第02講立方根

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握立方根的概念，能夠熟練求一個數(shù)的立方根以

①立方根的概念

及利用立方根對一個數(shù)開立方運(yùn)算。

②立方根的性質(zhì)

2.掌握立方根的性質(zhì)，能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。

思維導(dǎo)圖

知識點01同類項

i.立方根的概念：

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根。這就是說，如果,

那么x叫做。的立方根.記作.孤_。其中，叫做三次根號。根指數(shù)3不能省略。

2.求立方根:

求一個數(shù)的立方根叫做開立方，與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算。

【即學(xué)即練11

1.求下面數(shù)的立方根.

(1)-8；(2)空；(3)±125；(4)81X9.

64

【分析】直接利用立方根的意義計算得出答案即可.

【解答】解：⑴因為(-2)3=-8,所以-8的立方根是-2,即牛/=-2；

（2）因為（3）3=21,所以空的立方根是3,即:叵=3；

464644V644

（3）因為（±5）3=±125,所以土125的立方根是±5,即知士125=±5；

（4）81X9=729,因為93=729,所以729的立方根是9,即病又§=9.

【即學(xué)即練2】

2.解下列方程：

U）X3=512⑵64x3-125=0（3）（x-1）3=-216.

【分析】（1）根據(jù)開立方，可得答案；

（2）根據(jù)移項、等式的性質(zhì)，可得乘方形式，根據(jù)開方運(yùn)算，可得答案；

（3）根據(jù)開方運(yùn)算，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案.

【解答】解；（1）開方，得x=8；

（2）移項、系數(shù)化為1得，x3旁^

64

x=—；

4

（3）開方，得

x-1=-6,

移項，得

%=-5.

知識點02立方根的性質(zhì)

1.立方根的基本性質(zhì)：

由立方運(yùn)算可知，任何數(shù)都有立方根，且都只有1個立方根。正數(shù)的立方根是正數(shù)；o的立

方根是0;負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。立方根等于它本身的數(shù)是0,±1。

2.其他性質(zhì)：

①一個數(shù)的立方根的立方等于它本身。即牖1=a

②一個數(shù)的立方的立方根等于它本身。即

③一個數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個數(shù)的相反數(shù)的立方根。即-媯=蛆工

【即學(xué)即練1】

3.計算（相）3=^-

【分析】根據(jù)（%）3=&,即可.

【解答】解：I.（我尸書

，（證尸=5?

故答案為：5.

【即學(xué)即練2】

4.計算：⑷（.1）3=-1.

【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解題即可.

【解答】解：3=V-l=-L

故答案為：-1.

題型精講

題型01求一個數(shù)的立方根

【典例118的立方根為（）

A.-2B.2C.±2D.64

【分析】首先根據(jù)立方根的定義求出8的立方，然后就可以解決問題.

【解答】解：?；2的立方是8,

二8的立方根為2.

故選：B.

【變式1】-8的立方根是（）

A.2B.-2C.不存在D.-工

2

【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解答.

【解答】解：V（-2）3=-8,

/.-8的立方根是-2.

故選:B.

【變式2】求下列各數(shù)的立方根：

（1）0.125；⑵-空；（3）729.

64

【分析】根據(jù)立方根的定義逐個進(jìn)行計算即可.

【解答】解；（1）0.125的立方根是0.5,即%.125=05

（2）-2L的立方根是-3,即;，37=-3；

644V644

（3）729的立方根是9,即牛位=9.

題型02利用立方根解方程

【典例1】求下列各式中X的值.

(1)-x3=0.027；(2)8(X-1)3=-64.

【分析】(1)先兩邊同時除以-1，系數(shù)化為1，再開立方法進(jìn)行解答；

(2)先兩邊同時除以8,系數(shù)化為1,再開立方法進(jìn)行解答.

【解答】解：(1)-x3=0.027,

x3=-0,027,

x=-0.3；

(2)8(x-1)3=-64,

(X-1)3=-8,

x--2,

x=-1.

【變式1】求下列各式中的X值.

①2x3=-工②(x+1)③3(x7)3-81=0.

4

【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可.

