第03講空間中平行、垂直問(wèn)題10種常見(jiàn)考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

------V-------

1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，歸納出有關(guān)平行的性質(zhì)定理和判定定

理，并加以證明；

2.能利用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

3.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定

理，并加以證明；

4.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

■基礎(chǔ)知.

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIII1I1IIIIIIIIIIIIII1IIIII-----------------------

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

a_____

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直aCa,bUa,a//b^a//

判定定理

線平行，那么該直線與此平面平行a

一條直線和一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線

a//a,aC/3=b

性質(zhì)定理的平面與此平面相交，那么該直線與交線

0alib

平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

bU}a^b

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平

判定定理=P,a//a,b//a

行，那么這兩個(gè)平面平行

今a〃￡

兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于

性質(zhì)a〃夕，aUa=a〃B

另一個(gè)平面z^v7

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相(Z//0,G.ny~^(z

性質(zhì)定理9

交，那么兩條交線平行0Cy=b=ci〃b

3.常用結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若。_La,a邛,則a〃4

(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若a〃￡,p//y,則a〃/

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即“_La,b±a,則

(4)若a〃￡,aUa,則a〃￡.

4.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

l-La)

lib

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直

判定定理a^b=O>今/_La

線垂直，那么該直線與此平面垂直

bUaJ

1)

aJ_a|

性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行-\^a//b

b-La\

5.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是90。；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0。.

TV

(2)范圍：2.

6.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①0G/；②(MUa,OBU0；③OB11,則二面角a—/—/的平面角是NA03.

(3)二面角的平面角a的范圍：0°^ct^l80°.

7.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么l-La\

判定定理

這兩個(gè)平面垂直L1

alp、

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線

aC\B—a

性質(zhì)定理垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線

lA-a

與另一個(gè)平面垂直41/U￡J

8.常用結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

⑵若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方

法).

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

|［豳解題策

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1、線面平行的判定及其性質(zhì)解題策略

(1)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.

(2)利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造過(guò)該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往

借助于比例線段或平行四邊形.

(3)在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立

的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面和已知平面相

交，這時(shí)才有直線與交線平行.

2、面面平行的判定及其性質(zhì)解題策略

(1)判定面面平行的主要方法

①利用面面平行的判定定理.

②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).

(2)面面平行條件的應(yīng)用

①兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.

②兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.

3、證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問(wèn)題的關(guān)

鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

4、證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問(wèn)題的關(guān)

鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

5、證明線線垂直的常用方法

(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系.

(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì).

(3)利用勾股定理的逆定理.

(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì).

6、面面垂直的判定及其性質(zhì)的解題策略

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.

②面面垂直的判定定理(a，0,aca^a±p).

(2)已知平面垂直時(shí)，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線

面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

7、平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

(1)在證明線面、面面平行時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平

行”，

再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具

體條件而定的，不可過(guò)于“模式化”.

(2)在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件，同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直

的轉(zhuǎn)化關(guān)系.特別在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不

存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決.

l|Q考點(diǎn)剖$

------------------lllllllllllllllllllllllllllillltlllllllll-----------------------

考點(diǎn)一：直線與平面平行、垂直位置關(guān)系的判斷

例1.(2023春?山東濱州?高一統(tǒng)考期中)設(shè)m6是兩條不同的直線，a是平面，6ua,那么“ab”

是“a。”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

變式1.(2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥?若a為平面，有下列命題，其中真命

題的是()

A.若直線/平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則/〃a

B.若直線。在平面a外，貝「平面a

C.若直線。b,直線Z?u平面a,則。，平面a

D.若直線。〃瓦6平面。，則。平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線

變式2.【多選】（2023春?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學(xué)校考期中）設(shè)/，機(jī)是空間中不同的直線，a,

夕，7是不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若〃/m，mua,I<za,則〃/<z

B.若Iua,mu/3,a11（3,貝!]/〃加

C.若/ua,muci,I//）3,mlIp,則e〃力

D.若tz//￡,a\y=l,0、y=m,則/〃機(jī)

