專題02平行線中的拐點模型之鉛筆頭模型

平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟

悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（鉛筆頭模型）進行梳

理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，

這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

模型2：鉛筆頭模型

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+Z3=360"；②已知：Zl+Z2+Z3=360°,結(jié)論：AM//BN.

如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+...+Zn=(〃-1)180°.

【模型證明】在圖1中，過尸作AM的平行線P。,

?：AM〃BN,J.PQ//BN,：.Zl+ZAPQ=180°,N3+NBPQ=180°,Zl+Z2+Z3=360°；

在圖2中，過Pi作AM的平行線PC,過點P2作AM的平行線P2。，

'JAM//BN,：.AM//PxC//PTD//BN,

.?./l+/APC=180°,NP2Ple+/尸1尸2。=180°,ZBP2Z)+Z4=180°,AZl+Z2+Z3+Z4=540°；

在圖3中，過各角的頂點依次作A8的平行線，

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及上述規(guī)律可得：/1+/2+/3+…+/w=(?-1)180°.

例1.（2023?江蘇南通?校考二模）如圖，已知AB//CD,N4=140。，ZE=120°,則/C的度數(shù)是（）

A.80°B.120°C.100°D.140°

【答案】C

【分析】過E作直線MW/AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求出回L進而可求出團2,然后根據(jù)平行

于同一條直線的兩直線平行可得MN〃C。，根據(jù)平行線性質(zhì)從而求出團C.

【詳解】解：過E作直線如下圖所示，

^MN//AB,aaA+Ell=：180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

031=180°-EL4=180°-140°=40°,

0ZAEC=Z1+Z2=120°,0Z2=ZAEC-Z1=120°-40°=80°

?MN"AB,AB//CD,0MN〃CD,

回放％回2=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

0EC=18O°-02=180°-80°=100°,故選：C.

【點睛】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法是解決此題的關(guān)鍵.

例2.（2023?山西呂梁?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平

行?若Nl=32。，Z2=62°,則/3的度數(shù)為（）

A.118°B.148°C.150°D.162°

【答案】C

【分析】過點8作助〃工作籃底部，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可.

【詳解】解：如圖，過點8作54〃工作籃底部，.?.N3+NM&l=180。,

,?,工作籃底部與支撐平臺平行，B4〃工作籃底部,胡〃支撐平臺，,//18囚=4=32。，

Z2=ZABN+ZMBA,Z2=62°,:.ZMBA=30°,.-.Z3=150o,故選：C.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記"兩直線平行，內(nèi)錯角相等"、"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補"是解題

的關(guān)鍵.

例3.（2023下?江蘇?七年級專題練習）如圖，AB//ED,a=0A+M,萬=回2+回。+團￡）,則4與a的數(shù)量關(guān)系

是（）

A.2￡=3aB.￡=2aC.2/?=5aD.￡=3a

【答案】B

【分析】作C/7/E。，利用平行線的性質(zhì)求得S與a,再判斷￡與a的數(shù)量關(guān)系即可.

【詳解】解：如圖，作C77/瓦），TABUED,回固4+回￡=180°=a,

QED“CF,[33D+0Z）CF=18OO,

TABUED,ED//CF,EL4B//CF,00B+EBCF=18O°,

^\D+SDCF+^B+^BCF=180,,+180',即0B+EC+0D=360°=P,0y?=2a.故選8.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟悉運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023下?廣西南寧?七年級校考期末）如圖，如果〃斯，那么NABC+NBCD+NCDE+NDEF=

A.270°B.360°C.540°D.560°

【答案】C

【分析】利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合所作的輔助線，可以得出答案.

【詳解】解：過點C作。過點。作

回AB〃砂,S\AB//CM//DN//EF,

0ZABC+Z1=18O°,Z2+Z3=180°,Z4+ZDEF=180°,

0ZABC+ZBCD+ZCDE+Z.DEF=540°故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及判定的相關(guān)知識點，掌握知識點是解答此題的關(guān)鍵.

例5.（2023下?湖北武漢?七年級期末）如圖，AB//EF,ZABP^-ZABC,ZEFP=-ZEFC,已知

44

NFCD=60°,則NP的度數(shù)為.