【解答】解：①系數(shù)化為1得，-=-I,

解得：x=-1；

2

②開立方得，無+1=2,

解得：x=l；

③移項得，3(X-1)』81,

系數(shù)化為1得,G-1尸=27,

解得：x=4.

【變式2】求下列各式中的x.

(1)125，=8(2)(-2+%)3=-216

(3)E=-2(4)27(x+1)3+64=0.

【分析】題中的四小題都可用直接開立方法進(jìn)行解答.

3

【解答】解：(1)?.“3=苧=/)，

2

(2),?(-2+x)3=-216=(-6)3,

-2+x--6,

x=-4.

⑶：憶=-2,

.*.x-2=-8,

x=-6.

(4)*.*(x+1)3=64

27

；.x+l=-—,

3

7

x—

3

題型03立方根的性質(zhì)

【典例1】立方根和算術(shù)平方根都等于它本身的數(shù)是（）

A.0B.1,0C.0,1,-1D.0,-1

【分析】首先設(shè)出這個數(shù)為X,根據(jù)立方根是它本身列式為，=X,由算術(shù)平方根是它本身列式為?=

X,聯(lián)立兩式解得X.

【解答】解：設(shè)這個數(shù)為X,

根據(jù)題意可知，，

解得x=l或0,

故選：B.

【變式1】已知，A/X-1=X-11則x2-X的值為（）

A.0或1B.0或2C.0或6D.0、2或6

【分析】根據(jù)立方根等于本身的數(shù)有0,±1,求出x的值，再代入要求的式子進(jìn)行計算即可得出答案.

【解答】解：???立方根等于本身的數(shù)有0,±1,

'.x-1=0或x-1=±1,

解得X=1或0或2,

...尤2-x的值為0或2.

故選：B.

【典例2】（-4）3的立方根是（）

A.4B.-4C.2D.-2

【分析】根據(jù)題意可得（-4）3=-64,再根據(jù)立方根的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：：（-4）3=-64,

（-4）3的立方心艮是石瓦=一4.

故選：B.

【變式1】若。＜0,則化簡口用管丁尸的結(jié)果為（）

A.2B.-2C.2-2。D.2。-2

【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)算術(shù)平方根及立方根的定義化簡即可.

【解答】解：???〃＜（）,

；?原式=~a-（a-2）

--a-a+2

~~2,~2a,

故選：C.

【變式2】若引（5-k）3=k-5,則k的值為5.

【分析】根據(jù)立方根的定義即可求得答案.

【解答】解：即（5-k）3=5-k=k-5,

:?k=5,

故答案為：5.

【典例3】如果總+%=o,那么x與了的關(guān)系是（）

A?x~~y~~0B.x~~yC.~~0D.xy=1

【分析】如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說，如果—=a,那

么x叫做。的立方根.記作：弧，由此即可得到答案.

【解答】解：?我+%=0，

?*,Vx=-Vy=V"y'

??.x=-y,

.?.x+y=O.

故選：C.

題型04算術(shù)平方根、平方根以及立方根綜合應(yīng)用

【典例11一個正數(shù)b的平方根為a+1和2a-1,則9a+b的立方根是（）

A.2B.3C.9D.±3

【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有平方根，0的平方根是0

即可求解.

【解答】解：二?正數(shù)6的平方根為a+1和2a-7,

???。+1+2。-7=0,

??a=2,

/.a+l=2+l=3,

...6=32=9,

，9a+6=9X2+9=27,

：.9a+b的立方根是3,

故選：B.

【變式1】若2a+l的平方根是±3,3b-1的立方根是2,則a+b的值是7.

【分析】根據(jù)平方根及立方根的定義分別求得。，6的值，然后將其代入。+6中計算即可.

【解答】解：:2.+1的平方根是±3,3b-1的立方根是2,

/.2(7+1=9,3b-1=8,

解得：a=4,b=3,

貝U〃+b=4+3=7,

故答案為：7.

【變式2］已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,求a+6+l的立方根2.

【分析】根據(jù)平方根及算術(shù)平方根的定義求得。，6的值后代入。+6+1中計算，然后利用立方根的定義即

可求得答案.

【解答】?：V2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,

-1=9,3a+b-1=16,

??。=5,6=2,

?*.a+b+1=5+2+1=8,

那么a+b+i的立方根為2,

故答案為：2.

