專題03軸對稱（考點清單，知識導(dǎo)圖+5個考點清單+7種題型解

讀）

考點儕單

第奚11物時緯

概■念物時林圖形

蛾

段—經(jīng)過段盤中點并且冬貢于這條蚊屐的竟或

垂

的

*平性質(zhì):一線段垂直平分蛾上的點與這條戰(zhàn)段兩個端點的距離相等

<

線

分

判定:—與我段兩個熱點距離相等的點在這條找檢的叁Jt平分線上

有算時應(yīng)線段相等.時應(yīng)角相爭

性質(zhì)」時林軸磨立平分連接對應(yīng)點的線段

______:關(guān)于X軸對稱的兩個點的生標(biāo)將征〕—嘖坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反做

成軸對］k------------------------------->

稱的點I

恒至IU關(guān)于）?軸時稱的兩個點的坐標(biāo)掙征］—演坐標(biāo)互為相反歙，姒史標(biāo)相等

.....「等邊對等角

「性質(zhì)H

...........,L三稅合一

等腰

軸對稱J

三角形

「朝天”:『等樓三角彩的定義

方法:一等角對等邊

\性質(zhì)J—三條邊郵相等.三個內(nèi)角都相等且與一個內(nèi)角都等于&尸

等腰

等邊U

三角形［E藐，卜r等邊三角形的之義

「利定；|三個的部柚等的三角形是等邊三角彩

J方法：

.有一個角是儀尸的等膜三角矽是等邊三角形

含30。角的允角.逆立角三角彩中,加果一個銳角等于”.邪么它

三角形的性質(zhì)

L工▼L一八/;所時的左角邊等于葉邊的一半

［解決最短珞徑問題〕

實際應(yīng)用

;圖拿設(shè)計I

【清單01】軸對稱

1.軸對稱圖形和軸對稱

(1)軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條

直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.

(2)軸對稱

定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條

直線對稱，這條直線叫做對稱軸.

要求歸納：成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等

形；

②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；

③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.

(3)軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系

要點歸納：軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及

兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么

這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形.

2.線段的垂直平分線

線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線

段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

要點歸納：

線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇

見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形

創(chuàng)造條件.

三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心一一外

心.

【清單02】作軸對稱圖形

1.作軸對稱圖形

(1)幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些點，就

可以得到原圖形的軸對稱圖形；

(2)對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(如線段端點)的對稱點，

連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.

【清單03】等腰三角形

1.等腰三角形

(1)定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

如圖所示，在AABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,/A是頂角,

/B、/C是底角.

要點歸納：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45。.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角

(或直角)，但頂角可為鈍角(或直角).

180°-ZA

ZA=180°-2ZB,/B=NC=-------------.

2

(2)等腰三角形性質(zhì)

①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；

②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合(簡稱“三線合一”).特別

地，等腰直角三角形的每個底角都等于45。.

(3)等腰三角形的判定

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(即“等角對等邊“).

要點歸納：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊

的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

2.等邊三角形

(1)定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

要點歸納：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形.也就是說等腰三角形包

括等邊三角形.

(2)等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

【清單04】含30°角的直角三角形的性質(zhì)（重點）

（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用

來求邊的長度和角的度數(shù).

（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三

角形不能應(yīng)用；

②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊.

【清單05】最短路徑問題（重點）

1.垂直線段最短問題

動點所在的直線已知型

方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。

2.將軍飲馬問題

方法技巧：定點關(guān)于定直線對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短求最值.

①兩定一動

③兩定兩動

h

3.“造橋選址”問題

方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值.

型陸單

【考點題型一】軸對稱與軸對稱圖形

【例1】（23-24八年級上.廣東湛江?期中）下列的圖形中，F(xiàn)左邊圖F形與右邊圖形成軸對稱的是（）

A.B.-

FH

【分析】本題考查軸對稱的定義，根據(jù)軸對稱的定義（如果兩個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠互相重合，則這兩個圖形成軸對稱）進(jìn)行逐一判斷即可：

【詳解】解：根據(jù)軸對稱的概念，A、B、C都不成軸對稱，不符合題意；

只有D成軸對稱，符合題意.

故選：D.

【變式1-1]（23-24八年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，ABC和—AB'C關(guān)于直線/對稱，點尸為直線

/上一點，則下列說法中錯誤的是（）

A

BC|CB，

A.ABC^AB'CB./垂直平分CC'C.PC=PCD.ZBAC=ZCAC

【答案】D

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì).熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷作答即可.

