PAGE1-滿分示范課——概率與統(tǒng)計概率與統(tǒng)計問題須要從數(shù)據(jù)中獲得有用的信息，通過數(shù)據(jù)的篩選、分析構(gòu)建相關(guān)模型特殊是從圖表、直方圖、莖葉圖中獲得信息，利用圖表信息進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．解題的關(guān)鍵重在“辨”——辨型、辨析、求解要抓住幾點(diǎn)：(1)精確弄清問題所涉及的事務(wù)有什么特點(diǎn)，事務(wù)之間有什么關(guān)系，如互斥、對立、獨(dú)立等；(2)理清事務(wù)以什么形式發(fā)生，猶如時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等；(3)明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無依次等；(4)精確選擇排列組合的方法來計算基本領(lǐng)件發(fā)生數(shù)和事務(wù)總數(shù)，或依據(jù)概率計算公式和性質(zhì)來計算事務(wù)的概率；(5)確定隨機(jī)變量取值并求其對應(yīng)的概率，寫出分布列后再求期望、方差．(6)會套用求eq\o(b,\s\up14(^))、K2的公式，再作進(jìn)一步求值與分析．【典例】(滿分12分)(2024·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再依據(jù)檢驗結(jié)果確定是否對余下的全部產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)；②以檢驗費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗？[規(guī)范解答](1)由題意知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2(1－p)18.因此f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.當(dāng)p∈(0，0.1)時，f′(p)＞0，f(p)單調(diào)遞增；當(dāng)p∈(0.1，1)時，f′(p)＜0，f(p)單調(diào)遞減．所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0.1＝490.②假如對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所須要的檢驗費(fèi)為400元．由于E(X)＞400，故應(yīng)當(dāng)對余下的產(chǎn)品作檢驗．高考狀元滿分心得1．寫全得分步驟：對于解題過程中是得分點(diǎn)的步驟，有則給分，無則沒分，所以對于得分點(diǎn)步驟肯定要寫全．如第(1)問求出概率f(p)，推斷f′(p)的符號．第(2)問中明確X＝40＋25Y等．2．寫明得分關(guān)鍵：對于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，所以在答題時肯定要寫清得分關(guān)鍵點(diǎn)，如第(1)問應(yīng)寫出f′(p)，第(2)問中寫出E(X)、E(Y)的值，得出結(jié)論“應(yīng)當(dāng)對余下的產(chǎn)品作檢驗”得2分，否則不得分．3．正確計算是滿分的關(guān)鍵：如第(1)問正確求導(dǎo)，計算p0＝0.1，如第(2)問對數(shù)學(xué)期望E(X)＝490，否則不得分．[解題程序]第一步：提煉信息，由相互獨(dú)立事務(wù)概率求f(p)．其次步：利用導(dǎo)數(shù)，求出f(p)的最大值點(diǎn)p0.第三步：確定隨機(jī)變量X與Y的關(guān)系，計算E(X)的值．第四步：依據(jù)數(shù)據(jù)信息，作出決策推斷．第五步：檢驗反思，規(guī)范解題步驟．[跟蹤訓(xùn)練]1．(2024·六安一中模擬)國際奧委會于2024年9月15日在秘魯利馬召開130次會議確定2024年第33屆奧運(yùn)會舉辦地，目前德國漢堡、美國波士頓等申辦城市因市民擔(dān)憂賽事費(fèi)用超支而相繼退出．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查我國公民對申辦奧運(yùn)會的看法，選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：分類支持不支持總計年齡不大于50歲80年齡大于50歲10總計70100(1)依據(jù)已有數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；(2)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運(yùn)有關(guān)？(3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性，其中2位是女老師，現(xiàn)從這5名女性中隨機(jī)抽取3人，求女老師人數(shù)的分布列與期望．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2＞k)0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635解：(1)分類支持不支持總計年齡不大于50歲206080年齡大于50歲101020總計3070100(2)K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(100×（200－600）2,80×20×30×70)≈4.762＞3.841，所以能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運(yùn)有關(guān)．(3)設(shè)選出女老師人數(shù)為X，則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10).隨機(jī)變量X的分布列為：X012P0.10.60.3E(X)＝0×0.1＋1×0.6＋2×0.3＝1.2.2．(2024·北京卷)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付之方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的運(yùn)用狀況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)覺樣本中A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的有5人，樣本中僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生的支付金額分布狀況如下：支付金額/元支付方式(0，1000](1000，2000]大于2000僅運(yùn)用A18人9人3人僅運(yùn)用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的概率；(2)從樣本僅運(yùn)用A和僅運(yùn)用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有改變．現(xiàn)從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)覺他們本月的支付金額都大于2000元．依據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有改變？說明理由．解：(1)由題意知，樣本中僅運(yùn)用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30(人)，僅運(yùn)用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不運(yùn)用的學(xué)生有5人，故樣本中A，B兩種支付方式都運(yùn)用的學(xué)生有100－30－25－5＝40(人)．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都運(yùn)用的概率估計為eq\f(40,100)＝0.4.(2)X的全部可能值為0，1，2.記事務(wù)C為“從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”，事務(wù)D為“從樣本僅運(yùn)用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”．由題設(shè)知，事務(wù)C，D相互獨(dú)立，且P(C)＝eq\f(9＋3,30)＝0.4，P(D)＝eq\f(14＋1,25)＝0.6，所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，P(X＝1)＝P(Ceq\o(D,\s\up14(－))∪eq\o(C,\s\up14(－))D)＝P(C)P(eq\o(D,\s\up14(－)))＋P(eq\o(C,\s\up14(－)))P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52.P(X＝0)＝P(eq\o(C,\s\up14(－))eq\o(D,\s\up14(－)))＝P(eq\o(C,\s\up14(－)))P(eq\o(D,\s\up14(－)))＝0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)記事務(wù)E為“從樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設(shè)樣本僅運(yùn)用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有改變．則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)＝eq\f(1