專題08斜面模型

模型講解

一.斜面模型

斜面模型是高中物理中最常見的模型之一，斜面問題千變?nèi)f化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固

定，也可能運動，運動又分勻速和變速；斜面上的物體既可以左右相連，也可以上下疊加。物體之間可以

細(xì)繩相連，也可以彈簧相連。求解斜面問題，能否做好斜面上物體的受力分析，尤其是斜面對物體的作用

力（彈力和摩擦力）是解決問題的關(guān)鍵。

對沿粗糙斜面自由下滑的物體做受力分析，物體受重力加g、支持力尸心動摩擦力/,由于支持力

FN=mgcos0,則動摩擦力/=〃"=〃"gcos，，而重力平行斜面向下的分力為加gsin。，所以當(dāng)

加gsin。=〃"gcos。時，物體沿斜面勻速下滑，由此得sin。=〃cos。，亦即〃=tan。。

1.所以物體在斜面上自由運動的性質(zhì)只取決于摩擦系數(shù)和斜面傾角的關(guān)系。

當(dāng)〃<tan。時，物體沿斜面加速速下滑，加速度a=g（sin。cos。）；

當(dāng)〃=tan。時，物體沿斜面勻速下滑，或恰好靜止；

當(dāng)〃〉tan。時，物體若無初速度將靜止于斜面上；

2.對于光滑斜面無論物體下滑還是上滑加速度大小均為：a=gsind

3.對于粗糙斜面物體下滑過程加速度大小為：a=g（sin。cos。）

上沖過程加速度大小為：a=g（sinO+〃cos。）

二.斜面模型的衍生模型----“等時圓”模型

1.“光滑斜面”模型常用結(jié)論

如圖所示，質(zhì)量為加的物體從傾角為0、高度為人的光滑斜面頂端由靜止下滑，則有如下規(guī)律：

（1）物體從斜面頂端滑到底端所用的時間t,由斜面的傾角0與斜面的高度/7共同決定，與物體的質(zhì)量無關(guān)。

1

關(guān)系式為t

sin。

(2)物體滑到斜面底端時的速度大小只由斜面的高度〃決定，與斜面的傾角。、斜面的長度、物體的質(zhì)量無關(guān)。

關(guān)系式為

2.“等時圓”模型及其等時性的證明

1.三種模型(如圖)

2.等時性的證明

設(shè)某一條光滑弦與水平方向的夾角為a,圓的直徑為d(如圖)。根據(jù)物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速直

線運動，加速度為。=8$畝0：,位移為x=dsina,所以運動時間為件='g面工='國。

VaVgsinag

即沿同一起點(圓的最高點)或終點(圓的最低點)的各條光滑弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短

無關(guān)。

案例剖析1

--------——-

【例1].如圖所示,斜面ZC長￡=4m,傾角。=37。，CD段為與斜面平滑連接的水平地面。一個質(zhì)量機=2kg

的小物塊從斜面頂端/處由靜止開始滑下。小物塊與斜面、地面間的動摩擦因數(shù)均為〃=0.5。不計空氣阻

力，g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8□求：

(1)小物塊在斜面上運動時的加速度大小a；

(2)小物塊滑到斜面底端C點時的速度大小v；

(3)求小物塊在水平地面上滑行的最遠(yuǎn)距離X。

A

【答案】(1)a=2m/s2;(2)v=4m/s；(3)x=1.6m

【詳解】（1）小物塊在斜面上運動時受重力、支持力、滑動摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律得