【詳解】解：由軸對稱的性質(zhì)可知，ABC^A'B'C,/垂直平分CC',PC=PC,

ZBAC=ZB'AC豐ZCAC,

:4B、C正確，故不符合要求；D錯誤，故符合要求；

故選：D.

【變式1-2]（23-24八年級上.河北石家莊?期中）如圖，VABC和一A'8'C'關(guān)于直線/對稱，連接

A4\BB\CC,其中AT與直線/交于點。，點。為直線/上一點，且不與點。重合，連接AD、A'D.下

列說法錯誤的是（）

A.ZACB^ZACB'

B.線段4T、BB<CC被直線/垂直平分

C.W為等腰三角形

D.線段AC、A'C'所在直線的交點不一定在直線/上

【答案】D

【分析】此題考查軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)依次分析判斷，正確掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：A、和“AB'C關(guān)于直線/對稱，

^ABC^A'B'C,

AZACB=ZA!CB',正確，不符合題意；

B、,/NABC和&A'3'C'關(guān)于直線l對稱，

二線段A4*BB\CC被直線/垂直平分，正確，不符合題意；

C、NABC和」AB'C關(guān)于直線/對稱,

；?/是線段4r的垂直平分線，

為等腰三角形，正確，不符合題意；

D、和qAB'C'關(guān)于直線/對稱，

線段AC、A'C'所在直線的交點一定在直線/上，原說法錯誤，符合題意.

故選：D

【變式1-3]（21-22八年級上.江西上饒?期中）如圖，NA=20。，ZC'=60°,VABC與‘A'B'C'關(guān)于直線/

對稱，則NB=.

【答案】1007100&

【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出△ABC四△AZTC,由全等三角形的性質(zhì)可知NC=NC,再由三角形內(nèi)

角和定理可得出的度數(shù).

【詳解】解：,ABC與aAUC關(guān)于直線/對稱，

△ABC四△AB'C',

.-.ZC=ZC,=60°,

ZA=20°,

ZB=180°-ZA-ZC=180°-20°-60°=100°.

故答案為：100°.

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)及三

角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵

【變式1-4]（23-24八年級上?吉林?期中）如圖，VA3C和VADE關(guān)于直線"N對稱，3c與DE的交點產(chǎn)

在直線MN上.

GD

MN

E

(1)圖中點。的對應(yīng)點是點，AE的對應(yīng)邊是；

⑵若ND4E=108°,ZEAF=39°,求/。AC的度數(shù).

【答案】(1)3,AC

(2)ND4C=30°

【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)，準(zhǔn)確計算.

(1)本題考查軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可.

(2)本題根據(jù)軸對稱性質(zhì)推出NC4F=N￡AF=39。，從而得出NC4E=78。，最后根據(jù)

"AC=NZME—/C4E即可解題.

【詳解】(1)解：由題意可得：圖中點。的對應(yīng)點是點8,AE的對應(yīng)邊是AC,

故答案為：B,AC.

(2)解：ND4E=108°,NEAF=39。,

ZCAF=ZEAF^39°,

ZCAE=ZCAF+ZEAF=78°,

ADAC=Z.DAE-ACAE=30°.

【考點題型二】線段垂直平分線的判定

【例2】(23-24八年級上?廣西玉林?期中)如圖，在VABC中，的垂直平分線DMr交BC于點。，邊

AC的垂直平分線EN交2C于點E.已知VADE的周長為8cm,則2C的長為()

【答案】D

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得D4=DB,EA=EC,結(jié)合

VADE的周長8cm,得出BD+OE+EC=8cm,即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：是A3的垂直平分線，

DA=DB,

,/EN是AC的垂直平分線，

EA=EC,

：VADE的周長8cm,

AD+DE+AE=8cm,

BD+DE+EC=8cm,

BC=8cm,

3C的長為8cm；

故選：D

【變式2-1]（23-24八年級上.湖南懷化?期中）如圖，四邊形ABCO中，AB=CB,DA=DC,我們把這

種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，以下四個結(jié)論，正確的有（）

①ACSBD；?AC=2OA；③AC平分ZBAD；④四邊形ABCD的面積=：ACm.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，根據(jù)AB=CB,DA=DC,得到30垂直平分AC,分割法求面

積，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：；AB=CB,DA^DC,

.?.點8,點。在線段AC的垂直平分線上，

垂直平分AC,

ACJ.BD,AC=2OA,故①②正確；

無法得到AC平分故③錯誤；

四邊形ABCD的面積為5ABe+S+=+故④正確；

故選C.

