專題10正余弦定理在解三角形中的高級(jí)靈活應(yīng)用與最值問題

自家

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03知識(shí)梳理?方法技巧............................................................4

05核心精講?題型突破............................................................8

題型一：倍長定比分線模型8

題型二：倍角定理與正弦平方差9

題型三：角平分線模型與張角定理10

題型四：隱圓問題12

題型五：正切比值與和差問題13

題型六：四邊形定值和最值與托勒密定理14

題型七：邊角特殊，構(gòu)建坐標(biāo)系16

題型八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關(guān)的問題17

題型九：三角形的形狀判定19

題型十：三角形中的幾何計(jì)算20

題型十一：中線長定理與余弦和為022

重難點(diǎn)突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍24

差情;奏汨?日標(biāo)旦祐

解三角形問題作為每年高考數(shù)學(xué)中的必考內(nèi)容，其考查頻率頗高，尤其在選擇題和填空題中占據(jù)重要

地位。有時(shí)，它甚至以壓軸小題的形式出現(xiàn)，挑戰(zhàn)考生的思維極限。在綜合考查方面，解三角形問題也常

作為解答題的重點(diǎn)，難度適中，旨在全面檢驗(yàn)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力。

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年II卷第15題，13分2025年高考數(shù)學(xué)中，

掌握定理應(yīng)用，解2023年北京卷第7題，4分

正弦定理解三角形問題預(yù)計(jì)仍將是

決三角問題2023年乙卷第4題，5分

考查的重點(diǎn)?？荚噷⒅?/p>

2022年n卷第18題，12分

測(cè)試考生利用正弦定理處

2024年I卷第15題，13分

理三角形邊角關(guān)系，以及

2024年甲卷第11題，5分

理解定理推導(dǎo)，應(yīng)

余弦定理2022年乙卷第17題，12分運(yùn)用正余弦定理解析平面

用解三角形題

2021年乙卷第15題，5分圖形邊、角與面積的能力。

2021年浙江卷第14題，6分題型上將涵蓋選擇、填空

2023年甲卷第16題，5分和解答題，其中解答題預(yù)

掌握定理，解決幾2023年II卷第17題，10分

三角形的幾何計(jì)算計(jì)將占據(jù)較大比例，且多

何計(jì)算問題2022年天津卷第16題，15分

被安排在前兩題位置，難

2021年乙卷第9題，5分

度適中，屬于中檔題。而

選擇題和填空題則可能作

為基礎(chǔ)題或中檔題出現(xiàn)，

2022年上海卷第19題，14分

熟練方法，準(zhǔn)確求

范圍與最值問題2022年甲卷第16題，5分也不排除成為壓軸題的可

解

2022年I卷第18題，12分能?？忌枋炀氄莆障嚓P(guān)

知識(shí)，以應(yīng)對(duì)多樣化的題

型挑戰(zhàn)。

〃用識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是將三角形中已知條件的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系，

基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.

2、與三角形面積或周長有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.要適當(dāng)選

用公式，對(duì)于面積公式S=L"sinC=LacsinB=L6csinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪個(gè)公式.

222

3、對(duì)于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，

求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍，確定

所求式的范圍.

4、利用正、余弦定理解三角形，要注意靈活運(yùn)用面積公式，三角形內(nèi)角和、基本不等式、二次函數(shù)等

知識(shí).

5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周長或面積最值問題的殺手銅，要牢牢掌握并靈活運(yùn)用.利用三

角公式化簡三角恒等式，并結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本

不等式等求其最值.

6、三角形中的一些最值問題，可以通過構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，再利用單調(diào)性求

解.

7、“坐標(biāo)法”是求解與解三角形相關(guān)最值問題的一條重要途徑.充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊角

關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，選取合理的參數(shù)，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確表示出所求的目標(biāo)，再結(jié)

合三角形、不等式、函數(shù)等知識(shí)求其最值.

0

〃二真題班拚精御皿\\

TTQ

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在VABC中，內(nèi)角A,且。所對(duì)的邊分別為。也c,若5=],廿=w〃c,

則sinA+sinC=（）

A2月R7390幣n3而

1313213

2.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在VABC中，內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為。乃,c,—A為鈍角，。=7,

/o

sin2B=——bcosB.

