幾何最值之胡不歸鞏固練習(xí)

1.如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB=AC,4（0,2，5）,C（1,0）,。為射線A。上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)尸

從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為At。-C,點(diǎn)尸在上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（）

A.(0,y/2)B.(0,)C.(0>)D.(0,)

2.如圖，一條筆直的公路/穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5避千米的地方有一居民點(diǎn)8,A、

B的直線距離是10通千米.一天，居民點(diǎn)B著火，消防員受命欲前往救火.若消防車在公路上的最快速

度是80千米/小時(shí)，而在草地上的最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng)過一小時(shí)可到達(dá)居

民點(diǎn)艮（友情提醒：消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛.）

3如圖，在△ABC中,A"AC=1。-2,BEUC于點(diǎn)是線段班上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則。。+蜉3。

的最小值是.

3.如圖，平行四邊形ABCD中，ZZ)AB=60°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+與一PD

的最小值等于.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)ynad+fcc+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0),3(0,-通)，C(2,0),

其對(duì)稱軸與無軸交于點(diǎn)。

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若尸為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PQ,則2PB+P。的最小值為；

(3)M(x,力為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)

①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有一個(gè);

②連接“A,MB,若N4WB不小于60。，求r的取值范圍.

備用圖

幾何最值之胡不歸鞏固練習(xí)

1.如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB=AC,4（0,2，5）,C（1,0）,。為射線A。上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)尸

從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為At。-C,點(diǎn)尸在上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（）

A.(0,)B.(0,)C.(0,)D.(0,)

v234

【解答】D

【解析】假設(shè)尸在的速度為3,在CD的速度為1,

設(shè)￡）坐標(biāo)為（0,y）,則4。=2，^一沙，CD--\/y2+12=y/y2+1,

...設(shè)仁妝

o

等式變形為：力+4沙一畢=，7不^，則f的最小值時(shí)考慮y的取值即可,

OO

△=（竽—_4><弓（一產(chǎn)+手力+1）三0,

??t的最小值為，:?y=，

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為（o,）,

故選D

解法二：假設(shè)尸在AO的速度為3V,在CO的速度為IV,

總時(shí)間力=掾3+=上,要使/最小，就要最小，

(JVVV\o/o

A(JAT)

因?yàn)锳B=AC=3,過點(diǎn)B作交AC于點(diǎn)H,交。4于￡),易證△ADHS/\AC。,所以方方=亍后=3,

(JODil

Ar)AD

所以嬰=DH,因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以3D=CD,所以要竿十CD最小，就是要D//+BD最

0O

小，就要B、D、H三點(diǎn)共線就行了.因?yàn)椤鰽OCS^BO。，所以黑=黑，即零1=與，所以

UiJ(JJJ1(JU

。。=殍,

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)應(yīng)為(0,一).

2.如圖，一條筆直的公路/穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5千米的地方有一居民點(diǎn)8,A、

8的直線距離是10避千米.一天，居民點(diǎn)8著火，消防員受命欲前往救火.若消防車在公路上的最快速

度是80千米/小時(shí)，而在草地上的最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng)過一小時(shí)可到達(dá)居

民點(diǎn)艮(友情提醒：消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛.)

B

「/

1043//?

/15萬

/1

—4-------------------------1--------1

A1

【解答】|

【解析】如圖所示，公路上行駛的路線是4。，草地上行駛的路線是。8,設(shè)A。的路程為x千米,

B

20月,,於

////l15荷,

/DC

由已知條件43=10避千米，2。=5退千米，BCLAC,知

AC=y/AB2-BC2=15千米.

貝1|C￡)=AC-(15-%)千米,

BD=y/CD2+BC2=^(5^/3)2+(15-x)2km，

設(shè)走的行駛時(shí)間為y,貝切=3="5+f：5—立

整理為關(guān)于x的一元二次方程得

3f+(160y-120)x-6400/+1200=0.

因?yàn)閤必定存在，所以△NO.即

(160y-120)2-4X3X(1200-6400y2)20.

化簡(jiǎn)得102400/-38400v^0.

解得代為

o

即消防車在出發(fā)后最快經(jīng)過9小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)B.

O

3.如圖，在△ABC中,AB=AC=10,3iA=2,5E_LAC于點(diǎn)是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則。0十項(xiàng)50

5

的最小值是.

【解答】4^5

【解析】如圖，作。于H,于

\-BE_LAC,：.ZAEB=90°,

.?.tan4=第=2

AE

設(shè)AE=〃，BE=2a,

貝!J有：100=。2+4〃2,a2=20,

.?.0=2/或一2/（舍）

BE=2Q=4V

9：AB=AC,BELAC,CMLAB,

:.CM=BE=4

ZDBH=/ABE,NBHD=/BEA,

../nprr_PH_AE_V5

..smZDBH-BD~AB~5’

:.DH=^-BD,

5

■■-CD+^BD^CD+DH,

：.CD+DH>CMf

：.CD+^-BD^^,

o

CD+多瓦?的最小值為4述.

3.如圖，平行四邊形ABC。中，ZDAB=60°,AB=6,BC=2,尸為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則P3+容PD

的最小值等于.

【解答】3^/3

過點(diǎn)P作垂足為。,

Q

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.DCHAB,

：.ZQDP=ZDAB=60°,

/o

...PQ=PD-sinZQDP=aPD,

PB+容P。=BP+PQ,

，當(dāng)點(diǎn)8、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，P3+苧PD有最小值，

PB+空PD的最小值為48.sin60°=3y3.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=加+法+，的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0)再(0,-，W),C(2,0),

其對(duì)稱軸與無軸交于點(diǎn)。

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,則的最小值為；

(3)M(%,/)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)

①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有一個(gè)；

②連接MA,MB,若不小于60。，求f的取值范圍.

【解答】（1）沙=項(xiàng)/—卑立―通，（：「色g）;（2）警處；（3）①5個(gè)，@t的取值范圍39

//\Zo/0

———2\/3+39

WW-6—

a—b+c=O

【解析】（i）由題意｛c=y3解得＜

4a+2b+c=0

拋物線解析式為沙=g/—g,—樣，

.?.頂點(diǎn)坐標(biāo)

（2）如圖，連接A3,作于H,交0B于P,此時(shí)最小.

理由：:04=1,。3=①，

/.tan/ABO

OB3

???NABO=30。，

：.PH=^PB,

：.看PB+PD=PH+PD=DH,

「?此時(shí)wPB+PD最短（垂線段最短）.

3

在&/XA?！ㄖ校琕ZAHD=90°,AD=,NHAO=60。,

..^_DH

??57九6O0717~），

?

??U"ri——3~心—

4

^PB+PD的最小值為華至；

(3)①以A為圓心為半