專題06全等三角形中的截長補短模型

【模型展示】

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■、■?

?9

V

E

如圖，在AABC中，若A5=I2,AC=8,求邊上的中線AO的取值范圍。

解決此問題可以用如下方法：

延長AO到點E使DE=AD,再連接BE,把AB.AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三

邊的關(guān)系即可判斷中線的取值

【證明】

延長AO至E,DE=AD,連接BE,如圖所示，

特點

TA。是3c邊上的中線，

：.BD=CD

在ABDE和ACDA中，

BD=CD

NBDE=NADC

DE=AE

：.△5OE絲△CZM(SAS)

：.BE=AC=8

在AABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：A3-5EVAEV48+BE

：.12-8<AE<12+8

：.2<AD<10

截長法和補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用.具體的做法是在某

結(jié)論條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與某特定線段相等，再利用

全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學問題.

【模型證明】

如圖，在△A3C中，。是BC邊上的中點，OE_LO尸于點。，OE交A3于點E,。歹交AC于點

居連接EK求證：BE+CF>EF.

【證明】

延長FD至點監(jiān)使Z)M=OF,連接如圖所示，

同上例得4BMD^ACFD(SAS)

：.BM=CF

'：DE±DFJ)M=DF

：.EM=EF

在A5ME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM

解決方案

如圖，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為頂點作一個70°角，

角的兩邊分別交ABAD于瓦尸兩點連接￡￡探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【證明】

延長至點N,使BN=DF連摟CN,如圖所示

VZABC+ZD=180°,ZNBC+ZABC=180°

：.ZNBC=ZD

在XNBC和4FDC中

BN=DF

ZNBC=ZD

BC=DC

」.△NBC會△■TOC(SAS)

2

:.CN=CF,ZNCB=ZFCD

VZBCD=140°fZECF=70°

：./BCE+/FCD=70。

：.ZECN=70°=ZECF

在^NCE和^FCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

：.△NCE^AFCE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF.

【題型演練】

一、解答題

1.閱讀下面文字并填空:

數(shù)學習題課上李老師出了這樣一道題:“如圖1,在一ABC中,AD平分々AC,ZB=2NC.求證：AB+BD=AC.

（圖1）

李老師給出了如下簡要分析：“要證就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截

長法’如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE,只要證89=即可，這就將證明線段和差問題

為證明線段相等問題，只要證出-,得出NB=NAED及BD=

,再證出N=Z,進而得出￡D=EC,則結(jié)論成立.此種證法的基礎(chǔ)是，己

知AD平分將△ABO沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處，成為可能.

（圖2）

方法二:“補短法”如圖3,延長AB至點F,使5尸=3D.只要證AT=AC即可.此時先證N=NC,

再證出.,則結(jié)論成立.”

3

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法.

2.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

(1)如圖1,ABC是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，ZBDC=120°,探索線段D4、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長OC到點E,使CE=3D,連接AE,根據(jù)NB4C+/3DC=180。，可證/鉆D=NACE,易

證得.ABDZLACE,得出..ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而探尋線段D4、DB、OC之間的數(shù)

量關(guān)系.

根據(jù)上述解題思路，請寫出ZM、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系是,并寫出證明過程；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在RABC中，ZBAC=90°,AB=AC,若點。是邊下方一點，ZBDC=90°,探索線段

DA,DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為2c機的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距

離尸。的平方為多少？

3.如圖，在等邊△ABC中，點P是邊上一點，NBAP=a(30°<?<60°),作點B關(guān)于直線AP的對

稱點D,連接。C并延長交直線AP于點E,連接BE.

(1)依題意補全圖形，并直接寫出/AE8的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)……

②通過截長補短，利用60。角構(gòu)造等邊三角形，進而構(gòu)造出全等三角形，從而達到轉(zhuǎn)移邊的目的.

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程.

4

B

4.閱讀材料：

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系.截長，即在長線段上截

取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補短，即延長其中一條短線段，

使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線段.

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊「A5C中，點E是邊AC上一定點，點。是直線上一動點，以DE為邊作等邊亦即,連

接CF.

