幾何變換之旋轉(zhuǎn)鞏固練習(xí)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-4,-2)、6(-2,0)、C(0,-3),

△4笈。是△/反;繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形.

(1)寫出4,4的坐標(biāo)；

(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出△48C；

(3)若點(diǎn)”與點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，寫出△448的面積.

2.如圖，將△/回以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,得到△龍G過(guò)點(diǎn)力作"'〃龍，交龐的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)尸，試問：N8與/尸相等嗎？為什么？

3.請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，完成下面的問題

(1)描出點(diǎn)力(-2,3)和它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)6；

(2)描出點(diǎn)C(2,1)和它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)"

(3)求線段四的長(zhǎng).

4.己知菱形力應(yīng)力的邊長(zhǎng)為2,N4=60°,點(diǎn)￡、尸分別在邊4久46上，將△A6F沿斯折疊，使得點(diǎn)力的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕恰好落在邊⑦上.

(1)延長(zhǎng)"、A,尸交于點(diǎn)〃，求證：—ArC

AEDE'

(2)若4點(diǎn)為切的中點(diǎn)，求用的長(zhǎng);

(3)AA'交所于點(diǎn)G,再將四邊形紙片比沖尸折疊，使。點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'恰好落在小尸上，折痕"V分

別交邊CD、a1于點(diǎn)〃、N,連接c'G,貝uC'G的最小值為

5.如圖，半圓。的直徑/6=10,將半圓。繞點(diǎn)洌順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓。，與A8交于點(diǎn)、P,求/戶的

長(zhǎng).

6.如圖，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△/龐重合，且點(diǎn)C在/。上.

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心；

(2)若/8=21°,ZACB=26°,求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

(3)若9=5,切=3,則/￡的長(zhǎng)是多少？為什么？

7.如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到若點(diǎn)/、D、￡在同一條直線上，且N/G?=20°,求

少及N6的度數(shù).

E

D.

8.如圖，戶是等邊三角形被7內(nèi)一點(diǎn)，且以=6,PB=8,八7=10,若將△用C繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到

AB.求：

(1)PP'的長(zhǎng)度；

(2)//期的度數(shù).

9.如圖，將邊長(zhǎng)為次的正方形265繞點(diǎn)力逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形"夕CD'.

(1)求證：ED=EB'；

(2)求圖中陰影部分的面積.

D'

10.如圖，。是等邊△48C內(nèi)一點(diǎn)，物=3,OB=4,OC=5,將線段8。繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段8。，.

(1)求點(diǎn)。與。的距離；

(2)求//①的度數(shù).

O'

(備用圖)

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，2(-3,0),點(diǎn)6是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在力6的下方作等

邊△呼，點(diǎn)8在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接你求利的最小值.

12.如圖，在正方形力及力中，E、尸是對(duì)角線如上兩點(diǎn)，且/放6=45°,將繞點(diǎn)"順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

后，得到△/80,連接￡0.

(1)求證：成是/曲的平分線；

(2)已知龍=1,DF=3,求廝的長(zhǎng).

幾何變換之旋轉(zhuǎn)鞏固練習(xí)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-4,-2)、6(-2,0)、C(0,-3),

△4笈。是△/反;繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形.

(1)寫出4,4的坐標(biāo)；

(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出△48C；

(3)若點(diǎn)”與點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，寫出△448的面積.

【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出46的對(duì)應(yīng)4、從而得到它們的坐標(biāo)；

(2)由(1)可確定△48C；

(3)先寫出點(diǎn)外的坐標(biāo)，然后用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算△446的面積.

【解答】解：(1)A(1,1),I(3,-1)；

(2)如圖，△46C為所作；

(3):點(diǎn)4與點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.,.力2(-1,-1),

△446的面■積=2X3—：1xlXl1—：x21X2—：x3Xl=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-平移變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相

等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的

圖形.

2.如圖，將△/回以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,得到△龍G過(guò)點(diǎn)/作"〃龐，交龐的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)尸，試問：N8與/尸相等嗎？為什么？

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△/占名△龍G根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得/方=/應(yīng)2根據(jù)平行線的

性質(zhì)，可得NF=/DEC,根據(jù)等量代換，可得答案.

【解答】解：N6與/尸相等，理由如下：

?.?將以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,得到△龍C,

:./B=NDEC,

'：AF//BE,

：./F=/DEC,

：./B=ZF.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.

3.請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，完成下面的問題

(1)描出點(diǎn)/(-2,3)和它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)6；

(2)描出點(diǎn)C(2,1)和它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)"

(3)求線段四的長(zhǎng).

【分析】(1)利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出8點(diǎn)坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；

(2)利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出。點(diǎn)坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；

(3)利用/。平行y軸，利用兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差得到血＞的長(zhǎng).

【解答】解：(1)如圖，點(diǎn)6為所作；

(2)如圖，點(diǎn)〃為所作；

線段49的長(zhǎng)=3-(-1)=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相

等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的

圖形.也考查了軸對(duì)稱變換.