【變式2-2]（23-24八年級上?四川資陽?期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、相交于。，

△ABO烏AADO.下列結(jié)論：?ACJ.BD-,②CB=CD；③△MC妾△ADC；?DA=DC.其中，正確

結(jié)論的序號是.

【答案】①②③

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

ZAOB=ZAOD,根據(jù)平角的定義可得/AOB=/AOD=gxl8（r=90。，即可判斷①，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得出=BO=DO,結(jié)合①可得AC是3。的垂直平分線，即可判斷②，根據(jù)SSS即可證明③，

不能得出結(jié)論④.

【詳解】解：：AABO四△ADO,

/.ZAOB=ZAOD,AB=AD,BO=DO

:四邊形ABC。的對角線AC、相交于點O,

AZAOB^ZAOD=-xl80°=90°,

2

AAC1BD,故①正確；

VAC.LBD,BO=DO

AC是的垂直平分線，

ACB=CD,故②正確；

VAB^AD,BC=DC,AC^AC,

：.^ABC^ADC,故③正確；

由已知條件不能判斷D4=OC,故④錯誤.

故答案為：①②③.

【變式2-3].（23-24八年級上.江蘇宿遷?期中）如圖，AD是ABC的角平分線，DE、DF分別是AABD

和「ACD的高.

￡

(1)試說明AD垂直平分跖；

(2)若AB=8,AC=6,SABC=28,求DE的長.

【答案】(1)詳見解析

(2)4

【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識，證明

RtAEE^X./%(HL)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用角平分線的性質(zhì)證明DE=OR，證明RtAMD^RtAAFD(HL),則AE=A/，即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)=28列式計算即可.

【詳解】(1)證明：：AD是△ABCAASC的角平分線，￡(區(qū)PF分別是△ABD和ACD的高.

/.DE=DF,

在RtAAED與RtAAFD中，

[AD=AD

[DE=DF'

RtAED^RtAFD(HL),

AE=AF,

'：DE=DF,

：.AZ)垂直平分跖；

(2)解：；DE=DF,

S^+8ACD=-AB-ED+^AC-DF=^DE(AB+AC)=2S,

AB+AC=14,

DE=4.

【變式2-4](23-24八年級上.山東濱州.期中)如圖，VABC中，跖垂直平分AC,交AC于點R交BC

于點區(qū)AD±BC,垂足為。，且&)連接AE.

A

（1）求證：AB=EC；

（2）若VABC的周長為20cm,AC=7cm,則DC的長為多少？

【答案】（1）見解析

13

⑵7cm

【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)：

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=￡C,AB=AE,等量代換可得=

（2）先根據(jù)已知條件得出AB+BC=13cm,再通過等量代換得出AB+50=O￡+￡C=OC,進(jìn)而得出

AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,即可求解.

【詳解】（1）證明：二石廠垂直平分AC,

???AE=EC,

VAD±BC,BD=DE,

，AB=AE,

：.AB=EC；

（2）解：TVABC的周長為20cm,

AB+BC+AC=20cm,

AC=7cm,

AB+BC=13cm,

?；AB=EC,BD=DE,

：.AB+BD=DE+EC=DC,

VAB+BC=AB+BD+DC=2DC=13cm,

DC=—cm.

2

【考點題型三】等腰三角形的性質(zhì)與判定

【例3】（22-23八年級上?湖北荊門?期中）如圖，VABC中，AB=AE,且AOL3C,EF垂直平分AC,

交AC于點尸，交5c于點￡,若VA5C周長為16,AC=6,則。。為（）

A.5B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的運用，

根據(jù)VABC周長為16,AC=6,可得AB+BC=10,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得E4=EC,根據(jù)

AB=AE,AD1BC,可得BD=DE,所以A5+8O=AE+OE=；（A5+5C）=5,由此即可求解.

【詳解】解：YVABC周長為16,

??.AB+BC+AC=16,

AC=6,

JAB+BC=10,

EF垂直平分AC,

EA=EC,

,：AB=AE,ADIBC,

：.BD=DE,

AB+BD=AE+DE=^（AB+BC）=5

:?DC=DE+EC=AE+DE=5,

故選：A.