(1)如圖，若點。在邊BC上，試說明CE+b=CD；(提示：在線段CZ)上截取CG=CE,連接EG.)

(2)如圖，若點。在邊的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,CF與。之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

5.在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題復(fù)習課，學習過七種作輔助線的方法，其

中有“截長補短”作輔助線的方法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

5

請用這兩種方法分別解決下列問題：

己知，如圖，在△ABC中，AB>AC,Zl=Z2,P為上任一點，求證：AB—AOPB—PC

圖1圖2

6.例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就

是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而

解決問題.

（1）如圖1,△ABC是等邊三角形，點。是邊8C下方一點，ZBDC=120°,探索線段D4、DB、OC之間

的數(shù)量關(guān)系.

解題思路:將4ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,可得CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

根據(jù)N2AC+NB￡）C=180。，可知NAB￡?+NACr）=180。，則ZAC￡+ZAC￡>=180°,易知△AOE是等邊三角形，

所以AD=OE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段D4、DB、OC之間的等量關(guān)系是；

（2）如圖2,ROA8C中，ZBAC=90°,A8=AC.點。是邊BC下方一點，ZBDC=90°,探索三條線段ZM、

DB、OC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

7.閱讀材料并完成習題：

在數(shù)學中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題.請看這個例題：如圖1,在四邊形ABCD

中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四邊形ABCD的面積.

解：延長線段CB到E,使得BE=CD,連接AE,我們可以證明△BAE0ZXDAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,貝U/EAC=/EAB+/BAC=/DAC+NBAC=/BAD=90°,得S四邊形

ABCD=SAABC+SAADC=SAABC+SAABE=SAAEC>這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積.

（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2.

（2）請你用上面學到的方法完成下面的習題.

6

H

G

如圖2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五邊形FGHMN的面積.

8.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題.

(1)如圖①，△A3C是等邊三角形，點。是邊下方一點，連結(jié)ZM、DB、DC,且/3。。=120。，探

索線段ZM、DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。C到點E,使CE=BD,連接4E,根據(jù)44C+3DC=180。，則/ABD+/ACD=180。，

因為NACD+NAC￡=180?？勺C=易證得△ABDgZkACE,得出△ADE是等邊三角形，所

以AD=DE,從而探尋線段八4、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC

之間的數(shù)量關(guān)系是;

【拓展延伸】

(2)如圖②，在R3ABC中，/區(qū)4c=90。，AB=AC.若點。是邊下方一點，NBDC=90°,探索線

段ZM、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

圖①

(3)如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30。所對直角邊等于斜邊一半,

則PQ的長為cm.(結(jié)果無需化簡)

9.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線

段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

7

(1)如圖1,AABC是等邊三角形，點。是邊3c下方一點，ZBDC=nO°,探索線段D4、DB、0c之間的

數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長。C到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)N8AC+/8DC=180。，可證NASD=/ACE易證

得AABD0AACE,得出△?!￡>￡是等邊三角形，所以A￡)=DE,從而探尋線段ZM、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)

系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在尺公ABC中，NA4c=90。，AB=AC.若點。是邊BC下方一點，/BDC=90。,探索線段ZM、

DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離

PQ的長為cm.

10.現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：

截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種常見輔助線的做法.在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣

泛的應(yīng)用.截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等.補

短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段.

請用截長法解決問題(1)

(1)己知:如圖1等腰直角三角形ABC中，/3=90。，AD是角平分線，交8C邊于點。.求證：AC=AB+BD.

?1

請用補短法解決問題(2)

(2)如圖2,已知，如圖2,在AA5c中，ZB=2NC,AD是AABC的角平分線.求證：AC=AB+BD.

8

圖2

11.數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：

如圖1,在等腰RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD=AE,求證NABK=NACD；

在此問題的基礎(chǔ)上，老師補充：

過點A作AFL盛于點G交BC于點F，過產(chǎn)作FPL8交8E于點P,交CD于點H,試探究線段3尸，F(xiàn)P,

AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

小白通過研究發(fā)現(xiàn)，/47騙與NHFC有某種數(shù)量關(guān)系；

小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出

結(jié)論.