7

（1）求/A；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得VABC存在，求VABC的面積.

條件①：6=7；條件②：cosB=j|；條件③：csinA=1^.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

3.（2024年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題）記VA5c的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+抬cosA=2.

⑴求A.

（2）若a=2,@sinC=csin2B，求VABC的周長.

4.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）記VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=0cosB，

ci~+b~_c?=yp2,cib

⑴求8；

（2）若VABC的面積為3+后，求a

5.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記YABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為瓦c,已知0一°=.

cosA2

⑴求》C;

,,acosB-bcosAb?4

（2）若——丁1―7——=1，求VABC面積?

acosB+bcosAc

6.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在VABC中，已知NA4C=120。，AB=2,AC=1.

（1）求sin/ABC；

（2）若。為BC上一點(diǎn)，且N54T>=90。，求△ADC的面積.

7.（2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知在VA3C中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinfi.

（1）求sinA；

（2）設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

8.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）在VABC中，（a+c）（sinA—sinC）=6（sinA—sin3）,則/C=（）

,兀一兀c27r5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

9.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在VABC中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別是。也c,若acosB-AosA=c,

jr

且c=],則48=（）

jcTC3TC27r

A.—B.-C.—D.—

105105

10.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在VABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=>/6,/A4c的角平分

線交8C于。，貝ijAD=.

11.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是

c2a2_,其中q,從c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

a=A/2,b=A/3,c=2J則該三角形的面積S=.

12.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知VA5C中，點(diǎn)。在邊3c上，ZAT歸=120。,AD=2,8=25。.當(dāng)

去AT取得最小值時(shí)，BD=______.

AB

13.（2022年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題）記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,分別以。，b,c

為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為d，Sz，S3,已知S「邑+邑=/,sinB=g.

（1）求VA2C的面積；

（2）若sinAsinC=,求6.

3

14.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記VA5C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

⑴若A=23,求C；

(2)證明：2/=62+C2

6（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記VA2C的內(nèi)角iC的對(duì)邊分另—已知言

⑴若C=可，求&

（2）求《4^的最小值?

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：倍長定比分線模型

【典例1?1】設(shè)。，b,。分別為一ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，A。為5c邊上的中線，c=l,ZBAC=—f

2csinAcosB=asmA-bsmB+—bsinC.

2

⑴求A。的長度；

⑵若E為A5上靠近B的四等分點(diǎn)，G為ABC的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)F求Ab的長度.

A-C3

【典例1-2］在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,且滿足cos?-----cosAcosC=-,

24

⑴求角3的大??；

⑵若"8,ssA=理，。為邊,上一點(diǎn)，且但7,求箸的值.

巧

如圖，若尸在邊3C上，且滿足=|AP|=m,則延長AP至。，使尸。=九4尸，連接CD,易

知MIIZJC,S.DC=Ac,|A￡>|=(1+2)|AP|.ABAC+ZACD^180°.

sinA-sinC_sinA-sinB

【變式1-1］在①外匕一百ccosA=asinC，②,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

ba+c

在下面的問題中，并解答問題.

在.ABC中，內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為〃,b,c,且滿足

⑴求C；

(2)若ABC的面積為6,0在邊AC上，＞CD=1CA,AC+BC=4,求的值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.

命題預(yù)測(cè)

1.在.ABC中，角A,民C所對(duì)的邊分別為。，4c,且3AB=2,M是3c的中點(diǎn)，AM=2右,則

AC=,cosZMAC=.

題型二：倍角定理與正弦平方差

【典例2-1】從①62+—=2/ccos8(1—2cosC)；②C2="+“匕；③sinCeos3-sinBcosC=cos(C-B),

sinBcosB

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上并解答問題.

在銳角ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,"c,且________.

(1)證明：C=2B；

(2)求士￥+4sinB的取值范圍.

sinC

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【典例2-2】已知a,b,c分別為ASC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a2-c2=bc.

(1)證明：A=2C；

(2)若。=2,且一ASC為銳角三角形，求6+2c的取值范圍.

B=2Ao〃=a(a+c)

C=2B^c2=bCb+a),這樣的三角形稱為“倍角三角形”.

