專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題

【模型展示】

解直角三角形的動點問題，一般分三步走

第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，

第二步列方程，

第三步解方程并驗根.

特點一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程.

有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便.

解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起.

如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個頂點作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直

角三角形，這樣列比例方程比較簡便.

結(jié)論直角三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，M,A,N是直線/上的三點，AM=3AN=5,P是直線/外一點，且/R4N=60。,A—1,若動點

。從點M出發(fā)，向點N移動，移動到點N停止，在△APQ形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是

()

P

?!?1

MAN

A.直角三角形-等邊三角形-直角三角形--等腰三角形

B.直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等邊三角形

C.等腰三角形-直角三角形-直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形-直角三角形--等邊三角形-直角三角形

二、填空題

2.如圖，HA4BC中，Z4CB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,。為的中點，若動點E以lcm/s的速

度從A點出發(fā)，沿著AfA的方向運動，設(shè)E點的運動時間為/秒(04/46),連接DE,當(dāng)ABDE是

直角三角形時，r的值為.

3.如圖，在RrAABC中，/C=90?,AC=12,BC=10,。是BC的中點，E是AC上一動點，將△<?￡)￡沿

OE折疊到△€：'/)￡,連接AC',當(dāng)一AEC是直角三角形時，CE的長為.

4.已知：如圖，正方形ABCD中，AB=2,AC,3D相交于點。，E,尸分別為邊BC,CO上的動點(點

E,尸不與線段3C,8的端點重合).5.BE=CF,連接OE,OF,EF.在點E,尸運動的過程中，有下

列四個說法：

①尸是等腰直角三角形；

②AOEF面積的最小值是二；

③至少存在一個ECF,使得.ECF的周長是2+遙;

④四邊形OECF的面積是1.

其中正確結(jié)論的序號有.

5.如圖，在MAA2C中，ZA=90°,AB=4百，AC=4,點。是A8的中點，點E是邊8C上一動點，沿DE

2

所在直線把△BDE翻折到△的位置,37）交邊BC于點P,若4CBN為直角三角形，則CQ的長為.

C

---麥

6.如圖，已知/B=45。，AB=2cm,點P為/ABC的邊8c上一動點，則當(dāng)8尸2=cm時，△BAP

為直角三角形.

A

八

BPC

7.如圖，長方形ABCD中，ZEWB=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=4,AB=CD=3.E為邊BC上的一

個動點，將AABE沿AE折疊，使點8落在"處.

A題：當(dāng)NEB，C=90。時，EC的長為.

8題：當(dāng)，EB'C為直角三角形時EC的長為.

8.如圖，AABC、△ADE都是等腰直角三角形，NBAC=/ZME=90。，AB=4,P是。E的中點，若點E

是直線8c上的動點，連接BR則8F的最小值是.

9.如圖，等邊ABC的邊長是2,點。是線段8C上一動點，連接AD,點E是AD的中點，將線段DE繞

點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段OF,連接尸C,當(dāng)CE*是直角三角形時，則線段3。的長度為.

3

A

10.已知任意直角三角形的兩直角邊mb和斜邊c之間存在關(guān)系式:°2+b2=c2.如圖，在△ABC中，/氏40=90。，

AB=AC,點。在8c上，BD=3,CD=4,以為一邊作AAOE,使ND4E=90。，AD=AE.若點/是。E上

一個動點，則線段CM長的最小值為.

三、解答題

11.已知：如圖，在RtaABC中，/C=90?,AB=5cm,AC=4cm,動點P從點8出發(fā)沿射線BC以Icm/s

的速度移動，設(shè)運動的時間為/秒.

⑴求BC邊的長；

(2)當(dāng)△樹為直角三角形時，求f的值；

(3)當(dāng)為等腰三角形時，求，的值.

12.如圖，在矩形ABC。中，設(shè)AB=a,AD=b,且a>6.

(1)若。，匕為方程/一履+左+4=0的兩根，且8。=2可，求左的值.

(2)在(1)的條件下，尸為8上一點(異于C、。兩點)，尸在什么位置時，/XAPB為直角三角形?

4

(3)尸為。上一動點(異于C、。兩點)，當(dāng)a,6滿足什么條件時，使/WB為直角三角形的P點有且只有一

個？請直接寫出a,6滿足的數(shù)量關(guān)系.

13.如圖，△ABC是邊長是12cm的等邊三角形，動點尸，。同時從A,8兩點出發(fā)，分別沿AB,3C方向

勻速移動，其中點P運動的速度是lcm/s，點。運動的速度是2cm/s,當(dāng)點。到達點C時，尸、。兩點都停

止運動，設(shè)運動時間為心)，解答下列問題：

(1)當(dāng)點。到達點C時，尸。與的位置關(guān)系如何？請說明理由.