【答案】60。/60度

【分析】根據(jù)平角定義可求出入FCB的度數(shù)，如圖所示，過點C作CM〃鈿，可求出

ZABC+NFCB+Z.EFC=360°，由此可求ZABC+NEFC=240°,根據(jù)ZABP=-NABC,NEFP=-NEFC,

44

可求出NABP+NEFP的度數(shù)，如圖所示，過點尸作尸NAB,可得ZBPF=ZABP+ZEFP,由此即可求解.

【詳解】解：0ZFCD+ZFCB=180°,ZFCD=60°,0ZFCB=120°,

如圖所示，過點C作CM〃45,SAB//EF,SAB//CM//EF,

0ZABC+ZBCM=180°,ZMCF+ZEFC=1SQ°,ZBCM+ZMCF=ZFCB,

0ZABC+NFCB+Z.EFC=360°,

0ZFCB=120°,ElZABC+ZEFC=360-ZFCB=360°-120°=240°,

0ZABP=-ZABC,ZEFP=-NEFC,

44

0ZABP+ZEFP=-（ZABC+ZEFC）=-x240°=60°,如圖所示，過點P作/WAB,

44

BAB//EF,^\AB//PN//EF,0ZABP=NBPN,ZEFP=ZFPN,

0ZABP+ZEFP=ZBPN+ZFPN=ZBPF=60°,故答案為：60°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握以上知識的靈活運用是解題的關(guān)鍵.

例6.（2023下?江蘇南通?七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB。，點E,尸分別是直線A氏8上的兩點,

點尸在直線和8之間，連接和ZPED的平分線交于點。，下列等式正確的是（）

A.ZP+2Zg=360°B,2ZP+Ze=360°c,NQ=2NPD,ZP+ZQ=180°

【答案】A

【分析】過點尸作尸M〃的，過點Q作QN〃A8,可得PM〃48〃CD〃QN,從而得到

NEPM=NAEP,NFPM=ZCFP,Zl=ZEQN,Z2=ZFQN,NPEB+ZEPM=180°,NPFD+ZFPM=180°,

進而得到NEQF=Zl+N2,再由角平分線的定義可得NP￡B+/PFD=2（/l+N2）=2/EQb,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點P作尸“〃AB,過點。作。N〃AB,

CFD

SABCD,^\PM//AB//CD//QN,

回ZEPM=ZAEP,ZFPM=NCFP,Z1=ZEQN,Z2=ZFQN,

NPEB+NEPM=180°,ZPFD+/FPM=180°,團ZEQF=Z1+Z2,

和NPED的平分線交于點Q,國NPEB=2N1,NPFD=2N2,

0ZPEB+NPFD=2(Z1+Z2)=2(NEQN+ZFQN)=2ZEQF,

0ZPEB+ZEPM=180°,ZPFD+NFPM=180°,

0ZEPF+2ZEQF=ZAEP+ZCFP+ZPEB+ZPFD=360°.故選：A.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

例7.(2023下?江蘇南京?七年級統(tǒng)考期中)從特殊到一般是數(shù)學研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

探索問題的解.

⑴如圖1,AB//CD,點E為AB、CO之間的一點.求證：Zl+ZMEN+Z2=360°.

(2)如圖2,AB〃CD,點、E、F、G、H為AB、。之間的四點.貝。Nl+N2+N3+/4+N5+N6=

⑶如圖3,AB//CD,貝U/1+/2+N3+-+Zn=

【答案】⑴證明見詳解；(2)900°；(3)180°,—1)；

【分析】(])過點E作?？傻肙E〃AB〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/1+4因9=180。，

ZO￡7V+Z2=180°,再計算角度和即可證明；(2)分別過點￡、F、G、〃作A3的平行線，在兩相鄰平行

線間利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補求得兩角度和后，再將所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知

在A3、8之間每有一條線段便可求得一個180。角度和，結(jié)合圖3找出w和線段條數(shù)的關(guān)系便可解答；

【詳解】（1）證明：如下圖，過點E作

^AB//CD,OE〃AB,^OECD,

根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得：Z1+ZMEO=180°,ZOEN+Z2=180°,

0Z1+ZMEO+NOEN+N2=360°,0Z1+AMEN+N2=360°；

(2)解：如下圖，分別過點E、F、G、H作。出〃AB,O2F//AB,O3G//AB,O.H//AB,

結(jié)合（1）解答在兩相鄰平行線間可得：ZAME+ZMEO,=180°,

Z^EF+ZfiFO,=180°,ZO2FG+ZFGO3=180°,ZO3GH+ZGHO4=180°,

NO,HN+NHNC=180°,將所有角度相加可得：Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x5=900°；

