動點與分段函數(shù)解析式

一、典例解析

例1.【2020?遼寧本溪】如圖，在Rt/VIBC中，ZACB=90°，AC=BC=2五,CD_LAB于點D點尸從

點A出發(fā)，沿A-O-C的路徑運動，運動到點C停止，過點尸作PELAC于點E,作PPLBC于點?設

點P運動的路程為x,四邊形CE/步的面積為y,則能反映y與x之間函數(shù)關系的圖象是（）

【解析】解：當點P在AD上運動時，0WxW2時,

y=PE?CE=1x?(2垃一與x)=2x-

-x2,

2

當點P在DC上運動時，2<xW4時,

S-PE?CE=—(4-x)?—(4-x)-（X-4）2,結合函數(shù)解析式判斷選項A符合要求.

222

故答案為：A.

例2.[2020?山東淄博】如圖1,點P從4ABC的頂點B出發(fā)，沿8-C-A勻速運動到點A,圖2是點P

運動時，線段的長度y隨時間x變化的關系圖象，其中M是曲線部分的最低點，則△ABC的面積是（）

【答案】D.

【解析】解：由圖2知，AB=BC=10,

當BP_LAC時，y的值最小，即△ABC中，BC邊上的高為8（即此時BP=8）,

當y=8時，PC=<BC2-BP2=V102-82=6,

11

△ABC的面積=xACXBP-x8X12=48,

故答案為：D.

例3.【2020?遼陽】如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=20,CQ_LAB于點。.點尸從點A

出發(fā)，沿A-O-C的路徑運動，運動到點C停止，過點尸作PELAC于點E,作PFLBC于點足設點產

運動的路程為無，四邊形CEPF的面積為y,則能反映y與x之間函數(shù)關系的圖象是（）

【解析】解：：在Rtz\A2C中，ZACB=90°,AC=BC=2心

：.AB=4,ZA=45°,

VCDLAB于點D,

：.AD=BD=29

u：PELAC,PFLBC,

???四邊形CEP尸是矩形，

:?CE=PF,PE=CF,

??,點P運動的路程為x,

.\AP=x,

/o

則AEnPEnjrsiWb。=gx,

CE^AC-AE=242-節(jié)x,

"/四邊形CEPF的面積為y,

...當點尸從點A出發(fā)，沿A-D路徑運動時，

即0cx<2時，

y=PE'CE

=5x（2企—孝人）

=-2（尤-2）2+2,

...當0<x<2時，拋物線開口向下；

當點尸沿O-C路徑運動時，

即2Wx<4時，

是/AC8的平分線，

:.PE=PF,

...四邊形CEPP是正方形，

"：AD=2,PD=x-2,

：.CP=4-x,

y=1（4-x）2=|（尤-4）2.

...當2Wx<4時，拋物線開口向上，

綜上所述：能反映y與龍之間函數(shù)關系的圖象是：A.

故答案為：A.

例4.12020?上海】小明從家步行到學校需走的路程為1800米，圖中的折線反映了小明從家步行到學校所

走的路程s（米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關系，根據圖像提供的信息，當小明從家出發(fā)去學校步行15分

【解析】解：由題意知：線段AB的解析式為：S=70t+400(8<t<20)

當t=15時，S=1450,還需要步行1800-1450=350米.

故答案為：350.

例5.12020?重慶A卷】A,B兩地相距240km,甲貨車從A地以40km/h的速度勻速前往B地，到達B地

后停止，在甲出發(fā)的同時，乙貨車從B地沿同一公路勻速前往A地，到達A地后停止，兩車之間的路程y

(km)與甲貨車出發(fā)時間x(h)之間的函數(shù)關系如圖.中的折線CD-DE-EF所示.其中點C的坐標是(0,240),

點D的坐標是(2.4,0),則點E的坐標是

【答案】(4,160).

【解析】解：由題意知，乙車的速度為：240+2.4-40=60km/h,

乙車從B到A需要的時間為：240+60=4h,

當乙車到達A地時，甲車行駛的路程為：40X4=160km,

點E坐標為(4,160)

故答案為(4,160).

例6.12020?北京】有一個裝有水的容器，如圖所示，容器內的水面高度是10cm現(xiàn)向容器內注水，并同時

開始計時，在注水過程中，水面高度以每秒0.2cm的速度勻速增加，則容器注滿水之前，容器內的.水面高

度與對應的注水時間滿足的函數(shù)關系是()

-L

水面

高度

A.正比例函數(shù)關系B.一次函數(shù)關系

C.二次函數(shù)關系D.反比例函數(shù)關系

【答案】B.

【解析】解：設容器內的水面高度為無，注水時間為f,根據題意得:

h—0.2t+10,

,容器注滿水之前，容器內的水面高度與對應的注水時間滿足的函數(shù)關系是一次函數(shù)關系.

故答案為：B.