變式3.【多選】（2023春?吉林?高一校聯(lián)考期中）設(shè)相、”是兩條不同的直線，a、尸是兩個(gè)不同的平面，

下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若〃zua,nu（3,m//n,則a〃尸B.若mua,n±m(xù),則力_Lcr

C.若n//a,貝D.若a〃刀，mua,“u尸，則〃z〃〃

變式4.【多選】（2023春?浙江?高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）"，b,/是不同的直線，?,夕是不同的平面,

下面條件中能證明的是（）

11

A.bua,Iua,a_l_6，a-L/,bcl=O

B.a/3=l,a，B,aVI

C.a，（3,a/I/3

D./±ct,alll

（2023春?湖南長(zhǎng)沙?高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙

盒中有如下結(jié)論，其中正確的是（）

A.AB±EFB.A2與CM所成的角為60。

C.所與MN是異面直線D.〃平面ACD

變式1.【多選】（2023春?浙江?高一湖州中學(xué)校聯(lián)考期中）已知在正四面體A3CD中，E、F、G、//分

別是棱AB,BC,CD,AD的中點(diǎn)，貝U()

A.E/〃平面ACDB.AC.LBD

C.ABI平面打汨D.E、F、G、//四點(diǎn)共面

變式2.【多選】(2023春?廣西柳州?高一柳州地區(qū)高中?？计谥?如圖，正方體ABCD-A4GR的棱長(zhǎng)

為1,且M,N分別為AC,的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.肱V//平面

B.MNJ.AB

C.直線MN與平面ABC。所成角為60

D.點(diǎn)A到平面4出。的距離為更

3

考點(diǎn)二：證明線面平行

[\'例3.(2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)如圖：在正方體ABCD-4qGR中,

M為。2的中點(diǎn).

(1)求證：BR#平面AMC；

(2)在線段CG上是否存在一點(diǎn)N,使得平面AMC.平面BNR,說(shuō)明理由.

變式1.（2023春?河北石家莊?高一校考期中）在直三棱柱ABC-A4C中，已知。為的中點(diǎn).求證：BCJ1

變式2.（2023春?浙江寧波?高一效實(shí)中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA-L

平面ABCD,E為尸。的中點(diǎn).

（1）證明：RB〃平面板;

（2）設(shè)直線網(wǎng)與底面ABCD所成角的正切值為g,釬=1,AD=C，求直線PC與平面R4D所成角的正弦

值.

4.（2023春?陜西延安?高一陜西延安中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟w中D-ABC,四邊形EFGH是矩

形，且AC」3c.

（2）證明：AC,平面BCD.

變式1.（2023春?北京朝陽(yáng)?高一清華附中朝陽(yáng)學(xué)校校考期中）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，BCII平

面尸AD,BC=\AD,E是上4的中點(diǎn).

2

p

⑴求證：BC//AD；

（2）求證：BE〃平面PDC；

變式2.（2023春?天津和平?高一天津市第二H^一中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。

為平行四邊形，N是尸8中點(diǎn)，過(guò)A、N、。三點(diǎn)的平面交PC于設(shè)求證:

(1)PD/平面ANC；

（2）/是PC中點(diǎn).

（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？计谥校┤鐖D,在四棱錐尸-ABCD中,P4，平面

ABCD,DE1平面ABC。,底面ABCD為矩形，點(diǎn)F在棱尸￡＞上，且P與E位于平面ABCD的兩側(cè).

⑴證明:CE平面

⑵若PA=AD=5,AB=2,DE=3,^問(wèn)在線段PZ）上是否存在點(diǎn)F，使得△AC5與AACE的面積相等？若存

在，求F到AD的距離;若不存在，說(shuō)明理由.

變式1.（2023春?浙江?高一期中）三棱柱ABC-的棱長(zhǎng)都為2,。和E分別是B片和AG的中點(diǎn).

