中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形》專項(xiàng)檢測卷含答案

學(xué)校:班級：姓名：考號：

一.解答題(共30小題)

1.如圖，在矩形ABC。中，AB=4cm,8c=9cm點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動，

同時點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向點(diǎn)C以2cMs的速度移動.若其中有一個動點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)，則兩個

動點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts.

(1)填空：AP=cm,BQ=cm；(用含f的代數(shù)式表示)

(2)求當(dāng)/為何值時，PQ=4cm2

(3)在動點(diǎn)P,Q運(yùn)動過程中，是否存在某個時刻使五邊形APQCD的面積為矩形面積的|?若存在,

請求出此時/的值；若不存在，請說明理由.

A

I

V

P

B—?QC

2.如圖①，矩形48CD與RtZkEFG疊放在一起(點(diǎn)。，C分別與點(diǎn)G,P重合，點(diǎn)E落在對角線8。上)，

已知AB=15C7",AD=20cm,/GEF=90°.如圖②，/XEEG從圖①的位置出發(fā)，沿。8方向勻速運(yùn)

動，速度為lcm/s；動點(diǎn)P同時從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；設(shè)它們的運(yùn)動時間

為t(s)(0<?<10),連接PE.解答下列問題：

(2)當(dāng)/為何值時，點(diǎn)。在線段PE的垂直平分線上？

7

(3)是否存在某一時刻3使得△OPE的面積是矩形A8CD面積的??？若存在，求出，的值；若不存

50

在，請說明理由；

(4)如圖③，點(diǎn)八是點(diǎn)尸關(guān)于8。的對稱點(diǎn)，連接為尸，GP,當(dāng)f為何值時，F(xiàn)1P+PG的值最??？

3.【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1所示，將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊/飲馬，再去河岸同側(cè)的軍營2開會，為了方便,

將軍給自己制定了方案，找到了飲馬的最佳位置，如圖2,作8關(guān)于直線的對稱點(diǎn)玄，連接A8'與

直線交于C,點(diǎn)C就是所求位置.

:.CB=CB'.

：.AC+CB^AC+CB'.

根據(jù)“”可得AC+C8的最小值是A3,.

【問題探究】(2)如圖3,在正方形A8C。中，AB=8,E是A8邊上的一點(diǎn)，且AE=2,尸是8。上的

一個動點(diǎn)，求跖周長的最小值.

【問題解決】(3)如圖4、在長方形ABCZ)中，48=120,40=220,P是邊上一點(diǎn)，且CP=100,

點(diǎn)E是線段CD上的任一點(diǎn)，連接EP,以EP為直角邊在BC上方作等腰直角三角形EPF,FE為斜邊.連

接AP,AP邊上存在一個點(diǎn)M,且4M=40VL連接PM,的周長是否存在最小值？若存在，

請求出周長最小值；若不存在，請說明理由.

4.綜合與探究

如圖，在長方形ABCD中，ZDAB=ZB=ZC=ZD=9Q°,AB=DC=12cm,AD=BC=16cm,點(diǎn)、E

在線段8C上以2czn/s的速度由點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)/在線段。上由點(diǎn)C向點(diǎn)。運(yùn)動，它們運(yùn)

動的時間為/(s).

(1)EC=cm(用含f的代數(shù)式表示)；

(2)若點(diǎn)/的運(yùn)動速度與點(diǎn)E的運(yùn)動速度相同，當(dāng)f=2時，判斷線段AE和跖的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系，并說明理由；

(3)若點(diǎn)F的運(yùn)動速度為vcm/s,是否存在v的值，使得AABE與AECF全等?若存在直接寫出v的

值；若不存在，請說明理由.