4.已知菱形/及力的邊長(zhǎng)為2,乙4=60°,點(diǎn)￡、戶分別在邊/久4?上，將△//1沿外折疊，使得點(diǎn)力的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)"恰好落在邊切上.

(1)延長(zhǎng)徽2尸交于點(diǎn)〃，求證：等=苛;

AEDE

(2)若4點(diǎn)為力的中點(diǎn)，求所的長(zhǎng)；

(3)AA'交所于點(diǎn)G,再將四邊形紙片宛4,尸折疊，使C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。'恰好落在尸上，折痕仞V分

別交邊CD、8c于點(diǎn)、M、N,連接C'G,則C'G的最小值為

【分析】(1)如圖1中，延長(zhǎng)徵到7,使得27=龍，連接V.證明HCsAEQ'T,可得結(jié)論.

(2)如圖2中，延長(zhǎng)切，過(guò)點(diǎn)尸作用吐力于點(diǎn)四交AB千H,連接2B、BD,CF.想辦法求出題FH,

再利用勾股定理即可解決問題.

(3)注意到G為41'的中點(diǎn)，于是可知G點(diǎn)的高度終為菱形高度的一半,同時(shí)注意到G在/加沙的角平分

線上，因此作于〃尸于尸，則但勰根據(jù)垂線段最短原理可知團(tuán)就是所求最小值.

【解答】(1)證明：如圖1中，延長(zhǎng)繆到T,使得07=應(yīng),連接TE.

圖1

???四邊形2曲是菱形，

：.DT//AB,N4=NC=60

：.ZTDE=ZA=60°,

,:DT=DE,

???△西是等邊三角形，

：.ZT=ZC=60°,

9：ZEA,方=NZ=60°,

：.ZTArE+ZCArH=12Q

ZCA'H^AA'HC=\23

：.ZTArE=ZAfHC,

???△/HCsAEQT,

,ArH_ArC

,*ArE-ET'

?：ET=DE,AE=A'E,

?A'H_Arc

)*AE-DE

(2)解：如圖2中，延長(zhǎng)口過(guò)點(diǎn)尸作冏人切于點(diǎn)瓶交朋于〃，連接，B、BD,CF.

圖2

,：ZA=6Q°,四邊形/以必是菱形,

:?/MDF=60°,

???/仞叨=30°,

設(shè)MD=x,則所=2x,FM=?c,

?：DG=3

：.MG=x+\,

???(x+1)2+(V3x)2=(2-2x)2,

解得：x=0.3,

???如=0.6,4/=1.4,

：.AH=-AF=0.7,FH=AF-sinAA=1.4x—=—,

2210

'：CD=BC,ZC=60°,

ADGB是等邊三角形,

'：A'是應(yīng)的中點(diǎn),

：.BA'LCD,

,:BC=2,A'C=l,

：.BA'=V3,

設(shè),BE=y,則HE=2-y,

：.(V3)V=(2-y)2,

解得：y=0.25,

：.AE=1.75,

：.EH=AE-AH=1.75-0.7=1.05,

：.EF=y/EH2+FH2=I1.052+(—)2=—.

'k10720

(3)解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)。作GH1AB于H,過(guò)點(diǎn)G作GPVA尸于P,過(guò)點(diǎn)/作A0_L居于Q.

圖3

?.?四邊形/砥?是菱形，

：.DA=AB=BC=CD=2,AB//CD,

Q=DR,

?：/BAD=6Q°,

：.AQ=V3

?.3'與"關(guān)于項(xiàng)對(duì)稱，

二項(xiàng)垂直平分//',

46=/'G,NAFE=Z/FE,

：.GP=GH,

又?：GHLAB,AQVAB

：.GH//AB,

：.GH=-AQ=—,

22

所以GO為?，當(dāng)且僅當(dāng)C與一重合時(shí)，GC取得最小值

故答案為苧.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定

與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用垂線段最

短解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題.

5.如圖，半圓。的直徑49=10,將半圓。繞點(diǎn)方順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓。'，與A8交于點(diǎn)、P,求/尸的

【分析】先根據(jù)題意判斷出必是等腰直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義求出陽(yáng)的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出

加7的長(zhǎng).

【解答】解：：/的'=45°,O'P=0'B,

：?△()'陽(yáng)是等腰直角三角形，

：.PB=V2B0'=5V2,

：.AP=AB-BP=10-5V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

6.如圖，△26C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△/龍重合，且點(diǎn)，在/。上.

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心；

(2)若/8=21°,NACB=26°,求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

(3)若4?=5,CD=3,則/￡的長(zhǎng)是多少？為什么？

E

【分析】(1)結(jié)合圖形找到旋轉(zhuǎn)中心即可；

(2)根據(jù)題意求得/&C的度數(shù)即可求得旋轉(zhuǎn)角；

(3)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/￡=2G即可求得答案.