⑴求證：直線DE〃平面ABG;

⑵若幺AC=60。，點(diǎn)B到平面ACC.A的距離為73,求三棱錐D-ABQ的體積.

考點(diǎn)三：證明面面平行

6.(2023春?廣東湛江?高一湛江二H^一中校考期中)如圖，在三棱柱ABC—A/SG中，E,F,G,

H分別是AB,AC,AiBi,4。的中點(diǎn).求證:

(1)8,C,H,G四點(diǎn)共面;

⑵平面EFAi//平面BCHG.

變式1.(2023春?山東臨沂?高一?？计谥?如圖，已知點(diǎn)尸是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分

別是AB,PC的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面PAD；

(2)若P8中點(diǎn)為。，求證：平面MNQ〃平面上40.

(3)若上4_L平面ABCD,AB=PA=2,求直線PB與面PAD所成的角.

變式2.（2023春?河南洛陽(yáng)?高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在三棱柱ABC-A.BG中，E,F,G,H分別是AB,AC,

AG，44的中點(diǎn)，求證:

（1）耳C"/平面4EF；

⑵平面\EF//平面BCGH.

變式3.（2023春?陜西西安?高一西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┤鐖D：已知三棱柱ABC-A耳G中，。為BC

邊上一點(diǎn)，2為4G中點(diǎn)，且48〃平面AOC一證明：平面〃平面

B

變式4.（2022春.安徽蕪湖.高一校考期中）如圖，在正四面體S-ABC中，AB=4,E,F,R分別是S3,

SC,&4的中點(diǎn)，取SE,M的中點(diǎn)N,點(diǎn)Q為平面SBC內(nèi)一點(diǎn)

B

(1)求證：平面腦V/?平面AEb

(2)若RQ，平面AEF,求線段RQ的最小值,

考點(diǎn)四：線面平行和面面平行性質(zhì)的應(yīng)用

7.(2023春?福建?高一校聯(lián)考期中)如圖，在三棱臺(tái)DEF-ABC中，AB=3C=C4=2DE=2,

FC=1,ZACF=Z.BCF=90,G為線段AC中點(diǎn)，H為線段BC上的點(diǎn)，BD//平面FGH.

(1)求證：點(diǎn)H為線段8C的中點(diǎn);

(2)求三棱臺(tái)DEF-ABC的表面積.

變式1.(2023春?浙江臺(tái)州?高一臺(tái)州一中?？计谥?如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A8CD為直角梯

形，且NADC=N3CD=90。，AD=2BC=2,DC=3,PA=PD,平面R4D_L平面ABC。，點(diǎn)M在線段

⑴判斷M點(diǎn)在尸3的位置并說(shuō)明理由;

(2)記直線DM與平面B4c的交點(diǎn)為K,求生■的值；

KM

(3)若異面直線CN與必所成角的余弦值為正，求二面角M-CD-A的平面角的正切值.

2

變式2.(2023春?福建三明?高一三明一中?？计谥?如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，NABC=60。，

AB=PC=2,PA=PB=-j2,M為的中點(diǎn)，R為尸8的中點(diǎn)，平面a過(guò)M、C、R三點(diǎn)且與面PAC交

于直線/,/交上4于點(diǎn)Q.

(1)求證：面面A3CD；

(2)求證：=1；

(3)求平面BCQ與平面ABCD所成夾角的正切值.

8.(2022春.黑龍江.高一哈九中?？计谥?如圖，平面a〃平面夕〃平面7,異面直線a、b分

別與平面。、B、Y相交于點(diǎn)AB、C和點(diǎn)。、E、F.已知AC=15,DE=2,AB:8c=1:4,求45、BC、

。尸的長(zhǎng).

變式1.(2022秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一呼和浩特市第十四中學(xué)?？计谀?如圖，四邊形A8EF和四邊形ABC。

均是直角梯形，ZFAB=ZDAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=\,FALCD.