A=2C0"=<?(<?+/?)

+@'A14cnabCj(2c

推論1：A=2B<=>--------=-------=---------ob=---------=---------------

sin2BsinBsin3B2cosB3-4sin2B

推論2：A=2B<=>—=1+2cosA<=>Z?+c=2^cosB

b

正弦平方差：sin2a-sin2￡=sin(a+￡)sin(o-￡)

【變式2-1】在/IBC中，A8=4,AC=3.

(1)若cosC=—，，求一ABC的面積；

(2)若A=2以求5。的長.

【變式2-2】在銳角ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊為。，b,c,且a.cos5=Z?(l+cosA).

(1)證明：sinC=sin3B；

(2)求￡的取值范圍.

a

命題預(yù)測(cè)1

1.在銳角一ABC中，角AB,C所對(duì)的邊為a,b,c,且a-cosB=b(l+cosA).

⑴證明：A=23

(2)若》=2,求。的取值范圍.

題型三：角平分線模型與張角定理

【典例3-1】在一ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且cos5(ccos5+人cosC)+ga=0.

⑴求角5的大小:

⑵若〃+c=8,b=7,a<c,求sin(2A+C)的值；

(3)設(shè)。是邊AC上一點(diǎn)，BD為角平分線且2AD=DC,求cosA的值.

【典例3-2】已知在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinC『丁尸強(qiáng)

a+ba-c

(1)求角&

⑵若點(diǎn)。在AC上，8。為，ABC的角平分線，BD=2也,求2a+c的最小值.

巧

姮)(參考一輪復(fù)習(xí))

角平分線張角定理：如圖，AD為NS4c平分線，cosZBAD=-1('—")+

2bC

斯庫頓定理：如圖，AD是△ABC的角平分線，則AO?=筋.4。一皿DC,可記憶：中方=上積一下

積.

【變式3-1](2024.河北滄州?模擬預(yù)測(cè))在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知/=c(c+勾.

(1)求證：B+3c=兀；

(2)若/ABC的角平分線交AC于點(diǎn)。，且a=12,b=7,求3。的長.

【變式3-2】VA3c中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4asinA=Z>sinCcosA+csinAcos&

小—sinA

(1)求一^的值；

sinC

(2)若BD是/ABC的角平分線.

(i)證明：BD2=BA-BC-DA-DC

(ii)若a=l,求配)?AC的最大值.

-命題-預(yù)--測(cè)-ii

+/一。2)

1.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且史上殳包上4

2absinC

⑴求c；

(2)若ZkABC的三條角平分線相交于點(diǎn)。，AB=7,0AB的面積為""，求OC.

4

題型四：隱圓問題

【典例4-1】(2024?四川眉山.三模)阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名

命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)2(2>0,2^1)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在VA3C中，角A、

B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且sinA=2sin3,acosB+bcosA-3,則VABC面積的最大值為()

A.3B.3拒C.6D.6y[3

4

【典例4-2】在平面四邊形A5CD中，連接對(duì)角線BD,已知C￡>=9,BD=\6,ZBDC=9Q°,sinA=-,

則對(duì)角線AC的最大值為()

A.27B.16C.10D.25

若三角形中出現(xiàn)人=4〃(X>1),且。為定值，則點(diǎn)。位于阿波羅尼斯圓上.

【變式4-1】已知ABC中，BC=2,G為的重心，且滿足AGL5G,貝hABC的面積的最大值為

【變式4-2］已知等邊ABC的邊長為2,點(diǎn)G是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AG+3G+CG=0，點(diǎn)P在.ABC所

在的平面內(nèi)且滿足|尸3=1,則|P'的最大值為.

I命題預(yù)測(cè)

41

1.在平面四邊形ABCD中，/BAD=90°,AB=2,AD=1.AB-AC+BA-BC=-CACB,則+

32

的最小值為一.

題型五：正切比值與和差問題

【典例5-1】在△ABC中，AB=6且9tanA+9tanB+5tanC=0,則4ABC面積的最大值為

【典例5-2】已知在銳角△A8C中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2Z?cosC=ccosB,則⑦”。二

tanB

111

--------F--------1------的--最小值為.

tanAtanBtanC

定理1：tanA=2tanB<^>c=(2+l)/?cosA?>(2+1)(/?2-a2)+(A-l)c2=0

定理2：+^_=

tanAtanBtanC2

定理3：(正切恒等式)AABC中，tanA+tan6+tanC=tan4tan5-tanC.

