園中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆羅摩笈多（定理）模型

圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。

如圖1所示，48和BC是。。的兩條弦（即42C是圓的一條折弦），BOAB,M是4BC的中點(diǎn)，則從M向

8C所作垂線之垂足。是折弦4BC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.

常見證明的方法:

1）補(bǔ)短法：如圖2,如圖，延長(zhǎng)D2至尸，使BF=B4；

2）截長(zhǎng)法：如圖3,在CD上截取DG=DB；

3）垂線法：如圖4,作射線48,垂足為〃。

例1.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦.阿基米德折弦

定理：如圖1,AB和BC組成圓的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中點(diǎn)，MF1AB于F,則AF=FB+BC.

如圖2,AABC中，NABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一點(diǎn)，BD=1,作DE1AB交AABC的外接圓于E,

連接EA,則4EAC=°.

國(guó)132

例2.（2023?浙江溫州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿

基米德折弦定理.如圖2,已知8c為的直徑，月B為一條弦點(diǎn)M是48C上的點(diǎn)，MD1BC

于點(diǎn)D,延長(zhǎng)"D交弦48于點(diǎn)E,連接若BM=&,AB=4,則/￡的長(zhǎng)為（）

例3.（2023上?河南周口?九年級(jí)?？计谀﹩栴}呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,N8和3c是。。的兩條

弦（即折線/5C是弦。。的一條折弦），BOAB,M是弧/3C的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足。

是折弦A8C的中點(diǎn)，即。。=/8+衣0,下面是運(yùn)用"截長(zhǎng)法"證明CD=AB+AD的部分證明過程-

證明：如圖2,在C2上截取CG=/5,連接MB,MC和MG.

是弧/5C的中點(diǎn)，

MA=MC,

圖4

⑵實(shí)踐應(yīng)用：如圖3,“8C內(nèi)接于。（9,BC>AB>AC,。是弧的中點(diǎn)，DELBC于點(diǎn)、E,依據(jù)阿

基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為.

⑶如圖4,等腰”8C內(nèi)接于。。，AB=AC,。為弧上一點(diǎn)，連接D5,ZACD=45a,AC=6,BC=4,

求△ADC的周長(zhǎng).

例4.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,和8c是。。的兩條弦（即

折線是圓的一條折弦），BC>AB,M是Z5C的中點(diǎn)，則從“向8C所作垂線的垂足。是折弦N3C的

是age的中點(diǎn)，：-MA=MC

請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3,已知AZBC內(nèi)接于。。，BC>AB>AC,。是/CS的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定

理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為.

（3）如圖4,已知等腰“8C內(nèi)接于OO,AB=AC,D為4B上一點(diǎn),連接。8,4CD=45。，于

點(diǎn)、E,ABZ）C的周長(zhǎng)為4G+2，BC=2,請(qǐng)求出NC的長(zhǎng).

例5.（2023?河南商丘?統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古

希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周

上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的

折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn).

如圖1,48和2c是。。的兩條弦（即4BC是圓的一條折弦），8c是弧Z8C的中點(diǎn)，則從M向8c

所作垂線之垂足。是折弦/2C的中點(diǎn)，即CD=/B+B。.

小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法"，如圖2：在線段C2上從C點(diǎn)截取一段線段CN=AB,連接.

小麗認(rèn)為可以利用“垂線法"，如圖3：過點(diǎn)M作于點(diǎn)凡連接7k砥7k必gC

任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程,

⑵就圖3證明：MC2-MB2=BC-AB.

模型2.婆羅摩笈多(定理)模型

【模型解讀】婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家。

婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交,那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延

長(zhǎng)線必經(jīng)過這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)。

如圖1,N5CD為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線/C和2D垂直相交，交點(diǎn)為過點(diǎn)E作2c的垂線所，延長(zhǎng)EE

與4D交于點(diǎn)G；則點(diǎn)G是4D的中點(diǎn)。

如圖2,所示已知等腰Rt^ABC和等腰Rt^AED,作BHHAE交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,(1)(2)

若4F1CD,則G為2E中點(diǎn)。

2、如圖3,已知等腰用442。和等腰用A4ED,在4F的延長(zhǎng)線取點(diǎn)〃，使得4F=FH；(1)SAACD=S^B￡；

(2)若尸為CD中點(diǎn)，則/GLBE。

例1.（2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

布拉美古塔定理

婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定

理"，也稱"布拉美古塔定理定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角

線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊.