【變式3-1]（23-24八年級上.黑龍江哈爾濱?期中）如圖，。為VABC內(nèi)一點，CO平分，ACB,

BELCD,垂足為。，交AC于點E,ZA=ZABE,AC=U,BC=1,則3。的長為（）

C.2D.2.5

【答案】C

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等，先證SOCgEDC（AAS）,

推出BC=EC,根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得8。=EO=gBE,根據(jù)NA=NABE,可得=通

過等量代換即可求解.

【詳解】解：平分/ACB,

NBCD=NECD,

BELCD,

?.NBDC=NEDC,

又CD=CD,

J?DC^,￡DC（AAS）,

?.BC=EC,

又BE【CD,

BD=ED=-BE,

2

AC=11,BC=7,

AE=AC-CE=AC-BC=n-l=4f

ZA=ZABE,

AE=BE=4,

??.BD=-BE=2,

2

故選c.

【變式3-2]（23-24八年級上?浙江溫州?期中）如圖，在等腰三角形ABC中，AD是底邊BC上的高線,

CE工AB于點E,交AD于點凡若/3AC=45。，AF=8,則8。的長為.

【答案】4

【分析】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握

等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD13C,BD=CD=3BC，再

2

根據(jù)等腰三角形的判定和三角形的內(nèi)角和定理證得AE=CE，ZEAF=ZECB,然后證明

△AEF絲Z\CE3（ASA）得到BC=AF=8即可求解.

【詳解】解：：在等腰三角形A3C中，AO是底邊2C上的高線，

/.ADJ.BC,BD=CD=-BC,

2

ZBAD+ZB=90°,

CELAB,

:.ZAEC=ZBEC=90。,又ZS4c=45°,

ZACE=90°-ABAC=45°=ZEAC,ZECB+/B=90°

AAE=CE,Z.EAF=ZECB,

：.A4砂絲△C￡B（ASA）,

BC=AF,

VAF=8,

/.BD=-BC=-AF=4,

22

故答案為：4.

【變式3-3]（22-23八年級上?吉林?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,。是BC邊上的中點，連接

AD,郎平分,ABC交AC于點E,過點E作班〃3C交A3于點尸.

(1)若NC=36。，求N54D的度數(shù)；

(2)求證：FB=FE.

【答案】⑴ZS4D=54。

(2)證明見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形等邊對等

角，三線合一.

(1)先得出NABC=36。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AD上3C,即可解答；

(2)根據(jù)角平分線的定義得出NEBE=NC3E=gNABC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NCBE=NEEB,進(jìn)而得

出NFBE=NFEB,即可求證.

【詳解】(1)解：AB=ACf

..ZC=ZABCf

ZC=36°,

:.ZABC=36°,

VAB=AC,。是BC邊上的中點，

:.AD±BC,

;.ZADB=9G°,

ZBAD=90°-36°=54°.

(2)證明：BE平分/ABC,

NFBE=NCBE=-NABC,

2

EF//BC,

ZCBE=ZFEB,

:.NFBE=/FEB,

:.FB=FE.

【變式3-4](23-24八年級上?湖北武漢?期中)如圖，ABC為等腰直角三角形,

XBAC=90,AB=AC,。是AC上一點.CE^LBD于點、E,連接AE.

⑴求的度數(shù)；

(2)若3E=10,CE=4,求一AEC的面積.

【答案】(1)45

⑵6

【分析】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是

解題的關(guān)鍵.

(1)在跖上截取所=CE,連接AF,證明二AB尸經(jīng)ACE,即可得至=然后解題即可；

(2)過點A作AGLEF于點G,可以得到AG=；EP=3,然后根據(jù)S人廢=S4跖尸?AG計算即可.

【詳解】(1)解：在國上截取BE=CE,連接AF,

VZBAC=90°,CELBE,

：.ZABF+ZADB=ZACE+ZCDE=90°,

ZABF=ZACE,

又：AB=AC,

：..ABF^ACE,

AAF=AE,NBAF=NCAE,

：.ZEAF=ZBAC=90°,

：.ZAEB=45°；

GD

BC

(2)過點A作AGLEF于點G,

VBF=CE=4,BE=10,

：.EF=BE—BF=10—4=6,

AF=AE,

：.AG=-EF=3,

=-BFAG=-x4x3=6.