mgsin37°-/nmgcos37°=ma

解得

a=2m/s2

（2）小物塊滑到斜面底端C點時，有

v2=2aL

解得

v=4m/s

（3）小物塊在水平地面上滑行時，地面給的滑動摩擦力是物塊的合力，則

/amg=ma2

解得

2

a2=5m/s（方向水平向左）

物塊在水平面上有

0—v~——2a

解得

x=1.6m

【例2】.如圖甲所示，P、。是某豎直面內(nèi)的兩點，它們之間的高度差%=0.3m,水平距離4=L2m。將

一根直金屬細(xì)桿沿尸。方向固定。將一個帶有小孔的珠子套在桿上，孔的直徑略大于桿的直徑。珠子恰好能

沿桿勻速下滑。

（1）求珠子與桿之間的滑動摩擦系數(shù)；

（2）若將細(xì)桿彎折成PN和兩段，如圖乙所示。其中尸N與水平方向夾角為6,NK7K平,P、N兩點

高度差為右。它們之間由一段極短的圓弧連接。該圓弧只改變珠子的速度方向，不改變其大小。取sind=0.6,

2

cos（9=0.8,g=1Om/so將珠子從尸點由靜止釋放，若珠子滑到K位置停止滑動，求K點到尸點的水平距

離X。

P

【答案】(1)0.25；(2)1.2m

【詳解】(1)珠子受重力、支持力、摩擦力作用，如圖

N=mgcosa

f=mgsina

由三角函數(shù)可知

h八V

tana=—=0.25

d

由滑動摩擦力公式可知

f="N

聯(lián)立可得

/Li=0.25

(2)由三角函數(shù)可知

PN=---------=0.5m

sin37°

根據(jù)牛頓第二定律可知，沿尸N下滑時有

mgsin37°-pimgcos37°=ma

下滑到底端的過程有

2a-PN=v2

在水平面滑行時，有

pimg=ma'

2a'-NK=v2

聯(lián)立可得

NK=0.8m

則K點到P點的水平距離

x=MC+7Wcos37°=1.2m

【例3].如圖在設(shè)計三角形的屋頂時，使雨水盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦

地流動，試分析：在屋頂寬度(2Z)一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時間是多少？

【詳解】

如圖所示，通過屋頂作直線/C與水平線8C相垂直；并以L為半徑、。為圓心畫一個圓與NC、2C相切;

然后，畫傾角不同的屋頂//、A2B.A3B...從圖可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有/汨是圓的弦,

而其余均為圓的割線；根據(jù)“等時圓”規(guī)律，雨水沿/田運動的時間最短，且最短時間為

屋頂?shù)膬A角滿足

L

tana——=1

L

可得

?=45°

【例4】圖甲是某景點的山坡滑道圖片，為了探究滑行者在滑道直線部分滑行的時間，技術(shù)人員通過測

量繪制出如圖乙所示的示意圖。48是滑道，。點是/C豎直線上的一點，且有4D=D3=20m,滑道48可視

為光滑，滑行者從坡頂/點由靜止開始沿滑道N3向下做直線滑動，g10m/s2,則滑行者在滑道上滑

行的時間為多少？

圖甲

【答案】2拒s

【詳解】解法一：設(shè)N8與豎直方向夾角為0,則

1JT

—gsin（--0）t2=2ADcos0

解得

。。4AD

4/cos=2缶

gsin(1-6?)g

解法二：以。為圓心，AD.為半徑構(gòu)建等時圓，/為等時圓的最高點，N3為圓的弦；由等時圓推論,

物體從圓上最高點由光滑弦自由下滑時間等于沿豎直直徑自由落體運動的時間，則

綜合應(yīng)用

一、單選題

1.如圖所示，一可視為質(zhì)點的小物塊先后沿兩光滑斜面I和n從頂端由靜止滑下，到達(dá)底端的時間分別為〃

和0斜面I與水平面的夾角為30。，斜面II與水平面的夾角為45。（未標(biāo)出），則（）

If

I\\

A.t\>GB.hfC.t\<GD.無法判斷

【答案】A

【詳解】設(shè)斜面的底邊長為小斜面的傾角為e,則斜邊的長度

L

x=------

cos。

根據(jù)牛頓第二定律

mgsin0=ma

解得

a=gsin3

根據(jù)

