給定一個常數(shù)列其中第

n項稱為級數(shù)的一般項或通項.定義

稱為常數(shù)項無窮級數(shù),簡稱級數(shù).8.1

常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

無窮級數(shù)8.1.1常數(shù)項級數(shù)的概念定義8.1級數(shù)的前n項和稱為該級數(shù)的部分和.記為如果則稱級數(shù)收斂,則稱

s為級數(shù)的和,則稱級數(shù)發(fā)散.如果部分和數(shù)列的極限不存在,稱為級數(shù)的余項.顯然有當(dāng)n充分大時,當(dāng)級數(shù)收斂時,其部分和是級數(shù)和s的近似值.級數(shù)和與部分和之差

解例1討論等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))的收斂性,其中q叫做級數(shù)的公比.發(fā)散;

發(fā)散.級數(shù)變?yōu)槭諗?

發(fā)散;

綜上所述重要結(jié)論:例公比為q的幾何級數(shù)的和解因例2判定級數(shù)的斂散性.所以,該級數(shù)收斂,且其和為1.則1.線性性質(zhì)k為任意常數(shù),(1)如果

8.1.2收斂級數(shù)的基本性質(zhì)(2)如果

則2.余和定律

任意給定正整數(shù)N,證設(shè)級數(shù)的部分和為的部分和為注意到

余和定律得證.

級數(shù)與級數(shù)的斂散性相同.

由余和定律,去掉、增加或改變一個級數(shù)的有限項不會改變這個級數(shù)的斂散性(但是“級數(shù)的和”一般會改變).例3討論無窮級數(shù)的斂散性.解該級數(shù)是在收斂的幾何級數(shù)前面添加了101項.由余和定律,它也是收斂的.

如果級數(shù)收斂,則對該級數(shù)任意加括號后所形成的新級數(shù)仍收斂,且其和不變.證

設(shè)有收斂的級數(shù)

則3.加括號原則

任意加括號后所成的級數(shù)為

收斂發(fā)散推論

如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散.例如,注意:加括號后收斂的級數(shù),原來的級數(shù)不一定收斂.例4證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.證對調(diào)和級數(shù)按如下方式加括號令只要證明發(fā)散即可說明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.有故級數(shù)發(fā)散.因此,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.注意到

注意:調(diào)和級數(shù)增長非常緩慢.證設(shè)定理8.1

(級數(shù)收斂的必要條件)若級數(shù)

收斂,則所以8.2

常數(shù)項級數(shù)的審斂法8.2.1級數(shù)收斂的必要條件說明:

調(diào)和級數(shù)的通項收斂于0,但是級數(shù)發(fā)散,說明不是級數(shù)收斂的充分條件.因此,級數(shù)收斂的必要條件常用于判斷級數(shù)發(fā)散,而不能用于判斷級數(shù)收斂.例1判斷下列級數(shù)的斂散性:

解題思路:若

則級數(shù)發(fā)散.解(1)因所以,級數(shù)(1)發(fā)散.(2)令則所以,級數(shù)(2)發(fā)散.則稱該級數(shù)稱為正項級數(shù).8.2.2正項級數(shù)及其審斂法由單調(diào)有界數(shù)列必有極限,

可得下面重要定理.顯然,正項級數(shù)部分和數(shù)列單調(diào)增加.定理8.2正項級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)它的部分和數(shù)列有界.定理8.3(正項級數(shù)的比較審斂法)證即部分和數(shù)列有界,則收斂;(1)若收斂,(2)若發(fā)散,所以

收斂.且則發(fā)散.(2)

用反證法

若收斂,則由(1)可知也收斂,矛盾.故發(fā)散.解p-級數(shù)的部分和為由調(diào)和級數(shù)發(fā)散,例2討論p-級數(shù)的斂散性(常數(shù)p>0).證明部分和數(shù)列有上界,有

發(fā)散.從而收斂.