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫出了這個(gè)定理的已知和求證.

己知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形/BCD中，對(duì)角線/C/AD,垂足為尸，過點(diǎn)尸作的垂線分別交DC

于點(diǎn)、H,M.求證：M是CD的中點(diǎn).

任務(wù)：（1）請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明過程.（2）該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫出了另外一個(gè)命題：

若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊請(qǐng)判斷此命題是—命

題.（填"真"或"假"）。⑶若尸。=2,HP=&BP=3,求MH的長(zhǎng).

例2.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、

天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了"婆羅摩笈多定理"，也稱"布拉美古塔定理定理

的內(nèi)容是："若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊

任務(wù)：（工）按圖（1）寫出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過程；

已知：求證：證明：

（2）如圖（2）,在。O中，弦于連接尸分別是/C3C上的點(diǎn)，EM工BD

于G,于〃，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫出四邊形ENFC是怎樣的特殊四邊形：.

圖⑴圖⑵

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023,浙江溫州??？既＃┰趲缀螌W(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，蘇

格蘭數(shù)學(xué)家羅伯特?西姆森（火。岳：岱儂?！ǎ┌l(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點(diǎn)向三邊（或其延長(zhǎng)線）所作垂線

的垂足共線，這三個(gè)垂足的連線后來被稱為著名的“西姆森線如圖，半徑為4的0。為“8C

的外接圓，C8過圓心。，那么過圓上一點(diǎn)尸作“8C三邊的垂線，垂足￡、尸、。所在直線即為西姆森線,

若ZFPB=ZC,EF=3,則——的值為（）

AB

2.（2023山東??？级＃┌⒒椎抡巯叶ɡ恚喝鐖D1,和8c是。。的兩條弦（即折線N3C是圓的一條

折弦），BOAB,M是弧/5C的中點(diǎn)，則從M向8c所作垂線的垂足。是折弦/3C的中點(diǎn)，即

CD=AB+&D.請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2,已知等邊“8C內(nèi)接于。。，AB=\Q,。為

。。上一點(diǎn)，ZABD=45°,AELBD^/^E,則ABDC的周長(zhǎng)是

M

圖1

3.（2023春?山東威海?九年級(jí)校聯(lián)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于

弦的直徑平分弦.阿基米德從中看出了玄機(jī)并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結(jié)論.

某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此進(jìn)行了探究，如圖1,/C和3c是。。的兩條弦（即折線段/CB是圓的一條折弦），

BC>AC,川是/C8的中點(diǎn)，過點(diǎn)胡作垂足為。，小明通過度量NC、CD、D3的長(zhǎng)度，發(fā)

現(xiàn)點(diǎn)。平分折弦/CB,即8。=/。+。.小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)8O=/C+8仍然成立，于是

三位同學(xué)都嘗試進(jìn)行了證明：

小軍采用了“截長(zhǎng)法"（如圖2）,在3。上液取3E,使得3E=ZC,……

小麗則采用了“補(bǔ)短法"（如圖3）,延長(zhǎng)8C至尸,使CF=4C,……

小明采用了“平行線法”（如圖4）,過M點(diǎn)作〃石過3C,交圓于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E尸15C,......

⑴請(qǐng)你任選一位同學(xué)的方法，并完成證明；

（2）如圖5,在網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,“8C內(nèi)接于OO（/、B、C均是格點(diǎn)），點(diǎn)A、。關(guān)于

5c對(duì)稱，連接8D并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接CE.

①請(qǐng)用無刻度的直尺作直線/,使得直線/平分ABCE的周長(zhǎng)；②求ASCE的周長(zhǎng).

4.（2023,浙江嘉興?九年級(jí)校聯(lián)考期中）阿基米德折弦定理：如圖1,和2C是OO的兩條弦（即折線Z8C

是圓的一條折弦），BC>AB,M是/5C的中點(diǎn)，則從初向所作垂線的垂足。是折弦28C的中點(diǎn)，即

CD=AB+BD.下面是運(yùn)用"截長(zhǎng)法"證明CD=AB+BD的部分證明過程.