AD

B---------C

5.(1)如圖1,點(diǎn)E為矩形A8CD內(nèi)一點(diǎn)，請過點(diǎn)E作一條直線/,將矩形A3C。的面積分為相等的兩部

分；

(2)如圖2,在平行四邊形ABCD中，AB=6,AD=4,ZA=60°,E為邊。。上一點(diǎn)，且Z)E=1,

請問在邊AB上是否存在一點(diǎn)F,使得直線EF將平行四邊形ABCD的面積分為相等的兩部分，如果存

在，求出線段所的長；如果不存在，請說明理由；

(3)如圖3,現(xiàn)有一塊平行四邊形空地ABC。，AB=60米，8C=80米，ZB=60°,尸為對角線AC

上一點(diǎn)，且PC=3fi4,計(jì)劃過點(diǎn)P修一條小路ER使得區(qū)P分別在線段A。、上，小路所的右

側(cè)區(qū)域種植花卉.如圖，△CEF的區(qū)域種郁金香，尸C與△OEC的區(qū)域種紫羅蘭，已知郁金香的費(fèi)

用為每平方米200元,紫羅蘭的費(fèi)用為每平方米100元，請問種植費(fèi)用最少是多少元？(結(jié)果保留根號)

6.如圖1,四邊形A8CD是矩形，AB=6,AD=8,動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以每秒2個單位長度

勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)P停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，秒.

(1)尺規(guī)作圖：沿過點(diǎn)尸的直線將矩形ABC。折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，在圖1中作出該折痕；

(2)在(1)的條件下，該折痕分別與ADBC相交于點(diǎn)E,尸點(diǎn)，連接AB,CE,求四邊形AEC「的

周長；

(3)過點(diǎn)尸作AC的垂線，是否存在某一時間t,使得該直線被矩形的邊所截得的線段長為5,若存在，

求r的值，若不存在，說明理由.

BCB

圖1備用圖

7.如圖(1),正方形ABC。和正方形A￡FG,邊AE在邊A8上，A8=12,AE=6近,將正方形AEEG

繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°WaW45°).

(1)如圖(2),正方形AEPG旋轉(zhuǎn)到此位置，求證：BE=DG；

(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)/8￡4=120。時，試求BE的長；

(3)8E的延長線交直線。G于點(diǎn)P,在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某時刻BF=BC?若存在，試求出OP

的長；若不存在，請說明理由.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，平行四邊形ABC。的頂點(diǎn)8、C在x軸上，A在y軸上，

=OC=2O8=4,直線>=尤+/(-2Wf<4)分別與x軸、y軸、線段A。、射線A8交于點(diǎn)E、F、P、Q.

(1)當(dāng)r=l時，求證：AP=DP.

(2)探究線段4P與尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)在無軸上是否存在點(diǎn)使得NPMQ=90°,且以點(diǎn)M、P、。為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？

90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延長。C交E尸于點(diǎn)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動，

速度為2cMs；同時，點(diǎn)。從點(diǎn)M出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為lan/s.過點(diǎn)尸作于點(diǎn)

H,交CD于點(diǎn)、G.設(shè)運(yùn)動時間為f(s)(0<r<5).

解答下列問題：

(1)①判斷：直線AC與EF的位置關(guān)系是；

②當(dāng)點(diǎn)M在線段C。的垂直平分線上時，求r的值；

(2)連接P。，作0NLA尸于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形尸QW?為矩形時，求r的值；

(3)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t,使點(diǎn)P在NAFE的平分線上？若存在，求出t的值;

若不存在，請說明理由；

(4)連接。C,QH,設(shè)四邊形QCG反的面積為S(CH?),直接寫出運(yùn)動過程中S的最大值.

10.如圖①，在長方形ABCD中，己知AB=13,A￡>=5,動點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿

線段。C向終點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動時間為/秒，連接AP,把△AOP沿著AP翻折得到(注：長方形

的對邊平行且相等，四個角都是直角)

(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過點(diǎn)8,求出此時/的值;

(2)當(dāng)射線與邊A8交于點(diǎn)尸時，是否存在這樣的/的值，使得FE=PB?若存在，請求出所有符

合題意的f的值；若不存在，請說明理由;

(3)在動點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)C的整個運(yùn)動過程中，若點(diǎn)E到直線AB的距離等于3,則此時t

11.如圖1,正方形ABC。和正方形AE/G,A,E,3三點(diǎn)共線，AD=4,AG=2版將正方形AEFG繞

點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a(0°WaW45°),連接BE,DG.