閱讀上面材料，請回答下面問題：

(1)求證NABE=NACD；

(2)猜想/4FB與的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)探究線段的，F(xiàn)P,AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

12.【初步探索】

截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是在長

邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問

題.

(1)如圖1,AABC是等邊三角形，點D是邊8C下方一點，/BDC=120。,探索線段。A、DB、OC之間

的數(shù)量關(guān)系；

9

A

-E

【靈活運用】

(2)如圖2,△ABC為等邊三角形，直線。為BC邊上一點，NAOE交直線a于點E,B.ZADE

=60°.求證：CD+CE=CA；

圖2

【延伸拓展】

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，ZABC+ZA￡)C=180°,AB^AD.若點E在的延長線上，點廠在CD

的延長線上，滿足斯=BE+ED,請直接寫出NEAP與的數(shù)量關(guān)系.

圖3

13.截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是

在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解

決問題.

(1)如圖1,△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，ZBDC=120°,探索線段DA、DB、DC之

間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長DC到點E,使CE=BD,根據(jù)NBAC+NBDC=180。，可證/ABD=NACE,易證

AABD^AACE,得出△ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是；(直接寫出結(jié)果)

10

(2)如圖2,RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點D是邊BC下方一點，ZBDC=90°,探索三條線

段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

a1明2

14.【閱讀】在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用截長補短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系.截長法:

將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等.補短法：延長較短兩條線段中的一條，

使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等.

【應(yīng)用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，ZC4D=ZCBD=90°,組成一個四邊形ACBD,以。為頂

點作交邊AC、于M、N.

⑴若ZACD=30。，ZMDN=60°,證明：AM+BN=MN；經(jīng)過思考，小紅得到了這樣的解題思路：利用補

短法，延長CB到點E,使砥=4〃，連接DE,先證明〃且11nBE,再證明/,即可

求得結(jié)論.按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；

⑵當NACD+/MDN=90。時，AM.MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？(直接寫出你的結(jié)論，不用證

明)

(3)如圖③，在(2)的條件下，若將M、N改在C4、3c的延長線上，完成圖③,其余條件不變，則A"、MN、BN

之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論.

11

專題06全等三角形中的截長補短模型

【模型展示】

■■?t

、■?*

'?■■

如圖，在△ABC中，若48=12,AC=8,求邊上的中線4。的取值范圍。

解決此問題可以用如下方法：

延長AO到點E使DE=AD,再連接BE,把AB.AC、2AD集中在△ABE中，

利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線40的取值

【證明】

特點延長4。至E,DE=AD,連接BE,如圖所示，

是邊上的中線，

：.BD=CD

在4BDE和小CDA中，

BD=CD

ZBDE=ZADC

DE=AE

：.4BDEmACDA(SAS)

：.BE=AC=8

在AABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB-BE<AE<AB+BE

：.12-8<AE<12+8

：.2<AD<10

截長法和補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用.具體

結(jié)論的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段，或?qū)⒛硹l線段延長，使之

與某特定線段相等，再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學問題.

【模型證明】

12

M

如圖，在△ABC中，。是5c邊上的中點，DELDF于點D,DE交AB于點E,DF

交AC于點尸，連接EF,求證：BE+CF>EF.

【證明】

延長FD至點M,使0M=。居連接aW,EAf,如圖所示，

同上例得ABMD^ACFD(SAS)

：.BM=CF

'：DELDF,DM=DF

：.EM=EF

在ZkBME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM

解決方

案

AEBN

如圖，在四邊形A3C。中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以。為頂點

作一個70。角，角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點連接EF,探索線段BE,DF,EF之

間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【證明】

延長AB至點N,使BN=DF,連接CN,如圖所示

VZABC+ZD=180°fZNBC+ZABC=180°

：.ZNBC=ZD

在^NBC和AFDC中

BN=DF

ZNBC=ZD

BC=DC

:?△NBgXFDC(SAS)

:.CN=CF,ZNCB=ZFCD

VZBCD=140°fZECF=70°

：.ZBCE+ZFCD=70°

：.ZECN=70°=ZECF

13

在^NCE和4FCE中

CN=CF

ZECN=ZECF

CE=CE

：./\NCE咨△FCE(SAS)

：.EN=EF

：.BE+DF=EF.

