同的綜合

，典例精析

【典例1】如圖1，直線匕！)于點(diǎn)M，以。上的點(diǎn)。為圓心畫(huà)圓，交4于點(diǎn)/，B,交"于點(diǎn)C，D,0A=5,

0M=4,點(diǎn)E為加上的動(dòng)點(diǎn)，CE交4B于點(diǎn)尸，2G，CE于點(diǎn)G,連接。G,AC,AD.

圖1圖2

(1)若NC4D=50。，求腦的長(zhǎng)；

(2)如圖2,過(guò)N作4"1DE交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接4E、DE,是否存在常數(shù)上，使CE-DE=k-EG成

立？若存在，請(qǐng)求出發(fā)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)G在力。的右側(cè)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ACE面積的最大值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接。D,根據(jù)垂徑定理和三角形內(nèi)角和定理求得N40D,利用弧長(zhǎng)公式即可求得答案；

(2)連接力E,根據(jù)題意證明△4GC三△4WD,得4G=4"，CG=DH,再證明Rt△力EG三Rt△AEH,得

EG=EH,利用線段之間的關(guān)系即可求得答案；

(3)△4CE面積的最大則點(diǎn)￡到4C距離最大即可，利用垂徑定理求解即可，但需驗(yàn)證點(diǎn)G在4D的右側(cè)，

當(dāng)4G與4D重合時(shí)，作EN'IAC于N',連接DE,利用等面積求得CG和4G的長(zhǎng)，再證明△ACG-△EDG,得

—=—,4ACG?4ECN'得異=吟,結(jié)合第二問(wèn)得GE,可求得EN'和CN',即可求得答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：連接0D,如圖1.

圖1

??,/B垂直平分線段CD,

?-AC=AD,

?：^CAD=50°

=乙DAB=25°,

'-'OA=OD,

."。4。=乙ODA=25°,

：.^AOD=180°-25°-25°=130°,

「130°XTTX565

?*?CA-F)——TC;

曲180°18

???乙4GC=ZH=90°,

-2L.ACG=/LADH,AC=AD,

???△/GCwZ\/”D(AAS),

.'.AG=AH,CG=DH,

^^AGE=AH=90°,AE=AE,

.?.RtAAEG=Rt

；,EG=EH,

???CE-DE=(CG+EG)-(DH-EH)=2EG,

??,CE-DE=k,EG,

???fc=2；

(3)連接。C,過(guò)點(diǎn)。作ONIAC于N,延長(zhǎng)N。交圓于點(diǎn)￡,如圖3,

圖3

此時(shí)，E至IMC距離最大，△4CE面積最大,

■：oc=OA=5,OM=4,OM1CD,

■■.CM=3,

在Rt△ACM中，AC=yICM2+AM2=V32+92=3V10,

■.■ON1,AC,

：.CN=|V10,

.■.ON=70c2-CN2=^52-(|V10)2=乎，

:.EN=ON+OE=

2

°i1rrmlo+Vio15國(guó)+15

■S^ACE^2AC'NE=-X3V10x=---,

驗(yàn)證：當(dāng)4G與AD重合時(shí)，作EN'IAC于NI連接DE,如圖,

■■SAACD=^CD-AM=^AD-CG,

“CDAM6X9

???CG=-------=酒

AD3V10

即4G=VXC2-CG2=yV10,

'-'Z.AGC=Z.EGD,Z-ACG=Z-ADE,

:AACG?AEDG,

DE_AC_5

"GE-ZG-4’

又?：CE-DE=CG+GE-DE=2GE,

'.GE=^V1O，

：.CE=CG+GE=yVlO,

.:乙CN,E=2CGA,乙ACG=CECN',

??.△ACG?AECN',

.CE_CA_5

?'N，E~GA~49

■.EN'=§VTo,CN'=|^V10>CW,

.?.當(dāng)EN過(guò)點(diǎn)。時(shí)，G在力。右側(cè)，

■■■S^ACE=1AC-N'E=lx3V10xgVlO=言.

e學(xué)霸必刷

1.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，O。的弦BC=6,

4為BC所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，且tanNB"=三八48。的外角4以49的平分線”交。。于點(diǎn)P,直線4P與直線BC

4

交于點(diǎn)E.

備用圖

c1）求證：PB=既；

（2）設(shè)PA=x,PE=y,求y關(guān)于久的函數(shù)解析式;

（3）若點(diǎn)4在點(diǎn)P的右側(cè)，記△4BE、△ABC、△"E的面積分別為S、S1、S2,且+告=白

?“4ss2Si

①求CE的值；

②求證：為直徑.

2.（2023上?浙江溫州?九年級(jí)溫州市第八中學(xué)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,點(diǎn)、E

為射線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N,E,。作圓交射線4C于點(diǎn)R連結(jié)DE,EF,且DE交力C于點(diǎn)G.