證明：如圖2,在C8上截取CG=/8,連接俏沖食70c和MG.???〃■是48C的中點(diǎn)，：-M4=MC

任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

（2）填空：如圖（3）,已知等邊“3C內(nèi)接于OO,AB=2,。為OO上一點(diǎn)，NABD=45°,AE工BD與

點(diǎn)瓦則A8Z）C的周長(zhǎng)是.

圖⑴圖⑵圖⑶

5.（2023秋?山西陽泉?九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù):

阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes,公元前287?公元前212年，

古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、

高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

阿拉伯//-瓦n/M（973年?1050年）的譯文中保存了

阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)

//-瓦加就譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題

就是阿基米德的折弦定理.

阿基米德折弦定理：S

如圖1,48和2C是O。的兩條弦（即折線/5C是

固的一條折弦），BOAB,M是弧/8C的中點(diǎn)，

則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中

（圖1）

點(diǎn)，即=+

這個(gè)定理有根多證明方法，下面是運(yùn)用"垂線法"證

M

明CD=的部分證明過程.

證明：如圖2.作Affl?，射線A8,垂足為連接

MA,MB,MC.

???川是弧43C的中點(diǎn)，

（圖2）

.-.MA=MC....

任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分;

⑵填空：如圖3,已知等邊“8C內(nèi)接于。為NC上一點(diǎn)，N4BD=15°,CELBD于點(diǎn)E,48=2五，

則折弦/八8的長(zhǎng)是.

（圖3）

6.(2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)：

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)

算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹.他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理"，該

定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：

古拉美古塔定理：如圖1,四邊形/BCD內(nèi)接于對(duì)角線/C/5D,垂足為點(diǎn)直線垂

足為點(diǎn)￡,并且交直線40于點(diǎn)b，則/b=ED.

證明：,.?/C/2D,MELBC,ABMC=AAMD=AMEC=90°

■.ZCME+ZECM=90°,NCBD+NECM=90°.NCBD=NCME.

'；CD=CD，；"CBD=NCAD-(依據(jù))

又?；/CME=ZAMF,；.NAMF=NCAD.AF=FM.........

任務(wù)：(1)上述證明過程中的依據(jù)是;(2)將上述證明過程補(bǔ)充完整；

(3)古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形48CD內(nèi)接于。。，對(duì)角線4。180,垂足為點(diǎn)〃，直線

交BC于點(diǎn)、E,交4D于點(diǎn)F.若4F=FD,則五EL3c.請(qǐng)證明該命題.

7.（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四

邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊.

證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線ZC,3D互相垂直，垂足為點(diǎn)G,過點(diǎn)G的直線垂直于

AD,垂足為點(diǎn)E,與邊2c交于點(diǎn)F,由垂直關(guān)系得/EGD+/FGC=90°，/EGD+/EDG=90°，所以

NEDG=NFGC,由同弧所對(duì)的圓周角相等得N/O3=N/C3,所以NFGC=NFCG,則尸G=RT,同理,

FG=FB,故BF=FC；

【思考】命題"若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊“為

（填"真命題"，"假命題"）;

【探究】（1）如圖2,A4G3和ADGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，ZAGB=ZDGC=90°^過點(diǎn)G的直線

垂直于4D,垂足為點(diǎn)E,與邊BC交于點(diǎn)F.證明：點(diǎn)F是8c的中點(diǎn);

（2）如圖3,AAGB和NDGC為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形乙1GB=ZDGC=90。，點(diǎn)廠是8C的中點(diǎn)，連接尸G

交40于點(diǎn)￡,若G尸=2,求4D的長(zhǎng).

8.（2023?山西太原?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)

婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算

規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻(xiàn).他曾經(jīng)提出了“婆

羅摩笈多定理"，該定理也稱為“古拉美古塔定理該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：

古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，對(duì)角線垂足為直線MKL8C,垂

足為E,并且交直線4D于點(diǎn)尸，則

證明："ACLBD,MELBC.?.zCAffi'+zC=90°,zCSZ）+zC=90°

:.ACBD=ACME,ACME=AAMF:./.CAD=AAMF:.AF=MF...

任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分短缺的條件為：;

（2）請(qǐng)用符號(hào)語言將下面"布拉美古塔定理"的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正確性:

已知：如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于O。，對(duì)角線ZCLB。，垂足為尸為/。上一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)

E,①.求證：②.證明:

D

8.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考三模)探索應(yīng)用

材料一：如圖1,在A/BC中，AB=c,BC=a,乙8=6,用c和9表示2C邊上的高為,用a.c和

e表小AABC的面積為.