(1)如圖2,求證：BE=DG；

(2)如圖3,在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)。，G,E三點(diǎn)共線時，試求。G的長；

(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某時刻，使得NQGA=120°,若存在，請直接寫出DG的長；若不存

圖3

12.問題提出：

(1)如圖1,ABLBC,CD1BC,AB=2,BC=1,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn).當(dāng)/&￡。=90°且8￡=3

CD=.

問題探究：

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AD//BC,AB=CD,過點(diǎn)A作C。交于點(diǎn)E.將△ABE沿

AE折疊，此時點(diǎn)8恰好落在邊上的點(diǎn)尸處，若C￡)=2BE=10,求。尸的長.

問題解決：

(3)如圖3,已知在矩形A8CD中，AB=16,BC=12,尸是對角線AC上一動點(diǎn)，。是邊上一動

點(diǎn)，且s譏乙DPQ=(,當(dāng)P在AC上運(yùn)動時，四邊形ABC。的面積是否存在最大值，若存在，求出四邊

形A2CQ面積的最大值與此時AP的長度，若不存在，請說明理由.

13.如圖，在AABC中，AC=4,BC=3,AB=5,動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以每秒2個單位長度的速

度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動同時，動點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā),沿C3以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動，

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、C重合時，連結(jié)尸。.作線段尸。的垂直

平分線交折線AC-CB于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)R交P。于點(diǎn)G,連結(jié)CG.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為t(秒).

(1)是否存在t的值使四邊形APQB的面積為4,若存在求出此值；若不存在請說明理由；

(2)當(dāng)APEG是等腰三角形時，求f的值；

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OAOC為正方形，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,6),動點(diǎn)E沿邊0A從。向

A以每秒1\,cm的速度運(yùn)動至A,同時動點(diǎn)尸沿邊C。從C向。以同樣的速度運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)停

止時，另一個也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f秒，連接ARDE交于點(diǎn)G.

圖①圖②備用圖

(1)如圖①，線段AF和。E有什么數(shù)量關(guān)系；有什么位置關(guān)系；

(2)當(dāng)/=秒時線段所最小，最小值為；

(3)如圖②，E為AO中點(diǎn)，除了點(diǎn)E,坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使SAACP=〃ACE,若存在，直接寫

出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)如圖②，E為A。中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線EC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)四邊形0cMN為菱

形時，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

15.如圖，在矩形ABCD中，AB=4c〃z,BC=8CMI.點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到A即停止點(diǎn)；

同時，點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、。的速度都是1c優(yōu)/s.連接P。、AQ,

CP.設(shè)點(diǎn)尸、0運(yùn)動的時間為fs.

(1)當(dāng)/=時，四邊形A8QP是矩形；

(2)當(dāng)/=時，四邊形AQCP是菱形；

(3)是否存在某一時刻r使得PQLPC,如果存在，請求出f的值，如果不存在，請說明理由；

(4)在運(yùn)動過程中，沿著AQ把△A3。翻折，當(dāng)/為何值時，翻折后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B1恰好落在PQ

邊上.

16.綜合與實(shí)踐課上，李老師讓同學(xué)們以“旋轉(zhuǎn)”為主題展開探究.

【問題情境】

如圖①，在矩形ABC。中，AB=3,AD=4.將邊AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)(0°<0<180°)得到線段

AE,過點(diǎn)E作EFLAE交直線BC與點(diǎn)F.

【猜想證明】

(1)當(dāng)。=90°時，四邊形ABEE的形狀為；(直接寫出答案)

(2)如圖②，當(dāng)9=45°時，連接DE,求此時△ADE的面積；

【能力提升】

(3)在【問題情境】的條件下，是否存在&使點(diǎn)RE,。三點(diǎn)共線？若存在，請直接寫出此時

的長度；若不存在，請說明理由.

17.如圖，在矩形ABC￡?中，AB^15cm,AD=5cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊A8以3aMs的速度向點(diǎn)B

運(yùn)動，同時動點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊。以2cro/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(點(diǎn)尸停止運(yùn)動時點(diǎn)。也停止運(yùn)

動).設(shè)運(yùn)動時間為fs,連接8Q,PQ.