等比數(shù)列

而重要參考級數(shù):

幾何級數(shù),p-級數(shù),

調(diào)和級數(shù).通常取是斂散性已知的級數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn),用于判斷的收斂性.重要結(jié)果:例3

討論下列級數(shù)的斂散性:解

(1)因由比較審斂法,級數(shù)(1)發(fā)散.(2)因

由比較審斂法,級數(shù)(2)收斂.證反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.由級數(shù)收斂的必要條件因級數(shù)

收斂,例4設(shè)正項級數(shù)收斂,證明收斂.反之是否成立?由比較審斂法知

收斂.所以兩級數(shù)有相同的斂散性;定理8.4(正項級數(shù)的比較審斂法的極限形式)如果則現(xiàn)只證(1)由余和定律和比較審斂法

,即兩級數(shù)有相同的斂散性.斂散性相同;比較審斂法可以理解成當(dāng)時如下的無窮小比較.解設(shè)例5判定級數(shù)的斂散性.

故,原級數(shù)收斂.因定理8.5(p—級數(shù)審斂法)解(1)因故級數(shù)(1)發(fā)散.例6討論下列級數(shù)的斂散性:(2)因故,級數(shù)(2)收斂.故,級數(shù)(4)收斂.(3)因(4)因故,級數(shù)(3)發(fā)散.定理8.6(比值審斂法)

(1)當(dāng)時級數(shù)收斂;設(shè)是正項級數(shù),如果則(2)當(dāng)時級數(shù)發(fā)散.證有即故原級數(shù)收斂.所以,當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時,比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).注意:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.2.若用比值判別法判定級數(shù)發(fā)散注:級數(shù)的通項un不趨于零.1.適用于或關(guān)于n的若干連乘積(或商)形式.例如,級數(shù)級數(shù)收斂3.條件是充分的,而非必要的.例如,所以,級數(shù)所以,不存在.解因例7判別級數(shù)的斂散性.故,原級數(shù)收斂.例8判別級數(shù)的斂散性.解當(dāng)0<a<1時,收斂;當(dāng)a>1時,發(fā)散;當(dāng)

a=1時,原級數(shù)為收斂.解例9

討論級數(shù)的斂散性.

不存在對級數(shù)利用比值審斂法,可知

收斂.所以,

不能直接用比值審斂法再由正項級數(shù)的比較審斂法知,原級數(shù)收斂.定理8.7(柯西根值審斂法)設(shè)

是正項級數(shù),則

時級數(shù)收斂;

如果說明:注意:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.時級數(shù)發(fā)散.但反之不對.例10判別級數(shù)

的斂散性,解故此級數(shù)收斂.用比值審斂法故比值判別法無法鑒別此級數(shù)的收斂性.*定理8.8(積分審斂法)設(shè)

是正項級數(shù),N為某個自然數(shù).如果存在

上的單調(diào)函數(shù)有相同的斂散性.使得則級數(shù)與廣義積分解*例11判斷下列級數(shù)的斂散性廣義積分所以級數(shù)(1)發(fā)散;廣義積分發(fā)散,廣義積分所以級數(shù)(2)收斂.正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).8.2.3交錯級數(shù)定理8.9(萊布尼茲定理)則級數(shù)收斂,即形如如果交錯級數(shù)滿足條件:分析:證證畢例如,都是收斂的交錯級數(shù).也是收斂的交錯級數(shù).余項注:比較un與un+1大小的方法有三種:(1)比值法,

??(3)由un找出一個連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)考察?(2)差值法,

用萊布尼茨定理判別交錯級數(shù)是否收斂時,要考察un與un+1大小.使得例12解且滿足萊布尼茲定理的條件:根據(jù)萊布尼茨定理,所給級數(shù)收斂.為交錯級數(shù),且其和s<1.解令所以,原級數(shù)收斂.例13

判別級數(shù)

的斂散性.則且且例如,均條件收斂;定義8.2

若

收斂,則稱

為絕對收斂;而級數(shù)絕對收斂.正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).8.2.4絕對收斂與條件收斂任意項級數(shù)思想:正項級數(shù)若

收斂,而

發(fā)散,則稱

為條件收斂.證又因注:

一個條件收斂的交錯級數(shù)的所有奇數(shù)項所成的級數(shù)是發(fā)散的,所有偶數(shù)項所成的級數(shù)也是發(fā)散的.定理8.10