（3）解：由（2）解答可知在A3、8之間每有一條線段便可求得一個180。角度和，

由圖3可知：當AB、CO之間有2條線段時，〃=3,當A3、。之間有3條線段時，”=4,

當A3、8之間有4條線段時，n=5,當AB、8之間有5條線段時，n=6,

當A3、8之間有（〃一1）條線段時，”=〃，0Z1+Z2+Z3++Z?=180°（?-l）:

【點睛】本題考查了平行線公理的推論，平行線的性質(zhì)，歸納總結(jié)的解題思路，通過作輔助線將角度按組

計算是解題關(guān)鍵.

例8.（2023下?江蘇蘇州?七年級?？计谥校┊敼饩€經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角

對應(yīng)相等例如：在圖①、圖中②，都有N1=N2,，3=/4,設(shè)鏡子與BC的夾角NABC=a.

F

⑴如圖①，若a=90。，判斷入射光線所與反射光線G"的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖②，若90。<（1<180。，入射光線昉與反射光線GH的夾角=探索a與p的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.（3）如圖③，若a=120。，設(shè)鏡子CD與3C的夾角NBCD=Y（90O<Y<180。），入射光線所與鏡

面A3的夾角/1=皿?！?lt;〃7<90。），已知入射光線從鏡面A3開始反射，經(jīng)過為正整數(shù)，且〃<3）次

反射，當?shù)?次反射光線與入射光線所平行時，請直接寫出丫的度數(shù)（可用含有加的代數(shù)式表示）.

【答案】WEF〃GH,見解析⑵￡=2々-180。，見解析⑶90。+根或150。

【分析】⑴在-BEG中，/2+/3+a=180。，a=90。，可得/2+N3=90。，根據(jù)入射光線、反射光線與

鏡面所夾的角對應(yīng)相等可得，ZFEG+ZEGH=180°,進而可得EF//G"；

（2）在3EG中，/2+一3+a=180。，可得-2+—3=180。-（1,根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角

對應(yīng)相等可得，NMEG=2/2,NMGE=2N3,在二MEG中，+=180°,可得a與p的

數(shù)量關(guān)系；（3）分兩種情況畫圖討論：①當〃=3時，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等，

及△GCH內(nèi)角和，可得丫=90。+機.②當場=2時，如果在BC邊反射后與所平行，貝Ua=90°,與題意不符；

則只能在。邊反射后與跖平行，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出，可得/G=Y-60。，由EF〃HK,且由（1）

的結(jié)論可得，7=150°.

【詳解】（1）EF//GH,理由如下：在3EG中，N2+/3+a=180。，a=90。，.-.Z2+Z3=90o,

Z1=Z2,N3=/4,.'.Zl+Z2+Z3+Z4=180o,

Zl+/2+"EG=180。，^3+^4+ZEGH=180°,:.NFEG+NEGH=180。,:.EF//GH-

（2）p=2a-180°,理由如下：在，BEG中，N2+/3+a=180。，.?.N2+/3=180°—a,

■.Z1=Z2,Z1=ZMEB,:.Z2=ZMEB,:"MEG=2/2,

同理可得，/MGE=2/3,在，MEG中，=180°,

P=180°-{ZMEG+ZMGE）=180。-（2/2+2/3）=180°-2（^2+^3）=180°-2（180°-a）=2a-180°；

（3）90。+機或150。.理由如下：①當72=3時，如下圖所示:

-/BEG=Z\=m,ZBGE=NCGH=180°-120°-m=60°-m,

ZFEG=1800-2Z\=180°-2m,^EGH=180°-2ZBGE=180°-2（60°-m）,

EF//HK,ZFEG+ZEGH+ZGHK=360°,

則NGHK=120。，則NGHC=30。，由△GCH內(nèi)角和得Y=90。+%.

②當〃=2時，如果在BC邊反射后與EF平行，由（1）可知a=90。，與題意不符；

則只能在8邊反射后與跖平行，如下圖所示，設(shè)A3與。。的延長線交于點G,

同a=/G+/BCG.y=/G+NCBG,U]a+/=NG+N_BCG+NG+NC3G,

012O°+/=ZG+18O°,0^G=Y-6O°,

由EF〃HK,且由（1）的結(jié)論可得，^G=Y-60°=90°,貝IJY=150°.