【考點題型四】等邊三角形的性質(zhì)與判定及含30°角的直角三角形的性質(zhì)

【例4】（22-23八年級上?浙江麗水?期中）如圖，VABC為等邊三角形，△A3D為等腰直角三角形，且

2ABD90?,則/3CD的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.22.5°D.30°

【答案】B

【分析】本題主要考查了等邊三角形，等腰直角三角形.熟練掌握等邊三角形的邊角性質(zhì)，等腰直角三角

形的邊角性質(zhì)，等腰三角形角的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得，AB=BC,ZABC=60。，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得，ZCBD=150°,

AB=BD,得到=根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，ZBCD=15°.

【詳解】:VABC為等邊三角形，

AAB=BC,ZABC=60°,

?「△ABD為等腰直角三角形，且？ABD90?,

JZCBD=ZABC+ZABD=150°,

*.*AB=BD,

：.BC=BD,

：.ZBCD=1(180°-ZCBD)=15°.

故選：B.

【變式4-1]（23-24八年級上?廣東廣州?期中）如圖，點尸是NAO3內(nèi)任意一點，。尸=4,點C和點。分

別是射線。4和射線08上的動點，周長的最小值是4,則的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱知識，等邊三角形的判定與性質(zhì).分別作點P關(guān)于0Ao3的對稱點EE,連接

FE,分別交OAOB于點此時切+PC+CD的值最小，再根據(jù)已知條件可證OE廠是等邊三角形即

可.

【詳解】解：分別作點尸關(guān)于的對稱點凡E,連接用，分別交OAOB于點C,。，止匕時

AD+PC+CD的值最小，連接OEQF,PC,PD,CD,如圖所示：

:點尸關(guān)于。4的對稱點為F，關(guān)于OB的對稱點為E

PC=FC,OP=OF,ZFOA=ZPOA

丁點P關(guān)于OB的對稱點為E

PD=ED,OP=OE,NEOB=NPOB

：.OE=OP=OF,ZAOB=-ZEOF

2

???△尸CD周長的最小值是4

JPD+PC+CD=4

：.DE+CF+CD=4

即EF=4=OP

：.OE=OF=EF,即。石F是等邊三角形

???/EOF=60。

：.ZAOB=30°.

故選：B.

【變式4-2］（23-24八年級上?內(nèi)蒙古興安盟?期中）如圖，在VABC中，ZAC5=90。,=30。，CD是

IWJ.若AD=2,則BD=.

【答案】6

【分析】本題考查含30度角的直角三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?.?CD，AB,

???ZADC=Z90°=ZACB,

???ZACD=ZB=90°-ZA,

VZB=30°,

ZACD=30°,

JAC=2AD=4,

???AB=2AC=8,

：.BD=AB-AD=6.

故答案為：6.

【變式4-3］（23-24八年級上?內(nèi)蒙古興安盟?期中）如圖，VABC是等邊三角形，D,￡分別是邊AC,

3C上的點，BD,A￡交于點骸_LA石于點/，若AD=CE.求證：BR=2FR.

A

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)SAS證明得到NABD=NC4E,進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)得到

NBRF=60。,由此求出，RB尸=30。，即可證明BR=2FR.

【詳解】證明：.ABC是等邊三角形，

:.AB=AC,4AC=NC=60。,

又iAD=CE,

ABZ注,C4E（SAS）,

:.ZABD=ZCAE,

ZBRF=/ABD+/BAE=/CAE+/BAE=/BAC=60°,

BF±AE,

.?.△BRF為直角三角形，

:.ZRBF=3Q°,

:.BR=2FR.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角

和定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，正確求出=60。是解題的關(guān)鍵.

【變式4-4](22-23八年級上?浙江湖州?期中)如圖，在VABC中，AC=BC,ZBAC=3Q°,。為AB的

中點，P為線段CD上一動點，E為3c延長線上一點，且=

⑴連接尸3,求證：PE=PB；

(2)求證：ZPAD+ZPEC=30°；

(3)求證：VAPE是正三角形；

(4)當(dāng)AB=12時，求四邊形APCE的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

(4)S四邊形MCE=126

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得CD是AB的垂直平分線，從而可得PA=PB,然后根據(jù)