（備用圖）

⑴求證：/-DEF=UCB；

(2)若4G=GF,求DG的長(zhǎng);

（3）當(dāng)△EFG是以EF為腰的等腰三角形時(shí)，求△ADG的面積.

3.（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩

條線段的乘積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線段的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形該邊的“好點(diǎn)”.如圖1,

在△4BC中，點(diǎn)。是BC邊上的一點(diǎn)，連接4D,若AD?=BD-CD,則稱點(diǎn)。是△力BC中邊BC的“好點(diǎn)”.

（1）如圖1,在△4BC中，BC=4,若點(diǎn)。是邊BC的“好點(diǎn)”，且BD=1,則線段4D的長(zhǎng)是；

（2）如圖2,。。是△力BC的外接圓，點(diǎn)￡在4B邊上，連接CE并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)。，連接OE、BD、AD,

若點(diǎn)￡是△BCD中邊CD的“好點(diǎn)”，OEWBD,求證：4D是。。的直徑；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是。。上一點(diǎn)，連接CP交4D于點(diǎn)Q,連接DP、C。，若。E=V2,CE=2,C0LDP,

求PQ的長(zhǎng).

4.（2023上?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出：如圖①，在中，ZC=9O°,CB=4,CA=6,

OC的半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接2P、BP,求2P+；BP的最小值.

AA

圖①圖①備用圖圖②

（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上取一點(diǎn)D,使CD=1,

則6W又乙PCD=LBCP,所以△PCOs&BCP.所以所以PD=|PB,所以4P+涉=

2P+PD.請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫(xiě)出答案：AP+^BP的最小值為」

（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求?aP+BP的最小值；

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，ZCO￡）=90°,0C=6,。4=3,。8=5,P是CD上一點(diǎn),

求2P2+PB的最小值.

5.（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC內(nèi)接于。0,AB=AC,連接0B.

EE

B

DD

BG

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：2N0B4=NA

(2)如圖2,當(dāng)0BII4C時(shí)，連接CO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)D作。。的切線交0B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證:

DE=BC；

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長(zhǎng)CB交0E于點(diǎn)尸，過(guò)F作FG||0B交。。于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)、H,連接4G、

AH,若EF=陋,2LAGF=45°,求△4F7G的面積.

6.(2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？计谥?已知：4B是。。的直徑，弦CD交48于點(diǎn)區(qū)且弧BC=弧8>

(1)如圖1,求證：CE=DE；

(2)如圖2,連接AC,點(diǎn)尸為4C上的一點(diǎn)，連接BF,過(guò)點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)G,若點(diǎn)〃為弧48的

中點(diǎn)，求NCFB的度數(shù);

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接FH交48于點(diǎn)N,若2F=4N,FG=4,求。。的半徑.

7.(2023上?浙江金華?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，在圓內(nèi)接四邊形4BCD中，AD,BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,

-ir

連接BO并延長(zhǎng)交4。于點(diǎn)G,連接BD.已知8。=28,乙CDE=3乙CBD,DE=—,力。=6,BG=9.

4

⑴求證：4GBD=乙CBD.

(2)求B。的長(zhǎng).

(3)點(diǎn)尸是8。中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在尸G上從點(diǎn)F向終點(diǎn)G勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在4E上從點(diǎn)E向終點(diǎn)4勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)

點(diǎn)Q在點(diǎn)。處時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)。處，設(shè)QE=x,PG=y.

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

②連接PQ,當(dāng)直線PQ與ABCD的某一邊所在的直線垂直時(shí)，記垂足為點(diǎn)M,直接寫(xiě)出QM的長(zhǎng)度.

8.(2023上?浙江?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))已知半徑為5的。力與平面直角坐標(biāo)系交于。，8兩點(diǎn)，二次

函數(shù)y=ax?+/)久+c的圖像頂點(diǎn)C在。4上并經(jīng)過(guò)。，8兩點(diǎn)，且。B=8,如圖1所示.

圖1圖2圖3

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖2,連結(jié)。C,若點(diǎn)。為上一點(diǎn)，當(dāng)NBOD=30。時(shí)，求線段0D的長(zhǎng)；

(3)如圖3,連結(jié)。C,若上有一點(diǎn)N,連結(jié)BN使BNII0C,連結(jié)。N并與C2的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)",求。M:MN

的值.

9.(2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)統(tǒng)考期末)△4BC內(nèi)接于G)0,點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，連接2D和。C,AD1BC

于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：NBAD=Z71C。；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為點(diǎn)F,交4。于點(diǎn)G,若FG=DE,求證：CA=CB；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)K為此上一點(diǎn)，連接BK、CK^AK,2K與BC相交于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)KC到點(diǎn)

R,使CR=KC,過(guò)點(diǎn)R作2K的垂線，垂足為點(diǎn)H,延長(zhǎng)BC交于點(diǎn)T,RT=BK,在的延長(zhǎng)線上取一

點(diǎn)、P,連接CP,4更4BCP=4AKC+4BAK,若RT=4,AK=12,求CP的長(zhǎng).