材料二：如圖2,已知乙。=乙巴求證：CF?BF=QF?PF.

圖4

材料三：蝴蝶定理(ButterflyTheorem)是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由

W.G.霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶.

定理：如圖3,〃為弦尸。的中點(diǎn)，過"作弦45和CD,連結(jié)/。和8C交P。分別于點(diǎn)￡和尸，則以石=

MF.

證明：設(shè)乙4=z_C=a,乙5=乙。=0,

(DMP=LCMQ=Y,￡AMP—Z.BMQ—p,PM=MQ=a,ME—x,MF—y

S^FCMAM*AE*sinaFM*CM?sinvED?MD?sin0MF?MB^m8

二L即------------?------------?------------?------------=1.1

S^EDMMC?CF?sinaEM^MD^myFB?BM?sin/3

MF2_CF-FB

化簡(jiǎn)得：MF??AE?ED=ME??CF?FB則有:

ME1~AE-ED

又?:CF?FB=QF?FP,AE?ED^PE?EQ,

MF2QF-FPMF2_(fl-y)(a+y)_a2-y222_2

即4=\一)；,從而x=y,ME=MF.

"ME2~PE?EQ'ME2~{a-x\a+x)~a2-x1xa-x

請(qǐng)運(yùn)用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問題：

如圖4,B、C為線段尸0上的兩點(diǎn)，且AP=C0,/為P0外一動(dòng)點(diǎn)，且滿足乙84P=4。。，判斷AR。的

形狀，并證明你的結(jié)論.

9.（2022?河南駐馬店,統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù):

西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延

長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.如圖1,已

知。2C內(nèi)接于OO,點(diǎn)P在。。上（不與點(diǎn)/、B、C重合），過點(diǎn)P分別作BC,NC的垂線，垂足分

別為AE,尸求證：點(diǎn)。，E,尸在同一條直線上

以下是他們的證明過程:

圖1圖2

如圖1,連接尸瓦PC,DE,EF,取尸C的中點(diǎn)。，連接。E,QF,

則尸0=CQ=gpC=EQ=FQ（依據(jù)1）,

：.E,F,P,C四點(diǎn)共圓./CP+NFEP=180。（依據(jù)2）.

又???ZACP+ZABP=180°,NFEP=NABP.

???ZBDP=ZBEP=90°,.-.B,D,P,E四點(diǎn)共圓..?./。3尸=/?！晔ㄒ罁?jù)3）.

■■ZABP+ZDBP=U0°,:.NFEP+NDEP=18。。（依據(jù)4）.

:.點(diǎn)D,E,尸在同一條直線上.

任務(wù)：⑴填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及;②依據(jù)2指的是:

③依據(jù)3指的是；④依據(jù)4指的是.

（2）善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)尸是8C的中點(diǎn)時(shí)，8。=CF.請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性.

10.（2022?河南安陽?統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延

長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知“3C內(nèi)接于。O,點(diǎn)尸在。。上（不與點(diǎn)B,C重合），過點(diǎn)尸分別作BC,AC

的垂線，垂足分別為?點(diǎn)。，E,尸求證：點(diǎn)。，E,尸在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

圖⑴

如圖（1）,連接P8,PC,DE,EF,取PC的中點(diǎn)。，連接。E,QF,則E。==；尸。=尸。=CQ,

（依據(jù)工）

.?點(diǎn)E,F,P,C四點(diǎn)共圓，.?./尸CP+NFE尸=180。.（依據(jù)2）

又；ZACP+NABP=180°,ZFEP=NABP.

同上可得點(diǎn)2,D,P,E四點(diǎn)共圓，......

任務(wù)：（1）填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及;②依據(jù)2指的是.

（2）請(qǐng)將證明過程補(bǔ)充完整.⑶善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)尸是8c的中點(diǎn)時(shí)，BD=CF,請(qǐng)你利用圖（2）證

明該結(jié)論的正確性.