【解答】解：(1)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)小

(2);NB=21°,/ACB=26°,

AZE4C=180°-21°-26°=133°,

旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為133°；

(3)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AC,AD=AB,

J.AE^AB-繆=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于

旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

7.如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△初C.若點(diǎn)/、D、￡在同一條直線上，且///=20°,求

/?！昙?8的度數(shù).

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△/常是等腰直角三角形，所以/0￡=45°,易知//屹=90°-20°=70°,

根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得/月/度數(shù)，又/EDC=/B,則可求.

【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知。="，且/力位=90°,

所以△/以是等腰直角三角形.

所以/。￡=45°；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/"心=90°,

VZACB=20°.

：.ZACD^90°-20°=70°.

功C=45°+70°=115°.

所以/6=N初C=H5°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決這類問題要找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)角以及旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段.

8.如圖，尸是等邊三角形/8C內(nèi)一點(diǎn)，且⑸=6,PB=8,PC=10,若將△為「繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到

△PAB.求：

Cl)PP'的長(zhǎng)度；

(2)乙4期的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/以P=60°,P'A=PA,然后判斷出△加沙是等邊三角形，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)可得依'=P&

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得/加/=60°,利用勾股定理逆定理求出/=90°,然后求解即可.

【解答】解：(1)???△用「繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到AB,

：.APAP'=60°,P'力=序=6,

:.MAPP是等邊三角形，

：.PP'=%=6；

(2)..?△處C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△?'AB,

：.P'B=PC=\Q,

<XAPP是等邊三角形，

ZAPP'=60°,

■:P^+PP'2=82+62=100,

P'^=102=100,

:.P百+PP”=F隊(duì)

...△?'如是直角三角形，ABPP'=90°,

ZAPB=AAPP1+ABPP'=60°+90°=150°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相

等.

9.如圖，將邊長(zhǎng)為舊的正方形5繞點(diǎn)/逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形/8CD'.

(1)求證：ED=EB'；

【分析】（1）根據(jù)應(yīng)即可證明△/足△/月￡,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；

（2）求得/口〃的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)求得初的長(zhǎng)，則△力龐的面積即可求得，然后利用正方形的面積減

去△/龐和△/月￡的面積即可求解.

【解答】解：（1）連接力笈

在直角△/龐和直角△/月E中，

（AB'=4。，

Uf=AE'

：.△ADE^AABE,

：.DE=EB；

（2）龐必△/月￡,

ZDAE=/DAU,

又掰月=30°,ZBAD^90°,

.?./物￡=30°,

在直角△/龐中，ED=AI>tan30a=VIxR=l,

則S^ADE=/"Eg|xV3xl=y,

=

SAABE￡\力龐=~2f

=

又S正方形ABCD(V3)=3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明￡是本題的關(guān)鍵.

10.如圖，。是等邊△/8C內(nèi)一點(diǎn)，物=3,如=4,%=5,將線段加繞點(diǎn)6逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段8。'.

（1）求點(diǎn)。與。的距離；

（2）求//①的度數(shù).

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得應(yīng)=8。，力。=60°,可證明△儂/是等邊三角形，從而求解；

（2）由弘S可證A學(xué)4BOC,可得%=少4=5,利用勾股定理的逆定理即可證得△4。。'是直角三角

形，即可求解.

【解答】解：（1）如圖，連接00,

?.,等邊△/a

：.AB=CB,ZABC=60°.

?.?線段8。以點(diǎn)6為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,

J.BO^BO',ZO1/什60°,

：./\OBO'是等邊三角形.

00'=OB=4；

(2)'：』OB0=/ABC=6G,

.?./。'掰=60°-/ABg/OBA.

在△804和△8%中，

AB=CB

/.O'BA=乙OBA,

BO'=BO

：.△6。叢BOC(MS).

：.OC=OA=3,

'：A(f+(J汗=9+16=25=01,

A/XAOO'是直角三角形.

Z.AAOB=ZAOO'+Z0'(25=90°+60°=150°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，

靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AC-3,0),點(diǎn)方是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以46為邊在加的下方作等

邊△/朋點(diǎn)6在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接能求利的最小值.

【分析】以以為對(duì)稱軸作等邊△/龐，連接2°,并延長(zhǎng)7交x軸于點(diǎn)尸.由“弘S”可證△/以以

可得N4EP=N4施=120；進(jìn)而可得點(diǎn)?在直線顏上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短解答.

【解答】解：如圖，以以為對(duì)稱軸作等邊△/龐，連接露，并延長(zhǎng)心交x軸于點(diǎn)戶，

AZABD=60°,

：.AO=W0E=3,

：.OE=V3,

△/龐和AABP是等邊三角形，

：.AB=AP,AD=AE,ZBAP=ZDAF=60°,

：.ABAD=/PAE,

在△/如和中，

AB=AP

/.BAD=/.PAE

AD=AE

:.△AEP^^ADB(