(2)在點P與點。的運動過程中，VBPQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出f,若不能，請說明理由.

(3)則當(dāng)/為何值時，VBP。是直角三角形？

14.已知△ABC是等邊三角形，AOL8C于點Q,點E是直線上的動點，將BE繞點8順時針方向旋轉(zhuǎn)

60。得到連接ERCF,AF.

(1)如圖1,當(dāng)點E在線段4。上時，猜想NAFC和/MC的數(shù)量關(guān)系；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段的延長線上時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論，若不成立，

請寫出你的結(jié)論，并證明你的結(jié)論；

(3)點E在直線上運動，當(dāng)△AC尸是等腰直角三角形時，請直接寫出NE8C的度數(shù).

15.如圖，在三角形ABC中，AB=3,BC=36AC=6,點。是AC上一個動點，過點。作。fUBC于

點R過點尸作EE〃AC,交AB于點E.

(1)當(dāng)四邊形AOFE為菱形時，則/AE￡>=

5

(2)當(dāng)△OEF為直角三角形時，則。=.

16.如圖，矩形048c頂點8的坐標(biāo)為(8,3),定點。的坐標(biāo)為(12,0),動點P從點。出發(fā)，以每秒2個

單位長度的速度沿?zé)o軸的正方向勻速運動，動點。從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方

向勻速運動，P、。兩點同時運動，相遇時停止.在運動過程中，以尸。為斜邊在無軸上方作等腰直角三角

形PQR,設(shè)運動時間為f秒，APOR和矩形。重疊部分的面積為S.

(1)當(dāng)t=時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B

(2)求S關(guān)于1的函數(shù)關(guān)系式，并寫出f的取值范圍.

17.如圖，在ABC中，AB=4,BC=6,P是BC邊上一動點，NAPN=/3=60。，過A點作射線AM〃臺C,

(1)求AC的長;

(2)求證：AI^^BPAD;

(3)連接CD,若_ACD為直角三角形，求8尸的長.

18.矩形ABCD的邊A3在x軸上，點在第一象限，且AD=3,AB=4,點A的坐標(biāo)為(2,0),如圖(1).

(2)過點A的直線，與矩形ABCD的一條邊交于點E,如果直線/把矩形ABCD分成兩部分圖形的面積比為

1:2,求直線［的解析式；

6

(3)P是線段8上動點，DP=m,連接尸3,以尸B為直角邊在網(wǎng)的逆時針方向作等腰直角三角形尸僅2,且

PB=PQ,ZBPQ=90°,如圖(2).

①求出點。的坐標(biāo)(用含機的式子表示)；②連接。Q,當(dāng)線段。。的長度最短時，求加的值；

19.問題的提出：如果點P是銳角△ABC內(nèi)一動點，如何確定一個位置，使點P到△ABC的三頂點的距離

之和PA+PB+PC的值為最小？

⑴問題的轉(zhuǎn)化：如圖，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到八4-7,連接PP,這樣就把確定必+P2+PC

的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的+PP+PC'的最小值的問題了，請你利用圖1畫出上述操作的最終圖象的示

意圖，并證明：PA+PB+PC=BP+PP'+PC；

圖1

(2)問題的解決：當(dāng)點P到銳角AABC的三頂點的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，貝的度數(shù)是

，NAPC的度數(shù)是；

(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30。的直角三角形，如果斜邊為2,點P是這個三角形內(nèi)一動點，請

你利用以上方法，求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值.

圖2

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，直線4：>=也X+相與y軸交于點4(0,3),直線小曠二孝了一竿與

尤軸交于點8,點M,N分別是直線乙，4在第一象限內(nèi)的動點，且/MON=60?,連接MN.

⑴直接寫出相的值，點2的坐標(biāo)，NQ4"及NO&V的度數(shù);

7

⑵求AM-aV的值；

(3)當(dāng).MON是直角三角形時，直接寫出點M的坐標(biāo).

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點8和點C在尤軸上，點A在y軸上，OB=OC=a,AB=b,

且a,b滿足(a-2y+(b-4)2=0.

(1)證明△ABC為等邊三角形;

(2)現(xiàn)有一動點P從點A沿y軸負方向運動，速度為1個單位長度每秒，連接CP,在CP的下方作等邊三角

形尸C。過點。作。無軸，垂足為，設(shè)點尸的運動時間為/秒，QD的長度為心求d與/之間的關(guān)系式;

(用含r的式子表示d)

(3)在(2)間的條件下，已知。4=2/，當(dāng)△POC為等腰直角三角形時，求f的值，并求出此時直線PQ與

無軸的交點E的坐標(biāo).

