專題11一元二次方程

考點(diǎn)一：一元二次方程之相關(guān)概念

知識(shí)回顧

1.一元二次方程的定義：

只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式為：口?+陵+。=0（。。0）。其中是二次項(xiàng)，。是二次項(xiàng)系數(shù)；區(qū)是

一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。

微專題

1.（2022?廣東）若x=l是方程/-2r+a=0的根，則a=.

2.（2022?連云港）若關(guān)于尤的一元二次方程見(jiàn)?+"尤-i=o（加=0）的一個(gè)根是％=1,則m+n的值是.

3.（2022?資陽(yáng)）若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一個(gè)根，則2°2+4a的值是.

4.（2022?遂寧）己知m為方程f+3x-2022=0的根，那么m3+2/n2-2025m+2022的值為（）

A.-2022B.0C.2022D.4044

5.（2022?衢州）將一個(gè)容積為360c77?的包裝盒剪開(kāi)鋪平，紙樣如圖所示.利用容積列出圖中無(wú)（°機(jī)）滿足

的一元二次方程：（不必化簡(jiǎn)）.

考點(diǎn)二：一元二次方程之解一元二次方程

知識(shí)回顧

1.直接開(kāi)方法解一元二次方程:

適用形式：=。或（x+。）2=〃或（內(nèi)+。2=〃（"均大于等于0）

①兀2=0時(shí)，方程的解為：％i=J7，X2=-Jpo

②（x+a）2=〃時(shí)，方程的解為：X1=-\l~P~a>x2=~y[p^a°

=0

③（0X+A）2=Q時(shí)，方程的解為：,X2—一~

aa

2.配方法解一元二次方程：

運(yùn)用公式：a2,+2ab+b2=（a+b^?

具體步驟：①化簡(jiǎn)一一將方程化為一般形式并把二次項(xiàng)系數(shù)化為1。

②移項(xiàng)一一把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊。

③配方一一兩邊均加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

④開(kāi)方一一整理式子，利用完全平方式開(kāi)方降次得到兩個(gè)一元一次方程。

⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。

即：

2

ax+b1x-\-c=0

2bc_

X-\---XH---=0

aa

2bc

x-\—x=—

.bylb2-4ac

??x-\----=-------------

2a2a

若廬―4ac20,則即可求得兩根。

3.公式法解一元二次方程：

（1）根的判別式：由配方法可知，廬-4ac即為一元二次方程根的判別式。用△表示。

①A=廬-4ac>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

②公=信-4ac=0o方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

③A=廬_4acV0o方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

（2）求根公式：

當(dāng)A=Z?-4ac20時(shí)，則一元二次方程可以用x=—1土—4一來(lái)求出它的兩個(gè)根,這就

2a

是一元二次方程的求根公式。

@A=b2-4ac>0時(shí)，一元二次方程的兩根為期=-0+J廬-4絲=-b—'bjac。

2a2a

ob

②卜=b~-4ac=0時(shí)，一元二次方程的兩根為X]=%2=------。

-2a

③A=扇一4acVO時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

4.因式分解法求一元二次方程：

利用因式分解的手段將一元二次方程化為AB=0的形式，再利用A=0或3=0來(lái)求解二元一次

方程。

f------------------\

微專題

\__________________/

6.（2022?臺(tái)灣）已知一元二次方程式（x-2）2=3的兩根為。、b,且a>b,求2a+b之值為何？（）

A.9B.-3C.6+V3D.-6+73

7.（2022?聊城）用配方法解一元二次方程3/+6x-1=0時(shí)，將它化為（x+a）2=6的形式，則a+b的值為

（）

1074

A.—B.—C.2D.—

333

8.（2022?雅安）若關(guān)于x的一元二次方程/+6x+c=0配方后得到方程（x+3）2=2c,則c的值為（）

A.-3B.0C.3D.9

9.（2022?甘肅）用配方法解方程/-2x=2時(shí)，配方后正確的是（)

A.(x+1)2=3B.(x+1)2=6C.(x-1)2=3D.(x-1)2=6

10.（2022?荊州）一元二次方程/-4x+3=0配方為（x-2）2=k,則k的值是

11.（2022?東營(yíng)）一元二次方程/+4尤-8=0的解是（）

A.xi=2+26,xi—1-2V3B.XI=2+2A/2,X2=2-2V2

C.xi=-2+2V2,x2=-2-2V2D.xi=-2+2V3,X2=-2-2V3

12.（2022?臨沂）方程/-2x-24=0的根是（)

A.xi=6,X2=4B.xi=6,X2=-4

C.xi=-6,X2=4D.xi=-6,X2=-4

13.（2022?包頭）若XI,X2是方程/-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則X1?X22的值為（）