等量代換可得理=依，即可解答；

(2)利用等腰三角形的性質(zhì)可得NPEB=/PBE,ZPAB=ZPBA,ZCAB=ZCBA=30°,從而可得

ZPBE+ZPBA=3G°,然后利用等量代換可得NR4D+NPEC=30。，即可解答；

(3)根據(jù)垂直定義可得NAZ)C=/BDC=90。，從而可得">。=90。-440,4>CB=60。，然后根據(jù)三

角形的外角性質(zhì)可得NCPE=60。-NPEC,從而利用平角定義可得NAPE=60。，最后根據(jù)等邊三角形的判定

即可解答；

(4)過點A作區(qū)交2C的延長線于點尸，根據(jù)垂直定義可得NE鉆=90。，從而可得NF=60。，

再利用三角形的外角性質(zhì)可得NACF=60。，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得ZF=N"C=Z4CF=60。，進(jìn)

而可得，AFC是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得AR=AC=B,從而利用SAS證明

FAE^CAP,進(jìn)而可得四邊形APCE的面積—AFC的面積，再根據(jù)已知可得R?=,從而可得一AFC的

面積=ABC的面積=四邊形APCE的面積，最后在Rt4)C中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得

CD=2yf3,從而利用三角形的面積公式求出VA3C的面積，即可解答.

【詳解】(1)證明：如圖:

AC=BC。為A3的中點,

:.CD是AB的垂直平分線,

:.PA=PB,

PA=PE,

:.PE=PB-,

(2)證明：PE=PB,

:.ZPEB=APBE,

PA=PB,

:.ZPAB=ZPBA,

AC=BC,

:.ZCAB=ZCBA=30°f

:.ZPBE+ZPBA=30°,

:.ZPAD+ZPEC=30°；

(3)證明：CD±AB,

..ZADC=ZBDC=90。,

:.ZAPD=900-ZPAD,

NCB4=30。，

/.ZDCB=90°-ZCft4=60°,

/DCB是△CEP的一個外角，

/CPE=ZDCB—ZPEC=3?！猌PEC,

/.ZAPE=180°-ZAPD-ZCPE=180°-(90°-ZPAD)-(60°-APEC)=30°+ZPAD+ZPEC=60°,

PA=PE,

.?…APE是正三角形；

(4)解：過點A作￡4_LAB,交5C的延長線于點尸，

ZFAB=90°f

.\ZF=90°-ZCBA=60°f

ZACF是AACB的一個外角，

.'.ZACF=ZCAB+ZCBA=60°,

ZFAC=1800-ZF-ZACF=60°,

ZF=ZFAC=ZACF=6O°,

??.,AFC是等邊三角形，

,\AF=AC=CF,

QVAEP是等邊三角形，

:.AE=AP,ZE4P=60°,

/.ZFAC-ZEAC=ZEAP-ZEAC,

.\ZFAE=ZCAPf

/.FAE^CAP(SAS),

???四邊形APCE的面積=.AFC的面積，

AC=CB,

:.FC=CB,

.e.AFC的面積=一ABC的面積，

???四邊形APCE的面積=LABC的面積，

在RtADC中，AD=-AB=6,ZG4D=30°,

2

???8=詈$25

45C的面積=gAB-CD=；xl2x2代=126，

四邊形APCE的面積為12A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，含30

度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)

鍵.

【考點題型五】最短路徑問題

【例5】（23-24八年級上.山東德州?期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中有E,尸兩點，在直線/上求一點尸，使

PE+尸產(chǎn)最短，則點P應(yīng)選在（）

E

【答案】c

【分析】此題考查了軸對稱-最短路徑問題.注意首先作出其中一點關(guān)于直線/的對稱點，對稱點與另一

點的連線與直線/的交點就是所要找的點.首先求得點E關(guān)于直線/的對稱點E,連接EF,即可求得答

案.

【詳解】解：如圖，點后是點M關(guān)于直線/的對稱點，連接EK,則E戶與直線/的交點，即為點P,連接

PE,此時尸E+PR最短，

—?J-i~~-

A]B/Cd

----i—―-^

，I

?J,z

￡，

；E與召'關(guān)于直線/對稱，

/.PE=PE,

PE+PF=PE+PF,

???兩點之間線段最短，

,此時PE+尸尸最短，即PE+PF最短，

,/EN與直線/交于點C,

.,.點P應(yīng)選C點.

故選：C.

【變式5-1]（23-24八年級上.廣東云浮?期末）如圖，等腰VABC的底邊2C長為3,面積是12,腰AC的

垂直平分線EF分別交邊AC,48于點￡,F.若。為8C邊的中點，M為線段跖上的一動點，則

VCDM周長的最小值為（）

A.4B.9.5C.12.5D.16

【答案】B

【分析】此題考查最短路線問題、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用線段垂

直平分線的性質(zhì).