22.如圖1,在矩形A3CD中，AB=8,AD=10,￡是CO邊上一點，連接AE,將矩形ABC。沿AE折疊,

頂點。恰好落在BC邊上點尸處，延長AE交BC的延長線于點G.

(1)求線段CE的長;

(2)如圖2,M,N分別是線段AG,DG上的動點(與端點不重合)，且NZ>W=ND4",設(shè)DN=x.

①求證四邊形AFGD為菱形;

8

②是否存在這樣的點N,使一DMV是直角三角形？若存在，請求出尤的值；若不存在，請說明理由.

23.如圖，矩形。LBC頂點B的坐標(biāo)為(8,3),定點。的坐標(biāo)為(12,0).動點P從點。出發(fā)，以每秒2個單

位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點。從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿尤軸的負方向勻

速運動.P、。兩點同時運動，相遇時停止.在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形尸。尺，

設(shè)運動時間為f秒，和矩形O4BC重疊部分的面積為S.

(1)當(dāng)勺時，的邊經(jīng)過點B；

(2)求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出f的取值范圍.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZVRC的斜邊A2在x軸上，點C在y軸上，/AC8=90。，點A坐標(biāo)

3

(-9,0),直線BC的解析式為y=-]X+12,點。是線段BC上一動點(不與點夙點C重合)，過點。

作直線。垂足為E.

⑴求點8、點C的坐標(biāo)；

(2)求直線AC的解析式；

(3)若點N在射線。E上，是否存在點N使8CN是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點。的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

(4)連接A。，當(dāng)平分/C48時，請直接寫出直線AQ的解析式.

25.已知,ABC是等腰直角三角形，動點尸在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰R"PCQ,

ZPCQ=90。.探究并解決下列問題：

9

圖3

(1)如圖1,若點尸在線段A3上，AC=l+g,PA=?，則線段PS=；PC=

(2汝口圖2,若點尸在AB的延長線上，猜想B4、PB、尸C的數(shù)量關(guān)系,并證明;

PA1PT

(3)如圖3,若動點尸滿足塞=(，則2的值為.

1LJ3AC

10

專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題

【模型展示】

解直角三角形的動點問題，一般分三步走

第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，

第二步列方程，

第三步解方程并驗根.

特點一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程.

有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便.

解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起.

如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個頂點作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直

角三角形，這樣列比例方程比較簡便.

結(jié)論直角三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用

【題型演練】

一、單選題

1.如圖,M,A,N是直線/上的三點，AM=3AN=5，尸是直線/外一點，且/PAN=60°,AP=1,

若動點。從點M出發(fā)，向點N移動，移動到點N停止，在△AP。形狀的變化過程中，依

次出現(xiàn)的特殊三角形是()

P

~■—!—■-i

MAN

A.直角三角形-等邊三角形-直角三角形-等腰三角形

B.直角三角形-等腰三角形-直角三角形-等邊三角形

C.等腰三角形-直角三角形-直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形—直角三角形—等邊三角形—直角三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)N/W=6()o,31,按照。在線段3和線段AN上進行分類討論即可.

【詳解】解：；NPAN=60°,AP=1,

：.ZPAM=180。-60°=120°,

①當(dāng)。在線段40上，只能形成等腰三角形，當(dāng)AQ=AP=1時，AAP。為等腰三角形；

②當(dāng)。在線段AN上時，/AQ尸逐漸減小，

當(dāng)44。?=90。時，△AP。為直角三角形，此時/APQ=3(F,A2=gAP=g；

當(dāng)NAQP=60。時，△APQ為等邊三角形，此時AQ=AP=1；

當(dāng)/AQP=30。時，?.?/R4N=60。，44尸。=90°,.?.△APQ為直角三角形，此時

PQ=2AP=2,AQ=yjPQ2-AP2=73;

11

???△APQ形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是：等腰三角形-直角三角形-等邊

三角形-直角三角形；

故選D.

【點睛】本題考查特殊三角形的判定.熟練掌握等腰三角形、直角三角形和等邊三角形的判

定方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

2.如圖，HAABC中，ZACB=90°,NABC=60。，BC=2cm,。為BC的中點，若動點E

以lcm/s的速度從A點出發(fā)，沿著AfA的方向運動，設(shè)E點的運動時間為f秒

(04/46),連接DE,當(dāng)ABDE是直角三角形時，f的值為.