綜上所述：Y的度數(shù)為：90。+機或150。.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，注意分類討論思想

的利用.

例9.（2023下?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期中）已知直線AB〃CD,點P在直線AB,CD之間，連接AR,CP.

⑴如圖1,若NAPC=120。，ZPAB=130°,直接寫出/PCD的大?。?/p>

⑵如圖2,點。在A5,CD之間，ZQAP=2NQAB,NQCP=2NQCD,試探究/APC和NAQC的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；（3）如圖3,的角平分線交CD于點且AM〃尸C,點N在直線AB,CD之間，連接

1/N

CN,MN,ZPCN=nZNCD,ZAMN=-ZNMD,n>l,直接寫出一的值（用含"的式子表示，題中的

nZP

角均指大于0°且小于180。的角）.

BBB

〃一

【答案】(1)11O0(2)NAPC=36O?！?NAQC；(3)~1

〃+l

【分析】（1）過點p作尸?！ˋB,則PQ〃AB〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解;

（2）過點「作「河〃過點。作QN〃AB,則尸M〃AB〃CD,QN//AB//CD,結(jié)合

ZQAP=2ZQAB,ZQCP=2ZQCD,即可得到結(jié)論；(3)過點P作則小〃AB〃CD,可得

ZAPC=360。一(Z.PAB+ZPCD)，過點N作NF〃AM,可得JBAP=180。-ZAMF,即BAP=360°-2AAMF,

]〃一1

結(jié)合/PCN=n/NCD,/AMN=—/NMD,n>l,可得NMNC=——AAMF,進而可得結(jié)論.

nn+1

【詳解】（1）解：過點P作尸?！ˋB,則尸0〃A5〃C。，

0ZB4B=13O°,0ZAP2=18O°-13O°=5OO,

0ZAPC=120°,0ZCPQ=120°-50°=70°,E^PCD=180°-70°=110°；

(2)解：過點尸作PA/〃AB,過點。作QN〃A8,則PM〃AB〃CD,QN//AB//CD,

SZPAB+ZAPM=180°,ZPCD+ZCPM=1SO°,

?ZPAB+ZPCD+ZAPC=360°,即ZAPC=360°—(ZR4B+NPCD),同理：ZAQC=ZBAQ+ZDCQ,

SiZQAP=2.ZQAB,ZQCP=2ZQCD,^\ZBAQ=^ZPAB,ZDCQ=^ZPCD,

0ZAPC=360°-(NPAB+NPCD)=360°-3(ZBAQ+ZDCQ)=360°—3ZAQC,

E]ZAPC=360°-3ZAQC；

(3)解：過點P作PE〃AB,則尸E〃AB〃CE),

^PE//AB,^ZAPE+ZPAB=180°,ZAPE=1800-ZPAB,

0PE〃CD,ElZCPE=180O-ZPCD,0ZAPC=360°-(ZPAB+ZPCD)

過點N作NF〃AAf,^\AM//PC,0NF〃PC,0NCNF=NPCN,

0NF〃AM,@NFNM=ZAMN,^AB//CD,^ZBAM^ZAMC,

團3平分Z&4P,^ZBAMBAP,0ZAMC=180O-ZAMF,0-BAP=180°-ZAWF,

22

@ZAMN=L/NMD,ZAMN+ZNMD=ZAMFSZAMN=-^—ZAMF,^ZFNM=AAMN=ZAMF,

nn+1n+1

rj

0/PCN=nNNCD,ZPCN+ANCD=ZPCD,國NPCN=——/PCD,

n+\

出/CNF=NPCN=——/PCD,⑦ZMNC=/CNF—NFNM,

n+1

n1

團ZMNC=ZCNF-ZFNM=——/PCD--------ZAMF,

n+1n+1

0-BAP=180°-ZAMF,[?]BAP=360°-2ZAMF,

2

團ZAPC=360°-(ZPAB+/PCD)=360°-(360°-2ZAMF+ZPCD)=2ZAMF-/PCD,

^\AM//PC,^ZPCD=ZAMF,0ZAPC=2ZAMF-ZAMF=ZAMF,

n1ij1n—1

國/MNC=——/PCD--------ZAMF=——ZAMF---------ZAMF=——ZAMF,

n+1n+1n+1n+1n+1

c八巴匚ZAMF1

[?]ZMNC_n+1_n-1.

