湖北省隨州市部分高中學(xué)年下學(xué)期2月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，題，全卷滿分分，考試用時(shí)分鐘.考試范圍：選擇性必修一第一、二三章；選擇性必修二第四章注意事項(xiàng)：、答題前，請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.、選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.、考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】由空間向量的線性運(yùn)算即可求解；第1頁/共19頁【詳解】=.故選：C.2.已知直線過點(diǎn)且斜率為1，若圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到的距離為1，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】過點(diǎn)且斜率為1上恰有3個(gè)點(diǎn)到的距離為1，結(jié)合半徑，則由圓心到直線的距離為1求解.【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率為1，所以直線方程為，即，因?yàn)閳A上恰有3個(gè)點(diǎn)到的距離為1，所以圓心到直線的距離為：1，即，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過（0，3C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為（）A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x＋4y－12＝0或x＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0【答案】B【解析】【分析】第2頁/共19頁當(dāng)直線II的方程為的方程為，求出圓半徑圓心到直線的距離，由能求出直線l的方程.ll的方程為x＝0或|AB|＝2，符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，圓x2＋y2－2x－2y－2＝0即（x－1）2＋（y－1）2＝4，圓心為C（1，1r＝2，易知圓心C（1，1）到直線y＝kx＋3的距離d＝，d2＋＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解答本題需要明確直線方程的求解方法以及點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題.4.已知長方體，，，為線段上一點(diǎn)，且，則與平面所成的角的正弦值為()第3頁/共19頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面一個(gè)法向量為，則由因?yàn)?，所以與平面所成的角的正弦值為，選A點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.5.直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1B.0C.2D.或0【答案】D【解析】【分析】由兩直線垂直建立m的方程，解得m，即可得出．第4頁/共19頁【詳解】由兩直線垂直可得：，解得或1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線垂直與斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a＝，若數(shù)列{a}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.(3，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)【答案】D【解析】【分析】依題意對任意對任意的取值范圍；，，所以對任意恒成立，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列第5頁/共19頁又，公差，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.8.已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由裂項(xiàng)相消求和法求和即可；【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線方程可能為（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】討論直線過原點(diǎn)時(shí)和直線不過原點(diǎn)時(shí)，分別求出對應(yīng)的直線方程即可．【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，斜率為，所求的直線方程為y=2x，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求的直線方程為x±y=k，把點(diǎn)A（1，2）代入可得12=k，或1+2=k，求得k=1，或k=3，故所求的直線方程為，或；綜上知，所求的直線方程為、，或．第6頁/共19頁故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了利用分類討論思想求直線方程的問題，是基礎(chǔ)題．10.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，確定拋物線的開口方向，有兩種情況，設(shè)出拋物線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以拋物線有開口向左或開口向上兩種情況，若拋物線開口向左，設(shè)拋物線方程為，代入拋物線方程，有，解得，所以拋物線方程為，所以A正確；若拋物線開口向上，設(shè)拋物線方程為，代入拋物線方程，有，解得，所以拋物線方程為，所以C正確.故選：AC（多選題）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中出現(xiàn)了類似如圖所示的圖形，后人稱為“三角垛”（如圖所示的是一個(gè)4層的“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則下列所有說法中正確的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】第7頁/共19頁可得AB等差數(shù)列求和公式可得C正確；由列項(xiàng)相消可得D正確；【詳解】對于A，由題意，得，故A錯誤；對于B，以上n個(gè)式子累加可得，又滿足上式，所以，，故B正確；對于C，由，可得=84，故C正確；對于D，由，得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每題5分，共分12.若直線的方向向量的一個(gè)法向量_____.【答案】2【解析】【分析】由線面垂直得到方向向量與法向量共線即可求解；【詳解】因?yàn)?，所以的方向向量與平面的法向量共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使，即故答案為：213.曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值為______．第8頁/共19頁【答案】##【解析】【分析】求曲線的切線方程，利用平行線的距離公式求所得直線與已知直線的距離，即可知最小距離.【詳解】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當(dāng)，此時(shí)與的距離，當(dāng)，此時(shí)與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：14.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，則的值為_______.【答案】##0.5【解析】【分析】由和兩類情況，結(jié)合前項(xiàng)的和求解即可；【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.故答案：四、解答題：本題共5小題，共分15.如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，.第9頁/共19頁（1）求線段的長；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】1為起點(diǎn)的三個(gè)向量作為基底，利用基向量表示行求解；（2）設(shè)異面直線與所成的角為，則，再利用空間向量的模長公式、數(shù)量積公式進(jìn)行求解；（3）利用空間向量的數(shù)量積為0進(jìn)行證明.【小問1詳解】設(shè)，，，則，，，.因?yàn)?，所以?0頁/共19頁，所以線段的長為.【小問2詳解】設(shè)異面直線與所成的角為，則，因?yàn)?，，所以，，則，即異面直線與所成的角的余弦值為.【小問3詳解】證明：因?yàn)?，，所以，所以，?16.如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，為與的交點(diǎn)，第11頁/共19頁．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的正方形，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，所以，在中，，，所以，則，又，平面，平面，第12頁/共19頁所以平面.【小問2詳解】中，平面，所以建系如圖所示，則，則，，設(shè)面的法向量為，面的法向量為，則，取，則取，則.設(shè)二面角大小為，則，所以二面角的正弦值為.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)得，，，，，，，，．設(shè)是平面的法向量，第13頁/共19頁則，即，可?。O(shè)是平面的法向量，則，即，可?。裕虼硕娼堑恼抑禐椋?7.上的橢圓:經(jīng)過點(diǎn)為橢圓的離心率.過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)（在軸下方）.（1）求橢圓的方程;（2）過原點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)，求的值;（3）記直線與軸的交點(diǎn)為，若，求直線的斜率.【答案】（1）.（2）.第14頁/共19頁（3）.【解析】1）根據(jù)橢圓過點(diǎn)以及之間的關(guān)系式，即可待定系數(shù)法求解；（2的方程為，示出，設(shè)直線的方程為代入橢圓的方程，可表示出，即可求出結(jié)果；（3）由（2）知，，，則，，結(jié)合，即可聯(lián)立得到關(guān)于的方程，求解即可.【小問1詳解】由橢圓過點(diǎn)，得，又，所以，解得或所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，整理可得，所以，又，第15頁/共19頁所以，由題意設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程可得，所以，所以，所以，所以，即的值為.【小問3詳解】由（2）知，，，則，，因?yàn)?，所以，所以，由?）得，故，故，故，故，所以得，解得，又，所以.所以直線的斜率為.18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為（．（1）若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍；第16頁/共19頁（2第n項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為12的等比數(shù)列的前n新數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】（1）（2）【解析】1的公差為的取值范圍；（21項(xiàng)求和公式即可求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于，所以，解得，所以，若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則對于恒成立，所以在上恒成立，則，所以，又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，故的取值范圍為；【小問2詳解】若，則，根據(jù)題意數(shù)列為：第一組為：1，；第二組為：，，；第三組為：，，，；第17頁/共19頁第組為：，，，；則前組一共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，項(xiàng)數(shù)為.故相當(dāng)于是前組的和再加上這五項(xiàng)，即：設(shè)，則可看成是數(shù)列的前項(xiàng)和所以.19.已知等差數(shù)列滿足，且是的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的最大正整數(shù)的值.【答案】(1)(2)8【解析】1的公差為和和