【答案】2或3.5或4.5或6

【分析】先求出的長，再分①NBDE=90。時，DE是AABC的中位線，然后求出AE的

長度，再分點E在48上和在氏4上兩種情況列出方程求解即可；②/3￡。=90。時，含30

度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求出BE,然后分點E在AB上和在BA上兩種情況列出

方程求解即可.

【詳解】解：VZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,

ZA=30°,AB=2BC=4(cm),

①N5DE=90。時，

ZB=60。,

：.ZDEB=3Q°,

：.EB=2DB=BC=2

：.AE=AB-BE=2(cm),

點E在A3上時，t=2^1=2(秒)，

點E在BA上時，點E運動的路程為4x2-2=6(cm),

?1=6：1=6(秒)；

②N8E￡)=90°時，BE=-BD=-BC=Q.5(cm),

24

12

點E在AB上時，t=(4-0.5)+1=3.5(秒)，

點E在區(qū)4上時，點E運動的路程為4+0.5=4.5(cm),

t=4.5+l=4.5(秒)，

04/46

綜上所述，f的值為2或3.5或4.5或6,

故答案為：2或3.5或4.5或6.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情況討論.

3.如圖，在R7VRC中，NC=90?,AC=12,3c=10,。是BC的中點，E是AC上一動

點，將△CDE沿DE折疊到連接AC',當(dāng)AEC'是直角三角形時，CE的長為

【答案】5或5

【分析】分兩種情況進行分類討論：①當(dāng)/A￡C'=90?時，求CE的長；②當(dāng)ZACE=90。時,

求CE的長.

【詳解】解：①如圖1,當(dāng)ZAEC'=90?時，ZCED=ZCED=45°,

."=90。，

:.ZCDE=ZCED=45°,

QBC=10,。是3C的中點，

/.CD=CE=5.

圖1

②如圖2,當(dāng)NACE=90。時，由折疊性質(zhì)知NDC￡=/C=90。,

ZDC'E+ZACE=180°,

A三點共線.

CD=DB=5AC=12,

...在RrAACD中，AD=，5，+122=13,

設(shè)CE=C'E=x,

13

/.AE=12—x,

???在RAACE1中，Y+(i3—5>=Q2—%)2,

10

x——.

3

綜上所述，CE的長為：5或1.

【點睛】此題考查翻折變換，勾股定理，熟練運用勾股定理以及學(xué)會用分類討論的思想思考

問題是解題的關(guān)鍵.

4.己知：如圖，正方形ABCD中，AB=2,AC,3。相交于點。，E,尸分別為邊BC,CD

上的動點（點E,尸不與線段BC,CD的端點重合）.S.BE=CF,連接OE,OF,EF.在

點、E,尸運動的過程中，有下列四個說法：

①是等腰直角三角形；

②麻面積的最小值是:；

③至少存在一個ECF,使得ECF的周長是2+石；

④四邊形OECF的面積是1.

其中正確結(jié)論的序號有.

【答案】①②④

【分析】證明VCOE誣DOF,可得OE=OF,?COE?DOF,可得到①；再由當(dāng)OE，3c

時，OE最小，此時。石=。尸=13C=1,可得產(chǎn)面積的最小值是可得到②正確;

22

設(shè)CE=x,則BE=CF=2-x,根據(jù)勾股定理可得EF=j2（x-l『+2,從而得到0<EF<2，

=

得③錯誤；再根據(jù)NCOE@IDOF,可得S四邊形0ECF=SRCOE+,^AOCFSKODC=S正方形ABC0，可

得④正確；即可求解.

14

【詳解】解：:四邊形ABC。是正方形，

:.BC=CD,?OCB?ODC45?,OCOD,ZDOC=90°,

???BE^CF,

CE=DF,

：.NCOE（^DOF,

：.OE=OF,?COE?DOF,

?EOF1COE1COF?DOF2cOF?DOC90?,

???△O所是等腰直角三角形，故①正確；

當(dāng)O石_L5C時，OE最小,止匕時。石=。/=l3。=1,

2

???△OE產(chǎn)面積的最小值是尸=g,故②正確；

BE=CF,

CE+CF=BE+CE=BC=2,

設(shè)CE=x,則3E=CF=2—%,

EF=^/X2+（2-X）2=^2（X-1）2+2,

???一￡CF的周長是EF+CE+CF=EF+2,

???0<x<2,

,,-\/24EF>

EF+2<4

二不存在一個；.ECF,使得aECF的周長是2+如，故③錯誤;

7COE@DOF,

+==X

1,S四邊形0EB=&COE+SAOCF=^ADOF^AOBE^AODC^^Wl^ABCD=_2x2=l,故④正確;

故答案為：①②④

【點睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理以及等腰直角三角形的性質(zhì).注意掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

5.如圖，在中，ZA=90°,AB=4后，AC=4,點。是48的中點，點E是邊BC上

一動點，沿。E所在直線把△刈也翻折到△夕。E的位置，夕。交邊BC于點尸，若4CB，F(xiàn)為

直角三角形，則CQ的長為.