【變式5?1】(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))在銳角三角形A3C中，角A氏C的對(duì)邊分別為。，瓦c,若

b2+c2=40csinA+g,則tanA+tan3+tanC的最小值是.

ii31

【變式5-2】在,yWC中，角A,民C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若——+--=-——，且sin（C-8）=彳sinA,

tanBtanCbc-sinA''2

則C?一".

命題預(yù)測(cè)T

1.在銳角「ABC中，〃，瓦c分別為角所對(duì)的邊，b=2,且ABC的面積S=2.

4.

⑴右sinA=《，求〃；

（2）求tan5的最大值.

題型六：四邊形定值和最值與托勒密定理

【典例6-1】克羅狄斯?托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家.托勒密定理是

歐幾里得幾何中的重要定理，定理內(nèi)容如下：任意一凸四邊形，兩組對(duì)邊乘積的和不小于兩對(duì)角線的乘積，

2兀

當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，等號(hào)成立.已知在凸四邊形ABCO中，AB=2,BC=6,AD=2CD,ZADC=—,

則BO的最大值為（）

A.5B.372C.276D.2幣

【典例6-2】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：

圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積

之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余

弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形的四

個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、80是其兩條對(duì)角線，BD=4y/3,且為正三角形，則四邊形A8CQ

的面積為（）

D

A.16A/3B.16C.1273D.12

巧

正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內(nèi)接的四邊形，尤其是

擁有對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理.

托勒密定理：在四邊形ABCD中，有AB-CD+ADZC上當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABC。四點(diǎn)共圓時(shí),

等號(hào)成立.

【變式6-1】如圖.在平面四邊形"。中，BC=CD=AD當(dāng)AB.設(shè)/的3證明：器為定值.

2

【變式6?2］如圖，平面四邊形ABCD的對(duì)角線分別為AC,,其中A5=逝，，CD,NBC。=-ZABC.

(1)若3C=2,.ACD的面積為主仔，求△及?的面積;

2

(2)^ZADC=ABCD,AD=2AB,求cosZACD的值.

命題預(yù)測(cè)

1.克羅狄斯?托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表

的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅

當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，后人稱之為托勒密定理的推論.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于半徑為2方的

圓，ZA=120°,ZB=45°,AB=AD,則四邊形ABC。的周長為（）

A.4代+6夜B.10A/3C.4百+4夜D.4檔+50

題型七：邊角特殊，構(gòu)建坐標(biāo)系

【典例7?1】已知三角形A5C中，BC=3,角A的平分線交3C于點(diǎn)。，若器=；，則三角形ABC面積的

最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【典例7?2】在ABC中，NACB=30。，點(diǎn)。在邊3c上，且5。=3,^AB=2AD,則長度的最大值為

（）

A.3B.4C.5D.6

巧

利用坐標(biāo)法求出軌跡方程

【變式7-1】已知AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)G是AABC的重心，＞AGBG=0.

c

(1)若/GAB=,求tanzGAC的值;

o

(2)求coszACB的取值范圍.

命題預(yù)測(cè)D

1.在&ABC中，AB=2,AC=3近,44c=135。，〃是，ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，則

w=MA.M8+MB.MC+MC.M4的最小值為

題型八：利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關(guān)的問題

【典例8-1】(2024.高三.河北滄州?期中)記VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知

Z?+c=2acosIB—I.

I3j

⑴求A;

(2)若VABC的面積為3百，sinBsinC=^-,求VABC的周長.

【典例8-2】在VABC中，角AB,C對(duì)應(yīng)的邊分別為4c.已知csinA+ocosC=b.

⑴求sinA；

(2)若點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，且°=20,AD=45,求VA3C的面積.

圖

與三角形面積或周長有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.要適當(dāng)選用

公式，對(duì)于面積公式S=」a6sinC=」acsinB=L6csinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪個(gè)公式.

222

【變式8-1]已知VABC的三個(gè)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且tanC=3tan3.