12

x——at

2

解得

\gsin28

將30。，45。帶入則

t2<tl

故選Ao

2.如圖甲所示，在傾角為。=30。的固定斜面頂端靜止一個質(zhì)量為根的木塊，在斜面底端裝有一個位移傳

感器，位移傳感器與電腦相連。己知位移傳感器可以測量木塊與傳感器間的距離x并通過數(shù)據(jù)線輸入電腦。

置于斜面頂端的木塊以某一初速度沿斜面下滑，以x為縱軸，以時間/為橫軸，得到如圖乙所示的XV圖像,

圖中的斜虛線為圖線的切線，切點為（0,x。）。圖中Xo=lm、X[=0.4m、，o=O.5s、4=0.4s。已知重力加

速度為g=10m/s2,則下列判斷正確的是（)

B.木塊運動加速度的大小為2.5m/s2,方向沿斜面向下

C.木塊運動加速度的大小為2.5rn/s2,方向沿斜面向上

D.木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)〃<tan30。

【答案】C

【詳解】A.由于X—圖像的斜率為物體的速度，所以其初速度為

v0=—=2m/s

%

故A項錯誤；

BC.木塊沿斜面勻減速下滑，設(shè)加速度大小為。，則圖線的方程為

12

x=x^-vQt+—at

當(dāng)f=/]=0.4s時，位移為%=0.4m,解得

a=2.5m/s2

加速度方向沿斜面向上，故B錯誤，C正確；

D.對物體有

jumgcosd-mgsind=ma

解得

也

LI=——>tan30°

2

故D項錯誤。

故選C。

3.如圖（a）,一物塊在/=0時刻沖上一固定斜面，其運動的v-f圖線如圖（b）所示。若重力加速度g及

圖中的％、%、4均為已知量，則根據(jù)這些信息，不能求出（

A.物塊的質(zhì)量B.斜面的傾角

C.物塊沿斜面向上滑行的最大距離D.物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)

【答案】A

【詳解】物體上滑的加速度

a一為

由牛頓第二定律

mgsin0+jumgcos0-max

物體下滑的加速度

出=工

A

由牛頓第二定律

mgsinO-/dmgcos0=ma2

聯(lián)立可得斜面的傾角。和物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)〃，但不能求解物塊的質(zhì)量7"；根據(jù)

V；=2als

可求解物塊沿斜面向上滑行的最大距離。

故選Ao

4.如圖所示，某幼兒園要做一個兒童滑梯，設(shè)計時根據(jù)場地大小確定滑梯的水平跨度為3滑板和兒童之

間的動摩擦因數(shù)為〃，假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，為使兒童在滑梯中能沿滑板無初速滑下，則滑梯