⑴求點(diǎn)F到平面ABCD的距離;

(2)證明：平面BCE〃平面并說(shuō)明在平面EBC上，一定存在過(guò)C的直線/與直線FD平行.

變式2.(2021春?廣東中山?高一統(tǒng)考期末)如圖所示，在正方體耳中，點(diǎn)G在棱RG上,

且2G=：，G，點(diǎn)E、F、M分別是棱AA、AB,BC的中點(diǎn)，尸為線段耳。上一點(diǎn)，AB=4.

(1)若平面的交平面。CGQ于直線/，求證：UN；

(2)若直線與。，平面￡77,試作出平面EGA/與正方體ABC。-各個(gè)面的交線，并寫出作圖步驟,

保留作圖痕跡；設(shè)平面EGN與棱AA交于點(diǎn)。，求三棱錐。-石儀的體積.

考點(diǎn)五：證明線線垂直

例9.(2023春?吉林?高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥?如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)

E,尸分別為AB,2c的中點(diǎn).將一血＞,BEF,DCF分別沿DE,EF,DF折起,使ARC三點(diǎn)重合于點(diǎn)P.

⑴求證：PD±EF；

(2)求三棱錐尸-￡7刀的體積；

(3)求二面角P-EF-D的余弦值.

變式1.(2022春.黑龍江牡丹江.高一牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀?如圖，在直三棱柱ABC-中,

ABYBC,AAi=AB,G是棱4G的中點(diǎn).

B

(1)證明：BC1ABX.

(2)證明：平面A百G，平面ABC.

變式2.(2023春?廣東廣州?高一廣州市第七中學(xué)?？计谥?如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，PA1.

平面ABCD,E,E分別的中點(diǎn)，且R4=AD.

(1)求證：A尸〃平面PEC；

(2)求證：AFLPC.

變式3.(2023春?江蘇淮安?高一淮陰中學(xué)?？计谥?《九章算術(shù)，商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹

堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉膈.陽(yáng)馬居二，鱉膈居一，不易之率也.”陽(yáng)馬是指底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底

面垂直的四棱錐.如圖，己知四棱錐P-ABCD為一個(gè)陽(yáng)馬，PC,面A3CD,M是CO上的一點(diǎn).

(1)求證：BCVPM-,

⑵若N分別是CD,PB的中點(diǎn)，求證：CN〃平面AWP

考點(diǎn)六：證明線面垂直

10.(2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學(xué)?？计谀?如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面A3CO,

AD!IBC,ABJ.BC,9=AD=4,BC=1,AB=5CD=2y/3.

(1)證明：DC，平面PAC；

(2)求AD與平面PCD所成角的余弦值.

變式1.(2023春?河北石家莊?高一?？计谥?如圖，在直三棱柱中，AC=BC=2,AB=2垃,

AD=4,M、N分別為AD、C尸的中點(diǎn).求證：AN工平面BCM.

變式2.(2023春?四川成都?高一成都實(shí)外校考期末)如圖四邊形ABC。是矩形，人平面BCE,BELEC,

點(diǎn)廠為線段BE的中點(diǎn).

(1)求證：CE_L平面ABE；

(2)求證：?！?/平面ACF

變式3.(2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？计谥?已知棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱ABC-4月￡,M,

N分別為棱CG，44中點(diǎn).

(1)證明：GN〃平面4期；

(2)證明：平面ABM.

變式4.(2023春?黑龍江雙鴨山?高一雙鴨山一中?？计谥?如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面48月4,

ACGA均為正方形，4G交AC于點(diǎn)。，ABAC=9Q，。為8C中點(diǎn).

(1)求證：CAL平面A8C；

(2)求直線4G與平面44c所成的角.

變式5.(2023春?廣東廣州?高一廣州四十七中校考期中)如圖，在三棱錐尸-ABC中，24,底面

ABC,P4=AB,ZABC=60。,/BC4=90。，點(diǎn)。、￡分別在棱尸3、PC上，且DE〃BC.