【答案】2近或4##4或2近

【分析】當(dāng)△8尸為直角三角形時，需要分類討論，點C,B,,尸分別為直角頂點時，畫

15

出圖形求解即可.

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=4g,AC=4,點。是AB的中點,

;衣=8,ZB=30°,AD=BD=243,

由折疊可知，BD=B'D=2y/3,

，AD=BD=B'D=2也

①由點運動可知點C不可能是直角頂點；

②如圖，當(dāng)點尸為直角頂點，即NCFB=90。，

ZDFB=Z.CFB=90°,

:.DF=；BD=6,BF=4iDF=3,

：.B'F=6,CF=5,

CB1=J(^)2+52=277;

③如圖，當(dāng)點玄是直角頂點時，即/CBN=90。，連接CD,

在RtZXACD與RtA理⑦中，

[CD=CD

[AD=B'D

：.RtAACD^RtAB'CD(HL),

「.8=04=4,

故答案為：25或4.

【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈

活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，已知NB=45。，AB=2cm,點尸為NA8C的邊上一動點，則當(dāng)BP2=cm

時，ABA尸為直角三角形.

16

【答案】2或8

【分析】由于直角頂點不能確定，故應(yīng)分/APB=90。與NBAP=90。兩種情況進行分類討論.

【詳解】解：①當(dāng)N4PB=90。時，

VZB=45°,AB=2cm,

：.BP=APt,

：.BI^+AP^=AB2=4,

兩三2；

②當(dāng)NB4P=90。時，

7ZB=45°,AB=2cm,

：.AB=AP2=2,

：.2月=4笈+4牙=8.

故本題答案為：2或8.

【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解.

7.如圖，長方形ABCD中，ZDAB=ZB=NC=ND=90P,AD=BC=4,AB=CD=3.E為

邊BC上的一個動點，將AABE沿AE折疊，使點B落在夕處.

A題：當(dāng)N￡B，C=90。時，EC的長為.

3題：當(dāng)，EB'C為直角三角形時EC的長為.

【答案】||?或者1

【分析】A題：設(shè)座=x,則￡B，=x,根據(jù)矩形折疊性質(zhì)易得3、供E三點共線，由勾

股定理求出AC的長度，在△B'EC中利用勾股定理可解得x的值，即可得到EC的長度；

8題：找出直角三角形，再根據(jù)勾股定理分情況求解即可.

【詳解】解：A題：設(shè)跖=無，則￡B'=x,

17

A

D

BEc

由折疊的性質(zhì)可得NA5'E=/B=90,

VZEB'C=9Q，

B、ZXE三點共線，

根據(jù)勾股定理得，AC=JAB。+BC2=5，

：.B^=AC-BC=2,

：.EC2=EB'-+B'C-,

：.（4-X）2=X2+22,

3

解得：x=j

￡C=4-1=|,

22

8題：當(dāng)N￡B'C=90,EC=m；

故答案為：1■或1.

22

【點睛】此題考查了矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉折疊的性質(zhì)和勾股定理.

8.如圖，AABC、△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=9Q0,A8=4,F是DE

的中點，若點E是直線8C上的動點，連接8F,則8尸的最小值是.

【分析】由AABC、△ADE都是等腰直角三角形，可得出：AABCs^ADE,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)得到推出點A,D,B,￡四點共圓，得到NOBE=90。，根據(jù)直角

18

三角形的性質(zhì)得到當(dāng)。E最小時，8斤的值最小，DE最小，根據(jù)相似三角形的

2

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，

「△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=4

AB

7E翳2AB=4

：.AABCSAADE,

：.NADE=NABE,

...點A,D,B,E四點共圓,

ZDAE=9Q°,

：.ZDBE=9Q°,

?.?尸是的中點，

BF=-DE,

2

當(dāng)。E最小時，8尸的值最小，

:若點E是直線BC上的動點，

.?.當(dāng)時，AE最小，此時，DE最小,

ZBAC=90°,AB=4,AC=4,

??BC=4A/2,

?2

XABCsMADE,

ACBC

AE-DE

4_40

2a一DE

：.DE=4,

：.BF=2,

斤的最小值是2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，四點共圓，直角三角形

的性質(zhì)，確定出當(dāng)DE最小時，2尸的值最小是解題的關(guān)鍵.