ZAPC~ZAMF~~^+l

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，添加輔助線，理清各個相關(guān)角的關(guān)系是關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023下?江蘇蘇州?七年級?？计谥校┤鐖D，在五邊形ABCDE中，AE〃3C,則NC+NO+/E=（）

【答案】B

【分析】首先過點。作。/〃AE，交AB于點F,由AE〃3C,可證得AE〃。尸〃3C,然后由兩直線平

行，同旁內(nèi)角互補可知？E7EDF180?,2CDF?C180?,繼而證得結(jié)論.

【詳解】解：過點。作。尸〃AE,交A2于點尸，

AE//BC,..AE//DF//BC,:.NE+NEDF=180°,?CDF?C180?,

\?C1CDE?E360?.故選：B.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

2.（2023上?四川綿陽?八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，一束光線A3先后經(jīng)平面鏡OM,QV反射后，當

ZABM=35。時，/OCN的度數(shù)為（）

A.55°B.70°C.60°D.35°

【答案】A

【分析】根據(jù)入射角等于反射角以及"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補"解答即可.

【詳解】解：BZABM=35°,ZABM=ZOBC,ElZOSC=35°,

0ZABC=180°-ZABM-ZOBC=180°-35°-35°=110°,

0CD/7AB,EIZABC+ZBCD=180o,0Z.BCD=180°-ZABC=70°,

0ZBCO=ZDGV,ZBCO+ZBCD+ZDCN=180°,回ZDCN=g（180°-ZBCD）=55°,故選：A.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，入射角等于反射角等知識，熟記"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補"是解題的

關(guān)鍵.

3.（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線乙12,4=30。，貝"2+/3=（）

A.150°B.180°C.210°D.240°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作直線/平行于直線//和12,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：作直線/平行于直線〃和反

/〃/]/〃2，,-.Zl=Z4=30\Z3+Z5=180°.

Z2=Z4+Z5,N2+N3=N4+N5+N3=30°+180°=210°.故選C.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題關(guān)鍵.

4.（2023下?河北邯鄲?七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，將直線機按箭頭所指方向平移至直線”,若4=65°,

則N2-/3的度數(shù)為（）

>

A.115°B.120°C.125°D.130°

【答案】A

【分析】直接利用平移的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：過2作相，

0Z3=ZZ3BC,ZABD=180°-Z1=180°-65°=115°,

0Z2-Z3=Z2-Z￡）BC=ZASD=115O.故選：A.

【點睛】此題主要考查了平移的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化角的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

5.（2023?安徽安慶?八年級統(tǒng)考期中）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若N1=46。，則N2=（）

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵，過三角板的直角頂點作直

尺兩邊的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得4=N3=46。，,2=/4,再結(jié)合角的和差關(guān)系可得答案.

【詳解】解：過三角板的直角頂點作直尺兩邊的平行線，

回直尺兩邊互相平行，0Z1=Z3=46°,—2=N4,

0Z4=9O°-Z3=44°,0Z2=Z4=44°,故選：B.

6.（2023下?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使/1=160。,

AB1BC,則N2的度數(shù)為（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】過點B作理〃AD,然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出/l+NABE+/CBE+/2=360。，再

解答即可.

【詳解】解：過點8作fflZASE+Zl=360°

^CF//AD,SCF//BE//AD,EZCBE+Z2=360°

0Z1+ZABE+Z.CBE+Z2=360°,0Z1+ZABC+Z2=360°,

0ABBC0ZABC=90°0Zl=160°,12/2的度數(shù)為110°.故選：B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，加輔助線，然后利用平行線的性質(zhì)求解是解此題的關(guān)鍵.

7.（2023下?廣東中山?七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知：AB//CD,ZB=115°,ZD=135°,則NE=（）

A.105°B.110°C.115°D.120°

【答案】B

【分析】過點E作根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N3+N3EM=180。，ZD+ZDEM=180°,再根據(jù)角的

和差求解即可.