10.(2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？计谥?如圖1,△48C為圓內(nèi)接三角形，2513。于。、交。。于點(diǎn)

E,BF1AC^F,交ZE于點(diǎn)G.

(1)求證：DG=DE；

(2)如圖2,連接BE,作CW_L8E于M,求證：AC=20M；

(3)在(2)的條件下，連接OG、CE,若。G=CE,BG=2FC+2FG,OM=25求CD長(zhǎng).

11.(2023上?浙江寧波?九年級(jí)?？计谥?如圖，四邊形48C。為O。內(nèi)接四邊形，4C1BD交于點(diǎn)E,延

長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)凡ABAC=2ACAD.

(1)求證：AB=AC；

(2)若sinF==,AB=8,求CF的長(zhǎng);

(3)如圖2,連接OC交BD于〃，若B”=4,DH=3,求三角形CDF的面積.

12.(2023上?湖南邵陽(yáng)?九年級(jí)校聯(lián)考期中)二次函數(shù)y^ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù))與％軸交于兩個(gè)

不同的點(diǎn)4、B,與y軸交于點(diǎn)C,圖象頂點(diǎn)為點(diǎn)D,OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)力、B、D三點(diǎn)，且4B=4D.

(1)求證：△ABD為等邊三角形；

(2)若a=1,求△4MB的面積；

(3)若直線y=—式與。M相切.求咨組的值.

'△ABD

13.(2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考期中)已知，O。內(nèi)弦2B、CD交于點(diǎn)E,AE=CE,

連接OE.

(1)如圖1,求證：0E平分乙BED；

(2)如圖2,連接4。交CD于點(diǎn)G,延長(zhǎng)4。交。。于點(diǎn)F,連接DF,若NGFD+2AEAG=90°,求證:AE=OE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長(zhǎng)E。交。尸于點(diǎn)X,若力EG=S展,求。4的長(zhǎng).

6

14.(2023上?廣東廣州?九年級(jí)鐵一中學(xué)?？计谥?已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，4(2,-1),以”(-1,0)

為圓心，以AM為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B,連結(jié)并延長(zhǎng)交OM于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)為|的線

段PQIIx軸（點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)），連接4Q.

（1）求OM的半徑長(zhǎng)和點(diǎn)B的坐標(biāo)：

（2）如圖2,連接4C,交線段PQ于點(diǎn)N,

①求4C所在直線的解析式：

②當(dāng)PN=QN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

③點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出4Q的最小值和最大值.

15.（2023上?北京東城?九年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，O。的半徑為1,點(diǎn)/在O。上，點(diǎn)

尸在。。內(nèi)，給出如下定義：連接AP并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)8,若4P=kAB,則稱點(diǎn)P是點(diǎn)/關(guān)于。。的左倍

特征點(diǎn).

(1)如圖，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,0).

①若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-3。)，則點(diǎn)尸是點(diǎn)4關(guān)于O。的一倍特征點(diǎn)；

②在G(0,?C2(|,0),心&一5這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)一是點(diǎn)/關(guān)于0。的消特征點(diǎn)；

③直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)。，NZM。=60。.點(diǎn)￡在直線/上，且點(diǎn)￡是點(diǎn)N關(guān)于。。的2倍特征點(diǎn),

求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)若當(dāng)左取某個(gè)值時(shí)，對(duì)于函數(shù)y=—久+1(0<K<1)的圖象上任意一點(diǎn)在。。上都存在點(diǎn)N,使

得點(diǎn)”是點(diǎn)N關(guān)于。。的左倍特征點(diǎn)，直接寫(xiě)出k的最大值和最小值.

16.(2023上?浙江溫州?九年級(jí)蕭江二中校考階段練習(xí))如圖，直線丫=-5式+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(0,5),與x軸交

于/,。為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且。4=。。，以4B為直徑作0M,連結(jié)BD.

(1)求出6的值及直線BD的函數(shù)表達(dá)式.

(2)在線段8。上取點(diǎn)尸，連結(jié)P0并延長(zhǎng)交OM于點(diǎn)C,連結(jié)BC交04于點(diǎn)E,

①若。PII4B,求證：BC=0D.

②當(dāng)NP。。等于△08C中的某一個(gè)角時(shí)，求BP的長(zhǎng).

(3)點(diǎn)尸關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P恰好落在AMB上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形OAP'B的面積為

17.(2023上?北京東城?九年級(jí)匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：

對(duì)于OC及OC外一點(diǎn)尸，M,N是OC上兩點(diǎn)，當(dāng)乙MPN最大,稱NMPN為點(diǎn)P關(guān)于OC的“視角”.

直線/與OC相離，點(diǎn)0在直線/上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于OC的“視角”最大時(shí)，則稱這個(gè)最大的“視角”為直線

/關(guān)于G)C的“視角”.