【題型演練】

一、解答題

1.閱讀下面文字并填空：

數(shù)學習題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1,在ABC中，AD平分ZBAC,ZB=2ZC.求

證：AB+BD^AC.

李老師給出了如下簡要分析：“要證AB+5D=AC就是要證線段的和差問題，所以有兩個方

法，方法一：‘截長法’如圖2,在AC上截取AE=AB,連接DE,只要證3D=即

可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出.

,得出NB=ZAED及BD=,再證出/=Z,

進而得出￡D=EC,則結(jié)論成立.此種證法的基礎(chǔ)是'已知AD平分44C,將△鈿￡)沿直

線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處，成為可能.

方法二：“補短法”如圖3,延長AB至點F,使BF=BD.只要證AF=AC即可.此時先證

N=ZC,再證出,,則結(jié)論成立.”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法.

【答案】方法一：CE；轉(zhuǎn)化；ABD-,AED-.DE-EDC■.C■,方法二：FAFD；ACD

【分析】方法一：在AC上截取AE=AB,由SAS可證AMD三AAED可得Nfi=NAED,BD=DE,

根據(jù)等角對等邊得到CE=DE,即可求證；

14

方法二：延長AB至點F,使BF=BD,由AAS可證AAFD二AACD,可得AC=AF,即可證

明.

【詳解】方法一：在AC上截取A￡=AB,連接DE,如圖2

〈AD平分々AC,

：.ZBAD=ZDAC,

在和AAED中

AE=AB

</BAD=ZDAC,

AD=AD

：.AABD^^AED,

：?ZB=ZAED,BD=DE,

?/ZB=2ZC,

ZAED=2ZC

而ZAED=NC+ZEDC=2NC,

:.NEDC=NC,

ADE=CE,

AB+BD=AE+CE二AC,

故答案為：CE；轉(zhuǎn)化；ABD；AED；DE；EDC；C；

方法二：如圖3,延長AB至點F,使BF=BD,

ZF=ZBDF

：.ZABD=NF+ZBDF=2ZF

：.ZABD=2ZC

：.ZF=ZC

在AAFD和AACD中

ZFAD=ZCAD

<ZF=ZC,

AD=AD

：.AAfL>=AACD,

AAC=AF,

JAC二AB+BF=AB+BD,

故答案為：F；AFD；ACD.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于截長補短類輔助線，核心思想為數(shù)學中

的轉(zhuǎn)化思想，此類題的關(guān)鍵是要找到最長邊和最短邊，然后確定截取輔助線的方式.

2.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊

上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，

從而解決問題.

15

⑴如圖1,—ABC是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，ZBDC=120°,探索線段ZM、

DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長OC到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)Na4C+/3DC=180。，可證

ZABD=ZACE,易證得ABD安二ACE,得出ADE是等邊三角形，所以=從而

探尋線段DA、DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

根據(jù)上述解題思路，請寫出DA、DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系是,并寫出證明過程；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在Rf.ABC中，ABAC=90°,=AC,若點。是邊BC下方一點，NBDC=90°,

探索線段D4、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為2c〃z的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直

角頂點之間的距離尸。的平方為多少？

【答案】(1)DA=DC+BD,見解析；(2)2AD2=(OC+Br>)2；見解析；(3)2+石

【分析】(1)由等邊三角形知AB=AC,ZBAC=60°,結(jié)合/B￡)C=120。知ZABD+ZACD=180°,

由NACE+NAC￡)=180°知iiEAABD^/\ACE^AD=AE,NBAD=NCAE,

再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.