【詳解】解：如圖，過點石作ME〃/

8A

AB//CD,:.ME//AB//CD,ZB+ZBEM=180°,ZD+ZDEM=180°,

ZB=115°,ZD=135°,:.NBEM=65。,ZDEM=45°,

ZBED=ZBEM+ZDEM=110°,故選：B.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補"是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在五邊形ABCDE中，4￡〃。。,/1=50。,/2=70。，則/3的度

數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】C

【分析】利用多邊形的內(nèi)角和公式求得五邊形的內(nèi)角和，再由平行線性質(zhì)求得ND+NE的和，繼而求得

ZBAE+ZABC+ZBCD,最后利用角的和差即可求得答案.

【詳解】解：回四邊形ABCDE為五邊形，團其內(nèi)角和為（5—2）xl800=540。，

團AE〃CD,團NO+N石=180。，0ZBAE+ZABC+ZBCD=540°-180°=360°,

I?]Zl+Z2+Z3=180°x3-360°=180°,

團N1=50°,N2=70?；豊3=180°-50°-70。=60°,故選：C.

【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求得NB4E+NABC+N3co是解題

的關(guān)鍵.

9.（2023下?黑龍江綏化?七年級?？计谀┤鐖D，已知展場〃則NA+N5+NC+NO=—.

AE

c\______

DF

【答案】540。/540度

【分析】可過點5,C分別作即CN//AE,進而利用同旁內(nèi)角互補得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點B,C分別作即CN//AE,

DF

AE//DF,:.AE//BM//CN//DF,

則ZA+ZABM=180°,NMBC+NBCN=180。,ZNCD+ZD=180°,:.ZA+ZABC+NBCD+ND

=ZA+ZABM+ZMBC+ZBCN+ZNCD+ZD=180°x3=540°,故答案為540°.

【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的推論，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解決此

題的關(guān)鍵.

10.（2022上?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB〃CD,BE平分/ABC,DE平分NADC,ZBAD=80°,

ZBCD=n°,則N3ED的度數(shù)為.（用含w的式子表示）

【答案】40°+1?°

【分析】首先過點E作砂〃由平行線的傳遞性得AB〃CD〃EF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，

得出/比力=/放=〃。，ZBAD=ZADC^80°,由角平分線的定義得出，ZEDC=40°,再

2

由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出ZB￡F=ZABE=；〃。ZFED=ZEDC=40°,由=+即可

得出答案.

【詳解】解：如圖，過點E作EF〃AB,則AB〃CD〃瓦"

B

AB//CD,⑦/BCD=/ABC=rf,ZBAD=ZADC=SO°f

又EIBE平分/ABC,DE■平分,AT>C,^ZABE=-ZABC=-n°,/EDC=工ZAOC=工x80。=40。，

2222

^AB//EFIICD,SZBEF=ZABE=-n°,ZFED=ZEDC=40°,

2

0ABED=ZFED+ZBEF=40°+-n°,故答案為：40°+-n°.

22

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和

角平分線的定義.

11.（2023下?吉林?七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，AB//EF,8平分NACE,若—A=155。，ZE=105°,

則ZACD=

【答案】50

【分析】先根據(jù)平行公理判定。以〃跖〃AB,進而利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求解.

【詳解】解:如圖，過點C作。0〃口，

CM//EF,AB//EF,：.CM//EF//AB,：.ZA+ZACM=180°,/E+/ECM=180°,

???/A=155°,ZE=105°,ZACM=25°,ZECM=75°ZACE=ZACM+ZECM=100°,

。平分/ACE,=』NACE=50。故答案為：50.

2

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理及角平分線的定義，求出ZACE是解題關(guān)鍵.

12.（2023下?江蘇鎮(zhèn)江?七年級統(tǒng)考期末）如圖是某小區(qū)大門的道閘欄桿示意圖，立柱54垂直于地面AE于

點A,當欄桿達到最高高度時，橫欄CD〃AE,止匕時貝UNABC=120。，ZBCD=

圖1圖2

【答案】150

【分析】過點8作板IAE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZBCD+ZCBF=180。，根據(jù)54，AE得出ZBAE=90°,

貝UNAB尸=90。，可求出NCB尸=30。，即可求解.

【詳解】解：過點8作2尸AE,

CD

^CD//AE,^BF//AE//CD,ZBCD+ZCBF=18Q°,

^BArAE,SiZBAE=90°,BZABF=90°,

EINABC=120°,0ZCBF=30°,0ZBCD=180°-ZCBF=150°.故答案為：150.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握：平行于同一直線的兩直線互相平行;

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

13.（2023上?四川綿陽?八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知AB〃EF,若&=

13=ZB+NBCD+NCDE+ZE,則a與￡之間的數(shù)量關(guān)系為.