⑴若。=26,求C；

(2)若°=#，6+c=3,求VABC的面積.

【變式8-2](2024?四川眉山?一模)在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知Beg

11乖ia

nq-----1-----------------.

⑴求B；

(2)若VABC的外接圓半徑為R,周長為(若+㈣氏，且。＞b,求A.

命題預(yù)測(cè)1

<n「人心nd八rt…t.sinC2cosB+cosC

1.記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知=~-=---------

sinA2-cosA

⑴求A;

（2）若6=2,asinA=6sinC,求VABC的周長.

題型九：三角形的形狀判定

【典例9-1】已知VABC的三條邊a,b,c和與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)角A,氏C滿足等式

acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccos8+acosC則此三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【典例9-2］（2024?高三?福建南平期中）在AABC中，內(nèi)角例氏C的對(duì)邊分別為a,4c,已知向量

7"=（a,cos5，〃=，,cosg）,p=（c,cos，）共線，貝IJAABC的形狀為（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形

JT

C.有一個(gè)內(nèi)角是7的直角三角形D.等腰直角三角形

0

余弦定理判定：三角形三條邊從小到大排列，即a<8<c,

若力+廿一°2>0,則△/Re是銳角三角形；

若力+.一C2=0,則AABC是直角三角形；

若力+/一°2<0,則"sc是鈍角三角形；

【變式9-1］（2024?高三?上海閔行?期中）在VABC中，已知k+c?一歷=/,且btanC=ctan3,則VABC的

形狀為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一個(gè)角為60。的直角三角形D.等邊三角形

a2+b2sin（A+B）

【變式9-2］在VABC中，角A,B,C分別為。，b,c三邊所對(duì)的角,,則VABC的

sin（A-B）

形狀是（）

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

命題預(yù)測(cè)

1.已知a/,c分別是VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，下列關(guān)于VABC的形狀判斷一定正確的為（）

A.sin2A+sin2B=sinC,則VABC為直角三角形

B.sin2A+sin2B=sinC,則VABC為等腰三角形

C.sin2A+sin2B+sin2C=2,則VABC為直角三角形

D.sir?A+sir?8+sin2c=2,則VABC為等腰三角形

2.已知VABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a",c,滿足2a+）=2c8sB,且sinA+sin3=l,則VABC

的形狀為（）

A.等邊三角形B.頂角為120。的等腰三角形

C.頂角為150。的等腰三角形D.等腰直角三角形

題型十：三角形中的幾何計(jì)算

【典例10-1X2024?高三?安徽?期中）如圖，在平面四邊形ABCZ）中，AC與。3的交點(diǎn)為E,08平分NADC,

AB=BC=CD=2,AD>2.

2

⑴證明：BD=2（AD+2）;

⑵若=37r求J~）匕F.

4BE

【典例10-2】在平面四邊形ABCD中，AB=BC=瓜ZABC=120°,AC±CD^.AC=^3CD.

⑴求AD的長；

⑵若M為CD的中點(diǎn)，求cos/WB.

解決三角形中幾何計(jì)算的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯(cuò)選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可

以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更

加直觀化.

【變式10-1】（2024?江蘇揚(yáng)州.模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD中，已知8c=1,AC2=AB2+AB+1.

(1)若VABC的面積為6，求VABC的周長；

⑵若鉆=3,ZADB=60°,ZSCZ)=120°,求/BDC的值.

【變式10-2］如圖所示，在VABC中，設(shè)a,6,c分別為內(nèi)角A,民C的對(duì)邊，已知6+c=3a,b=4(c-a).

⑴求角C；

⑵若c=7,過B作AC的垂線并延長到點(diǎn)。，使A,8,CD四點(diǎn)共圓，AC與80交于點(diǎn)E,求四邊形ABCD

的面積.

命題預(yù)測(cè)

1.在VABC中，2后cos20+sin8=l+月.

2

(2)若￡為BC的中點(diǎn)，歹是AC邊上的點(diǎn)，且滿足BZUAE,y/2\AB\sinZBAC-\BC\cosC=0,求7K的值.

題型十一：中線長定理與余弦和為0

【典例11-1】記VABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知VABC的面積為6,。為中