19

9.如圖，等邊.ABC的邊長是2,點。是線段2C上一動點，連接AD,點E是AD的中點，

將線段DE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段連接尸C,當(dāng)，C"是直角三角形時，則線

段80的長度為.

C

【答案】1或g4

【分析】.5是直角三角形分三種情況討論：①當(dāng)4)尸C=90。時，當(dāng)點尸在AC上時，

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得NFDC=180。-“FC-NC=30。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=gA。，

根據(jù)等腰三角形三線合一，得8O=；8C=1.②"CF=90。延長。尸到G使DG=ZM,連

接AG、CG,過G作GH,8c交3c延長線于"，根據(jù)相全等三角形的判定得△ABDg

ACG,即CG=2CH,設(shè)CW=x,則CG=M=2JC,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出。/=L/)G,再由

2

DCDF14

相似三角形的判定得出ADCPSADHG,再由相似的性質(zhì)得出二7===彳，即8。=；；

DHDG23

③當(dāng)NCDP=90°時，ZADF+ZCDF+ZADB=210°>180°,NCDP=90°不成立.

【詳解】解：①當(dāng)/DPC=90。時，

當(dāng)點E在AC上時，

MC是等邊三角形且邊長為2,

:.AB^AC=BC=2,ZC=60°,

ZFDC=180°-ZDFC-ZC=30°,

DE旋轉(zhuǎn)60。得到線段。尸，

:.ZEDF=60°,

ZADC=ZEDF+ZFDC=90°,

20

ZDAC=180?！猌ADC-ZC=30°,

:.DF=-AD

2f

石是AD的中點，

:.DE=-AD,

2

:.DE=DF,

即4915。時，ZDFC=90°,

:.BD=-BC=1；

2

②ND。尸=90。，如圖，

延長。尸到G使。G=ZM,

連接AG、CG,

過G作G"_LBC交3c延長線于H,

AD=DG,ZADG=60°,

:._ADG是等邊三角形，

.?.ZD4G=60。，AD=AGf

一ABC是等邊三角形，

:.AB^ACfNBAC二ZB=ZAG?=60。,

ZBAC=ZDAG,

ZBAC-ZDAC=ZDAG-ZDAC,

即NBAD=NC4G,

在△AB。和^ACG中，

AB=AC

<NBAD=/CAG,

AD=AG

:..ABD^AACGCSAS)f

:.BD=CG,ZB=ZACG=60°,

ZGCH=180。-ZACB-ZACG=60°,

GH工BC,

21

.\ZH=90°,

.\ZCGH=30°,

:.CG=2CH,

設(shè)C4=x,貝!JCG=3D=2x,

￡是AD中點，

:.DE=-AD,

2

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知止=DE,

AD=DG,

:.DF=-DG,

2

ZDCF=9/=NH,/CDF=/HDG,

:一DCFsADHG,

.DCDF_1

'~DH~~DG~3.'

/.DC=-DH,

2

..DC=CH=x,

BD+DC=2,

2x+x=2,

2

x~l),

:.BD=-；

3

③當(dāng)/CDP=90°時，

QZADF=60°,ZADB>ZACB=60°,

ZADF+NCDF+ZADB=210°>180°,

.?.NCDF=90。不成立，

一4

綜上，或)=1或§；

4

故答案為：1或1.

【點睛】本題考查等邊三角形中動點的旋轉(zhuǎn)問題.通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造另外的等邊三角形以及全等

手拉手模型，本題考查的知識較為綜合，難度較大，通過分類討論確定動點的位置，熟記旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

10.已知任意直角三角形的兩直角邊a,b和斜邊c之間存在關(guān)系式:cr+b^c2.如圖，在△ABC

中，ZBAC=90°,AB=AC,點。在3c上,BD=3,CD=4,以AD為一邊作4AOE,使ZDAE=90°,

22

AD=AE.若點M是OE上一個動點，則線段CM長的最小值為

【分析】連接CE,過點C作CH，DE于點H,首先證明一BAD^CAE，可推導(dǎo)CE=瓦＞=3,

NACE=/8,再證明NECD=90。，在?中，由勾股定理計算止=+5=5,

12

然后借助三角形面積求出C〃=(,根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)C欣，。E,即M、H重合

時，線段CM的長取最小值，即可獲得答案.