【答案】/=3a/a=)

【分析】過C作。0〃AB,過。作。N〃AB,得到C河〃。V〃跖，由平行線的性質(zhì)推出

ZA+ZF=\80°,ZB+ZMCB=180°,ZEDN+ZDEF=180°,得到+^BCD+^CDE+^E=180°x3,

即可得出結(jié)果.

【詳解】解：過C作CM〃AB,過。作DN〃AB,SAB//EF,?CM〃DN〃EF,

團NA+Nb=180°,NB+NMCB=180°,NEDN+ZDEF=180°,

El+ZMCB+ZMCD+NNDC+NEDN+NDEF=180°x3,

￥8+/BCD+NCDE+NE=180°x3,

=ZA+ZF,f3=ZB+ZBCD+ZCDE+ZE,回P=3c.故答案為：/3=3a.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過點C作。/〃AB,過。作DN〃AB,得到。/〃。N〃跖，由

平行線的性質(zhì)即可解決問題..

14.（2023下?貴州安順?七年級?？茧A段練習）如圖，已知AB//CD,易得如+回2+03=360°,回1+02+回3+04=540°,

根據(jù)以上的規(guī)律求團1+回2+回3+...+即=

【答案】180（71-1）

【分析】過點P作平行于A3的直線，運用兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和；分別過

點P,。作的平行線，運用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個角的和；同樣作輔助線，運用（力-1）次平

行線的性質(zhì)，則”個角的和是180（〃-1）。.

【詳解】解：（1）如圖，過點P作一條直線平行于A8,

ABAB

0AB0CD,AB^PMSABSPMSCD,

<>

001+E1APJW=18O,0MPC+03=18O°,EB1+EIAPC+I33=36O°；

（2）如圖，過點尸、。作PM、QN平行于AB,EIAB0CD,SABSPMSQN^CD,

001+0APM=18O°,13MpQ+I3PQN=180°,回河。。+回4=180°；031+042。+13P。。+回4=540°；

根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（〃-2）條輔助線，運用（〃；）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補.

即可得到回1+回2+回3+...+即=180°（%1）.故答案為：180（力-1）°

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì).注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵.

15.（2023下?湖北襄陽?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD,BE平分ZABF,DE平分NCDF,若NE=110。,

貝|J/F=度.

【答案】140

【分析】過點E作EM//AB,利用平行線的性質(zhì)可證得NBED=1（NABF+ZCDF）可以得到NBED與ZBFD

的關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：過點E1作如圖：

AB//CD,EM//AB--CD//EM,:.ZABE=NBEM,NCDE=NDEM,

ZABF的平分線與ZCDF的平分線相交于點E,

NABE=|ZABF,ZCDE=|ZCDF,ABED=NBEM+NDEM=1（ZABF+ZCDF）,

ZABF+ZBFD+ZCDF=360°,ZABF+ZCDF=360°-ZBFD,

ZE=110°,ZF=360°-2ZE=360°-220°=140°,故答案為：140.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯角,

依據(jù)平行線的性質(zhì)進行推導(dǎo)計算，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.

16.（2023下?江西南昌?七年級南昌二中?？计谥校┤鐖D已知：AB//CD,CD//EF,AE平分-54C,

AC1CE,有以下結(jié)論：①AB〃EF；②2N1-N4=90°；③2N3-N2=180°；④N3+；N4=135°,其

中，正確的結(jié)論有.（填序號）

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)平行公理判斷①；根據(jù)角平分線得到4MC=2Z1,根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂線的定義分別得

到2?1?2180?,/2+/4=90。，進一步推出2N1—N4=9O°,可判斷②；結(jié)合=Zl+Z3=180°

得到2/1+2/3=360。，根據(jù)2?1?2180?兩式相減可判斷③；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

.-.Z3+ZAEC+Z4=180°,根據(jù)垂直得至IjN3+N4—N1=90°,從而進一步推出/3+；/4=135。，可判斷④.