(2)延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,先證△ABD經(jīng)AACE得AD=AE,ZBAD=ZCAE,

據(jù)此可得/D4E=/BAC=90。，由勾股定理知乃相必序二^序，繼而可得2A3=(OC+B。)2；

(3)由直角三角形的性質(zhì)知QN=3MV=1,MQ=JMN2-QN2=也,利用(2)中的結(jié)論知

2PQ2=(QN+A/0)2,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：(1)DA=DC+BD,理由如下：

?.?△48C是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

VZB￡>C=120°,

ZABD+ZACD=3600-ZBAC-ZBDC=180°,

又ZACE+ZACD=180°,

：.ZABD=ZACE,

在△和△ACE中，

16

AB=AC

</ABD=ZACE,

BD=CE

：.AABD^AACE(SA5),

：.AD=AEfZBAD=ZCAE,

VZABC=60°,即NBAO+ND4C=60。，

ZDAC+ZCAE=60°,即ZDAE=60°,

/\ADE是等邊三角形，

：?DA=DE=DC+CE=DC+DB,BPDA=DC+DB,

故答案為：DA=DC^BD；

(2)24)2=+5。)2,如圖2,延長。。到點石，使CE=BD,連接AE,

VZBAC=90°,ZBDC=90°f

：.ZABD+ZACD=360°-ZBAC-ZBDC=180°,

???ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE,

'：AB=AC,CE=BD,

在△A3。和△ACE中，

AB=AC

<NABD=/ACE,

BD=CE

：.AABD^AACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

：.ZDAE=ZBAC=90°9

.9.D^AE^DE2,

：.23=3+50)2；

(3)如圖3,連接PQ,

17

;MN=2,ZQMN=30°,NMQN=90。,

^QN=^MN=1,

MQ=y]MN2-QN2=A/22-12二石，

由(2)知2尸Q2=(QN+MQ)2.

??"2=("70)2=叵?1=2+/

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，含30度角

的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在等邊AABC中，點P是BC邊上一點，NBAP=a(30°<?<60°),作點3關(guān)

于直線AP的對稱點D,連接。C并延長交直線A尸于點E,連接8E.

(1)依題意補全圖形，并直接寫出/AEB的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性

質(zhì)……

②通過截長補短，利用60。角構(gòu)造等邊三角形，進而構(gòu)造出全等三角形，從而達到轉(zhuǎn)移邊的

目的.

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程.

【答案】(1)圖見解析，ZAEB=60°；(2)AE=BE+CE,證明見解析

【分析】(1)依題意補全圖形，如圖所示：然后連接A。，先求出NC4P=60。-夕，然后根

據(jù)軸對稱的性質(zhì)得至4r,AD=AB=AC,ZAEC=ZAEB,求出ZCAD=2a-60°,

即可求出NAa>=/A￡>C=g(18OO-/C40=12(F-a,再由

18

ZEAC+ZAEC=ZACD=120°一a進行求解即可；

(2)如圖，在AE上截取EG=BE,連接BG.先證明△BGE是等邊三角形，得至I]

=EG,ZGBE=60°.再證明NABG=NC8E,即可證明△ABGgZXCBE得到AG=CE,則

AE=EG+AG=BE+CE.

【詳解】解：(1)依題意補全圖形，如圖所示：連接A。，

：△ABC是等邊三角形，

ZBAC=60°,AB=AC,

'：NBAP=a,

：.ZCAP=60°-a,

。關(guān)于AP對稱，

/.ZPAD=ZBAP=a,AD=AB=AC,ZAEC=ZAEB,

：.ZCAD^ZPAD-ZCAP=a-(60°-a)=2<z-60°,

ZACD=ZADC=1(180°-ZC4￡>)=120°-a

ZEAC+ZAEC=ZACD=nO0-a,

ZAEC=60°

：.NAEB=60°.

(2)AE=BE+CE.

證明：如圖，在AE上截取EG=BE,連接BG.

NAEB=60。，

...△BGE是等邊三角形，

：.BG=BE=EG,ZGBE=60°.

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABC=60°,

ZABG+ZGBC=ZGBC+ZCBE=60°,

ZABG=ZCBE.

在△4"和4CBE中，

19

AB=CB,

<ZABG=ZCBE,

BG=BE,

；.Z\ABG咨/\CBE(SAS),

：.AG=CE,

：.AE=EG+AG=BE+CE.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱的性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題

的關(guān)鍵

4.閱讀材料:

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系.截長,

即在長線段上截取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段；補

短，即延長其中一條短線段，使延長部分等于另一條線段,再證明延長后的線段等于長線段.