【變式3】已知。+1的平方根是±2,2a+b-2的立方根是2,則層+廬的算術(shù)平方根是5.

【分析】根據(jù)平方根及立方根的定義求得。，6的值，然后將其代入層+乂中計算，再利用算術(shù)平方根的

定義即可求得答案.

【解答】解：的平方根是±2,2a+6-2的立方根是2,

??Q+1--4,2Q+b-2~~8,

?=b=4,

則a2+b2=32+42=9+16=25,

那么原式的算術(shù)平方根是5,

故答案為：5.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.-」一的立方根為（）

27

A.-工B.AC.-工

339

【分析】直接根據(jù)立方根的定義解答即可.

【解答】解：?；（-工）3=-L,

327

/.-工的立方根為-1.

273

故選：A.

2.下列各式中，正確的是（）

A.±V9=±3B.-（&）2=4C.方=-3D-V(-2)2=-2

【分析】依據(jù)平方根、平方根立方根、算術(shù)平方根的定義和性質(zhì)求解即可.

【解答】解：4、土J*^=±3,故/正確；

B、-（V2）2=-2,故8錯誤；

C、匕力-3,故C錯誤；

D、個（-2）2=遍=2,故D錯誤，

故選：A.

3.下列結(jié)論正確的是（）

A.64的立方根是±4

B.1的平方根是1

C.算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有0

D-'V27

【分析】直接根據(jù)立方根，平方根，算術(shù)平方根的概念解答即可.

【解答】解：464的立方根是4,不正確，不符合題意；

BA的平方根為土1,不正確，不符合題意；

C.算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有1和0,不正確，不符合題意；

D.527=-3,-加7=-3,故,-27=-加7,正確，符合題意,

故選：D.

4.甲、乙、丙三人對平方根和立方根進(jìn)行了研究，以下是他們?nèi)说慕Y(jié)論：甲：當(dāng)時，值=&；乙:

a<0時，-7?=-@；丙：當(dāng)。>0時，0-編，則下列說法正確的是（)

A.只有甲、乙正確B.只有甲、丙正確

C.甲、乙、丙都正確D.甲、乙、丙都不正確

【分析】利用平方根，算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)對甲，乙，丙進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：：當(dāng)。＞0時，J”=a，

.?.甲的說法正確；

?；a＜0時，-^^=-（-。）—a,

乙的說法不正確；

;當(dāng)。＞0時，*=一五，

...丙的說法正確.

故選：B.

5.己知相=@,則lo.007+、7000的值是（）

A.0.1。B.aC.1.1aD.10.la

【分析】根據(jù)被開方數(shù)的變化與立方根的值的變化之間的變化規(guī)律即可得到答案.

【解答】解：???衿=a，

；?如007+^7000=1/7-7—+.1000X7=?^-+A/1000X^7=^-+10a=10.la.

VioooV100010

故選：D.

6.若a,6為實數(shù)，且心亙+（9?）2=0,則我兀的值為（）

A.-2B.2C.±2D.3

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)和偶次方為非負(fù)數(shù)，得到相應(yīng)的關(guān)系式求出。、6的值，然后代入求解,

最后求數(shù)的立方根即可

【解答】解：：471+（94）2=o,

；?a+l=0,9-6=0,

解得：a=-1,b=9,

Va+b=印-1+9=Vs=2J

故選：B.

7.一個正方體木塊的體積是27c冽3,現(xiàn)將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊，每個小正方體木塊的棱長

是（）

A3R9「9r）3

T2TCITo.:4cirJT2TCIT丁4cir

【分析】由題意可知每個小正方體木塊的體積為紅。"落再根據(jù)立方根的定義即可求出個小正方體木塊

8

的棱長.

【解答】解：一個正方體木塊的體積是27cM3,將它鋸成8塊同樣大小的小正方體木塊,

則每個小正方體木塊的體積為2,"落

8

所以每個小正方體木塊的棱長是耨

=^-cm

2

故選：A.

8.若x>l,則/、x,五這四個數(shù)中（）

A.當(dāng)^最大，了2最小B.x最大，當(dāng)7最小

C./最大，啦最小D.X最大，最小

【分析】利用實數(shù)的大小比較來計算即可.

