衡陽縣四中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二第一次月考卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.3.已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.4.已知梯形是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它直觀圖（如圖所示），其中，，，則直角梯形邊的長度是A. B. C. D.5.如圖，三棱錐中，底面，則該三棱錐的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的和為（）A. B. C. D.6.某校為了宣傳青少年身心健康的重要性，隨機(jī)抽查了高一、高二、高三的名同學(xué)進(jìn)行了跑步測試，按照最終測試成績的分?jǐn)?shù)進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)該名同學(xué)測試得分的上四分位數(shù)為（）A.82.5 B.81 C.80 D.79.57.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若公差，且，則的值為（）A60 B.70 C.75 D.858.橢圓的左右焦點(diǎn)為，經(jīng)過的直線與橢圓C相交于A，B．若的周長為8，則（）A. B. C.2 D.4二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知數(shù)列滿足，（），的前項(xiàng)和為，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.10.如圖，在棱長為2的正方體中，E、F、G、M、N均為所在棱角中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動，則下列結(jié)論中正確的為（）A.P在BC中點(diǎn)時，平面平面GMNB.E、F、G、M、N在同一個球面上C.異面直線EF、GN所成角的余弦值為D.，則P點(diǎn)軌跡長度11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，下列說法正確的有（）A.若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為B.若雙曲線的通徑長為2，則C.若是雙曲線與以為直徑的圓的交點(diǎn)，則的面積為2D.若點(diǎn)在雙曲線上，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線被圓截得的最短弦長為，則______．13.過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．若是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率______．14.如圖，無人機(jī)在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為，底部C的俯角為，無人機(jī)與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為_______m．（，結(jié)果精確到0.1）四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知數(shù)列滿足．（1）若，求證：為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．16.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心C在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知圓方程為，請問圓與圓會相交嗎？若相交求出兩圓的公共弦長；若不相交，請說明理由.17.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓離心率；（2）若點(diǎn)在橢圓上，右頂點(diǎn)為A，且滿足直線與的斜率之積為，求證：直線PQ過定點(diǎn).18.如圖，在平面四邊形中，，是邊長為2的正三角形，，為的中點(diǎn)，將沿折到的位置，．（1）求證：面；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．19.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

衡陽縣四中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二第一次月考卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，則向量在向量方向上.故選：A2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由純虛數(shù)的特征，即可列式求解.【詳解】由題意可知，，，得，根據(jù)選項(xiàng)可知，只有滿足條件.故選：C3.已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知求得圓臺的高，再由圓臺的體積公式即可求解.【詳解】由題意，圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，則高為，如下圖所示：則圓臺的體積為.故選：A.4.已知梯形是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖（如圖所示），其中，，，則直角梯形邊的長度是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)斜二測畫法，原來的高變成了方向的線段，且長度是原高的一半，原高而橫向長度不變，且梯形是直角梯形，故選5.如圖，三棱錐中，底面，則該三棱錐的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合正方體的對角線長公式、棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈酌娴酌妫?又因?yàn)?，所以，而，所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長?寬?高，因此該三棱錐外接球的半徑，設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，故為等邊三角形，由三棱錐的體積公式可得，三棱錐的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的和為，故選：D6.某校為了宣傳青少年身心健康的重要性，隨機(jī)抽查了高一、高二、高三的名同學(xué)進(jìn)行了跑步測試，按照最終測試成績的分?jǐn)?shù)進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)該名同學(xué)測試得分的上四分位數(shù)為（）A.82.5 B.81 C.80 D.79.5【答案】A【解析】【分析】利用上四分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以上四分位數(shù)位于內(nèi)，且設(shè)其為，故，解得，故A正確.故選：A7.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若公差，且，則的值為（）A.60 B.70 C.75 D.85【答案】A【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的和為P，偶數(shù)項(xiàng)之和為Q，由等差數(shù)列的性質(zhì)列方程組，可求出P、Q的值，從而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且公差，，所以，解得，所以.故選：A.8.橢圓的左右焦點(diǎn)為，經(jīng)過的直線與橢圓C相交于A，B．若的周長為8，則（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由題意的周長，可得，結(jié)合，即得解.【詳解】由題意的周長，解得，故.