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊,ABC中，點E是邊AC上一定點，點。是直線BC上一動點，以。E為邊作

等近一DEF,連接CF.

(1)如圖，若點。在邊BC上，試說明CE+C/=8；(提示：在線段CD上截取CG=CE,

連接EG.)

(2)如圖，若點。在邊的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,CF與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理

由.

20

A

【答案】(1)證明見解析

(2)FC=CD+CE

【分析】(1)在CO上截取CG=CE,易證△CEG是等邊三角形，得出EG=EC=CG,證

明ADEG0△尸EC(SAS),得出。G=CR即可得出結(jié)論；

(2)過。作DG42,交AC的延長線于點G,由平行線的性質(zhì)易證NGZ)C=NZ)GC=60。，

得出△GCD為等邊三角形，則DG=CD=CG,證明△EGD^AFCD(SAS),得出EG=FC,

即可得出FC=CD+CE.

(1)

證明：在CD上截取CG=CE,如圖1所示：

圖1

:△4BC是等邊三角形，

：.ZECG=60°,

...△CEG是等邊三角形，

：.EG=EC=CG,ZCEG=60°,

???△OEF是等邊三角形，

：.DE=FE,NDEF=60。,

：.ZDEG+ZGEF=ZFEC+ZGEF=60°,

：.ZDEG=ZFEC,

在ADEG^APEC中，

DE=FE

<NDEG=NFEC,

EG=EC

.?.△OEG<竹EC(SAS),

C.DG^CF,

21

/.CD=CG+DG=CE+CF,

：.CE+CF=CD；

(2)

解：線段CE,CP與CQ之間的等量關(guān)系是FC=CQ+CE；理由如下:

「△ABC是等邊三角形，

NA=NB=60°,

過。作交AC的延長線于點G,如圖2所示：

:GDAB,

.?.NGOC=/B=60。，ZDGC=ZA=60°,

：.ZGDC=4DGC=60°,

...△GC￡)為等邊三角形，

：.DG=CD=CG,ZGDC=60°,

：△￡：￡)產(chǎn)為等邊三角形，

：.ED=DF,ZEDF=ZGDC=60°,

：.ZEDG=ZFDC,

在4EGD^WLPCD中，

ED=DF

<ZEDG=ZFDC,

DG=CD

：./\EGD^/\FCD(SAS),

：.EG=FC,

：.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等及其性質(zhì)，三角形全等的判定，等邊三角形

的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

5.在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，全等三角形專題復(fù)習課，學習過七種作輔

助線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

請用這兩種方法分別解決下列問題：

22

已知，如圖，在AABC中，AB>AC,Zl=Z2,尸為AQ上任一點，求證：AB-AOPB

-PC

【分析】截長法：在上截取AN=AC,連結(jié)PN,可證得△APN四△APC,可得至!JPC=PN,

4BPN中,利用三角形的三邊關(guān)系，即可求證；補短法：延長AC至使連結(jié)

PM,證明AABP等△AMP,可得尸8=PM,在△PCM中，利用三角形的三邊關(guān)系，即可求

證.

【詳解】解：截長法：在AB上截取AN=AC,連結(jié)PM

'：AN=AC,Z1=Z2,AP=AP,

：.AAP^AAPC,

：.PC=PN,

'：ABPN中有PB-PN<BN,

即PB-PC<AB-AC；

補短法：延長AC至M,使連結(jié)PM,

M

在△ABP和△AM尸中，

'：AB=AM,Z1=Z2,AP=AP,

：.AABP^AAMP,

：.PB=PM,

又?.?在△PCM中有CM>PM-PC,

23

即AB-AOPB-PC.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，理解截長補短法是

解題的關(guān)鍵.

6.例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一

種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式

使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,△ABC是等邊三角形，點。是邊下方一點，ZBDC=120°,探索線段。A、

DB、0c之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：將AABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AACE,可得AE=A。，CE=BD,

ZABD^ZACE,ZDAE=60°,根據(jù)/8AC+/BOC=180°,可知/A8O+/ACZ)=：180°,貝U

ZAC￡+ZAC￡>=180°,易知△AOE是等邊三角形，所以從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段D4、DB、OC之間的等量關(guān)系是；

(2)如圖2,RfAABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點。是邊8C下方一點，ZBDC=90°,探

索三條線段加、DB、OC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

m1M2

【答案】（1）DA=DB+DC;（2）0DA=DB+DC,證明見解析.