D

圖⑵

11.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）閱讀與思考；

婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界

數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國(guó)九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是

領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及證明如下：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接與

圓。對(duì)角線AC1BD于點(diǎn)M,ME1BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)EM交CD于F,求證：MF=DF

證明TAUIBD,MEIBC.-.ZCBD=Z.CME

?-?ZCBD=ZCAD,Z.CME=ZAMF.-.ZCAD=ZAMF.-.AF=MF

?■?ZAMD=9O°,同時(shí)NMAD+NMDA=90°.-.ZFMD=ZFDM

.'.MF=DF,即F是AD中點(diǎn).

（1）請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成婆羅摩笈多逆定■■理的證明：

已知：如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接與圓O,對(duì)角線AQBD于點(diǎn)M,F是AD中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)

E,求證:ME1BC

（2）已知如圖2,AABC內(nèi)接于圓O,Z.B=302ACB=45。，AB=2,點(diǎn)D在圓。上，ZBCD=6O°,連接AD交BC

于點(diǎn)P,作0N_LCD于點(diǎn)N,延長(zhǎng)NP交AB于點(diǎn)M,求證PM_LBA并求PN的長(zhǎng).

12.（2023?北京昌平?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和。。，的半徑為4,

交x軸于點(diǎn)4B,對(duì)于點(diǎn)尸給出如下定義：過點(diǎn)C的直線與。O交于點(diǎn)N,點(diǎn)尸為線段ACV的中點(diǎn),

我們把這樣的點(diǎn)P叫做關(guān)于MN的"折弦點(diǎn)".

⑴若C（-2,0）,①點(diǎn)片（0,0）,^（-1,1）,6（2,2）中是關(guān)于〃N的"折弦點(diǎn)”的是；

②若直線了=h+6（左#0）上只存在一個(gè)關(guān)于的"折弦點(diǎn)"，求上的值；

⑵點(diǎn)C在線段28上，直線y=x+6上存在關(guān)于"N的"折弦點(diǎn)"，直接寫出6的取值范圍.

13.（2023?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中所示和3c組成圓的折弦,4B>8C,D是N3C的中點(diǎn)，。及L/3

垂足為E.連結(jié)/〃，AC,BD.（1）寫出所有與乙DA4相等的角（不添加任何線段）.

（2）判斷/E,BE,2c之間的數(shù)量關(guān)系并證明.（3）如圖，已知4D=7,BD=3,求4BBC的值.

14.(2023.浙江九年級(jí)期中)小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在。。中，C是劣弧48的中點(diǎn)，直線

于點(diǎn)￡,則/E=請(qǐng)證明此結(jié)論；

(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,可組成0。的一

條折弦.C是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)￡,則/E=PE+P8.可以通過延長(zhǎng)。8、/尸相交于點(diǎn)

F,再連接4。證明結(jié)論成立.請(qǐng)寫出證明過程；

(3)如圖3,PA.必組成0。的一條折弦，若C是優(yōu)弧48的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)￡,則NE,PE

與尸8之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明.

15.(2023.重慶九年級(jí)期中)先閱讀命題及證明思路，再解答下列問題.

命題：如圖1,在正方形中，已知：ZEAF=45°,角的兩邊/E、/尸分別與8C、相交于點(diǎn)￡、

F,連接EV.求證：EF=BE+DF.

證明思路：如圖2,將AA8E繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A4DEL-/AB=AD,ABAD=90°,;.4B與4D重

合.ZADC=ZB=90°,ZFDE'=180°,點(diǎn)、F、D、E是一條直線.

根據(jù)"S,得證AAEF=A4FE',得EF=E'F=E'D+DF=BE+DF.

圖1圖2圖3

（1）特例應(yīng)用：如圖1,命題中，如果8E=2,DF=3,求正方形48cD的邊長(zhǎng).

（2）類比變式：如圖3,在正方形48c。中，已知/￡/尸=45。，角的兩邊/E、/尸分別與BC、CD的延

長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F,連接EF.寫出防、BE、。廠之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

（3）拓展深入：如圖4,在。。中，AB、4。是。。的弦，SLAB=AD,M、N是。。上的兩點(diǎn),

AMAN=-ABAD.①如圖5,連接跖V、MD,求證：MH=BM+DH,DMVAN-,

2

②若點(diǎn)C在（點(diǎn)C不與點(diǎn)”、D、N、M重合）上，連接C8、CD分別交線段AM、/N或其延

16.（2023?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期中）【了解概念】

我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形.如圖1,線段MQ、0N組成

折線段MQN.若點(diǎn)尸在折線段上，MP=PQ+QN,則稱點(diǎn)尸是折線段的中點(diǎn).

