十八復(fù)數(shù)的幾何意義(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=1i,則|z|=()A.0 B.1 C.2 D.2【解析】選C.|z|=(-1)22.(5分)(2024·曲靖高一檢測)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)3+2i,2+3i對應(yīng)的向量分別是,,其中O是坐標(biāo)原點,則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.1+i B.5iC.53i D.5+i【解析】選D.由題設(shè)得,=(3,2),=(2,3),則==(5,1),所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5+i.3.(5分)(2024·重慶高一檢測)設(shè)復(fù)數(shù)z=43i,則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為()A.7 B.1 C.5 D.25【解析】選C.復(fù)數(shù)z=43i,則z=4+3i,所以|z|=42+4.(5分)已知復(fù)數(shù)z1=65i,z2=2+3i,若z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A,B,線段AB的中點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則|z|=()A.5 B.5 C.3 D.3【解析】選A.由題意得A(6,5),B(2,3),則線段AB的中點C的坐標(biāo)為(2,1),其對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=2i,則|z|=(-1)25.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|22|z|3=0,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是()A.一個圓 B.線段 C.兩點 D.兩個圓【解析】選A.因為|z|22|z|3=0,所以(|z|3)(|z|+1)=0,所以|z|=3,所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是以原點為圓心,3為半徑的一個圓.6.(5分)(多選)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位)的四個命題,其中正確的是()A.|z|=2B.z對應(yīng)的點在第一象限C.z的虛部為iD.z的共軛復(fù)數(shù)為1+i【解析】選AB.因為復(fù)數(shù)z=1+i,所以|z|=2,故A正確;因為z對應(yīng)的點(1,1)在第一象限,故B正確;因為z的虛部為1,故C錯誤;因為z的共軛復(fù)數(shù)為1i,故D錯誤.7.(5分)四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形,A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,2i,3+i,則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為____________.

【解析】依題意,因為A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,2i,3+i,所以A(1,3),B(2,1),C(3,1).因為ABCD是平行四邊形,所以=.設(shè)D(x,y),則(1,4)=(3x,1y),故-3-x所以D(4,5),則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4+5i.答案:4+5i8.(5分)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,|z|=5,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在函數(shù)y=43x的圖象上,則z=__________【解析】由題意設(shè)z=3t+4ti(t∈R),則z=3t4ti.因為|z|=5,所以9t2+16t2=25,所以t2=1.又z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,所以t<0,所以t=1,所以z=3+4i.答案:3+4i9.(5分)若復(fù)數(shù)z=(m2m2)+(m23m+2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于虛軸上,則實數(shù)m的取值集合為__________.

【解析】因為m為實數(shù),且復(fù)數(shù)z=(m2m2)+(m23m+2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(m2m2,m23m+2)位于虛軸上,所以m2m2=0,解得m=2或m=1.答案:{1,2}10.(10分)在復(fù)平面內(nèi),O是原點,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i.(1)如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B,求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)如果(1)中的點B關(guān)于虛軸的對稱點為點C,求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù).【解析】(1)設(shè)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=x1+y1i(x1,y1∈R),則點B的坐標(biāo)為(x1,y1).由題意可知,點A的坐標(biāo)為(2,1).根據(jù)對稱性可知,x1=2,y1=1,故z1=2i.(2)設(shè)點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=x2+y2i(x2,y2∈R),則點C的坐標(biāo)為(x2,y2).由對稱性可知,x2=2,y2=1,故z2=2i.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·煙臺高一檢測)已知i為虛數(shù)單位,x,y∈R,若復(fù)數(shù)z=x+yi,z1=2+i,z1的共軛復(fù)數(shù)為z1,且z=z1,則x+y=(A.3 B.1 C.1 D.3【解析】選C.z1=2+i,則z1=2i=x+yi,則x=2,y=1,x+y=112.(5分)(多選)已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位),且a+b=1,則下列命題正確的是()A.z不可能為純虛數(shù)B.若z的共軛復(fù)數(shù)為z,且z=z,則z是實數(shù)C.若z=|z|,則z是實數(shù)D.|z|可以等于1【解析】選BC.當(dāng)a=0時,b=1,此時z=i,為純虛數(shù),A錯誤;若z的共軛復(fù)數(shù)為z,且z=z,則a+bi=abi,因此b=0,B正確;由|z|是實數(shù),且z=|z|知,z是實數(shù),C正確;由|z|=12得a2+b2=14,又a+b=1,b=1a,因此8a28a+3=0,Δ=644×8×3=32<0,所以方程無實數(shù)解,即|z|不可以等于113.(5分)在復(fù)平面內(nèi),把復(fù)數(shù)33i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)π3,則所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________【解析】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(3,3),對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)π3,則對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(0,23),所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為23i答案:23i14.(10分)已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為(O為坐標(biāo)原點),與實軸正方向的夾角為120°,且復(fù)數(shù)z的模為2,求復(fù)數(shù)z.【解析】由題意設(shè)點Z的坐標(biāo)為(a,b)(a<0),因為||=|z|=2,與實軸正方向的夾角為120°,則a2+b2=4解得a=1,b=±3,即點Z的坐標(biāo)為(1,3)或(1,3),所以z=1+3i或z=13i.15.(10分)(1)求復(fù)數(shù)z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值;(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0<a<2,0<b<2,求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合形成的圖形的面積.【解析】(1)因為z=x+(2x+1)i(x∈R),所以|z|=x2+=5(x+2當(dāng)且僅當(dāng)x=25所以當(dāng)x=25時,|z|取得最小值5(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(a,b),因為|z|≥1,0<a<2,0<b<2,所以a2+b2≥1,0<a<2,0<b<2,所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合形成的圖形如圖中的陰影部分(不包括x,y軸上的點):所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合形成的圖形的面積S=2×2π4=4π【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)z∈C,且滿足下列條件,求在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z