高度至少為（）

L

A.RLBJl+J

L

C.一D.yJl+jU2L

【答案】A

【詳解】由題意為使兒童在滑梯中能沿滑板滑下，則應(yīng)該讓兒童恰好能勻速下滑，即

mgsinO=jumgcosO

故

ju=tan。

由幾何關(guān)系可得

tan0=——

L

解得

H=陷

故選Ao

5.如圖所示，豎直平面內(nèi)存在半徑為R的大圓和半徑為r的小圓，兩個圓的公切線水平，有兩條傾斜的光

滑軌道，一條與大圓相交于/、B兩點，/點為大圓的最高點，另一條軌道一端交于大圓的C點.另一端交

于小圓的。點，且過大圓和小圓的公切點?，F(xiàn)讓一物體分別從兩條軌道的頂端/、C由靜止釋放，分別滑

到B點和。點（假設(shè)物體能夠無障礙地穿過CD與圓的交叉點），物體在兩條軌道上的運動時間分別為〃B、

tCD，重力加速度為g，下列判斷正確的是（）

杷

A.t—tcoB.tAB>tCD

【答案】D

【詳解】設(shè)軌道N8與豎直方向的夾角為則物體在軌道上運動的加速度大小為

mgcosa

a=-----------=gcosa

m

根據(jù)運動學(xué)公式可得

12

xAB=2Rcosa=—atAB

解得

設(shè)軌道CD與豎直方向的夾角為廣，則物體在軌道CO上運動的加速度大小為

fl,=mgcos^=gcos^

m

根據(jù)運動學(xué)公式可得

xCD=（27?+2廠）cos尸=；a't^,D

解得

t_^2（27?+2r）cos/?_^4（7?+r）'+r

則有

，AB<‘CD

故選D。

6.一個質(zhì)點自傾角為。的斜面上方定點/,沿光滑斜槽從靜止開始滑下,為了使質(zhì)點在最短時間到達(dá)斜面,

斜槽與豎直方向的夾角尸應(yīng)等于（）

171

A.—aB.aC.----aD.0

22

【答案】A

【詳解】如圖

A

過/點作圓形與斜面相切于8點，設(shè)圓形半徑為R,則

mgcosp=ma,x^-at2,x=2Rcos/3

聯(lián)立得

小球從4點沿軌道運動至圓上的時間相等，即等時圓。說明小球到達(dá)斜面上8點的時間最短，由幾何關(guān)系

故選Ao

7.如圖，AC.為位于豎直平面內(nèi)的兩根光滑細(xì)桿，AC<BC,4、B、C恰好位于同一圓周上，C為最

低點，°、6為套在細(xì)桿上的兩個小環(huán)，當(dāng)兩環(huán)同時從/、8兩點由靜止開始自由下滑到C的過程中，下面

C

A.加速度大小相同B.時間相同

C.末速度大小相同D.平均速度大小相同

【答案】B

【詳解】A.設(shè)細(xì)桿與豎直方向的夾角為仇則加速度

mgcos0_

a=----------=gcos6

m

兩細(xì)桿與豎直方向的夾角不同，則加速度大小不相同；選項A錯誤;

B.根據(jù)

1,

2Rcos0=—at2

2

可得

則兩環(huán)下滑的時間相同，選項B正確;

C.根據(jù)

v=at

可知，加速度不同，時間相同，則末速度大小不相同，選項C錯誤;

D.根據(jù)

-V

V=-

2

可知，平均速度大小不相同，選項D錯誤。

故選B。

二、多選題

8.如圖所示，1、2、3、4四小球均由靜止開始沿著光滑的斜面從頂端運動到底端，其運動時間分別為小

t2、打、t”已知豎直固定的圓環(huán)的半徑為rO為圓心，固定在水平面上的斜面水平底端的長度為Gr,重

力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.4W%2LB.%3=G

C.D.〃-3=(2-拒

【答案】BC

【詳解】A.1號小球的加速度為

mgcos30°,

=-............=gcos30no

%m

位移為

1

2rcos30°=—7

運動時間為

L2t

2號小球的加速度為

加geos60°

a=-............=gcos60°

2m

位移為

2-cos60。=5出以

運動時間為

既

4=

故A錯誤；

B.3號小球的加速度為

mgcos30°

a=-.............=gcos30

3m

位移為

4"

sin30°233

運動時間為

Y喑

4號小球的加速度為

mgcos60°

a=--------------=gcos60

4m

位移為

V3r1產(chǎn)

sin60°-2a3

運動時間為

既

，3=乙

故B正確；

CD.比較可得

An-，2=2（后一i）.