【理解應(yīng)用】（1）如圖2,。。的半徑為2,尸/是。。的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)3是折線段PQ4的中點(diǎn).若

ZAPO=30°,則尸8=；

【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3,和2C是。。的兩條弦（即折線段/3C是圓的一條折弦），

BC>AB,點(diǎn)M是age的中點(diǎn)，從〃向5c作垂線，垂足為。，求證：。是折弦A8C的中點(diǎn);

【變式探究】(3)如圖4,若點(diǎn)M是/C的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則⑺、DB、氏4之間

存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

【靈活應(yīng)用】(4)如圖5,2C是OO的直徑,點(diǎn)A為。。上一定點(diǎn)，點(diǎn)。為上一動(dòng)點(diǎn),且滿足/D4B=45°，

若48=8,3c=10,則/￡>=

圖3圖4圖5

17.（2023?福建泉州?九年級(jí)?？计谥校┎牧希喝鐖D1,和2c是。。的兩條弦（即折線Z8C是圓的一條

折弦），BC>AB,M是Z5C的中點(diǎn)，則從初向2。所作垂線的垂足。是折弦Z3C的中點(diǎn)，即

CD=AB+BD.下面是運(yùn)用"截長(zhǎng)法"證明CD=AB+BD的部分證明過程.

圖4

證明：如圖2,在C8上截取CG=/3,連接和MG,是45。的中點(diǎn)，.?.M4=MC,……

⑴請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）如圖3,已知“8C內(nèi)接于。QBC>/8>/C,D

是/法的中點(diǎn)，依據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為；

（3）如圖4,已知等腰。3C內(nèi)接于。O,/3=/C,。為力3上一點(diǎn)，連接。B,44CD=45°,4ELCD于點(diǎn)瓦

△BCD的周長(zhǎng)為40+2,BC=2，請(qǐng)求出NC的長(zhǎng).

18.（2023?山西?九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家物理學(xué)家，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.他的著作《阿

基米德全集》的《引理集》中記述了有關(guān)圓的15個(gè)引理，其中第三個(gè)引理是：如圖1,N5是O。的弦，點(diǎn)

尸在。。上，尸CJ_/8于點(diǎn)C,點(diǎn)。在弦48上且NC=C。，在心上取一點(diǎn)。，使尸0=打，連接80,

貝I]80=BD.小明思考后，給出如下證明：如圖2,連接4P、PD、PQ、BP-

???AC=CD,PCLAB■-PA=PD（依據(jù)1）ZPAD=ZPDA

■-PQ=PAAQBP=ZABP（依據(jù)2）...

任務(wù)：⑴寫出小明證明過程中的依據(jù)：依據(jù)1：依據(jù)2：

⑵請(qǐng)你將小明的證明過程補(bǔ)充完整；（3）小亮想到了不同的證明方法：如圖3,連接/P、PD、PQ、.請(qǐng)

你按照小亮的證明思路，寫出證明過程；⑷結(jié)論應(yīng)用：如圖4,將材料中的“弦改為"直徑48”,作直線

/與相切于點(diǎn)。，過點(diǎn)3作于點(diǎn)M,其余條件不變，若=4,且。是0/的中點(diǎn)，則加=.

因中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆羅摩笈多（定理）模型

圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模

型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。

一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。

如圖1所示，48和BC是。。的兩條弦（即42C是圓的一條折弦），BOAB,M是4BC的中點(diǎn)，則從M向

8C所作垂線之垂足。是折弦4BC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD.

常見證明的方法:

1）補(bǔ)短法：如圖2,如圖，延長(zhǎng)。2至尸，使AF=A4；

2）截長(zhǎng)法：如圖3,在CD上截取DG=DB；

3）垂線法：如圖4,作射線48,垂足為〃。

例1.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦.阿基米德折弦

定理：如圖1,AB和BC組成圓的折弦，AB>BC,M是弧ABC的中點(diǎn)，MF1AB于F,則AF=FB+BC.

如圖2,AABC中，NABC=60。，AB=8,BC=6,D是AB上一點(diǎn)，BD=1,作DE1AB交AABC的外接圓于E,

連接EA,則4EAC=°.