二、刻意練習

1.12020?湖北恩施州】甲乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻r的

對應關系如圖所示，則下列結論錯誤的是（）

A.甲車的平均速度為.60口〃〃B.乙車的平均速度為Wbn/h

C.乙車比甲車先到8城D.乙車比甲車先出發(fā)球

【答案】D.

【解析】解：由圖象知：

A.甲車的平均速度為2空=60血//?,故A選項不合題意；

10-5

B.乙車的平均速度為理=100班g，故2選項不合題意；

9-6

C.甲10時到達2城，乙9時到達8城，所以乙比甲先到2城，故C選項不合題意;

D.甲5時出發(fā)，乙6時出發(fā)，所以乙比甲晚出發(fā)1/7,故此選項錯誤,

故答案為：D.

2.12020?湖北武漢】一個容器有進水管和出水管，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數(shù).從某時刻開始4加w

內只進水不出水，從第4加”到第24?w沅內既進水又出水，從第24:“沅開始只出水不進水，容器內水量y(單

位：L)與時間x(單位：根加)之間的關系如圖所示，則圖中。的值是()

A.32B.34C.36D.38

【答案】C.

【解析】解：由圖象可知，進水的速度為：20+4=5(Limin),

出水的速度為：5-(35-20)4-(16-4)=3.75^Limin'),

第24分鐘時的水量為：20+(5-3.75)x(24-4)=45(￡),

4=24+45+3.75=36.

故答案為：C.

3.12020?江蘇連云港】快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻

速行駛.圖中折線表示快、慢兩車之間的路程y(初0與它們的行駛時間式用之間的函數(shù)關系.小欣同學結合

圖象得出如下結論:

①快車途中停留了Q5/7；②快車速度比慢車速度多20Am/〃；③圖中a=340;④快車先到達目的地.

C.②④D.①④

【答案】B.

【解析】解：根據題意可知，兩車的速度和為：360+2=180(初2/力),

相遇后慢車停留了0.5人快車停留了1.6人此時兩車距離為88而，故①結論錯誤;

慢車的速度為：88+（3.6-2.5）=80（物?/力，則快車的速度為100Am/〃,

所以快車速度比慢車速度多20初〃。；故②結論正確;

88+180x(5-3.6)=340(Am),

所以圖中a=340,故③結論正確;

(360-2x80)-80=2.5(h)，5-2,5=2.5(//),

所以慢車先到達目的地，故④結論錯誤.

所以正確的是②③.

故答案為：B.

412020?重慶B】周末，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從A地出發(fā)前往2地進行騎行訓練，

甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)5分鐘.乙騎行25分鐘后，甲以原速的:繼續(xù)騎行，經

過一段時間，甲先到達8地，乙一直保持原速前往8地.在此過程中，甲、乙兩人相距的路程y（單位：米）

與乙騎行的時間x（單位：分鐘）之間的關系如圖所示，則乙比甲晚分鐘到達8地.

【解析】解：由題意乙的速度為1500+5=300（米/分），設甲的速度為x米/分.

貝I］有：7500-20x=2500,

解得x=250,

25分鐘后甲的速度為250X?=400（米/分）.

由題意總里程=250><20+61X400=29400（米）,

86分鐘乙的路程為86X300=25800（米）,

29400-25800

=12（分鐘）.

300

故答案為：12.

5.12020?浙江臺州】如圖1,小球從左側的斜坡滾下，到達底端后又沿著右側斜坡向上滾，在這個過程中,

小球的運動速度v(m/s)與運動時間t(s)的函數(shù)圖象如圖2,則該小球的運動路程y(m)與運動時間t

O

CD

【答案】C.

【解析】解：由圖2知，小球的是先勻加速再勻減速運動,

選項C符合題意.

6.12020.貴州銅仁】如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D,

設點P運動的路程為X,△ADP的面積為y,那么y與x之間的函數(shù)關系的圖象大致是()

A.

C.D.

【答案】D.

【解析】解：

由題意，當0人4時，y-|xADxAB^|x3x4=6,

當4cx<7時，|xPDxAD^|x（7-尤）x4=14-2x.

故答案為：D.

7.【2020?安徽】如圖，AABC和4DEF都是邊長為2的等邊三角形，它們的邊BC,EF在同一條直線1上,

點C,E重合，現(xiàn)將aABC沿著直線1向右移動，直至點B與F重合時停止移動.在此過程中，設點C移

動的距離為x,兩個三角形重疊部分的面積為y,則y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（)

【答案】A.

【解析】解：當0WxW2時,重疊部分為邊長為x的等邊三角形,

丫=手1,為一段開口朝上的拋物線，最大值為6，

當2<xW4時，重疊部分為邊長為（4-x）的等邊三角形，

y=^（4-尤『，為一段開口朝上的拋物線，最大值為百,

故答案為：A.