若級數(shù)絕對收斂,則級數(shù)一定收斂.通常先考查它若使用比值法或根值法判定級數(shù)不絕對收斂(這時級數(shù)的通項不趨對于交錯級數(shù),利用無窮級數(shù)的性質(zhì)將級數(shù)拆開為如不是絕對收斂的,再看它是否條件收斂.便可斷言級數(shù)發(fā)散.萊布尼茨定理.然后討論斂散性也是常用手段.兩個級數(shù),討論任意項級數(shù)的收斂性時,是否絕對收斂(用正項級數(shù)的審斂法),于零),

可用解由定理知,原級數(shù)絕對收斂.例14

討論級數(shù)

的斂散性.例15若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?解原級數(shù)是交錯級數(shù),利用萊布尼茲定理條件收斂.例16解絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)定理8.11(無限交換律)絕對收斂的級數(shù)在任意重條件收斂的級數(shù)不具備這個性質(zhì)，而且可以證明，對于條件收斂的級數(shù)，適當(dāng)?shù)亟粨Q各項的次序所組成的更序級數(shù)可以收斂于任何預(yù)先給定的數(shù)或發(fā)散。排后,仍然絕對收斂且和不變.的xn

項的系數(shù)的求法.考慮無窮級數(shù)的乘法問題.

xn

的系數(shù)是稱級數(shù)為級數(shù)和級數(shù)的柯西乘積.(柯西原理)

定理8.12其和分別是和，若級數(shù)和都絕對收斂，則它們的柯西乘積即級數(shù)也絕對收斂，且其和為.例17自乘得到的柯西乘積：的充要條件是:柯西審斂原理

定理證:設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為因為所以,利用數(shù)列的數(shù)列極限存在的柯西準(zhǔn)則即得本定理的結(jié)論.8.3冪級數(shù)8.3.1函數(shù)項級數(shù)的概念是定義在上的函數(shù)項級數(shù).稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項無窮級數(shù).

定義1設(shè)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列,表達(dá)式

例如,級數(shù)所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體，稱為收斂域,發(fā)散點.定義2如果數(shù)項級數(shù)收斂,則稱為級數(shù)的收斂點,否則,稱為設(shè)函數(shù)項級數(shù)的部分和為余項(x在收斂域上)注意:函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)(x∈D)定義3

在收斂域D上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).函數(shù)則項級數(shù)的收斂問題.是公比為x的幾何級數(shù),在收斂域內(nèi),其和函數(shù)是發(fā)散域為其收斂域為同理例如,級數(shù)解由比值判別法,有

原級數(shù)絕對收斂.例1求級數(shù)

的收斂域.(1)當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;故,原級數(shù)的收斂域為(2)當(dāng)(3)當(dāng)形如8.3.2冪級數(shù)及其收斂性稱為x的冪級數(shù).稱為冪級數(shù)的系數(shù).簡稱冪級數(shù).的函數(shù)項級數(shù),稱為的冪級數(shù),設(shè)其意義在于用多項式近似s(x).是公比為x的幾何級數(shù),其收斂域為級數(shù)在一般的情形下,冪級數(shù)的收斂域都是區(qū)間.證(1)定理8.13(阿貝爾定理)則它在滿足的一切x處發(fā)散.處收斂,處發(fā)散,若冪級數(shù)若冪級數(shù)即存在常數(shù)

M>0,使得則它在滿足的一切x處絕對收斂;從而數(shù)列有界,由結(jié)論(1),這與所設(shè)矛盾.使級數(shù)收斂,若有一點x1適合則級數(shù)在處應(yīng)收斂,收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域幾何說明推論8.1也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定冪級數(shù)絕對收斂;冪級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散.的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):如果冪級數(shù)

不是僅在x=0一點收斂,冪級數(shù)的收斂域一定是下列四個區(qū)間之一:

規(guī)定:定義(1)冪級數(shù)只在x=0處收斂,規(guī)定收斂域為x=0;(2)冪級數(shù)對一切

x都收斂,規(guī)定收斂域為正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.問題:如果冪級數(shù)處條件收斂,其收斂半徑R=?證設(shè)定理8.14由比值判別法,則如果冪級數(shù)的所有系數(shù)收斂半徑收斂,發(fā)散,并且從某個n開始從而級數(shù)發(fā)散.從而級數(shù)絕對收斂.(1)如果收斂,從而級數(shù)絕對收斂.收斂半徑發(fā)散,收斂半徑(2)如果(3)如果例1求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解故發(fā)散;故收斂域為收斂.解例2求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.收斂域為解僅在x=0收斂.例3求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.所以,收斂半徑為解例4求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.收斂;故收斂域為[1,3].收斂.所以,當(dāng)收斂,定理8.15