【詳解】如圖：

連接AD交砂于點

,?1等腰VA3C的底邊BC長為3,點。為8C邊的中點,

3

AD±BC,BD=CD=—,

2

尸是腰AC的垂直平分線，連接CM,

：.AM=CM,

此時VCDM的周長為：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD

3

CO的長為|■固定，

根據(jù)兩點之間線段最短，VCDM的周長最小.

VSABC=^BC>AD,

/.-x3AD=12,

2

AD=8,

3

AD+C￡>=8+-=9.5.

2

故選：B.

【變式5-2]（23-24八年級上.內(nèi)蒙古巴彥淖爾.期中）如圖，VABC的面積為14,AB=AC,BC=4,

AC的垂直平分線環(huán)分別交AB,AC邊于點E,F,若點。為3C邊的中點，點尸為線段上一動點，則

△PCD周長的最小值為

【答案】9

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形三線合一

的性質(zhì).連接AD,由于AABC是等腰三角形，點。是8C邊的中點，故AD13C,再根據(jù)三角形的面積

公式求出AD的長，再根據(jù)族是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線族的對稱點為點A,故AD

的長為CP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接仞，

A

AABC是等腰三角形，點。是3c邊的中點，

:.AD±BCf

.■.SMBC=^BC.AD=^X4XAD=14,

解得:AD=7,

EF是線段AC的垂直平分線，

???點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A,

.1A。的長為CP+PD的最小值，

.^.△CDP的周長最短=（CP+尸D）+CD=AD+qBC=7+gx4=7+2=9.

故答案為：9.

【變式5-3]（23-24八年級上?湖南湘西?期中）如圖，陽光明媚的周六，小明在學(xué)校（A）練習(xí)籃球，他接

到媽媽的電話，要先去C街快遞公司取包裹，再去。街購買文具，然后回到家里（B）.請畫出小明行走的

【答案】見詳解

【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，兩點之間線段最短，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行

求解.

根據(jù)兩點之間線段最短，軸對稱的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解；如圖所示：作點A的對稱點A,作點B的對稱點3',連接AB,交C街和。街于點瓦尸，

貝ij=AE+EF+"產(chǎn)AA",

當(dāng)點A,E,F,2'共線時，小明行走的路徑最短,

故小明行走的最短路徑是M-EF-￡8,

A'

【變式5-4]（23-24八年級上?河南濮陽?期中）在等邊VASC中，點D是直線BC上的一個點（不與點8、

C重合），以AD為邊在AZ）右側(cè)作等邊VADE,連接CE.

【觀察猜想】（1）如圖1,當(dāng)點。在線段BC上時，則線段CE與線段80的數(shù)量關(guān)系為.

【數(shù)學(xué)思考】（2）如圖2,當(dāng)點D在線段2C的延長線上時，猜想三條線段6、。與CE的數(shù)量關(guān)系，

并加以證明.

【方法感悟】在解決問題時，條件中若出現(xiàn)有公共頂點的兩個等邊三角形時，常常考慮旋轉(zhuǎn)某個三角形，

從而使問題得到解決.

【拓展延伸】（3）如圖3,邊長為a的等邊VABC中，仍是中線，且點。在正上，連接AD,

在AD的右側(cè)作等邊VADE,連接族，請直接寫出△AEF周長的最小值.

【答案】（1）CE=BD（2）CE=AC+CD,理由見解析（3）-a+b

2

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形判定與性質(zhì)、最短路徑問題：

（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,ZBAC=ZDAE=60°,AD=AE,推出N3AD=NC4E,進(jìn)而

根據(jù)“SAS”證得aBAD絲一。IE,由全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；

（2）證明△C4EZ4B4。，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，利用線段的和差關(guān)系即可得出結(jié)論；

（3）證明gC4E,由全等三角形的性質(zhì)得乙加=NACE,進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

NACE=30。，點E在射線CE上運動，作點A關(guān)于直線CE的對稱點M,連接RW交CE于后，當(dāng)點E運

動到點￡時，△皿周長的最小，再根據(jù)線段的和差關(guān)系，即可得到答案.

【詳解】（1）證明：一ABC,VADE都是等邊三角形，

:.AB=AC,ZBAC=ZDAE=60°,AD=AE,

...ABAC-ZDAC=/DAE-ADAC,

:.ZBAD=ZCAE,

在,胡。和_C4E中，

AB=AC

<ZBAD=/CAE,

AD=AE

BAD^G4E（SAS）,

BD=CE.