【詳解】解：連接CE,過點C作CHLDE于點H,如下圖，

,/ABAC=ZDAE=90°,即ABAD+ADAC=ADAC+Z.CAE,

ZBAD=ZCAE,

\'AB=AC,AD=AE,

；.ABAD名△CAE(SAS),

；.CE=BD=3,ZACE=NB,

ZBAC=90°,

：.ZB+ZACB=180°-ABAC=90°,

：.ZACE+ZACB=ZB+ZACB=90°,即NECD=90°,

在RfACDE中，DE=VCE2+CD2=732+42=5，

CHLDE,

：.SNCDE=^CDCE=^DECH,即gx4x3=gx5xCH,

解得CH弋12，

:點M是DE上一個動點，則當(dāng)CWLDE,即M、，重合時，線段CM的長取最小值,

12

此時CM=C〃=《.

23

12

故答案為：—

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構(gòu)建

全等三角形是解題關(guān)鍵.

三、解答題

11.己知：如圖，在Rt&WC中，，C=90?,AB=5cm,AC=4cm,動點P從點B出發(fā)沿

射線3c以Icm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為/秒.

⑴求邊的長；

⑵當(dāng)為直角三角形時，求f的值;

(3)當(dāng)A4BP為等腰三角形時，求f的值.

【答案】⑴3cm

(2)3或用

⑶5或6或年25

6

【分析】(1)利用勾股定理即可求出結(jié)論；

(2)由題意可得：BC=tcm,聲90。，然后根據(jù)直角三角形直角的情況分類討論，利用

勾股定理等知識即可解答；

(3)當(dāng)A4BP為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形,

根據(jù)三線合一、勾股定理等知識即可解答.

(1)

解：?.?在咫ABC中，/C=90?,AB=5cm,AC=4cm,

BC=y/AB2-AC2=3cm-

(2)

解：BC=tcm,ZB^90°

當(dāng)NAPB=90。時，點P與點C重合，

BP=BC,

即t=3；

當(dāng)NP4B=90。時，如下圖所示：

24

A

：.CP=BP-BC=(r-3)cm.

,/AC2+CP2=AP2=BP2-AB2，

，42+(r-3)2=Z2-52,

解得：

綜上：當(dāng)△何為直角三角形時，r=3或胃；

(3)

解：當(dāng)=時，如下圖所示：

BP=2BC,

即，=2x3=6.

當(dāng)=時，如下圖所示:

當(dāng)">=*>時，如下圖所示:

在RfAPC中，AC2+CP2=AP2,

即42+(3-r)2=?,

解得：t=^25.

o

25

綜上：當(dāng)尸為軸對稱圖形時，勺5或6或后.

6

【點睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)是

25

解決此題的關(guān)鍵.

12.如圖，在矩形ABC。中，設(shè)AD=b,且

（1）若a,b為方程f-日+左+4=0的兩根，且8￡>=2而，求上的值.

⑵在（1）的條件下，P為8上一點（異于C、。兩點），P在什么位置時，△APB為直角

三角形？

（3）P為CD上一動點（異于C、。兩點），當(dāng)a。滿足什么條件時，使△APB為直角三角形的

P點有且只有一個？請直接寫出a6滿足的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴k=8

（2）P在（3+6）或（3-五）位置時，AAPB為直角三角形

（3）a=2Z?

【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出H斜邊與兩直角邊的關(guān)系，根據(jù)兩直角邊又是一元二

次方程的解，由此即可求解；

（2）在矩形中，△APB為直角三角形，則可找出H,CBP?R.DR4,根據(jù)對應(yīng)邊的比相等，

即可求解；

（3）求唯一值，可以根據(jù)一元二次方程的判別式A=0來判斷，主要是找出矩形的兩直角邊

與點尸的數(shù)量關(guān)系，由此即可求解.

（1）

解：；8￡>=2"萬且是矩形4^。的對角線，在的AD3中，AB=a,AD=b,

比）=J/+，=2&j，BPa2+b2^（a+b）2-2?Z?=40,

a,b為方程寸-Ax+左+4=0的兩根，根據(jù)韋達定理得，

a+b=—（一左）=左，ab=k+4,

???左2-2（左+4）=40,解一元二次不等式得，

k、=—6,k?—8,

當(dāng)上=-6時，原方程得f+6x—2=0,則.一6±用+8不符合題意,故舍去；

2

當(dāng)k=8時，原方程得爐―8%+12=0,則片8±卜8）2一48二型,

22

.'.a=6,6=2,符合題意，

故答案是：k=8.