A.3或-9B.-3或9C.3或-6D.-3或6

14.（2022?天津）方程/+4x+3=0的兩個(gè)根為()

A.xi=l,%2=3B.xi--1,xi—3

C.xi=l,X2=-3D.xi=-1,X2=-3

15.(2022?梧州)一元二次方程（尤-2）（x+7）=0的根是

16.(2022?云南)方程2/+1=3尤的解為

17.(2022?淮安)若關(guān)于x的一元二次方程X2-2X-k=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則k的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.1

18.(2022?攀枝花)若關(guān)于%的方程x2-X-m=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍是（）

11

A.m<一B.mW—C.--D.m>-一

4444

19.(2022?內(nèi)蒙古)對(duì)于實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算“軟'為a^b=b2-ab,例如302=22-3X2=-2,則關(guān)于

x的方程（k-3）甌=4-1的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

20.（2022?巴中）對(duì)于實(shí)數(shù)b定義新運(yùn)算：a?b=a/-b,若關(guān)于尤的方程1※了二上有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根，則上的取值范圍（)

11C.左＞-工且左WOD.左且左WO

A.k>--B.k<--

4444

21.（2022?安順）定義新運(yùn)算a*6：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,。滿足a%=（a+b）（a-b）-1,其中等式右邊是通

常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1=4.若xV=2x"為實(shí)數(shù)）是關(guān)于

尤的方程，則它的根的情況是（）

A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

22.（2022?西寧）關(guān)于尤的一元二次方程2/+苫-左=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是（）

1）11、1

A.k<~—B.kW~-C.左>--D.Z2—-

8888

23.（2022?西藏）已知關(guān)于x的一元二次方程（M-1）W+2x-3=0有實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是（）

2222

A.mN—B.m<—C.m>—且根D.m2—且znWl

3333

24.（2022?大連）若關(guān)于尤的一元二次方程/+6x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（）

A.36B.9C.6D.-9

25.（2022?營(yíng)口）關(guān)于龍的一元二次方程/+4x-m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.m<4B.m>-4C.mW4D.m2-4

26.（2022?東營(yíng)）關(guān)于元的一元二次方程（k-1）/-2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍

是.

27.（2022?上海）已知f-2加葉機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是.

28.（2022?岳陽(yáng)）已知關(guān)于x的一元二次方程尤2+2尤+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是.

考點(diǎn)三：一元二次方程之根與系數(shù)的關(guān)系：

f-X

知識(shí)回顧

■

1.根與系數(shù)的基本關(guān)系：

若為，巧是一元二次方程。/+以+。=0的兩個(gè)根，則這兩個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系為：

bc

西+=---9苞.12=一°

-aa

同時(shí)存在：ar：+bxx+c=0,+也+c=0。

2.常考推廣公式：

(DX：+%2=(%1+-^2)2-2兄1%2°

②西君+城巧=西九2（巧+畫）。

③工+二工+且平+電。

的巧為％2%1%2的巧

④a+理=立+^L=X；+x[=（X1+X2）2—2XM2。

xxxxxx

x1x2尤1尤2l2l2l2

⑤（西+oX巧+p）=xlx2+p（xl+%2）+P1。

⑥（國(guó)-電）2=（%1+為F-例巧。

微專題

29.（2022?益陽(yáng)）若元=-1是方程/+%+m=。的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是（）

A.-1B.0C.1D.2

30.（2022?青海）已知關(guān)于x的方程/+ml+3=0的一個(gè)根為x=l,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.4B.-4C.3D.-3

31.（2022?貴港）若％=-2是一元二次方程W+2x+m=0的一個(gè)根,則方程的另一個(gè)根及m的值分別是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

32.（2022?呼和浩特）已知xi,兀2是方程/r-2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式婷一2022x1+一的值是

（）

A.4045B.4044C.2022D.1

33.（2022?黔東南州）已知關(guān)于x的一元二次方程/-2x-〃=0的兩根分別記為xi,xi,若xi=-l，則〃

-xi2-%22的值為（）

A.7B.-7C.6D.-6

34.（2022?宜賓）已知根、〃是一元二次方程/+2工-5=0的兩個(gè)根，則機(jī)2+機(jī)〃+2機(jī)的值為（）

A.0B.-10C.3D.10

35.（2022?樂(lè)山）關(guān)于x的一元二次方程37-2%+根=0有兩根，其中一根為冗=1,則這兩根之積為（）

121

A.—B.—C.1D.一-

333

36.（2022?巴中）必0是關(guān)于尤的方程，7+左-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且（12-2€1-6=4,則左的值為.

3

37.（2022?日照）關(guān)于x的一元二次方程2/+而0：+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根xi,且x，+x22=—,則

16

m

38.（2022?內(nèi)江）已知xi、&是關(guān)于x的方程/-2x+G-1=0的兩實(shí)數(shù)根，且&■+上=婷+2m-1,則女

畫巧

的值為.

39.（2022?綏化）設(shè)xi與尤2為一元二次方程L/+3x+2=0的兩根，則（XLX2）?的值為

2

40.（2022?鄂州）若實(shí)數(shù)°、6分別滿足/-船+3=0,廬一4b+3=0,且aWb,則工+，的值為_(kāi)______.

ab

41.（2022?湖北）若一元二次方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根是xi,X2,則的值是.

考點(diǎn)四：一元二次方程之實(shí)際應(yīng)用：

?--------------------------X

知識(shí)回顧

1.列方程解實(shí)際應(yīng)用題的步驟：

①審題一一仔細(xì)審題，找出題目中的等量關(guān)系。

②設(shè)未知數(shù)一一根據(jù)問(wèn)題與等量關(guān)系直接或間接設(shè)未知數(shù)。

③列方程：根據(jù)等量關(guān)系與未知數(shù)列出一元二次方程。

④解方程一一按照解方程的步驟解一元二次方程。

⑤答一一檢驗(yàn)方程的解是否滿足實(shí)際情況，然后作答。

2.一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的基本類型：

傳播輪數(shù)

①傳播問(wèn)題：計(jì)算公式：原病例數(shù)X（1+傳播數(shù)）=總病例數(shù)。

②握手（比賽）問(wèn)題：計(jì)算公式：?jiǎn)窝h(huán)：當(dāng)"=總數(shù)；雙循環(huán)：〃仇+1）=總數(shù)。（”表示參

與數(shù)量）

③數(shù)字問(wèn)題：一個(gè)十位數(shù)可表示為：10義十位上的數(shù)字十個(gè)位上的數(shù)字；一個(gè)百位數(shù)可表示為：

100X百位上的數(shù)字+10X十位上的數(shù)字十個(gè)位上的數(shù)字。以此類推。

土的長(zhǎng)輪數(shù)

④平均增長(zhǎng)率（下降率）問(wèn)題：計(jì)算公式：原數(shù)義（1+增長(zhǎng)率）0=總數(shù)，

下降輪數(shù)

原數(shù)義（1—下降率）=總數(shù)。

⑤商品銷售問(wèn)題：基本等量關(guān)系：

總利潤(rùn)=單利潤(rùn)X數(shù)量

現(xiàn)單利潤(rùn)=原單利潤(rùn)+漲價(jià)部分（一降價(jià)部分）

漲價(jià)部分降價(jià)部分

現(xiàn)數(shù)量=原數(shù)量一_________x變化基數(shù)(原數(shù)量+________x變化基數(shù))

漲價(jià)基礎(chǔ)降價(jià)基礎(chǔ)

⑥圖形面積問(wèn)題：

利用勾股定理建立一元二次方程。

利用面積公式建立二元一次方程。

微專題

42.(2022?寧夏)受國(guó)際油價(jià)影響，今年我國(guó)汽油價(jià)格總體呈上升趨勢(shì).某地92號(hào)汽油價(jià)格三月底是6.2

元/升，五月底是8.9元/升.設(shè)該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列出方程,

正確的是()

A.6.2(1+x)2=8.9B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9D.6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9

43.(2022?河池)某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬(wàn)個(gè)，三月份的口罩產(chǎn)量是50萬(wàn)個(gè)，若設(shè)該廠家一

月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為尤.則所列方程為()

A.30(1+x)2=50B.30(1-x)2=50

C.30(1+x2)=50D.30(1-x2)=50

44.(2022?哈爾濱)某種商品原來(lái)每件售價(jià)為150元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，該種商品每件售價(jià)為96元,

設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意，所列方程正確的是()

A.150(1-?)=96B.150(1-x)=96

C.150(1-x)2=96D.150(1-2%)=96

45.(2022?新疆)臨近春節(jié)的三個(gè)月，某干果店迎來(lái)了銷售旺季，第一個(gè)月的銷售額為8萬(wàn)元，第三個(gè)月

的銷售額為11.52萬(wàn)元，設(shè)這兩個(gè)月銷售額的月平均增長(zhǎng)率為x,則根據(jù)題意，可列方程為()

A.8(1+2%)=11.52B.2X8(1+x)=11.52

C.8(1+x)2=11.52D.8(1+x2)=11.52

46.(2022?泰安)我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問(wèn)題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽.每

株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽.”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文.如果每株

椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問(wèn)6210文能買多少株

椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為無(wú)株，則符合題意的方程是()

A.3(x-1)x=6210B.3(x-1