圓壓軸題輔助線作法

（十四種題型綜合分析與聯(lián)系）

目錄:

題型1:“有直徑現(xiàn)直角”

題型2：“有垂徑現(xiàn)三角形”

題型3：題型1和題型2綜合

題型4：構(gòu)造出圓心角、圓周角之間的關(guān)系

題型5：題型1-4綜合

題型6：截長補(bǔ)短作垂直

題型7：構(gòu)造全等三角形

題型8：構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形

題型9：作垂線

題型10：構(gòu)造特殊平行四邊形

題型11：平面直角坐標(biāo)系中作垂線求數(shù)量關(guān)系

題型12：構(gòu)造垂直，拆解線段

題型13：二次函數(shù)中作圓尋求數(shù)量關(guān)系

題型14：內(nèi)心有關(guān)的輔助線作法

題型1：“有直徑現(xiàn)直角”

1.如圖1,在O。中，AB、CD是直徑，弦BELCD,垂足為足

⑵如圖2,點(diǎn)G在CD上，S.ZCAG=ZABE.

①求證：AG=BC；

②若尸G=2,BE=4回,求。G的長.

題型2：“有垂徑現(xiàn)三角形”

2.如圖1,點(diǎn)￡是OO直徑48上一點(diǎn)，AE=2,BE=8,過點(diǎn)E作弦CO1,點(diǎn)G在初上運(yùn)動(dòng)，連

接CG.

⑴求cz＞的長.

(2)如圖2,連接/G,作〃CG的角平分線交4G于點(diǎn)尸，在點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的過程中，力尸的長度是否會(huì)發(fā)生變

化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不會(huì)發(fā)生變化，請求出其值.

(3)如圖3,過點(diǎn)8作8//LCG于4,連接。H,求?！钡淖钚≈?

題型3：題型1和題型2綜合

3.己知：48是。。的直徑，弦8交于點(diǎn)E,且弧36=弧8。.

A

(1)如圖1,求證：CE=DE；

(2)如圖2,連接NC,點(diǎn)尸為/C上的一點(diǎn)，連接3尸，過點(diǎn)C作尸，垂足為點(diǎn)G,若點(diǎn)〃為弧48的

中點(diǎn)，求NQ由的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接尸〃交于點(diǎn)N,若AF=AN,FG=4,求。。的半徑.

題型4：構(gòu)造出圓心角、圓周角之間的關(guān)系

4.如圖，在△/BC中，48=BC,42c=90。,。是48上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,以CD為直徑的。〃■交/C于

點(diǎn)E,連接期并延長交NC于點(diǎn)尸，交。M于點(diǎn)G,連接8E.

⑴若/E5G=45。，求證：點(diǎn)E是前的中點(diǎn).

(2)當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到使CD時(shí)，求8C:AD的值.

⑶當(dāng)點(diǎn)。到移動(dòng)到使岔=30。時(shí)，求證：AE-+CF2=EF-.

題型5：題型1-4綜合

5.如圖，在△N3C中，點(diǎn)。是4C的中點(diǎn)，以。為圓心，04為半徑作。。，交BC于點(diǎn)D,交4B于點(diǎn)E,

弧ED與弧DC相等，點(diǎn)尸在線段5E上，NBAC=2NBDF.

(1)求證：AB=AC；

(2)判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并加以證明；

(3)若。。的半徑為5,EB+DF=AO,求AD的長.

題型6：截長補(bǔ)短作垂直

6.如圖，△48C為。。的內(nèi)接三角形，AB=AC,/R4C=50。，點(diǎn)P為弧上一點(diǎn)，連接CP.

⑴如圖1,當(dāng)CP，48時(shí)，垂足為E,連接49并延長分別交CP,8c于點(diǎn)色G.

①NBCP=°；

②求證：EF=PE.

⑵如圖，若CP與不垂直，過點(diǎn)A作垂足為E,連接PB,如果尸8=3,PE=1求線段CE的

長.

題型7：構(gòu)造全等三角形

7.【感知】如圖①，點(diǎn)/、B、P均在OO上，402=90。，則銳角N4P8的大小為度.

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，O。是等邊三角形/2C的外接圓，點(diǎn)P在弧/C上（點(diǎn)尸不與

點(diǎn)/、C重合），連接尸/、PB、PC.求證：P8=P4+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長尸/至點(diǎn)E,使/E=PC,連

接BE,通過證明可推得△ME是等邊三角形，進(jìn)而得證.下面是小明的部分證明過程：

證明：延長P4至點(diǎn)E,使4E=PC,連接BE.