(1)求證3C人平面PAC；

(2)當(dāng)。為尸5的中點(diǎn)時(shí)，求4￡)與平面PAC所成角的正弦值.

變式6.(2023春?天津和平?高一天津一中?？计谥?如圖，已知平面ABC,BBJIA\,AB=AC=3,

BC=245,用=幣,BB、=2布,點(diǎn)E和尸分別為BC和AC的中點(diǎn).

B\

(1)求證：平面5c耳；

(2)求直線44與平面BCB,所成角的大小.

考點(diǎn)七：證明面面垂直

11.(2023春?吉林?高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥?如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD

是邊長(zhǎng)為?的正方形，側(cè)面「的，底面至。，且*所鼻，設(shè)E,尸分別為PC,即的中點(diǎn).

(1)求證：所〃平面PAD；

(2)求證：平面F4B_L平面PDC；

(3)求直線EF與平面A3CD所成角的大小.

變式1.(2023春?安徽六安?高一六安一中校考期中)在斜三棱柱ABC-A?C中，71BC是邊長(zhǎng)為2的正

三角形，側(cè)棱A4，=2vL頂點(diǎn)A在平面ABC的射影為BC邊的中點(diǎn)。.

B

(1)求證：平面3CC'B'_L平面AOA；

⑵求點(diǎn)C到平面AAB的距離.

變式2.(2023春?浙江杭州?高一杭師大附中?？计谥?如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面A3CD是平行四

邊形，ACJ.BC,^ABC=60°,SA=SB=SC=4,ZASB=90°.

(1)求證：平面SAB_L平面ABC；

⑵求SC與平面SAB所成的角的正弦值.

變式3.(2023春?福建南平?高一福建省政和第一中學(xué)?？计谥?如圖，43是，。的直徑，點(diǎn)C是。上的

動(dòng)點(diǎn)，以垂直于O所在的平面ABC

(1)證明：平面PACL平面PBC；

(2)設(shè)尸A=6,AC=1,求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

考點(diǎn)八：面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

例12.(2023春?河北石家莊?高一校考期中)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD為正方形,

平面R4Z>_L平面ABCD,。為棱PD的中點(diǎn)，PAYAD,PA=AB=2.

p

(1)求證：PA_L平面ABCD；

(2)求二面角尸-CD-A平面角的大小.

變式1.(2023春?廣東深圳?高一翠園中學(xué)?？计谥?如圖，在平面五邊形4BCDE中，AB//DC,ZBCD=

90°,AB=AD=1O,AE=6,8c=8,CD=4,ZA￡D=90,EH±AD,垂足為“，將AAOE沿AD折起

(如圖)，使得平面AOE_L平面4BCD

⑴求證：EH_L平面A8CD；

(2)求三棱錐C-ADE的體積;

(3)在線段8E上是否存在點(diǎn)使得Mf〃平面CDE?若存在，求工的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式2.(2023春?安徽六安?高一六安一中?？计谥?如圖，在三棱柱ABC-A4G中，B}C^CCX,平面

平面BCG6

(1)求證：瓦G，AC；

(2)點(diǎn)E是線段BC中點(diǎn)，在線段A片上是否存在點(diǎn)尸，使得所〃平面AGCA,并說(shuō)明理由.

變式3.(2022春?甘肅蘭州?高一蘭州市第二中學(xué)校考期末)如圖，血中，起應(yīng)與血,。是

正方形，平面ABED_L平面ABC,若G、尸分別是EC、8。的中點(diǎn).

(1)求證：G尸//平面ABC；

(2)求證：3C1平面ACD.

考點(diǎn)九：線面平行與垂直關(guān)系的探索性問(wèn)題

13.(2023春?黑龍江牡丹江?高一牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)校考期中)如圖所示,三棱柱ABC-,

底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱底面A3c，點(diǎn)區(qū)尸分別是棱CG，2片上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的

動(dòng)點(diǎn)，EC=2FB=2.