S1圖2

【答案】600.

【分析】連接OA、OC、OE,由已知條件，根據(jù)阿基米德折弦定理，可得到點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即/石=。后,

進(jìn)而推得NAOE=NCOE,已知NABC=60°,貝!UAOC=2NABC=2X60°=120°,可知NAOE=NCOE=120°,故NCAE

=2zCOE=60°.

【詳解】解：如圖2,連接OA、OC、OE,

?；AB=8,BC=6,BD=1,；.AD=7,BD+BC=7,；.AD=BD+BC,而EDIAB,

???點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即/E=CE,.?.NAOE=NCOE,

???ZAOC=2ZABC=2x60o=120o,.-?ZA0E=ZC0E=120o,

【點(diǎn)睛】本題是新定義型題，考查了圓周角定理及推論，解本題的關(guān)鍵是掌握題中給出的關(guān)于阿基米德折

弦定理的內(nèi)容并進(jìn)行應(yīng)用.

例2.（2023?浙江溫州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿

基米德折弦定理.如圖2,已知2c為。。的直徑，4B為一條弦（BOAB）,點(diǎn)M是/臺(tái)。上的點(diǎn)，MD1BC

于點(diǎn)。，延長(zhǎng)交弦于點(diǎn)瓦連接的/若BM=&,48=4,則4E的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)ME,設(shè)交圓于點(diǎn)F,連接BF、AF,可得BF=BM,NBMF=NBFM=NFAB,從而可得ABFAsABEF,

利用相似三角形的性質(zhì)列式可求BE的長(zhǎng)度，從而可求得AE的長(zhǎng)度.

【詳解】解：延長(zhǎng)ME,設(shè)交圓于點(diǎn)F,連接BF、AF,如圖，

???BC為的直徑，MD_LBC于點(diǎn)D,，.MB=FB=",ZBMF=ZBFM

又NBMF=NFAB；ZBFM=NFAB.?.NBFE=NFAB

BF_BEBE335

?-?ZEBF=ZFBA.-.ABFA^ABEF.-.AB3尸即4逐,-.BE=2,-.AE=4-2=2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確做出輔助線，得出三角形相似.

例3.（2023上?河南周口?九年級(jí)?？计谀﹩栴}呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,和3C是。。的兩條

弦（即折線N8C是弦。。的一條折弦），BC>AB,M是弧43C的中點(diǎn)，則從M向2c所作垂線的垂足。

是折弦/2C的中點(diǎn)，即+下面是運(yùn)用"截長(zhǎng)法"證明CD=AB+AD的部分證明過程?

證明：如圖2,在C8上截取CG=/3,連接M4,MB,九Q和MG.

是弧43C的中點(diǎn)，

：.MA=MC,

t

AA~L

圖1圖2圖3圖4

⑴請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

⑵實(shí)踐應(yīng)用：如圖3,"8C內(nèi)接于。（9,BC>AB>AC,。是弧NC3的中點(diǎn)，DELBC于點(diǎn)、E,依據(jù)阿

基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為.

⑶如圖4,等腰”8C內(nèi)接于。。，AB=AC,。為弧48上一點(diǎn)，連接D3,4CD=45。，AC=6,BC=4,

求ABOC的周長(zhǎng).

【答案】⑴見解析；（2）8E=CE+/C；⑶6立+4

【分析】（1）首先證明△Affl//"WGC（SAS）,進(jìn)而得出八力=板，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出8。=GD,

即可證明結(jié)論；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理，即可證明結(jié)論；

（3）過點(diǎn)A作/E，CD,根據(jù)阿基米德折弦定理，勾股定理求得CE,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖2,在C8上截取CG=4B,連接M4,MB,MC和MG.

A

圖2

是4BC的中點(diǎn)，:.MA=MC_

BA=GC

<NA=NC

在和NMGC中［MA=MC,

:.AMBA名AMGC（SAS）-MB=MG

又：MD工BC,BD=GD,DC=GC+GD=AB+BD_

（2）解：根據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為BE=B+/C

故答案為：BE=CE+AC.