備用圖

(1)如圖，。。的半徑為1,

①已知點(diǎn)4(1,1),直接寫(xiě)出點(diǎn)N關(guān)于。。的“視角”；

已知直線y=2,直接寫(xiě)出直線y=2關(guān)于。。的“視角”；

②若點(diǎn)B關(guān)于。。的“視角”為90。，直接寫(xiě)出一個(gè)符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)OC的半徑為1,

①點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),直線=kx+b[k>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(-2舊+1,0),若直線關(guān)于。C的“視角”為60。，

求人的值；

②圓心C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，若直線y=f％+1關(guān)于OC的“視角”大于120。，直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)

稅的取值范圍.

18.(2023上?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，AC.BD為圓。的兩條弦，直線AC、BD垂直于點(diǎn)N,連接4D,

直線CE14D于點(diǎn)E,直線CE交直線BD于點(diǎn)F.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：AN平分NB4B；

(2)如圖2,若點(diǎn)N在圓。內(nèi)部，連接CF,求證：BC=CF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長(zhǎng)CE,交圓。于點(diǎn)G,連接G。并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)H,交圓。于點(diǎn)K,GK與

AD交于點(diǎn)P,交BD于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)Q,若GK1BC,PD=5,QH=4,求圓。的半徑.

19.(2023上?浙江寧波?九年級(jí)寧波市江北外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，在△48C中，AB=AC.以AC

為直徑的半圓交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為弧CD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE、EA.DE,已知tan乙DE4=三.點(diǎn)F為CE延長(zhǎng)線

4

上一點(diǎn)，且CE=EF,在線段BC上取點(diǎn)G,使得BG=GF,連結(jié)FG、GA.

(1)求詈的值.

BA

-1

(2)求證：4GAE=3乙BAC.

(3)若4C=10,連結(jié)EG.

①若△EG4是以EG為腰的等腰三角形，求所有符合條件的EC的長(zhǎng).

②將線段CF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CH,若G、4、”在同一條直線上，則手=

SCAH

20.(2023?江蘇南京?南師附中新城初中?？级?【概念認(rèn)識(shí)】已知圓的兩條互相垂直的對(duì)稱軸m、",

我們把三個(gè)頂點(diǎn)分別在圓、m、〃上的等腰直角三角形叫作這個(gè)圓的“友好三角形”.如圖①、圖②，△ABC

都是。。的“友好三角形”.

【數(shù)學(xué)理解】若△4BC都是。。的“友好三角形”，且直角頂點(diǎn)C在O。上，。。的半徑為2.

(1)。。上滿足條件的直角頂點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是個(gè)；

(2)△ABC的面積的最小值為；

(3)若。。與△ABC的一邊相切，請(qǐng)直接寫(xiě)出相切的不同情況及對(duì)應(yīng)的△ABC的面積；

【深入研究】若ayiBC都是。。的“友好三角形”，且直角頂點(diǎn)C在/或"上.。。的半徑為2.

(4)△ABC的面積的最小值為,最大值為

同的綜合

，典例精析

【典例1】如圖1，直線匕！)于點(diǎn)M，以。上的點(diǎn)。為圓心畫(huà)圓，交4于點(diǎn)/，B,交"于點(diǎn)C，D,0A=5,

0M=4,點(diǎn)E為加上的動(dòng)點(diǎn)，CE交4B于點(diǎn)尸，2G，CE于點(diǎn)G,連接。G,AC,AD.

圖1圖2

(1)若NC4D=50。，求腦的長(zhǎng)；

(2)如圖2,過(guò)N作4"1DE交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接4E、DE,是否存在常數(shù)上，使CE-DE=k-EG成

立？若存在，請(qǐng)求出發(fā)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)G在力。的右側(cè)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ACE面積的最大值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接。D,根據(jù)垂徑定理和三角形內(nèi)角和定理求得N40D,利用弧長(zhǎng)公式即可求得答案；

(2)連接力E,根據(jù)題意證明△4GC三△4WD,得4G=4"，CG=DH,再證明Rt△力EG三Rt△AEH,得

EG=EH,利用線段之間的關(guān)系即可求得答案；

(3)△4CE面積的最大則點(diǎn)￡到4C距離最大即可，利用垂徑定理求解即可，但需驗(yàn)證點(diǎn)G在4D的右側(cè)，

當(dāng)4G與4D重合時(shí)，作EN'IAC于N',連接DE,利用等面積求得CG和4G的長(zhǎng)，再證明△ACG-△EDG,得

—=—,4ACG?4ECN'得異=吟,結(jié)合第二問(wèn)得GE,可求得EN'和CN',即可求得答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：連接0D,如圖1.