故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.已知數(shù)列滿足，（），的前項(xiàng)和為，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，利用構(gòu)造法判斷得是等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，結(jié)合分組求和法即可得解.【詳解】對于AB，因?yàn)閿?shù)列中，，（），則，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故A錯誤，B正確；對于C，，即有，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.10.如圖，在棱長為2的正方體中，E、F、G、M、N均為所在棱角中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動，則下列結(jié)論中正確的為（）A.P在BC中點(diǎn)時，平面平面GMNB.E、F、G、M、N在同一個球面上C.異面直線EF、GN所成角的余弦值為D.，則P點(diǎn)軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正方體圖形特征證明平面，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)五點(diǎn)共圓得到B；根據(jù)異面直線所成的角判斷C錯誤；分析可知點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，根據(jù)軌跡求出長度得到D.【詳解】對于A：取的中點(diǎn)，連接，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，易得，平面，因平面，則，又平面，，故平面，因平面，故①，連接，是正方形，，因平面，平面，則，因平面，，故平面，又平面，則②，因平面，又，由①，②可得平面，又平面，故平面平面，故A正確；對于B：記正方體的中心為點(diǎn)，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故B正確；對于C：取的中點(diǎn)，連接，則，所以或其補(bǔ)角是異面直線所成的角，又，則，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，故，所以點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，且，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查與正方體有關(guān)平面位置關(guān)系判斷，異面直線所成角以及動點(diǎn)軌跡長度有關(guān)問題，屬于較難題.（1）求異面直線所成的角時，常將其轉(zhuǎn)化為與其中一條平行且與另一條直線相交所成的角，利用解三角形求解；（2）證明面面垂直時，通常由線面垂直證面面垂直；（3）證明多點(diǎn)在一個球面問題時，常設(shè)法尋找球心，證其到各點(diǎn)距離相等得到.11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，下列說法正確的有（）A.若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為B.若雙曲線的通徑長為2，則C.若是雙曲線與以為直徑的圓的交點(diǎn)，則的面積為2D.若點(diǎn)在雙曲線上，則【答案】ABC【解析】【詳解】在雙曲線中，.若離心率，則，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，A正確．將代入，得，又，所以，解得．由題意得，解得，B正確．由題意，得．不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，則，所以，解得，所以的面積，C正確．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，D錯誤．故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線被圓截得的最短弦長為，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)定點(diǎn)及兩點(diǎn)間距離公式得出圓心到直線距離的最大值，進(jìn)而結(jié)合圓的弦長公式，得到弦長，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，圓，可得圓心，半徑，過定點(diǎn)則圓心到直線的距離為，可得截得弦長為，弦長取得最小值時，.故答案為：.13.過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．若是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法，結(jié)合斜率公式即可求解.【詳解】設(shè),則，相減可得，故答案為：14.如圖，無人機(jī)在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為，底部C的俯角為，無人機(jī)與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為_______m．（，結(jié)果精確到0.1）【答案】13.8【解析】【分析】分別在兩個直角三角形中，利用三角函數(shù)求得和,再求和即可.【詳解】根據(jù)題意得，在中，，,在中，,,.故答案為：13.8四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知數(shù)列滿足．（1）若，求證：為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取倒數(shù)，即可根據(jù)等差數(shù)列的定義求證，（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可得解.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列【小問2詳解】由（1）得，所以，所以．所以16.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心C在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知圓的方程為，請問圓與圓會相交嗎？若相交求出兩圓的公共弦長；若不相交，請說明理由.【答案】（1）（2）相交，【解析】【分析】（1）利用圓的幾何性質(zhì)-弦的中垂線經(jīng)過圓心，結(jié)合題設(shè)條件求得圓心和半徑，即得圓的方程；（2）先利用兩圓的位置關(guān)系判斷即得圓C與圓相交，根據(jù)兩圓的方程求出過兩交點(diǎn)的直線方程.再由圓的弦長公式，計(jì)算即得弦長.【小問1詳解】因，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且直線的斜率,于是線段的垂直平分線所在直線方程為,則由，解得，∴圓心，半徑∴圓的方程為；【小問2詳解】由圓得：∴圓心，半徑，∵圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，由，，因，故圓與圓相交；設(shè)圓與圓的兩個交點(diǎn)分別為點(diǎn)，如圖，由左右分別相減，整理得,∴直線的方程為,∴圓心到直線距離,∴，綜上：圓與圓相交，兩圓的公共弦長為.17.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的離心率；（2）若點(diǎn)在橢圓上，右頂點(diǎn)為A，且滿足直線與的斜率之積為，求證：直線PQ過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)列式求解，進(jìn)而求解橢圓方程及離心率.（2）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由直線與的斜率之積，可得參數(shù)關(guān)系，即可求解直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，得證.【小問1詳解】依題可得，，解得，所以橢圓的方程為.所以離心率.【小問2