【分析】⑴由旋轉(zhuǎn)60?？傻肅E=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=6Q°,根據(jù)

ZBAC+ZBDC=1SO°,可知/AB￡>+NAO）=180°,貝i|ZACE+ZAC￡>=180°,易知△ADE是

等邊三角形，所以從而解決問題.

⑵延長DC至！J點E,使CE=BD,連接AE,由已知可得4瓦）+44?！辏?180°,根據(jù)

ZACE+ZACD=180°,可得ZACE,可證=_ACE,進而可得AD=AE,

ZBAD=/CAE，可得ZDAE=ABAC=90°,由勾股定理可得：DA2+AE2=進行等量代

換可得結(jié)論.

【詳解】（1）結(jié)論：DA=DB+DC.

理由：,?AABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACE,

；.AE=AD,CE=BD,ZABD=ZACE,ZDAE=60°,

VZBAC+ZBDC=180°,

.,.ZABD+ZACD=180°,

.,.ZACE+ZACD=180°,

；.D,C,E三點共線,

VAE=AD,ZDAE=60°,

24

/.△ADE是等邊三角形，

，AD=DE,

AD=DC+CE=DB+DC;

⑵結(jié)論：V2DA=DB+DC,

證明如下：

如圖所示，延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,

,/ABAC=90°,ZBDC=90°,

?*.ZABr>+ZACD=180°,

ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE,

VAB=AC,CE=BD,

.ABD=ACE(SAS),

.\AD=AE,ZBAD=ZCAE,

，ZDAE=ZBAC=90°,

D^+AE2=DE2,

：.2DA2=(DB+DC

：.72DA=DB+DC.

【點睛】本題主要考查了截長補短的方法，通過全等三角形得到線段間的等量關(guān)系，正確作

出輔助線找到全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.閱讀材料并完成習題：

在數(shù)學中，我們會用“截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題.請看這個例題：如圖1,

在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四邊形ABCD的面積.

解：延長線段CB到E,使得BE=CD,連接AE,我們可以證明△BAE四△DAC,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,則

/EAC=/EAB+NBAC=NDAC+NBAC=/BAD=90°,得S四邊形

ABCD=SAABC+SAADC=SAABC+SAABE=SAAEC>這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角二

角形EAC面積.

(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2.

(2)請你用上面學到的方法完成下面的習題.

25

H

AG

如圖2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,求五邊形FGHMN的面積.

【答案】(1)2；(2)4

【分析】(1)根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；

(2)延長MN到K,使NK=GH,連接FK、FH、FM,由(1)易誣二FGH沿.FNK,則有

FK二FH,因為HM=GH+MN易證一月1值空月|組，故可求解.

1

=7

【詳解】(1)由題意知S四邊形Ass二^,ABC+S.ADC=SABC+SABE=_AEC^^=2,

故答案為2；

(2)延長MN到K,使NK二GH,連接FK、FH、FM,如圖所示:

FG=FN=HM=GH+MN=2cm,ZG=ZN=90°,

/.ZFNK=ZFGH=90°,：.FGH'FNK,

二.FH=FK,

又FM=FM,HM=KM=MN+GH=MN+NK,

FMK^FMH,

/.MK=FN=2cm,

S五邊形FGHMN=SFGH+SHFM+SMFN-2SFMK_2x2EN-4.

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)截長補短法及割補法求面積的

運用.

8.【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊

上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等,

從而解決問題.

(1)如圖①，△ABC是等邊三角形，點。是邊BC下方一點，連結(jié)ZM、DB、DC,且

ZBDC=120°,探索線段ZM、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

26

解題思路：延長。C到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)/胡C+8DC=180。，貝U

ZABD+ZACD=180°,因為NACD+NACE=180?？勺CNASD=NACE,易證得△ABD^/\

ACE,得出△ADE是等邊三