8.12020?甘肅金昌】如圖①，正方形ABC。中，AC,8。相交于點O,E是。。的中點.動點P從點E出

發(fā)，沿著E-OTBTA的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點A,在此過程中線段AP的長度y隨著運

動時間x的函數(shù)關系如圖②所示，則AB的長為（

圖①

A.4V2B.

【答案】A.

【解析】解：如圖，連接AE.

?.,四邊形ABC。是正方形,

：.AC±BD,OA=OC=OD=OB,

由題意￡)E=O￡,設。E=OE=x,則。4=O￡)=2x,

,:AE=2后

；./+⑵)2=(2V5)2,

解得x=2或-2（不合題意舍棄）,

；.OA=OD=4,

.".AB=AD=4y/2,

故答案為：A.

9.12020?黑龍江大興安嶺】李強同學去登山，先勻速登上山頂，原地休息一段時間后，又勻速下山，上山

的速度小于下山的速度.在登山過程中，他行走的路程S隨時間f的變化規(guī)律的大致圖象是（）

s,

【答案】B.

【解析】解：因為登山過程可知：

先勻速登上山頂，原地休息一段時間后，又勻速下山，上山的速度小于下山的速度.

所以在登山過程中，他行走的路程S隨時間/的變化規(guī)律的大致圖象是8.

故答案為：B.

10.【2020?湖北黃岡】2020年初以來，紅星消毒液公司生產的消毒液在庫存量為m噸的情況下，日銷售量

與產量持平.自1月底抗擊“新冠病毒”以來，消毒液需求量猛增，該廠在生產能力不變的情況下，消毒液一

度脫銷，下面表示2020年初至脫銷期間，該廠庫存量y（噸）與時間X天）之間函數(shù)關系的大致圖象是（）

【答案】D.

【解析】解：根據題意：時間/與庫存量y之間函數(shù)關系的圖象為先平，再逐漸減小，最后為0.

故答案為：D.

H.[2020?湖北隨州】小明從家出發(fā)步行至學校，停留一段時間后乘車返回，則下列函數(shù)圖象最能體現(xiàn)他離

C.D.

【答案】B.

【解析】解：①從家出發(fā)步行至學校時，為一次函數(shù)圖象，是一條從原點開始的線段;

②停留一段時間時，離家的距離不變,

③乘車返回時，離家的距離減小至零,

縱觀各選項，只有8選項符合.

故答案為：B.

12.12020?湖北孝感】如圖，在四邊形A8CD中，AD//BC,ZZ)=90°,AB=4,BC=6,ZBAD=30°.動

點P沿路徑A-BfC-D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點D運動.過點P作PH1AD,垂足

為H.設點尸運動的時間為x（單位：s）,的面積為y,則y關于x的函數(shù)圖象大致是（）

【答案】D.

【解析】解：①當點P在上運動時，

y=|AHXPH=IxAPsinAXAPcosA=1x/x5=^x2,圖象為二次函數(shù)；

②當點尸在2c上運動時，如下圖.，

BPr

A1rHD

由①知，BH'=ABsinA=4x>2,同理W=2后

11

則尸方xA77XPH=/2W+x-4)X2=2百一4+x,為一次函數(shù)；

③當點尸在。上運動時，

同理可得：y=1x(2V3+6)X(4+6+2-x)=(3+V3)(12-%),為一次函數(shù)；

故答案為：D.

13.12020?湖南衡陽】如圖1,在平面直角坐標系中，團A3。在第一象限，且BC〃x軸.直線y=x從原

點O出發(fā)沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被團ABC。截得的線段長度”與直線在x軸上平移的距離

機的函數(shù)圖象如圖2所示.那么四邊形ABCD的面積為()

2

~~~"7H\R

o467m

圖2

C.6D.6V2

【答案】B.

【解析】解：過2作于點M,分別過2,D作直線y=x的平行線，交A￡)于￡,

AE=6-4=2,DE=7-6=1,BE=2,

.?.48=2+1=3,

,/直線BE平行直線y=x,

:.BM=EM=五，.

平行四邊形ABC。的面積是：AD?BM=3x五=3五.

故答案為：B.

14.【2020?內蒙古通遼】如圖①，在△ABC中，AB=AC,NA4C=120°,點E是邊AB的中點，點尸是

邊BC上一動點，設PC=x,PA+PE=y.圖②是y關于尤的函數(shù)圖象，其中〃是圖象上的最低點.那么。+6

的值為.

①②

【答案】7.

【解析】解：將AABC沿BC折疊得到BC,則四邊形ABA'C為菱形，菱形的對角線交于點O,

由圖②知，當點P與點B重合時，

y=PA+PE=AB+BE=AB+^AB=3y/3,解得：AB=2同即：菱形的邊長為2代

_V3

則該菱形的高為三48=3,

點A關于BC的對稱點為點A',連接A'E交BC于點P,此時y最小，

"：AB=AC,/BAC=120°,

則/W=60°,故A4'2為等邊三角形,

是48的中點，故A'ELAB,

^AB//A'C