故C正確，D錯誤。

故選BC=

三、解答題

9.伽利略被譽為“經(jīng)典物理學(xué)的奠基人”，他認(rèn)為將A、B兩個斜面對接起來，讓小球沿斜面A從靜止?jié)L下,

小球滾上另一斜面B。如果無摩擦，無論斜面B比斜面A陡些還是緩些，小球最后總會在斜面B上的某點

速度變?yōu)榱悖@點據(jù)斜面底端的豎直高度與它出發(fā)時的高度相同。如圖所示，設(shè)起點為P終點為“，已知

a=45°,[3=30°,試求：

(1)小球在A、B兩斜面上運動的加速度大小之比；

(2)小球從尸到q的過程中，在A、B兩斜面上運動的時間之比。

【答案】⑴0:1(2)1：V2

【詳解】(1)對小球在斜面上進(jìn)行受力分析，由牛頓第二運動定律可得

mgsina=maK

mgsin0=maB

故

aA_sina_41

aBsinf31

(2)由勻變速直線運動規(guī)律公式可得

h12

SA=-=T〃A/A

sma2

同理可得

h12

SBR=sin￡=2BB

解得

tA_sin/?_1

tBsina=正

10.一足夠長的斜面固定在水平地面上，斜面傾角6=30。，斜面分為粗糙程度不同的A8段和段。段

長22.5m,與物體間的動摩擦因數(shù)為從，8c段足夠長，與物體間的動摩擦因數(shù)為〃?，重力加速

度g=10m/s2。質(zhì)量機=2kg的物體恰好能在斜面的AB段勻速下滑。

(1)求斜面段的動摩擦因數(shù)從；

(2)如圖所示，如果給物體一個方向沿斜面向上的拉力尸=30N,使物體從A點由靜止開始運動，運動到8點

時立即撤去拉力尸，求物體再次回到3點時的速度。

【答案】(1)立(2)5V3m/s,方向沿斜面向下

3

【詳解】(1)由題可知，物體恰好能在斜面的段勻速下滑，有

mgsin0=juxmgcos0

解得

(2)物體在段做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律可得加速度大小為

%J-mgsin"⑷〃gcos6=5m/s2

m

根據(jù)運動學(xué)規(guī)律可得4=2%S/B,解得物體運動到B點時速度大小

vB=15m/s

此后撤去拉力，物體先在8C段向上做勻減速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律可得加速度大小為

mgsin0+//mgcos0

----------2-------=7.5m/s

m

其中

1

6

向上運動位移為

x,=—^-=15m

2a2

之后向下做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律可得加速度大小為

_mgsinO-/zmgcos0

—2—?/QIT1/S2

m

則物體再次回到8點的速度大小為

vB=J2a3X]=5\5m/s

方向沿斜面向下

11.一質(zhì)量為/=lkg的滑塊能在傾角為0=37。的足夠長的斜面上以2m/s2勻加速下滑。如圖所示，若用一

水平向右的恒力廠作用于滑塊，使之由靜止開始在f=2s內(nèi)能沿斜面運動的位移為x=hn,求：（取

g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）滑塊和斜面之間的動摩擦因數(shù)〃；

（2）恒力/的大小。

【答案】（1）〃=0.5；（2）當(dāng)加速度沿斜面向上時，片=21N；當(dāng)加速度沿斜面向下時，8=L364N。

【詳解】（1）以物塊為研究對象受力分析如圖甲所示

根據(jù)牛頓第二定律可得

mgsin37°-/jmgcos37°=max

解得

〃=0.5

（2）使滑塊沿斜面做勻加速直線運動

12

x=—at

2

解得

a=0.5m/s2

加速度有沿斜面向上和沿斜面向下兩種可能。當(dāng)加速度沿斜面向上時，受力分析如圖乙所示

X方向,由牛頓第二定律得

乙

々cos37°-mgsin37°-〃/方向,受力平衡

%=Fxsin37°+mgcos37°

代入數(shù)據(jù)得

耳=21N

當(dāng)加速度沿斜面向下時，受力分析如圖丙所示

方向，由牛頓第二定律得

丙

洸gsin37。-鳥cos37。-〃舔2=儂少方向，受力平衡

=F2sin37°+mgcos37°

代入數(shù)據(jù)得

￡=1.364N

12.傾角6=30。的斜面固定在水平地面上，有一質(zhì)量加=3kg的小物塊（可視為質(zhì)點）靜止于斜面底端，將

一平行于斜面向上的恒力尸=45N作用于小物塊上，使其由靜止開始沿斜面向上做勻加速直線運動，小物塊

運動％=2s后撤去恒力尸，再經(jīng)過時間（大小未知）小物塊靜止且剛好到達(dá)斜面的頂端。已知小物塊與斜

面間的動摩擦因數(shù)〃=g,取重力加速度大小g=10m/s2,求：

(1)t2;