(收斂半徑的根值計算法)解例5求冪級數(shù)

的收斂半徑與收斂域.原級數(shù)的一般項不趨于零,收斂域為級數(shù)發(fā)散.解原級數(shù)絕對收斂,級數(shù)發(fā)散.例6求冪級數(shù)的收斂域.級數(shù)發(fā)散.原級數(shù)的收斂域為8.3.3冪級數(shù)的性質(zhì)及冪級數(shù)的和函數(shù)的收斂半徑分別為R1和R2,取其中性質(zhì)2和函數(shù)且逐項求導(dǎo)后收斂半徑不變.并有逐項求導(dǎo)公式

性質(zhì)1和函數(shù)在收斂域上連續(xù).設(shè)性質(zhì)3和函數(shù)有逐項積分公式逐項積分后收斂半徑不變.若注:冪級數(shù)逐項微分與逐項積分后收斂半徑不變,

但是收斂域可能不同.解例7

求冪級數(shù)

的和函數(shù).解例8

求冪級數(shù)

的和函數(shù).當(dāng)x=0時,顯然s(0)=1.故s(x)在點x=0是連續(xù)的.事實上,另外,由,有解例9

求的收斂域及和函數(shù)，故并求數(shù)項級數(shù)的和.冪級數(shù)的收斂域為.常用冪級數(shù)的和函數(shù)練習(xí)求的收斂域與和函數(shù).解令收斂域為當(dāng)時,收斂,當(dāng)時,收斂,和函數(shù)為可得設(shè)上節(jié)的問題是冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以

f(x)為和函數(shù).現(xiàn)在的問題是反過來,如果f(x)可以展開成冪級數(shù)1.那么函數(shù)

f(x)應(yīng)當(dāng)具有什么性質(zhì)?8.4泰勒級數(shù)8.4.1泰勒級數(shù)2.冪級數(shù)的系數(shù)怎樣計算?我們有

由于冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)無窮次可導(dǎo),即有因此,f(x)必然在此區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).將x

=

x0代入上面各式,即得

任意階的導(dǎo)數(shù).定理8.16

如果函數(shù)

f(x)在

x0的某一鄰域定理的結(jié)論稱為冪級數(shù)展開式的唯一性.于是,就證明了如下定理.內(nèi)可以展開成的冪級數(shù),則則稱冪級數(shù)如果函數(shù)

f(x)在點

x0處任意次可微,為

f(x)在點

x0處的泰勒級數(shù).為函數(shù)

f(x)的麥克勞林級數(shù).特別地,

當(dāng)x0=0時,稱冪級數(shù)記為

在

x0的某一鄰域成立,如果點的泰勒展開式.

則稱上式函數(shù)是

f(x)在

x0定理8.17

如果函數(shù)

f(x)在

x0的某一鄰域內(nèi)有任意階的導(dǎo)數(shù).則其中

介于x與x0之間.的充分必要條件是

證(1)是帶拉格朗日余項的泰勒中值定理;

(2)是收斂級數(shù)的定義.

1.直接展開法求函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù)的步驟:

(2)寫出麥克勞林級數(shù)并求出收斂半徑R;8.4.2函數(shù)展開成冪級數(shù)(3)驗證是否有

驗證的方法有兩種:余項分析與和函數(shù)分析

(1)

求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)與它們在處的值,然后代入從而判斷是否有

和函數(shù)分析是求出和函數(shù)

余項分析是指,如果

則有

解其收斂半徑為例1將展開成x的冪級數(shù).于是余項其中

介于0與x之間.余項分析對任一確定的是收斂級數(shù)

的一般項.是確定的數(shù),而所以在

上恒有于是或于是則且解微分方程

得和函數(shù)分析解因例2將展開成x的冪級數(shù).故其收斂半徑為故因所以其中

介于0與x之間.解因例3將展開成x的冪級數(shù),其中不是自然數(shù).又因因泰勒公式的余項比較復(fù)雜,現(xiàn)直接求它的和函數(shù).令逐項求導(dǎo),得上式兩端同乘然后合并同類項.再注意到于是