???四邊形/2CP是OO的內(nèi)接四邊形，:+NBCP=180。，

ZBAP+NBAE=180°,ZBCP=NBAE,

???△NBC是等邊三角形，氏4=3C,

：.APBCAEB4（SAS）.

請你補(bǔ)全余下的證明過程.

【應(yīng)用】如圖③，。。是△4BC的外接圓，ZABC=90°,48=3C,點(diǎn)P在。。上，且點(diǎn)尸與點(diǎn)3在NC

的兩側(cè)，連接尸/、PB、PC,若PB=3gPA，則=;的值為多少？

8.是。。上的一條不經(jīng)過圓心的弦，MN=4在劣弧MN和優(yōu)弧MN上分別有點(diǎn)/,8（不與M,N重

合），且京=麗，連接4W,BM.

A

(1)如圖1,4B是直徑，AB交MN于點(diǎn)、C,ZABM=3Q°,求NCMO的度數(shù);

(2)如圖2,連接。M,AB,過點(diǎn)。作0?！?8交于點(diǎn)。，求證：/MOD+2/DM0=90。；

(3)如圖3,連接㈤V,BN,試猜想+?沏的值是否為定值，若是，請求出這個(gè)值；若不是，請

說明理由.

題型8：構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形

9.如圖，△ABC內(nèi)接于。。，弦C。、8E相交于點(diǎn)尸，ZDFB-ZEDC=90°-ZACD.

(1)如圖1,求證：48為。。的直徑;

(2)如圖2,過點(diǎn)、D作DG"BE,求證：DE=BG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，8與4B相交于點(diǎn)〃，連接并延長交。。于點(diǎn)K,連接DK,沿DK所

在直線作劣弧DK的軸對稱圖形經(jīng)過點(diǎn)H,DG=5,AC=8,求線段DE的長度.

題型9：作垂線

10.已知，/、F、E、C四點(diǎn)在。。上，延長CE,AF交于點(diǎn)、B,S.BE=CE=4.

A

備用圖

⑴若4E=BE,

①求證：BF=CF；

②當(dāng)28=30。時(shí)，求ZFC4的度數(shù)；

(2)若。。的半徑為3,求Nl+NC?的最大值.

題型10：構(gòu)造特殊平行四邊形

11.已知△4BC內(nèi)接于OO,1.4。于點(diǎn)D.

圖1

⑴如圖1,求證：NABD=NACB；

⑵如圖2,改變點(diǎn)A的位置，延長BD依次交/C,。。于點(diǎn)E,F,若/ABC=2NC,求證：BF=AC；

⑶在(2)的條件下，連接FO并延長，交8c邊于點(diǎn)4,若CE=5,AE=3,求線段OH的長.

題型11:平面直角坐標(biāo)系中作垂線求數(shù)量關(guān)系

12.在平面直角坐標(biāo)系x帆中，已知點(diǎn)P(4,3),O。經(jīng)過點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作x軸的平行線交。。于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求線段。尸的長；

⑵點(diǎn)N為y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8和點(diǎn)N關(guān)于直線PE對稱，連接P4PB.直線尸4尸8分別交。0

于點(diǎn)C,D.直線CD交x軸于點(diǎn)尸，交直線PE于點(diǎn)G.

①點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到如圖2位置，連接CE,DE.求證：ZDGP=NECP.

②在點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)。尸=OP時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

題型12：構(gòu)造垂直，拆解線段

13.如圖1,在△4BC中，。在邊/C上，圓。為銳角△3。)的外接圓，連接C。并延長交4B于點(diǎn)R設(shè)

NDBC=a.

⑴若c=60。，求/DCE的度數(shù);

(2)如圖2,作8尸垂足為R時(shí)與CE交于點(diǎn)G,已知N45Z)=/CAF.

①求證：EB=EG；

②若CE=5,NC=8,求/G+F8的值.

題型13：二次函數(shù)中作圓尋求數(shù)量關(guān)系

14.已知拋物線y=；/+6x+c與x軸交于次4,0),8(—2,0),與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式及c點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)。為第四象限拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為小，四邊形/BCD的面積為S,求S與加的函數(shù)

關(guān)系式，并求S的最值；

（3）點(diǎn)尸在拋物線的對稱軸上，且/BPC=45。，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

題型14：內(nèi)心有關(guān)的輔助線作法

15.如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)C是直線48上方的OO上一點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，連接/M,BM,

CM.延長CM交。。于點(diǎn)。.

D

(1)若/3=10,AC=6,求8c的長；

⑵求乙IMS的度數(shù)；

(3)當(dāng)點(diǎn)C在直線48上方的。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：DM若AB.

16.如圖：已知等腰RtA^CD,