根的定義和立方根的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵；

根據(jù)平方根的定義得出17-a+3a-l=0,進而求出a的值，即可得標的值.

【詳解】?：譏7-。和第3.-1是x的平方根,

故班7-。和義3°-1互為反數(shù),

.?.17-a與3a-l互為相反數(shù)，

即17-。+3a—1=0,

解得。=-8,

y/a的值為—2,

故答案為：-2.

16.1-A/5

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，理解數(shù)軸上表示的點的方法是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)正方形的面積為5得到40=石，再結(jié)合=點表示的數(shù)為1,點E在點A的左側(cè),

然后確定點E表示的數(shù)即可.

【詳解】解：?.?正方形的面積為5,

AD=45,

'：AD=AE,

：.AD=AE=45,

,點A表示的數(shù)為1,若點E在數(shù)軸上(點￡在點A左側(cè)),

.?.點E所表示的數(shù)為：1-右.

故答案為：1-6.

17.一a

【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸判斷式子的正負，算術(shù)平方根的非負性，化簡絕對值.熟練掌

握根據(jù)數(shù)軸判斷式子的正負，算術(shù)平方根的非負性，化簡絕對值是解題的關(guān)鍵.

由數(shù)軸可知，b<a<O<c,則a+b<0,c-a>0,b+c<0,根據(jù)

-|a+Z?|+^(c-a)2+J(6+c)?=-a+(a+6)+c-a-(b+c),計算求解即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<a<O<c,

a+b<0,c-a>0,b+c<0,

??J/2-|a+Z?|+J(c-Q)+J(6+c)-—u+(Q+Z?)+C-a-(6+c)-—ci+Q+Z?+C-a-b-c-—ci,

故答案為：-a,

18.①②③④

【分析】此題考查了乘方運算，算術(shù)平方根，平方差公式；根據(jù)表格中的信息可知f和其對應(yīng)

的算術(shù)平方根的值，然后依次判斷各題即可.

【詳解】解：根據(jù)表格中的信息知：7228.01=15.1,

V2.2801=1.51,故①正確；

根據(jù)表格中的信息知:15.522=240.25<n<15.622=243.36,

/.正整數(shù)〃=241或242或243,

一定有3個整數(shù)的算術(shù)平方根在15.5?15.6之間，故②正確；

由題意設(shè)。=6+0」,且0<方<。<15,

a2-b2=(a+Z>)(a-Z))=(2Z>+0.1)x0.1=0.2Z>+0.01,

由0<6<a<15,/.Q.2b<3,

.?.0.26+0.01<3.01,

??.對于小于15的兩個正數(shù)，若它們的差等于0.1,則它們的平方的差小于3.01,故③正確；

V16.22=262.44,16.12=259.21,262.44-259.21=3.23,故④正確;

??.合理推斷的序號是①②③④.

故答案為：①②③④.

三、解答題

Q

19.(1)解：原方程整理得：

則x=±5；

(2)由原方程可得x-l=-g,

解得：x=g.

=2-4-2-2

=-6

21.(1)解：?.?”2的立方根是1,

ct—2=1,

。=3；

?.?3a+b-l的算術(shù)平方根是3,

:.3a+b-l=9,

.?.3x3+6—1=9,

.,.b=1；

4<7<9,

?.2<A/7"<3,

??,C是療的整數(shù)部分，

c=2；

(2)解：,「。=3,b=l,c=2,

/.3tz-4Z>+2c=3x3-4xl+2x2=9,

士M=±3,

3a-46+2c的平方根是±3.

22.解：(1)(1—V5)—(1—V3)=1—V5—1+>/3=y/3—Vs<0,1—Vs<1—V3.

(2)4-A/5313—4\/5

~^28-8?

???4<5<9,.-.2<V5<3,8<475<12,.-.13-475>0,石>0,...>1.

828

/八V5-3V5-2375-92遙-475-5

107----------------------=--------------------------=----------.

23666

?.?V5<5,.,.V5-5<0,:.——-<0,

6

V5-3V5-2

---------<----------.

23

23.(1)解：1+2+22+23=1+2+4+8=15;

故答案為:15；

(2)解：設(shè)7=1+5+52+5、……+5]。①，把等式①兩邊同時乘以5,得

57=5+52+53+……+5[°+5n②，

由②-①，得：47=5”一1,

?j二亭，

4

A”一1

/.1+5+52+53+……+510--——；

4

(3)解：設(shè)Af=l-lO+lO2_103+l()4_]05+……_]02019+102。20_102021①,

把等式①乘以10,得：

10A1=10-102+103-104+105-106+……+1O2019-10202°+102021-102022(2),

把①+②，得：11M=1-1()2。22,

1一1()2022

1-10+102-103+104-105+...-io2O19+io2O2O-io2021=-----------

11

24.解：(1)當X?足夠小時，略去得方程2x+l=3,

解得：x=l,即Qal；

故答案為:2x+l=3,1,1；

(2)如圖：V3=2-y(O<y<1)

2

y

2-》

/.(2

由圖可知：22-2y-2y+y2=3,

當必足夠小時，略去得方程4-2了-2y=3,

.\y=1=0.25,

二百=