(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，創(chuàng)1//平面4斯？

⑵若//平面AEF,求8M與所所成的角的余弦值.

變式1.(2021春.內(nèi)蒙古包頭.高一統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐P-MCD中，已知底面ABCD是菱形，且

對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O.

⑴若PB=PD,求證：平面尸或＞J_平面PAC;

(2)設(shè)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，在棱PC上是否存在點(diǎn)尸，使得網(wǎng)平面AE產(chǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式2.(2022春.山東聊城.高一山東聊城一中校考期中)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ABCD為平行四

邊形，尸,G分別為的中點(diǎn).

(1)證明：4尸7平面尸。6；

(2)在線段3。上是否存在一點(diǎn)N,使得FN平面PCG,并給出必要的證明.

14.(2022春?山西大同?高一大同市第二中學(xué)校校考期中)如圖，在正方體ABC。-A4G2中,

E為。2的中點(diǎn).

(1)求證：2，//平面71￡(7；

(2)CG上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面AEC//平面BFR,若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式1.(2023春?天津西青?高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谥?如圖，四棱錐P-ABC。中,

AB//CD,AB=2CD,E為用的中點(diǎn).

(1)求證：CE〃平面PAD.

(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F,使得平面％D〃平面CEF?若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

變式2.(2023春?河南洛陽(yáng)?高一?？计谥?如圖，在三棱柱中，E,歹分別為線段AC-AG

的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面BCC14.

(2)在線段BG上是否存在一點(diǎn)G,使平面EFG〃平面ABga?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2020秋?安徽亳州?高一統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐A—BCDE中，四邊形8CDE為菱形,

AB=AD=3,BD=2拒,AE=AC,點(diǎn)G是棱AB上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn).

(1)證明：DF〃平面CEG.

(2)點(diǎn)五為線段2。上一點(diǎn)，設(shè)BH=tBD，若AH,平面CEG,試確定t的值.

變式1.(2022春?河南開(kāi)封?高一統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，側(cè)棱尸D，底面ABCD,底面ABCD

是直角梯形，AB//DC,ADLDC,且AB=A￡>=1,PD=DC=2,E是PC的中點(diǎn).

p

(1)求證：BE〃平面PAD；

PB

(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得PC,平面DEQ?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式2.(2022春?北京?高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中)如圖，四邊形為矩形，出，平面

M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).

(1)求證：MV〃平面E4D；

(2)試確定當(dāng)△中朋與AO滿足什么關(guān)系時(shí)，MN_L平面PC。？并說(shuō)明理由.

(、1例16.(2021春?北京?高一北京市八一中學(xué)?？计谀?如圖所示，在正四棱柱ABC。-A耳G。中,

p是線段AG上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：母7/平面AC，；

(2)在線段AG上是否存在一點(diǎn)P,使得平面BAP，平面AC，？若存在，請(qǐng)求出AC：AP的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式1.(2022春?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=3,

BC=4,已知AE=gED,且PE_L平面ABC。，BF=FC，CG=2GD.

(1)在線段BG上確定一點(diǎn)M使得平面PEN，平面PFG,并說(shuō)明理由；

(2)若二面角尸-FG-E的余弦值為求PG與平面所成角的正切值.

變式2.(2021?浙江?高一期末)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是ND4B=60且邊長(zhǎng)為a

的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面A3CD,若G為AD的中點(diǎn)，E為8C的中點(diǎn).

AB

（1）求證：BG〃平面PDE；

（2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)E使平面DEF，平面ABCD,若存在，確定點(diǎn)產(chǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明

理由.

考點(diǎn)十：平行與垂直的綜合應(yīng)用

17.（2023春?浙江?高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是菱形,

AB=4,ZZMB=60°,PA=PD=RPB=K，M,N分別為尸3,OC的中點(diǎn).

⑴求證：MN〃平面上4D；

（2）求證：面上4￡?_1面4￡8.