圖1

??,/B垂直平分線段CD,

?-AC=AD,

?：^CAD=50°

=乙DAB=25°,

'-'OA=OD,

."。4。=乙ODA=25°,

：.^AOD=180°-25°-25°=130°,

「130°XTTX565

?*?CA-F)——TC;

曲180°18

???乙4GC=ZH=90°,

-2L.ACG=/LADH,AC=AD,

???△/GCwZ\/”D(AAS),

.'.AG=AH,CG=DH,

^^AGE=AH=90°,AE=AE,

.?.RtAAEG=Rt

；,EG=EH,

???CE-DE=(CG+EG)-(DH-EH)=2EG,

??,CE-DE=k,EG,

???fc=2；

(3)連接。C,過(guò)點(diǎn)。作ONIAC于N,延長(zhǎng)N。交圓于點(diǎn)￡,如圖3,

圖3

此時(shí)，E至IMC距離最大，△4CE面積最大,

■：oc=OA=5,OM=4,OM1CD,

■■.CM=3,

在Rt△ACM中，AC=yICM2+AM2=V32+92=3V10,

■.■ON1,AC,

：.CN=|V10,

.■.ON=70c2-CN2=^52-(|V10)2=乎，

:.EN=ON+OE=

2

°i1rrmlo+Vio15國(guó)+15

■S^ACE^2AC'NE=-X3V10x=---,

驗(yàn)證：當(dāng)4G與AD重合時(shí)，作EN'IAC于NI連接DE,如圖,

■■SAACD=^CD-AM=^AD-CG,

“CDAM6X9

???CG=-------=酒

AD3V10

即4G=VXC2-CG2=yV10,

'-'Z.AGC=Z.EGD,Z-ACG=Z-ADE,

:AACG?AEDG,

DE_AC_5

"GE-ZG-4’

又?：CE-DE=CG+GE-DE=2GE,

'.GE=^V1O，

：.CE=CG+GE=yVlO,

.:乙CN,E=2CGA,乙ACG=CECN',

??.△ACG?AECN',

.CE_CA_5

?'N，E~GA~49

■.EN'=§VTo,CN'=|^V10>CW,

.?.當(dāng)EN過(guò)點(diǎn)。時(shí)，G在力。右側(cè)，

■■■S^ACE=1AC-N'E=lx3V10xgVlO=言.

e學(xué)霸必刷

1.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，O。的弦BC=6,

4為BC所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，且tanNB"=三八48。的外角4以49的平分線”交。。于點(diǎn)P,直線4P與直線BC

4

交于點(diǎn)E.

備用圖

c1）求證：PB=既；

（2）設(shè)PA=x,PE=y,求y關(guān)于久的函數(shù)解析式;

(3)若點(diǎn)4在點(diǎn)P的右側(cè)，記△4BE、△ABC、△相￡的面積分別為S、,S2,且+告=}.

?“4ss2Si

①求CE的值；

②求證：為直徑.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)圓的性質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合勾股定理計(jì)算出PC的長(zhǎng)度，然后由△APCSACPE計(jì)算即可；

(3)CE=x,根據(jù)啜+?=白列出方程計(jì)算即可；

45323]

(4)根據(jù)題意證明乙4cB=90。即可.

【解題過(guò)程】

(1)解：如圖，連接PC,

?.?四邊形ACBP內(nèi)接于O。，

???Z.PBC+/-PAC=180°

???/.PAF+"AC=180°

Z.PAF=Z.PBC

???外角乙3”的平分線4P交。。于點(diǎn)P,

???Z.PAF=Z.PAB

???Z.PBC=Z.PAB

Z.PCB=Z-PAB

???乙PBC=乙PCB

??.PB=PC

；#B=PC；

(2)如圖，連接OB,過(guò)點(diǎn)。作。。1BC于點(diǎn)

p

F

由垂徑定理得，。。垂直平分BC,且直線。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸

.??BD=CD=3

???PB=PC

???乙BPD=乙CPD=乙PBO

???(BOD=乙BPD+Z-PBO=2((BPD=2BPC

???Z-BOD=Z.BAC

???tanZ.BOD=tanZ-BAC=-

4

45

???OD=-BD=4,OB=-BD=5

33

???OP=OB=5

??.PD=9,

??.PB=PC=&+92=3V10

???乙PBC=乙PCB=Z.PAB

?.?(E=180°-Z.PBC-Z-BPE=180°-^PAB-乙BPE=Z.PBA

???Z.PCA=Z.PBA

???/LPCA=Z.E

Z.APC=乙CPE

??.△APCCPE

PC_PA

：,~PE=~PC

即，PC2=PA-PE

設(shè)P4=x,PE=y,

90=x-y

y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=~

(3)①設(shè)=高為h,則BE=6+%

S=|x(6+%)-/i=|(6+x)-ft,

1

Si=-x6-h=3h

12

11

S=—?x'h=—xh

2722

1511

,?_i_

.4ss?_Si

1511

-----------------------1------=—

4xa(6+%),h2,xh

..15._2—__1

2(6+%)x3

???2x2-45%-72=0

???(2x+3)(%-24)=0

二=—I(不符合題意，舍去)，x2—24

???CE=24；

②如圖，

設(shè)"B4=NPC4=X,

由(2)得NBPC=2x,乙PCB=18O；2X=90。一支

???Z-ACB—Z.PCA+Z.PCB—90°—%+%=90°

.-.48為直徑.