（2）

26

解：根據(jù)（1）得，＜2=6,b=2,如圖所示,

設(shè)￡＞尸=龍，貝i]CP=6—x,

若TXAPB為直角三角形，在矩形ABCD中，RtCBP-RtDPA,

:.騫二,即J-=5,解分式方程得，占=3+右，為=3—亞,

CPDA6-x2

，產(chǎn)在（3+6）或（3-召）位置時，AAPB為直角三角形.

(3)

解：根據(jù)題意

設(shè)=貝IJCP=a—x,

若△APB為直角三角形，在矩形ABCD中，RtCBP-RtDPA,

.CBDPbm

,.——二——,即----=—m2—am+b2=0,

CPDAa-mb

???尸點有且只有一個,

???(一〃)2—4b2=0,即4=4b之，

??ci—2b，

故答案是：a=2b.

【點睛】本題主要考查的矩形的性質(zhì)，相似三角形的運用，理解和掌握矩形的性質(zhì)，相似三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，△MC是邊長是12cm的等邊三角形，動點P,。同時從A,3兩點出發(fā)，分別

沿A3,3c方向勻速移動，其中點尸運動的速度是lcm/s,點。運動的速度是2cm/s,當(dāng)點。

到達點。時，P、。兩點都停止運動，設(shè)運動時間為[s）,解答下列問題：

27

⑴當(dāng)點。到達點C時，PQ與A3的位置關(guān)系如何？請說明理由.

(2)在點尸與點。的運動過程中，V8PQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出入若不能,

請說明理由.

(3)則當(dāng)t為何值時，V3PQ是直角三角形？

【答案】(1)尸。與A3垂直，見解析

(2)能,4

(3)1=2.4秒或t-6秒

【分析】(1)根據(jù)題意求出AP的長度，則可知點尸為AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

即可得出答案；

(2)若VBPQ是等邊三角形，貝"P=PQ=8Q,列出相應(yīng)方程求解即可；

(3)分兩種情況進行討論：當(dāng)』3。尸=90?時；當(dāng)/3P。=90。時.

(1)

當(dāng)點。到達點C時，PQ與A3垂直，

理由如下：

AB=AC=BC=12cm,

，當(dāng)點。到達點C時，可得AP=6cm,

；?點尸為45的中點，

/.PQ1AB.

(2)

假設(shè)在點尸與點。的運動過程中，V3PQ能成為等邊三角形，

：.BP=PQ=BQ,

：.12-t=2t,解得r=4,

.?.當(dāng)仁4時，VBP。是等邊三角形；

(3)

根據(jù)題意得=BQ=2t,

：.BP=12—t,

當(dāng)N3QP=90?時，

,/NPBQ=6。？,

；ZBPQ=30°,

：.BQ^-BP,即2f=1(12-f),解得「=2.4秒；

22

當(dāng)/8尸。=90。時，同理可得12T='x2t,解得U6秒，

2

...當(dāng)t=2.4秒或t=6秒，V3PQ是直角三角形.

【點睛】本題考查了三角形綜合題，考查了含30。的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，幾何

28

動點問題，讀懂題意，根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵.

14.已知△ABC是等邊三角形，AOL8C于點。，點E是直線A。上的動點，將BE繞點8

順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到連接ERCF、AF.

(1)如圖1,當(dāng)點E在線段AD上時，猜想NAFC和NR1C的數(shù)量關(guān)系；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段的延長線上時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的

結(jié)論，若不成立，請寫出你的結(jié)論，并證明你的結(jié)論；

(3)點E在直線AO上運動，當(dāng)△ACT是等腰直角三角形時，請直接寫出NE8C的度數(shù).

【答案】(1)/AFC+NE4c=90?,證明見解析

(2)成立，理由見解析

(3)15°或75。

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NEBF=60°,由“SAS”可證均CBb,可得

ZBAE=ZBCF=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8￡=8凡NEBF=60°,由“SAS”可證,ABE%CBE,可得

ZBAE=ZBCF=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(3)由全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得再分這情況討論，結(jié)合等腰三

角形的性質(zhì)可求解.

(1)

解：^AFC+^FAC=907,理由如下：

「△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZBAC=ZACB^60°,

'：AB=AC,ADLBC,

：.ABAD=30°,

:將BE繞點8順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BF,

：.BE=BF,ZEBF=60°,

：./EBF=NABC,

：.ZABE=ZFBC,5.AB=BC,BE=BF,

：.；ABE^CBF(SAS)

ZBAE=ZBCF=30°,

ZACF=9Q°,

：.ZAFC+ZMC=90°：

29

(2)

(1)的結(jié)論仍然成立，理由如下：

:△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZBAC=