專題05尺規(guī)作圖

考點(diǎn)類型

考點(diǎn)L尺規(guī)作圖——作線段

考點(diǎn)2：尺規(guī)作圖——作角

模塊五圖形的變換

05講尺規(guī)作圖

口^」知識一遍過

（一）作線段

已知：線段4,作一條線段AB,AB=a?

作法：①用直尺畫射線AC

②用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a

二線段AB即為所求

（二）作角

已知：ZAOB

求作：ZAOB=ZAO'B'

作法：①以0為圓心，任意長為半徑畫弧，交0A與點(diǎn)D,交0B于點(diǎn)E；

②作射線O'B'

③以。'為圓心,0D長為半徑畫弧，交08于點(diǎn)E'

④以E'為圓心,ED長為半徑畫弧，交上一步所畫的弧與D'

⑤過。'作射線O'A,NAO'B'為所求

（三）作角平分線

作法：①在0A和0B上分別截取OD、0E,使0D=0E。

②分別以D、E為圓心，以大于工DE的長為半徑作弧，兩弧在/AOB內(nèi)交于點(diǎn)C

2

③作射線0C,則0C就是/AOB的平分線

（四）作垂直平分線

作法：①以A為圓心大于長為半徑作弧，以B為圓心大于‘AB長為半徑作弧，兩弧交于C、D兩點(diǎn)

22

②連接CD,即為所求

考點(diǎn)一遍過

考點(diǎn)1：尺規(guī)作圖一一作線段

典例L（2024上?福建泉州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在RtZkABC中，ABAC=90°.

C

AB

（1）延長AC至點(diǎn)M使得4N=4B；過點(diǎn)N作ND1BC,與BC的延長線交于點(diǎn)。（要求：尺規(guī)作圖，不寫作

法，要保留作圖痕跡）；

⑵在（1）的條件下，延長B4至點(diǎn)M,使得AM=AC,求證D,M,N三點(diǎn)共線.

【變式1］（2024上?福建泉州?八年級校考期末）如圖，直線MN||PQ,直線4B分別與MN,PQ相交于點(diǎn)4B.

⑴尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：

①作NM4B的角平分線與PQ交于點(diǎn)C；

②在射線2N上找一點(diǎn)D,使AB=AD-,

⑵連接CD,若四邊形4BCD的對角線8D=6,47=8,則四邊形力BCD的面積為,直線MN與直線PQ

的距離為.

【變式2】（2023上?八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，Rt△力BC中，AACB=90°.尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖

痕跡）

⑴在斜邊力B上找一點(diǎn)D,使4D=AC；

⑵作NB4C的平分線，交BC于點(diǎn)、E,連結(jié)DE；

⑶在（1）、（2）的條件下，請判斷ABDE的形狀，并說明理由.

【變式3】（2023?江蘇南京?統(tǒng)考一模）如圖，已知線段a.求作AABC,使N4=90。，AB=AC,且分別滿

足下列條件：

」一

（1）5C=a.

（2）AABC的周長等于a.

（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.）

考點(diǎn)2：尺規(guī)作圖一一作角

典例2：（2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△力8c中，4B邊上有一點(diǎn)Z）.

⑴尺規(guī)作圖：在47上取一個(gè)點(diǎn)E,使得AADEs△4CB（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的基礎(chǔ)上，若力。=3cm,AC-6cm,BC=5cm,求DE的長度.

【變式1］（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，。是4B邊上的一點(diǎn).

⑴請用尺規(guī)作圖法，在AABC內(nèi)，求作乙4DE,使=DE交AC于點(diǎn)E（不要求寫作法，保留作圖

痕跡）；

⑵在（1）的條件下，若券=2,DE=4,求的長.

【變式2］（2023?福建泉州,統(tǒng)考二模）如圖，在RtzkABC中，ZXCB=90°,zX<ZB.

⑴在4B的延長線上，求作點(diǎn)D,使得ACBDs^ACD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，若48=5,SNBC=5，求tan/CDB的值.

【變式3】（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E分別在邊BC、4C上，S.DESAB.

⑴求作乙。F4,使得點(diǎn)尸在邊4C上，且NDB4=NA；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若。C=（BC,NB=45。,NC=30。，BC=15+15V3,求線段。尸的長.

考點(diǎn)3：尺規(guī)作圖一一作角平分線

典例3：（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，Z_C=90。，AB=10,BC=6,P是邊48上的

一點(diǎn)，以P為圓心，PB為半徑作。P.

⑴尺規(guī)作圖：求作OP,使得OP與直線4C相切；（保留作圖痕跡）

（2）求⑴中G）P的半徑.

【變式1】（2022?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖,已知△ABC,乙4cB=90。.

備用圖

⑴求作菱形4DEF,使得D,E,尸分別在邊力B,BC,4c上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接2E,CD,過點(diǎn)E作EG12E,交48于點(diǎn)G,若4G=8,N4GE=60。，求CD的

長.

【變式2】（2022?福建泉州?校考模擬預(yù)測）已知：Rt^ABC,ZC=90°.

⑴點(diǎn)E在BC邊上，且AACE的周長為4C+BC,以線段AE上一點(diǎn)。為圓心的。0恰與AB、BC邊都相切，請

用無刻度的直尺和圓規(guī)確定點(diǎn)E、。的位置；

（2）若8c=12,AC=9,求O。的半徑.

【變式3】（2011?廣東珠海?統(tǒng)考中考模擬）如圖，AABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。.

⑴尺規(guī)作圖：作NB的角平分線BD,交4C點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）判斷ADBC是否為等腰三角形，并說明理由.

考點(diǎn)4：尺規(guī)作圖一一作三角形

典例4：（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AABC=70°,AB=BC.

A

BC

⑴求作△BCD及N8CE,滿足△BCD為等邊三角形，/.BCE=170°,其中48=CE,點(diǎn)。，E與點(diǎn)A在BC的同

側(cè)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）

（2）在（1）的條件下，求NB4E的度數(shù).

【變式1］（2022上?福建福州,九年級閩清天儒中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),

連接B4,PB,PC,將△P48繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AODB,其中點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是。.

⑴請畫出AQDB（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）若力8=2,求24+P8+PC的最小值.

【變式2］（2023下?八年級課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，ZC=90°,^CAB=a（0°<a<45°）,將△ABC繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為做0。<0<180。），記點(diǎn)8,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為。，E.

/D

⑴若△力BC和線段力。如圖所示，請?jiān)趫D中作出AaDE（要求；尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）M是48的中點(diǎn)，N是點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，連接MN,CD,BD,則是否存在夕與a的某種數(shù)量關(guān)系，使

得無論a取何值時(shí)，都有MN=CD?若存在，請說明理由，并直接寫出此時(shí)BC與BD的數(shù)量關(guān)系；若不存在，

也請說明理由.

【變式31（2022上?福建福州?九年級福建省福州屏東中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是等邊AABC外部一點(diǎn),

把ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AACE,其中點(diǎn)4,E分別是點(diǎn)B,。的對應(yīng)點(diǎn).

⑴利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出AACE；（保留痕跡，不寫作法）

⑵在（1）的情況下，在線段BD上取點(diǎn)P,且PB=PC,若乙4BD=NDBC+41EC,求證：P,C,E三點(diǎn)共

線.

考點(diǎn)5：尺規(guī)作圖一一作垂直平分線

典例5：（2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考一模）如圖，AABC中，AB=AC>BC

⑴求作邊4B的垂直平分線，交力C于點(diǎn)。；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）若BD=BC,求乙4的大小.

【變式1］（2023?廣東潮州二模）如圖,在回4BCD中，4c為對角線.

（2）尺規(guī)作圖：作2C的垂直平分線，分別交力D,BC于點(diǎn)E,尸（不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑶若△CDE的周長為10,求E1ABCD的周長.

【變式2］（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，4C是菱形4BCD的對角線.

⑴作邊力B的垂直平分線，分別與4B,4C交于點(diǎn)E,F（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，連接FB,若ND=140。，求NCBF的度數(shù).

【變式3］（2023?湖北鄂州,校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形2BCD中，4B||CD,4C為對角線.

⑴尺規(guī)作圖：作力C的垂直平分線分別交48、AC.DC于點(diǎn)E、F、G.連接4G,CE（不寫作法和結(jié)論，保留

作圖痕跡）；

⑵求證：四邊形AECG是菱形（請補(bǔ)全下面的證明過程）.

考點(diǎn)6：尺規(guī)作圖一一作垂線

典例6：（2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在團(tuán)4BCD中,BE平分N4BC交AD于點(diǎn)E.

⑴實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作圖，過點(diǎn)4作BE的垂線，分別交BE,BC于點(diǎn)F,G；（要求：尺規(guī)作圖并保留作

圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）

（2）猜想與證明：試猜想線段4E與8G的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【變式1］（2023?廣東云浮?統(tǒng)考一模）如圖，4B為。。的直徑，C為。。上的一點(diǎn).

⑴過點(diǎn)B作。。的切線PB,交4C的延長線于點(diǎn)P（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑵在（1）的條件下，若。D1BC,垂足為。，OD=2,PC=9,求P8的長.

【變式2］（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,以力B為直徑的。。交邊力C于

點(diǎn)O,連接BD,過點(diǎn)C作CEII4B.

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)B作O。的切線，交CE于點(diǎn)F；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字

母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF.

【變式3】（2023?廣東廣州?校考二模）在RtAABC中，乙4=90。，AB=6,AC=8,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn).

⑴尺規(guī)作圖，過點(diǎn)。作DE1BC交邊4C于點(diǎn)E；

（2）求ED、EC的長；

⑶點(diǎn)P為射線4B上的一動點(diǎn)，點(diǎn)。為邊4C上的一動點(diǎn)，且NPDQ=90。，若BP=2,求CQ的長.

考點(diǎn)7：尺規(guī)作圖一一作等腰、等邊三角形

典例7：（2022下?福建龍巖?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在AaBC中，AB=AC,射線CM||4B.

⑴在線段A8上取一點(diǎn)E,使得CE=CB,在射線CM上確定一點(diǎn)。，使4CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺

規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接4D,求證：AD=BC.

【變式1］（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）如圖，有一塊三邊長分別為3cm,4cm,5cm的三角形硬紙板，現(xiàn)要從中

剪下一塊底邊長為5cm的等腰三角形.

（1）在圖中用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)符合要求的等腰三角形（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）當(dāng)剪下的等腰三角形面積最大時(shí)，求該等腰三角形的面積.

【變式2］（2022?福建莆田,統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù).

已知:如圖，直線。|加忻，點(diǎn)力在直線上.

求作：等邊三角形4BC,使其點(diǎn)B,C分別落在直線小，71上.

作法：①在直線機(jī)上取點(diǎn)D,連接4D,向右作等邊三角形N4DE,使點(diǎn)E落在直線/,小之間;

②在直線m上取點(diǎn)P（點(diǎn)P在點(diǎn)。左側(cè)），作乙4EC=N4DP交直線n于點(diǎn)C；

③在射線DP上截取DB=CE；

④連接ZB,AC,BC.

△4BC就是所求作的等邊三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依上述作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）請你根據(jù)上述作法，證明△ABC所求作的等邊三角形.

【變式3］（2023?山東德州?統(tǒng)考三模）如圖，已知回PBC,在射線BC上任取一點(diǎn)D,以線段BD的中點(diǎn)。為

圓心作回0,且國。與PB相切于點(diǎn)E.

⑴求作：射線BP上一點(diǎn)A,使回ABD為等腰三角形，且AB=AD.（要求：運(yùn)用直尺和圓規(guī)，保留作圖痕跡,

不寫作法）

⑵求證：AD是回O的切線.

⑶若BD的長為8cm,0PBC=3O°,求陰影部分的面積

考點(diǎn)8：尺規(guī)作圖一一作圓的切線

典例8：（2023?福建福州?閩清天儒中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，連接。P交。。于點(diǎn)/.

⑴過點(diǎn)P作O。的兩條切線P4PB,切點(diǎn)分別為A,B（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）在（1）的條件下，連接AB,求證：點(diǎn)/是A48P的內(nèi)心.

【變式1］（2023?河南周口?統(tǒng)考一模）如圖，為。。的直徑，C為。。上的一點(diǎn).

⑴過點(diǎn)B作。。的切線PB,交4C的延長線于點(diǎn)P（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑵在（1）的條件下，若。D1BC,垂足為D,OD=2,PC=9,求PB的長.

【變式2］（2023?江蘇徐州,?？既＃┤鐖D，已知尸是。。外一點(diǎn).按要求完成下列問題:

?P

⑴作圖：（保留作圖的痕跡）

①連接OP,與。。交與點(diǎn)A,延長4。，與。。交于點(diǎn)&

②以點(diǎn)尸為圓心，OP長為半徑畫弧，以點(diǎn)。為圓心，長為半徑畫弧；

③兩弧相交于點(diǎn)C,連接。C,與。。交于點(diǎn)。，連接DP,BD.

（2）證明：DP為。。的切線；

⑶計(jì)算：利用直尺、三角尺或量角器測量相關(guān)數(shù)據(jù)，可計(jì)算出弧BD與弦BD所圍"弓形”的面積為

cm?.（結(jié)果保留根號或精確到0.1cm）

【變式3］（2023?河南?校聯(lián)考二模）如圖1,小明在。。外取一點(diǎn)P,作直線P。分別交。。于兩點(diǎn)8、A,

先以P為圓心P。的長為半徑畫弧，再以。為圓心4B的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)。，連接。Q交。。于

⑴請你寫出小明得出PC為O。的切線的核心依據(jù)：;

（2）如圖2,繼續(xù)作點(diǎn)C關(guān)于4B的對稱點(diǎn)。，連接CD交2B于點(diǎn)E,連接BD.

①求證：4PCD=2乙BDC；

②若。。的半徑為15,BE=6,求PC的長.

考點(diǎn)9：無刻度直尺作圖

典例9：（2022,湖北武漢??？寄M預(yù)測）如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)