【詳解】解：AB//CD,CD//EF,:.AB//EF,故①正確；

AE平分，54C,:.ZBAC=2Z\,

AB//CD,.?.ZBAC+N2=180°,;.2N1+N2=18O°(1),

AC±CE,.-.Z2+Z4=90°(2),

(1)-(2)得，2Z1-Z4=9O°,故②正確；

QAB//EF,.-.ZR4E+Z3=180°,

AE平分/BAC,:.N1=NBAE,.-.Zl+Z3=180o,

.-.2Z1+2Z3=36O°(3),2Z1+Z2=18O°(1),

(3)-(1)得，2N3—N2=180。，故③正確；

CD//EF,.-.ZCEF+Z4=180°,.■.Z3+ZAEC+Z4=180°,

AC±CE,..Zl+ZAEC=90°,:.ZAEC=90°-Zl,Z3+Z4-Z1=9O°,

2Z1-Z4=9O°,.-.Zl=45o+1z4,.-.Z3+|z4=135o,故④正確.

故正確的結(jié)論有：①②③④.故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：

兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.平行線的判定是由角

的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用平行線的判定

和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

17.（2023下?江蘇南京?七年級?？茧A段練習）如圖，在六邊形A8CDEF中，AF^CD,她=140。，0C=165°.

（1）求回B的度數(shù)；（2）當回—。時，ABSDE?為什么？

【答案】(])55。；(2)140°

【分析】(1)過點B作BMEIAF,貝I]BMI3AFIBCD,EL4=140°,EIC=165O,進而即可求解；

(2)延長AB,DC交于點N,由EIABC=55。，圉BCD=165°,得回BNC=40°,結(jié)合AB0DE,即可得到答案.

【詳解】(1)過點B作BMEIAF,

0AB3CD,EBM0AF0CD,03A+13ABM=180°,0C+0CBM=18O°,

00A=14O°,0C=165°,00B=0ABM+0CBM=36O°-0A-0C=36OO-14OO-165O=55°.

(2)延長AB,DC交于點N,EBABC=55°,EBNBC=125°,

00BCD=165°,[30NBC=165O-125O=4OO

ABSDE,貝幅D=180°-40°=140°.故答案是：140°

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是解題的關(guān)鍵.

18.（2023下?江蘇南京?七年級校聯(lián)考期末）珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A,B.如圖1,2所

示，假如河道兩岸是平行的，PQ//MN,且NA4M燈A射線從A"開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便

立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從階開始順時針旋轉(zhuǎn)至8。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈A轉(zhuǎn)動的速度

是每秒2度，燈2轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度.

⑴填空：ZBAN=°;（2）若燈8射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈8射線到達BQ之前,

A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖3,若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN之前，若兩燈發(fā)出

的射線AC與8C交于點C,過C作/ACD交P。于點，且NACD=120。，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊?4C

與ZBCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）60（2）當，=30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行⑶/54。=2/"笫，見解析

【分析】（1）根據(jù)NB4M+/"4N=180。，ZBAM-./BAN=2：1,即可得到/A4N的度數(shù)；

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動/秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當0</<90時，根據(jù)2，=lx（30+。，

可得f=30；當90</<150時,根據(jù)lx（30+t）+（2f—180）=180,可得f=110；

（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為f秒，根據(jù)ZBAC=27-120。，/BCD=120°-/BCD=r-60。，即可得出/BAC：

NBCD=2：1,據(jù)此可得/84C和/BCD關(guān)系不會變化.

【詳解】（1）ZBAM+ZBAN=180°,ZBAM=2ZBAN,ZBAN=180°x-=60°,故答案為：60；

3

（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動/秒，兩燈的光束互相平行，

①當0</<90時，如圖1,PQ//MN,.-.ZPBD^ZBDA,

AC\BD,Z.CAM=ABDA,ZCAM=ZPBD：.2t=\x（30+t）,解得f=30：

②當90<l<150時，如圖2,PQ//MN,ZPBD+ZBDA=180°,

AC|BD,ZCAN=ABDAZPBD+ZCAN=180°

.?.lx(30+r)+(2r-180)=180,解得f=110,

綜上所述，當f=30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；

(3)/BAC=2NBCD.理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒,

ZCAN=180°-2t,.?.ZBAC=60°-(180°-2f)=2f-120°,

又?.ZABC=120°-t,ZBCA=180°-ZABC-ZBAC=180°-r,而ZAC￡>=120。，

ZBCD=120°-ZBCA=120°-(180°-t)=t-6O°,：,ABAC：/BCD=2：1,即/B