2.（2023上?浙江溫州?九年級(jí)溫州市第八中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形4BCD中，AB=8,BC=6,點(diǎn)、E

為射線4B上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/,E,。作圓交射線AC于點(diǎn)尸，連結(jié)DE,EF,且DE交4C于點(diǎn)G.

(1)求證：4DEF=UCB；

(2)若AG=GF,求DG的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)aEPG是以EF為腰的等腰三角形時(shí)，求△ADG的面積.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理了，垂徑定理，

等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵.

(1)利用矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理解答即可；

(2)利用矩形的性質(zhì)和圓周角定理的推論得到DE為圓的直徑，再利用垂徑定理的推論得到DE14F,最后

利用勾股定理和三角形的面積公式解答即可得出結(jié)論；

(3)利用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當(dāng)EF=EG時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作

力G于點(diǎn)H,利用等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，圓周角定理得到力D=4G=6,利用(2)的結(jié)論求得4G

邊上的高，再利用三角形的面積公式解答即可；②當(dāng)EF=FG時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作。H14G于點(diǎn)利用①的方法

解答即可.

【解題過(guò)程】

(1)證明：???四邊形2BCD是矩形，

???ADIIBC,

Z.DAC=Z.ACB.

■■■Z.DAC=乙DEF,

/.DEF=/-ACB；

(2)解：?.?四邊形4BC0是矩形，

???/.DAB=90°,

??.DE為圓的直徑，

vAG=GF,

■■DE1AF.

?.?矩形4BCD中，AB=8,BC=6,

???AC=VXD2+CD2=10.

11

???SAADC=-AD-DC=-AC^DG,

..AD,DC=AC-DG,

???6x8=10DG,

???DG=4.8；

(3)解：①當(dāng)EF=EG時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作DH14G于點(diǎn)“，如圖,

o~B/E

???EF=EG,

???Z-EGF=Z.EFG,

.:乙DGA=LEGF,/LADG=^LEFG,

???Z-ADG=Z.DGA,

???AD=AG=6,

由(2)知：DH=4.8,

??△4DG的面積=^AG?DH=；x6x4.8=14.4；

②當(dāng)EF=FG時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作CH14G于點(diǎn)”,如圖,

oB7E

???EF=FG,

???Z-FGE=Z.FEG.

v/.FEG=/-DAG,Z-FGE=^DGA,

Z.DAG=Z-DGAf

???DA=DG=6.

由(2)知:DH=4.8,

vDA=DG,DHLAG,

??.AH=HG.

???AH=<AD2-DH2=3.6,

??.AG=2AH=7.2.

11

.??△4DG的面積=^AG-DH=jx7.2x4.8=17.28.

綜上，aADG的面積為14.4或17.28.

3.(2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩

條線段的乘積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線段的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形該邊的“好點(diǎn)”.如圖1,

在△ABC中，點(diǎn)。是BC邊上的一點(diǎn)，連接2D,若AD?=BD-CD,則稱點(diǎn)。是△4BC中邊BC的“好點(diǎn)”.

(1)如圖1,在△ABC中，BC=4,若點(diǎn)。是邊BC的“好點(diǎn)”，且BD=1,則線段2D的長(zhǎng)是；

(2)如圖2,。。是△力BC的外接圓，點(diǎn)E在4B邊上，連接CE并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)。，連接OE、BD、AD,

若點(diǎn)E是△BCD中邊CD的“好點(diǎn)”，OEWBD,求證：4D是。。的直徑；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)尸是。。上一點(diǎn)，連接CP交4D于點(diǎn)Q,連接DP、CO,若。E=V2,CE=2,CO1DP,

求PQ的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理

(1)根據(jù)“好點(diǎn)”定義可得出AD?=BD-CD,然后代入數(shù)據(jù)即可求解;

(2)根據(jù)“好點(diǎn)”定義可得出BE?=CE-DE,證明△ACEs/XDBE可得出力E-BE=CE-DE,則4E=BE,

由垂徑定理可得OE14B進(jìn)而得出力B1BD,最后根據(jù)90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑即可得證；

(3)由(2)知：BE2=CE-DE=2DE,利用三角形中位線定理求出8。=2&，在RtZkBDE中利用勾股

2

定理得出DE2=(2近)+2DE,則可求出DE=4,延長(zhǎng)CO交DP于H,由垂徑定理得出DH=PH,由線段

垂直平分線的判定得出CP=CD=6,禾！J用等腰三角形的性質(zhì)可得NODC=NOCD=NOCP,證明△CQ?！?/p>

△DQC,得出CQ2=OQ-DQ,過(guò)點(diǎn)。作。M1CP于河,過(guò)點(diǎn)0作QN1CO于N,求出。M=1,證明△￡1(?可”

ACOM,得出竿=竽=搐，設(shè)QN=x,貝UCN=3x,CQ=VlOx,OQ=Jx2+(V10-3x)\代入CQ?=

OQ-DQ可得出關(guān)于x的方程，然后求解即可.