(1)當(dāng)/為何值時，線段PQ的長度為13c機(jī)？

(2)當(dāng)t為何值時，△BPQ為等腰三角形？

(3)在運(yùn)動過程中，是否存在一個時刻使得/PQB=90°?若存在，求出t的值；若不存在，請說明

理由.

18.已知：如圖，在等腰△ABC中，AB=5cm,BC=6cm,動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)以law/s的速度沿AB勻速

運(yùn)動，動點(diǎn)。同時從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)尸、

。同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0</<5).過點(diǎn)P作PE〃8C交AC于點(diǎn)E,以CQ、CE為邊作

平行四邊形CQFE.

(1)當(dāng),為何值時，△8P。為直角三角形；

(2)設(shè)四邊形8尸尸。的面積為y(cm2),求y與t的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻3使S四邊形BPFQ：S&ABC=7：6?若存在，求出，的值；若不

存在，請說明理由；

(4)是否存在某一時刻f,使點(diǎn)廠在NA3C的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由.

19.如圖，長方形A8CD和長方形Q￡FG共同組成一個六邊形A8CEFG,其中AB=6,8C=8,AG=12,

點(diǎn)E是C。的中點(diǎn).點(diǎn)P以每秒2個單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿Afg-C-E-BfG方向運(yùn)動，到達(dá)

G點(diǎn)后停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為f秒(f〉0).

A

備用圖

(1)求六邊形ABCEFG的周長和面積;

(2)在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中,

①是否存在點(diǎn)P，使得直線AP剛好平分六邊形ABCEFG的周長？如果存在，試求出f的值；如果不存

在，試說明理由;

②是否存在點(diǎn)P,使得直線A尸剛好平分六邊形A8CEFG的面積？如果存在，試求出f的值；如果不存

在，試說明理由；

(3)設(shè)△ADP的面積為S,試用含f的代數(shù)式表示S.(直接寫出結(jié)果)

20.如圖，在矩形A8C。中，AB=3V3,ZCAB=30°,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒V5個單位長度的速度

沿AB方向運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿對角線CA方向運(yùn)動.已知P,。兩

點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時，P,Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，連結(jié)￡足設(shè)運(yùn)動時間為r秒.

(1)BC=,AC=.

(2)當(dāng)f為何值時，△APQ的面積為國.

(3)是否存在某一時刻力使△APQ是以為底邊的等腰三角形？如果存在，求出f值，如果不存在，

請說明理由.

21.如圖，在團(tuán)ABCZ)中，AB^Scm,BC=16cm,ZB=30°.點(diǎn)尸在BC上由點(diǎn)2向點(diǎn)C出發(fā)，速度為

每秒2cm；點(diǎn)。在邊上，同時由點(diǎn)。向點(diǎn)A運(yùn)動，速度為每秒Ie：".當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)P,

。同時停止運(yùn)動.連接產(chǎn)。，設(shè)運(yùn)動時間為/秒.

(1)當(dāng)/為何值時，四邊形A8PQ為平行四邊形？

(2)當(dāng)r為何值時，四邊形A2PQ的面積是四邊形ABCD的面積的四分之三？求出此時的度數(shù).

(3)連接AP,是否存在某一時刻力使AABP為等腰三角形？若存在，請求出此刻f的值；若不存在，

請說明理由.

22.如圖，在長方形ABC。中，AB=QC=12厘米，AO=8C=9厘米.動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以2厘米/秒

的速度沿A-B運(yùn)動；同時點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以4厘米/秒的速度沿C-B-A運(yùn)動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，

另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為r秒Ct>0).

(1)用含r的代數(shù)式表示線段2。的長；

(2)求/為何值時，△AOP與△80。的面積相等；

(3)求r為何值時，△PBC與△Q4。全等；

(4)是否存在"直，使DP=PQ,且。尸，尸。？若存在，直接寫出f的值，若不存在，請說明理由.

A

D

23.如圖，在四邊形A8C。中，AD//BC,ZB=90°,AB=4cm,AD=9cm,BC=12cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出

發(fā)，以lcm/s的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cmis的速度沿BC向點(diǎn)8運(yùn)動.規(guī)

定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)P、。運(yùn)動時間為f秒，回答下列問題:

(1)求/為何值時，四邊形PQ2A是矩形？

(2)求/為何值時，PQ=CD?