故答案為：CE=BD；

（2）解：CE=AC+CD.

證明：ADE與VABC都是等邊三角形，

:.AC=AB,ZDAE=ZBAC=60°,AE=AD,

ZDAE+ACAD=ZBAC+ACAD.

即NCAE=NBAD.

在和山。中，

AC=AB

-ZCAE=ZBAD,

AE=AD

:..CAE^.BAD（SAS）.

CE=BD,

.?.CE=BD=BC+CD=AC+CD.

（3）解：如圖，連接CE,

ABC,VAZ）￡都是等邊三角形，

..AB=AC=afZBAC=ZDAE=6Q°,AD=AE,

ZBAC-ZDAC=/DAE—/DAC,

:./BAD=NCAE,

/.BAD^G4E（SAS）,

:.ZABD=ZACE,

:等邊VABC中，BF是中線，且BF=b,

:.ZABD=ZCBD=ZACE=30°,BF1AC,AF=CF=-a

29

.??點E在射線CE上運動（NACE=30。），

作點A關(guān)于直線CE的對稱點M,連接月欣交C￡于E,當(dāng)點E運動到點后時，△鉆產(chǎn)周長的最小,

CA=CM,ZACM=60°,

.^ACM是等邊三角形，

:.AM=AC,

BFYAC,

.\FM=BF=b9

AE尸周長的最小值=4尸+配'+4石'=4歹+上0=*。+。.

2

【考點題型六】轉(zhuǎn)化思想

【例6】（23-24八年級上.河南信陽?期中）如圖，在VABC中，ZC=90°,ZB=30°,邊A3的垂直平分線

DE交AB于點、E,交BC于點，CD=3,則BC的長為（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì).根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AB=2AC,ZBAC=60。，再由線段垂直平分線的性質(zhì)，可得A￡>=3￡）,

AE=BE,BD=2DE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NBA。=NB=30。，從而得到NGW=44D,然后根

據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD=3,即可求解.

【詳解】解：VZC=90°,ZB=30°,

AB=2AC,ABAC=60°,

,/DE垂直平分AB,

AD=BD,AE=BE,BD=2DE,

：.ZBAD=Z.B=30°,

：.ZCAD=ABAC-ZBAD=30°,

NCAD=ZBAD,

-：ZC=90°,DELAB,

DE=CD=3,

：.BD=2DE=6,

：.BC=BD+CD=9.

故選:B

【變式6-1]（23-24八年級上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）如圖，在等腰三角形A3C中，N54c=120。，若

㈤W和FN分別垂直平分和AC,垂足為E、F,點、M、N都在8C邊上，旦EM=FN=2,則BC的

長度為（）

【答案】D

【分析】先根據(jù)垂直平行線的性質(zhì)證明MB=NA=NC,再根據(jù)等邊對等角推出

ZB=ZMAE,ZC=ZNAC,進(jìn)而證明11AMN是等邊三角形，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出

NC,即可求解

【詳解】解：,?,EM和RV分別垂直平分A3和AC,

AMB=MA,NA=NC,

：.NB=/MAE,ZC=ZNAC,

在VABC中，ZBAC=nQ0,

：.ZB=ZC=1(180°-ABAC)=1X(180°-120°)=30°,

ZMAE=ZNAC=3Q°,

ZAMN=ZB+/MAE=60°,ZANM=ZC+ZNAC=60°,

又?./MAN=ABAC-ZMAE-ZNAC=60°,

是等邊三角形，

在Rt_NFC中，ZC=30°,FN=2,

：.NC=2x2=4,

AN=NC=4,

是等邊三角形，MB=MA

：.AN=AM=MN=BM=4,

：.BC=BM+MN+CN=4+4+4=12,

故選D.

【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的

直角三角形的性質(zhì)等，證明,.4處是等邊三角形，并熟練進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2]（23-24八年級上?北京?期中）如圖，在VABC中，/ABC與ZACB的平分線交于點O,過點

。作￡>E〃BC,分別交AB、AC于點。、E.若AB=5,AC=4,則VADE的周長為

【答案】9

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義以及平行線的性質(zhì).此題難度適中，解題

的關(guān)鍵是注意證得與是等腰三角形，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

由在VABC中，N3與NC的平分線交于點。，過點。作OE〃3C,證得二DOB與△EOC是等腰三角

形，即==