【解題過(guò)程】

(1)解：?.?點(diǎn)。是邊BC的“好點(diǎn)”，

■.AD2=BD-CD,

又BQ=1,BC=4,

■.AD2=1x(4—1)=3,

■-AD=V3(負(fù)數(shù)舍去)

(2)證明：?.?點(diǎn)E是△BCD中邊CD的“好點(diǎn)”，

■■.BE2=CE?DE,

,-Z-ACE=乙DBE,Z-CAE=乙BDE,

ACEFDBE,

：即

■—BE=―DE,AE-BE=CE-DE,

■■.BE2^AE-BE,

-'-AE=BE,

■?■OE1AB,

■■OE\\BD,

■■.AB1BD,

.MD是O。的直徑；

(3)解：由(2)知：BE2=CE-DE,

"CE—2,

：.BE2=2DE,

■■■OE=V2,AE=BE,AO=DO,

■■.BD=2OE=2V2,

■.?Z.EBD=90°,

2

■■■DE2=BD2+BE2,即沖=(2?+2DE,

解得DE=4（負(fù)值舍去），

■.BE=2V2=AE,CD=CE+DE=6,

■■.AO=7AE2+0E2=VTo,

延長(zhǎng)C。交DP于H,

■■■CO1DP,

：.DH=PH,

■■.CP=CD=6,

?，-Z.OCP=Z-OCD,

???OC=OD,

?-Z-ODC=Z.OCD=Z.OCP,

又（CQO=乙DQC,

.*.△CQOFDQC,

喘=詈W=OQ-DQ,

過(guò)點(diǎn)0作?！?CP于M,過(guò)點(diǎn)Q作QN1C。于N,

1

；.CM=-CP=3,

2

???OM=VfO12-CM2=1,

.:乙QCN=（OCM,Z.QNC=￡.OMC=90°,

CQNCOM

QN_CN_CQ日nQN_CN_CQ

--==—,即==~^=,

OMCMCO13<10

設(shè)QN=x,貝|CN=3x,CQ=V10x,

在RtZ\OQN中，OQ="N2+ON2=J/+,

"CQ2=OQDQ,

???(VlOx)2=lx2+(V1O—3%)2-lx2+(V1O—3%)2+

化簡(jiǎn)得6V1私-10=VTo-lx2+(V10-3x)2,

，26%2—6V10x=0,

?,?%!=%2=0(舍去)，

30

??.CQ=G

48

■.PQ=CP-CQ=^.

4.（2023匕?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)校考階段練習(xí)）問(wèn)題提出：如圖①，在RtZXABC中，“=90。，CB=4,以=6,

OC的半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接力P、BP,求力P+”P(pán)的最小值.

圖①圖①備用圖圖②

（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上取一點(diǎn)D,使CD=1,

則6=If=1又乙PCD=LBCP,所以△P(?￡)-ABCP.所以\="所以PD=所以4P+、BP=

2P+PD.請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫(xiě)出答案：AP+[BP的最小值為二

（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求^AP+BP的最小值；

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形CQD中，ZCOD=90°,0C=6,04=3,0B=5,P是CD上一點(diǎn),

求2P4+PB的最小值.

【思路點(diǎn)撥】

（1）利用勾股定理即可求得本題答案；

（2）連接CP,在C4上取點(diǎn)D,使CD=則有穿=）=；，可證△PCD-AACP,得到PD=^AP,即“P+

BP=BP+PD,從而+BP的最小值為BD；

(3)延長(zhǎng)。4至U點(diǎn)E,使CE=6,連接PE,0P,可證△OAPOPE,得到EP=2PA,得到2P4+PB=EP+

PB,當(dāng)E,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，得到最小值.

【解題過(guò)程】

(1)解：如圖連接力D,

■.■AP+^BP=AP+PD,要使力P+^BP最小，

???當(dāng)ZP+an最小，當(dāng)點(diǎn)4P,D在同一條直線時(shí)，4P+A。最小,

MP+”P(pán)的最小值為4D,

在中，CD=1,AC=6,

■■.AD=y/AC2+CD2=V37.

：.AP+jBP的最小值為何，

故答案為：V37;

(2)解：如圖連接CP,在C4上取點(diǎn)。，使CO=彳

CD_CP_1

'CP~CA~

"CD=Z.ACP,

.*.△PCDs^ACP,

：.PD=-AP,

3

■■--AP+BP=BP+PD,

3

.■.^AP+BP的最小值為BD=y/BC2+CD2=等,

故答案為：誓;

(3)解：如圖延長(zhǎng)。力到點(diǎn)E,使CE=6,

■■-0E=0C+CE=12,

連接PE,OP,

'：0A=3,OB=5,

,.OA.-,OP---1

?,OP-OE-2’

'：Z-AOP=Z-AOP,

??.△OAPOPE,

,AP_1

,,——9

EP2

:,EP=2P4

.'.2PA+PB=EP+PB,

二當(dāng)E,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值：BE=VOB?+0E2=13,

故答案為：13.