變式1.（2021秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AgCQ中，AB=3C,ACBD=O,

點(diǎn)尸為的中點(diǎn).求證:

⑴直線22〃平面由C；

（2）平面上4C_L平面BDDt.

變式2.（2023春?天津西青?高一天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在直四棱柱48皿-4耳。2

中，CG，平面ABCD,底面ABCD是菱形，S.BC=DC=DB=AA,=2,E是8c的中點(diǎn).

⑴求證：2，//平面。EC1；

（2）求證：直線平面ABCG；

（3）求直線BDi與平面，OCG所成角的正弦值.

變式3.（2022春?福建?高一福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┤忮F（如圖1），。、E、尸分別是

圖1圖2

(1)若AB=AC,DB=DC,求證：AD1BC

(2)求證：FG//平面30E.

［域真題演練

----------------------IIIIII1III11IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

1.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）在三棱錐尸-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足線段尸5上的點(diǎn)

2

N滿足PN'PB，則三棱錐尸-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為（）

A.1214

B.-C.-D.-

9939

2.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)三棱臺(tái)ABC-中，若AA，面ABC,AB±AC,AB=AC=AAt=2,AQ=1,

分別是中點(diǎn).

⑴求證：AN//平面G〃A；

(2)求平面CXMA與平面ACC,4所成夾角的余弦值;

(3)求點(diǎn)C到平面QMA的距離.

3.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱錐尸-ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2及,PB=PC=5

3尸,42,3。的中點(diǎn)分別為￡>,￡。，點(diǎn)尸在AC上，BF±AO.

A

(1)求證：￡F〃平面ADO；

(2)若Z.POF=120°,求三棱錐P-ABC的體積.

4.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱錐P—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2日PB=PC=底,

BP,AP,8c的中點(diǎn)分別為。，E,O,AD=y/5DO,點(diǎn)/在AC上，BFLAO.

⑴證明：￡F〃平面ADO；

（2）證明：平面ADO_L平面BER

（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

營(yíng)過(guò)關(guān)檢測(cè);

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示，P為矩形A8CD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為。，M為

尸3的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①〃平面PBC②〃平面PCD③OA///平面產(chǎn)。4④OM//平面

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知兩個(gè)平面a,夕，兩條直線1,m,則下列命題正確的是（）

A.若Iua,貝

B.若/uc,mu/3,“I_L,則e_L#

C.若lua,mua,m///3,I（3,則e〃4

D.若/,“z是異面直線，lea,IP,mu/3,m//a,則a〃夕

3.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，尸點(diǎn)在側(cè)面SCO內(nèi)及其

邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持PE〃平面S3。.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與一SCD組成的相關(guān)圖形最有可能是圖中的

（）

S

ssss

Dc

4.（2023春.河北石家莊.高一?？计谥校┤鐖D一，矩形ABCD中,BC=2AB,A"_L皮）交對(duì)角線8。于

點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)現(xiàn)將沿8。翻折至oABD的位置，如圖二，點(diǎn)N為棱AD的中點(diǎn)，則下列判

斷一定成立的是（）

圖一圖二

A.BD1CNB.A'O_L平面BCD

C.CN//平面AOMD.平面AOAfJ_平面3CD

5.（2022?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為底面正方形對(duì)角線的交

點(diǎn)，P為棱CG上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.BD工平面PCEB.植目=又

C.當(dāng)AC"/平面時(shí)，P為CG的中點(diǎn)D.—3PD的取值范圍為

二、多選題

6.（2023?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知/，機(jī)為直線，a,6為平面，下列結(jié)論正確的是（）

A.若/_Le,:“〃a,貝!B.若/則

C.若/則〃//D.若ILa,l〃。,則

7.（2023?云南?校聯(lián)考三模）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若直線。不平行于平面a,a^a,則a內(nèi)不存在與。平行的直線

B.若平面aJ_平面內(nèi),平面a平面%=/,/,1