（3）解：如圖所示，過點(diǎn)A作/E'CD,

圖4

由阿基米德折弦定理得：CE=BD+DE,

CE=—AC=3y[2

...NACD=45。...ZEAC=45°...2

...△8。。的周長(zhǎng)為5。+助+。。=5。+助+。￡'+￡'。=3。+2￡。=4+6公

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解“截長(zhǎng)法”

是解答本題的關(guān)鍵.

例4.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,28和8C是。。的兩條弦（即

折線43C是圓的一條折弦），M是N5C的中點(diǎn)，則從M向8C所作垂線的垂足。是折弦48c的

中點(diǎn)，即8=+下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=/3+5。的部分證明過程.

（1）證明：如圖2,在C2上截取CG=48,連接M4,MB,MC和MG.

是/Be的中點(diǎn)，

：.MA=MC...

請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3,已知O5C內(nèi)接于。。，BC>AB>AC,。是/C3的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定

理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為.

（3）如圖4,已知等腰“8C內(nèi)接于。（9,AB=AC,D為AB上一點(diǎn)、,連接DB,乙4CD=45。,/ELCD于

點(diǎn)及ABDC的周長(zhǎng)為40+2，BC=2,請(qǐng)求出/C的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=CE+AC.（3）4

【分析】（1）首先證明△初3,/AMGC（SAS）,進(jìn)而得出兒必=MG,再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD,

即可得出答案；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理得出結(jié)論；

（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得出°￡=。石，進(jìn)而求出CE,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖2,在C8上截取CG=/8,連接"4MB,MC和MG.

圖2

rM是4BC的中點(diǎn)，.?.M4="C.

BA=GC

<NA=NC

在和VMGC中，［M4="C,

...AA?/9AMGC(SAS),.MB=MG,

處.MDLBC,...BD=GD,...DC=GC+GD=AB+BD；

(2)根據(jù)阿基米德折弦定理得，BE=CE+AC,答案為：BE=CE+AC;

(3)根據(jù)阿基米德折弦定理得，CE=BD+DE,

...△BCD的周長(zhǎng)為40+2,.-,BD+CD+BC^4yf2+2,

BD+DE+CE+BC=2CE+BC=+2,

-：BC=1,,-.CE=2^2,在RM/CE中，NACD=45。，...AC=^CE=4.

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解和應(yīng)用阿基米

德折弦定理解題關(guān)鍵.

例5.(2023?河南商丘?統(tǒng)考二模)閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古

希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的.其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周

上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦.一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的

折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn).

如圖1,48和2C是。。的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，8cM是弧Z8C的中點(diǎn)，則從M向8c

所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=.

小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法"，如圖2：在線段C2上從C點(diǎn)截取一段線段CN=AB,連接.

小麗認(rèn)為可以利用“垂線法"，如圖3：過點(diǎn)M作回耳，/8于點(diǎn)區(qū)連接7k砥7k必gC

任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，

(2)就圖3證明：MC2-MB2=BC-AB.

【答案】⑴見解析⑵見解析

【分析】(1)首先證明△加絲AMVC(SAS),進(jìn)而可得力必=MN,即可得到解答；

(2)由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,整理等式即可得到結(jié)論.

【詳解】(工)證明：如圖2,在CB上截取CN=/8c,連接加&MB、MC、MN,

?.?M是Z5C的中點(diǎn)，...=

BA=NC

<ZA=ZC,

在△A?/和中，\MA=MC：.4MBAAMNCEAS),；.MB=MN

,.MD±BC,...BD=ND.,CD=NC+ND=AB+BD.

(2)證明：在中，AM2=AH2+MH2,

在RtZXBHM中，BM2=BH2+MH2,由(1)可知，AC=AM,BH=BD,AH=CD,

MC1-MB2=AM2-MB2=AH2+HM-BH2-HM2=AH2-BH1

=(AH+BH)\AH-BH)=(CD+BD)\AH-BH)=BC.AB

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

模型2.婆羅摩笈多(定理)模型

【模型解讀】婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家。

婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延

長(zhǎng)線必經(jīng)過這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)。

如圖1,4BCD為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線NC和3。垂直相交，交點(diǎn)、為E,過點(diǎn)E作的垂線即，延長(zhǎng)山

與40交于點(diǎn)G；則點(diǎn)G是/。的中點(diǎn)。

如圖2,所示已知等腰必A4BC和等腰放△4ED,作交4G的延長(zhǎng)線于點(diǎn)以，⑴