的存在唯一性,即可證明f(x)=F(x).注意到f(x)滿足上述方程,由線性微分方程解于是利用已知函數(shù)展開式,2.間接展開法根據(jù)展開的唯一性,等方法,求展開式.通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分的結(jié)果是一致的.它與直接展開法得到例4將展開成x的冪級數(shù).例5將展開為x的冪級數(shù).解設(shè)利用有例6將展開為x的冪級數(shù).解而兩邊積分解例7將

展開為

的冪級數(shù).f(x)=ln(1+x)在x

=1處連續(xù),且在x=1處收斂.例8將解常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)解練習(xí)將函數(shù)且即故于是解練習(xí)求數(shù)項級數(shù)

的和.例9計算積分解因8.4.3冪級數(shù)的應(yīng)用1.近似計算由逐項積分公式得誤差

取前三項,得2.微分方程的冪級數(shù)解法例10求微分方程滿足解設(shè)則由可得于是從而的特解.代入方程,得即上式是恒等式,所以各項系數(shù)必全為零,因此

所求特解為3.歐拉公式其中為虛數(shù)單位.歐拉公式的形式推導(dǎo)如下:同樣

這兩式相加減可得

此式也稱為歐拉公式.

不難驗證,常見函數(shù)中常數(shù)都換成復(fù)數(shù),極限法則、求導(dǎo)法則和積分法則等仍然成立.傅里葉級數(shù)也稱為三角級數(shù),是指形如的函數(shù)項級數(shù).三角函數(shù)表示諧波或簡諧振動,因此上述傅里葉級數(shù)可以看做是諧波的疊加.8.5傅里葉級數(shù)非正弦周期函數(shù):矩形波分解成不同頻率正弦波逐個疊加設(shè)想是把一個復(fù)雜的周期函數(shù)

f(t)表示為即8.5.1三角函數(shù)系

稱為三角級數(shù)各類正弦函數(shù)

的迭加,問題:(1)f(x)應(yīng)具備什么條件才能展開成如上三角級數(shù)?同樣需要考慮兩個問題:(2)如果f(x)可以展開成三角級數(shù),那么系數(shù)ak,bk為此,先介紹三角函數(shù)系.該如何確定?三角函數(shù)系其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間即在上的正交性是指:即上的積分不為0.

三角函數(shù)系中每個函數(shù)自身的平方在

8.5.2周期為的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開問題:f(x)若能展開成三角級數(shù),

是什么?兩邊積分利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性由系數(shù)公式所確定的三角級數(shù)傅里葉系數(shù)公式:

稱為函數(shù)

f(x)(誘導(dǎo)出)的傅里葉級數(shù),f(x)

記為問題:當(dāng)

f(x)滿足什么條件時,它的傅里葉級數(shù)收斂?

收斂定理8.15(收斂定理狄利克雷充分條件)

設(shè)

f(x)是以

為周期的周期函數(shù),是

f(x)的傅里葉級數(shù),則如果

f(x)在逐段單調(diào),收斂定理等價于:如果設(shè)傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為S(x)，即則特別地,當(dāng)

f(x)為奇函數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為當(dāng)

f(x)為偶函數(shù)時,它的傅里葉系數(shù)為f(x)的傅里葉級數(shù)為稱為正弦級數(shù);稱為余弦級數(shù).f(x)的傅里葉級數(shù)為設(shè)函數(shù)

f(x)以

為周期,且

其傅氏級數(shù)在

處收斂于().所以,周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開步驟:(由圖形寫出收斂域;求出第一類間斷點)(2)求出傅里葉系數(shù);(3)寫出傅里葉級數(shù),并注明它在何處收斂于

f(x).