5.（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC內(nèi)接于。。，AB=AC,連接08.

(2)如圖2,當(dāng)OBIIac時(shí)，連接co并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作0。的切線交。8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證:

DE=BC；

(3)如圖3,在(2)的條件下，延長(zhǎng)C8交DE于點(diǎn)尸，過(guò)F作FGII0B交。。于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,連接4G、

AH,若EF=痘,乙4GF=45。，求△AHG的面積.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接人。，co,可得aaoB三△aoc(sss),由等腰三角形的性質(zhì)可得4。48=/.OAC,Z.OBA=4。48即

可求解.

(2)連接BD,AD,由48=4C,可得乙408=乙4。。，CD是直徑，可得出NBCD=30。，即△B。。是等邊

三角形，再證△EBD三△CW(ASA)即可求解.

(3)連接2。、BD,4。交FG于點(diǎn)K可得NCED=90°=^ODE,AD1AC,BD1CF通過(guò)EF=百及勾股定理

求得半徑。D=3,AD=而，再由△HKDC4D可求解ZK=|后,"K==1最后通過(guò)乙4GF=45°

得HG即可求解△4HG的面積.

【解題過(guò)程】

(1)解：連接A。，C0,如圖：

-.AA0B=AAOC(SSS),

???Z-0AB=Z.OAC,

???乙OBA=乙OAB,

2,Z-OBA=Z-A.

(2)連接BO,4。如圖:

???OB||AC,

???乙BOD=Z.ACD,Z-ABC=乙BCO,乙ACB=Z-OBC,

???OB=OC,

???Z-BCO=Z.OBC=Z,ACB=/.ABC,

???AB=DB,

???AB=AC,

???Z-ADB=Z-ADC,

???CD是直徑，

???乙CBD=90°,

???乙ABD+4ADC+BCD=90°,

??.Z.BCD=30°,

??.△B。。是等邊三角形，

???OE是。。的切線，

???乙EDB+乙ODB=90°,

又???乙ODB=Z.OBD=30°,

??.Z.EBD=乙CAB=120°,

.-.AEBD=△CAB(ASA)

DE=BC

(3)連接40、BD,AD交FG于點(diǎn)K,如圖：

由(2)可知：DE=BC,OB||AC,△BOO是等邊三角形,

VCD是直徑,

MED=90°=^ODE,AD1AC,BD1CF,

■：EF=V3,

DF=2BF,BF=EF=V3,

DF=2y[3,DE=3V3,

DE=y/OE2-OD2=dQODy-OD2=收OD,

???OD=3,CD=6

???AD=yJCD2+AC2=V33,

???OB||FG,AC||OB,

.*.△HKD-ACAD,

?A?K?一=CH一,

ADCD

AK=-V33)HK=-AC=1

33

???Z,AGF=45°,

???AK=KG=-V33,

3

???HG=KG-HK=|V33-1,

???S^AHG=jXK-HG=|X|V33x(|V33-1)=宅更

6.(2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？计谥?已知：4B是O。的直徑，弦CD交4B于點(diǎn)￡,且弧BC=弧3>

(2)如圖2,連接4C,點(diǎn)尸為4C上的一點(diǎn)，連接BF,過(guò)點(diǎn)C作CH18F,垂足為點(diǎn)G,若點(diǎn)〃為弧48的

中點(diǎn)，求NCFB的度數(shù)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接交4B于點(diǎn)N,若4F=4N,FG=4,求。。的半徑.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接BC、BD,可證AB是CD的垂直平分線，即可求證；

(2)連接BC,可求N4CH+NBCH=90。，由此可求乙4cH=45。，由NCGF=90。，即可求解；

(3)連接BC、BH,設(shè)N4=2a,可得ABHC==2a,從而可求N4NF=乙AFN=90°-a,乙CFH=90°+

a,進(jìn)而可求NCHF=45o-a,可證NCHF=可得45。一a=2。，可求N4=30。，即可求解.

【解題過(guò)程】

(1)證明:如圖，連接BC、BD,

圖1

凱二能,

BC=BD,

OC=OD,

??.4B是CD的垂直平分線，

???CE=DE；

(2)解：如圖，連接BC,

--------\C

H

圖2

???4B是。。的直徑，

???ZACF=90°,

???4ACH+乙BCH=90°,

???點(diǎn)X為弧4B的中點(diǎn)，

???乙ACH=乙BCH,

???"CH=45°,

?

??CH1BFf

???ACGF=90°,

???(CFB=90°-45°=45°,

故4的度數(shù)為45。；

(3)解：如圖，連接BC、BH,

H

圖3

設(shè)乙4=2a,

???凱=恥，

Z.BHC—Z.A—2a,

???AF=