(2)斜面的長度￡。

【答案】(1)1s；(2)15m

【詳解】(1)當(dāng)小物塊勻加速上滑時，根據(jù)受力分析和牛頓第二定律有

F-mgsmO-f=mai

其中

f=jLimgcos0

撤去恒力F時小物塊的速度大小

匕=貼

撤去恒力尸后，根據(jù)牛頓第二定律有

mgsin9+f—ma2

根據(jù)運動學(xué)公式有

%=a2t2

解得

t,=Is

(2)根據(jù)運動學(xué)公式，小物塊勻加速運動的位移

x-%

西一2?

小物塊勻減速運動的位移

斜面的長度

L=XX+X2

解得

L=15m

13.如圖甲，天臺安科村滑草場驚險刺激，深受人們喜愛。簡化圖像如圖乙所示，假設(shè)某人坐在滑板上從

斜坡的高處/點由靜止開始滑下，滑到斜坡底端2點后，沿水平的滑道再滑一段距離到C點停下來。如果

人和滑板的總質(zhì)量加=60kg,滑板與斜坡滑道和水平滑道間的動摩擦因數(shù)均為〃=0.5,斜坡的傾角。=37。

(sin37°=0.6,cos37°=0.8),斜坡與水平滑道間是平滑連接的，整個運動過程中空氣阻力忽略不計，重

力加速度為g=10m/s2。求：

(1)人從斜坡上滑下的加速度為多大？

(2)若距離為10m,求人和滑板滑到斜面底端的速度大?。?/p>

(3)若由于場地的限制，水平滑道的最大距離8C為￡=20.0m,則人在斜坡上滑下的距離應(yīng)不超過多

少？

圖甲圖乙

【答案】（1）2m/s2;（2）v=2V10m/s：（3）50m

【詳解】(1)根據(jù)牛頓第二定律得，人從斜坡上滑下的加速度為

%=-sin37。-售〃gcos37。=2mzs?

m

(2)根據(jù)速度與位移的關(guān)系有

2aX

V=iAB

解得

v=2VHim/s

(3)在水平面上做勻減速運動的加速度大小為

2

a2="g=5m/s

根據(jù)速度位移公式得，8點的速度為

vB-yj2a2L-1oV2m/s

根據(jù)速度位移公式得

3才50m

14.一個小物塊以初速度%=10m/s沖上足夠長的粗糙斜面，斜面傾角6,物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為〃,

小物塊在斜面上運動的v-f圖像如圖所示，重力加速度g取10m/s?，求斜面傾角e的正弦值sine及物塊與

斜面間的動摩擦因數(shù)〃。

【答案】sin。=0.6,〃=0.5

【詳解】由V—圖像的斜率表示加速度，第1秒內(nèi)物塊的加速度大小

%=-=10m/s2

Nt

第2,3秒內(nèi)物塊的加速度大小

包=2m/s2

△t

第1秒內(nèi)小物塊沿斜面向上做勻減速運動，由牛頓第二定律得

mgsin0+jumgcos0=max

第2,3秒內(nèi)小物塊沿斜面向下做勻加速運動，由牛頓第二定律得

mgsin0-jumgcos0=ma2

解得

sin。=0.6,〃=0.5

15.如圖所示，固定不動的足夠長斜面傾角0=37。，一個質(zhì)量為10kg的物體A以v0=12m/s的初速度，從斜

面底端開始沿斜面向上運動，恰好能運動到斜面頂端，動摩擦因數(shù)為0.5。（g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

求：

（1）物體沿斜面上升過程中的加速度；

（2）斜面的長度；

（3）物體返回到斜面底端的速度。

【答案】（1）lOm/s2,方向沿斜面向下；（2）7.2m；（3）-y-V5m/s

【詳解】（1）物體上滑時，根據(jù)牛頓第二定律可得

mgsin0+jjmgcos0=max

解得

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