畫出

f(x)的圖形,收斂定理條件;并驗證是否滿足狄利克雷解例1設(shè)將

f(x)展開為傅里葉級數(shù).

f(x)的圖象由狄利克雷充分條件收斂于

計算傅里葉系數(shù)故

f(x)的傅里葉級數(shù)為(2)將F(x)展開為傅里葉級數(shù);作法收斂定理的條件,也可展開成傅里葉級數(shù).(周期延拓);級數(shù)收斂于8.5.3只在區(qū)間上有定義的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開如果

f(x)只在區(qū)間上有定義,并且滿足得到一定義在這樣就得到f(x)展開式;解例2

將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù).拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式在因函數(shù)在區(qū)間上滿足收斂定理的條件,收斂于

f(x).又f(x)是偶函數(shù)f(x)是偶函數(shù)已知函數(shù)的傅氏展開式為利用傅氏展開式也可求數(shù)項級數(shù)的和設(shè)收斂定理的條件,我們首先將函數(shù)f(x)的定義延8.5.4將定義在區(qū)間上的函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)如果

f(x)只在區(qū)間上有定義,并且滿足拓到區(qū)間上,得到一定義在上的函數(shù)F(x),使它在內(nèi)成為奇函數(shù)(偶函數(shù)),

按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓然后將F(x)展開成傅里葉級數(shù),這個級數(shù)必定是正弦級數(shù)(余弦級數(shù)).

(偶延拓).

(1)奇延拓則f(x)

的傅里葉級數(shù):再限制x在區(qū)間上,就得到f(x)展開式的正弦級數(shù)(余弦級數(shù))展開式.(2)偶延拓則f(x)

的傅里葉級數(shù):解

(1)展開成正弦級數(shù).正弦級數(shù)和余弦級數(shù).例3將函數(shù)分別展開成對f(x)進行奇延拓,(2)展開成余弦級數(shù).對f(x)進行偶延拓,解練習(xí)設(shè)練習(xí)已知級數(shù)求級數(shù)的和.解所以,(1)把f(x)展開為正弦級數(shù);(2)求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在解(1)上的表達(dá)式;正弦級數(shù)練習(xí)設(shè)函數(shù)如圖所示(2)求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在上的表達(dá)式;(3)先作變量代換

8.5.5周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)條件,若周期為2l的周期函數(shù)

f(x)滿足收斂定理的展開成傅里葉級數(shù)的方法是:

將函數(shù)變換到再利用周期為

的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開法,最后回到變量x,就得到f(x)的傅里葉展開式則有(1)如果

f(x)為奇函數(shù),其中,傅里葉系數(shù)為則有(2)如果

f(x)為偶函數(shù),其中系數(shù)解例4設(shè)

f(x)是周期為4的周期函數(shù),它在的表達(dá)式為將其展開成傅里葉級數(shù).和函數(shù)圖形且滿足收斂定理的條件.解所以,原級數(shù)非絕對收斂.數(shù)項級數(shù)習(xí)題課例1

判別級數(shù)是否收斂,如果收斂,是絕對收斂還是條件收斂.故,原級數(shù)條件收斂．由萊布尼茲定理:該交錯級數(shù)收斂,有設(shè)因此,故,原級數(shù)發(fā)散.例2判斷級數(shù)的斂散性.解因收斂,發(fā)散,例3

判斷下列級數(shù)的斂散性.解(1)因所以,級數(shù)(1)發(fā)散.(2)因注:所以,級數(shù)(2)收斂.(3)利用積分審斂法.因所以,級數(shù)(3)發(fā)散.例4討論級數(shù)的收斂性,其中常數(shù)具有相同的斂散性,時,級數(shù)收斂，時,級數(shù)發(fā)散.解例5證明利用比值判別法證作正項級數(shù)由級數(shù)收斂的必要條件,有所以正項級數(shù)收斂．例6試確定級數(shù)它收斂于且滿足

并問它是絕對收斂還是條件收斂?解由

得所求級數(shù)是一個公比為的幾何級數(shù),再由得

故所求級數(shù)為該級數(shù)絕對收斂.例7設(shè)級數(shù)收斂,證明：收斂.

證因

而正項級數(shù)

與

均收斂.

由正項級數(shù)的比較判別法：因此,絕對收斂,故收斂.

正項級數(shù)收斂.解例8設(shè)級數(shù)C級數(shù)例9

證明級數(shù)

發(fā)散.證因故從而由級數(shù)收斂的必要條件,原級數(shù)發(fā)散.一、單項選擇題：1.若收斂,則下列級數(shù)收斂的是【】C2.若發(fā)散,則下列級數(shù)發(fā)散的是【】D練習(xí)題3.設(shè)

p為常數(shù),則級數(shù)【