【解答】解：

/.X2>X>Vx>,

故選：C.

9.若N=（-3）2,jP=_8,那么代數(shù)式x+y的值是（）

A.1B.-1C.1或-1D.1或-5

【分析】先由平方根與立方根定義求出X、歹值，再代入計算即可.

【解答】解：?.％2=（_3）2=%

；?x=±3,

V/=-8,

?*y=~2,

當(dāng)x=3,y=-2時，x+y=3-2=1；

當(dāng)x=-3,y=-2時，x+y=-3-2=-5；

??.x+y的值是1或-5,

故選：D.

10.實數(shù)知疝介于冽和加+1之間（機(jī)為整數(shù)），則機(jī)的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)立方根的定義估算出強(qiáng)在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間即可.

【解答】解：???64V99<125,

V64<V99<V125;

即4（牛而<5,

則m—4,

故選：D.

11.-64的立方根是-4.

【分析】直接利用立方根的意義，一個數(shù)的立方等于。，則。的立方根是這個數(shù)進(jìn)行求解.

【解答】解：根據(jù)立方根的意義，一個數(shù)的立方等于。，則。的立方根是這個數(shù)，

可知-64的立方根為-4.

故答案為：-4.

12.如果一個正數(shù)的兩個平方根是a+1和2a-22,這個正數(shù)的立方根是4.

【分析】根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，然后計算即可.

【解答】解：二.一個正數(shù)的兩個平方根是。+1和2a-22,

**.a+\=-(2a-22),

解得a=7,

這個正數(shù)是64,

這個正數(shù)的立方根是4,

故答案為：4.

13.已知5x-1的平方根是±3,>-3的立方根是-2,則x+尸-3..

【分析】先根據(jù)平方根與立方根的定義求出x與y的值，再代入計算即可.

【解答】?：-：5x-1的平方根是±3,y-3的立方根是-2,

5x-1=(+3)2=9,y-3=(-2)3=-8,

??x=2,y~~~5,

?\x+y=-3.

故答案為：-3.

14.已知1-6b|+(c+b)2+V^l=0,貝U-。的立方根是

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出。、6、。的值，代入所求代數(shù)式計算即可.

【解答】解：|a-6b|+(c+b)2Qi=0，

a-6b=0

.9.a-6b=0,c+b=O,c+l=O,即<c+b=O，

c+l=O

"a=6

解得：,b=l，

c=-l

a+b~c=6+l-(-1)=8,

A8的立方根是2,

故答案為：2.

15.若.2x+l-2x-l=0,則％的值為0或-1或總.

【分析】根據(jù)立方根的定義得出2x+l=l或2x+l=0或2x+l=-1即可.

【解答】解：由于當(dāng)2x+l-2x-l=0,即知2x+l=2土+1,

所以2x+l=1或2x+l=0或2x+l=-1,

解得％=0或x=-工或x=-1,

2

故答案為：0或-1或」.

2

16.計算:

①加*底

②-幻-0.125

【分析】①先開立方，然后進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算即可;

②先開立方，然后進(jìn)行有理數(shù)的減法運(yùn)算即可；

③先開立方，然后進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算即可；

【解答】解：①原式=2X(-1)

2

②原式=7-(-0.5)

=7.5；

③原式=-

=-1.

17.求下列各式中未知數(shù)x的值.

【分析】(1)直接開立方求解；

(2)兩邊同時除2,然后開立方求出上x+1的值，然后求解x的值.

3

【解答】解：(1)開立方得：x=-L；

6

(2)兩邊同時除2得，(!x+1)3=125,

3

開立方得：LX+1=5,

移項得：lx=4,

3

系數(shù)化為1得：x=12.

18.已知2a+\的一個平方根是3,1-6的立方根為-1.

(1)求a與6的值；

(2)求a+26的立方根.

【分析】根據(jù)題意求出。、6的值即可得到答案.

【解答】解：（1）：20+1的一個平方根是3,

2cz+l=9,

解得＜2=4;

'：\-b的立方根為-1,

解得6=2；

（2）"."a=4,b=2,

."26=4+2X2=8,

：.a+2b的立方根是2.