(3)是否存在f的值，使得△QQP是以。P為腰的等腰三角形？若存在，請求出，的值；若不存在，

請說明理由.

24.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ZB=90°,AD=3cm,AB=4cm,BC=6cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，以每秒1c相的速度沿A-B-C勻速運(yùn)動，點(diǎn)P運(yùn)動的時間為/(s)(OWfWIO),請解答以下問

題：

(1)求邊QC的長；(輔助線提示：過。點(diǎn)作BC邊的垂線)

(2)是否存在某一時刻K使線段。尸把四邊形A8CD分成面積相等的兩部分？如果存在，請求出，的

值；如果不存在，請說明理由；

(3)是否存在某一時刻3使△。尸C恰好是直角三角形？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說

25.如圖，在菱形0ABe中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),ZCOA=60°.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),

沿著射線AO以每秒3個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著射線CB以每秒1個單位長度

的速度運(yùn)動.點(diǎn)尸，。同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為f(f>0)秒.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo).

(2)當(dāng)/=1時，求△PO。的面積.

(3)試探究在點(diǎn)P,。運(yùn)動的過程中，是否存在某一時刻，使得以C,。，P,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形？若存在，請求出此時r的值與點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

26.如圖，在矩形ABCD中，4B=6cm,AD=8cm,直線EF從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向勻速運(yùn)動，速度是2cm/s,

運(yùn)動過程中始終保持E尸〃AC,EF交AD于E,交。C于點(diǎn)孔同時，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿C8方向勻速

運(yùn)動，速度是連接PE、PF,設(shè)運(yùn)動時間r(s)(0</W4).

(1)用含/的代數(shù)式表示以下線段AE=,CF=；

(2)求/為何值時，四邊形EPC。為矩形；

(3)在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻使SMC尸：S矩形ABCD=L16?若存在，求出t的值；

(4)是否存在某一時刻使EP平分NEFC?若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.

27.如圖，將矩形0ABe放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，0A=4,0c=8.把

矩形04BC沿對角線0B所在直線翻折，點(diǎn)C落到點(diǎn)。處，0D交AB于點(diǎn)E.

(1)求AE的長.

(2)求D點(diǎn)坐標(biāo).

(3)點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，直線上是否存在一點(diǎn)N,使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形？若存在，請求出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

y

（1）如圖1,在回ABC。中，己知AB=2,ZABC^6Q°,/ABC的平分線交A￡）于點(diǎn)G,求BG的長；

問題解決

（2）某科技公司現(xiàn)有一塊形如四邊形ABC。的研發(fā)基地，如圖2,已知AB=8=200米，BC=AD=

400米，ZABC=60°,NA3C的平分線交于點(diǎn)G.為了響應(yīng)國家“科教興國”戰(zhàn)略，現(xiàn)需要擴(kuò)大

基地面積.擴(kuò)建方案如下：點(diǎn)P是射線3G上一動點(diǎn)，連接尸C、PD,將△PCO修建成新能源研發(fā)區(qū)，

為安全起見，要沿一周修建隔離帶（寬度忽略不計(jì)），為了節(jié)省費(fèi)用，要求隔離帶的長度盡可能

的短，間隔離帶的長度是否存在最小值？若存在，請求出隔離帶長度（△PC。的周長）的最小值；若

不存在，請說明理由.

29.探究不同長方形周長與面積的關(guān)系

【項(xiàng)目化情境與問題】

某學(xué)習(xí)小組在一次參觀畫展時，一同學(xué)發(fā)現(xiàn)作品甲的邊框是矩形，它的長、寬、周長C和面積S分別

如圖所示.

根據(jù)以上，這個同學(xué)提出一個有趣問題，任意給定一個矩形A,是否存在另一個矩形它的周長和面

積分別是已知矩形A周長和面積的;，即粵=號=；是否成立？

【項(xiàng)目支架與探究】

為了進(jìn)一步深入探究提出的問題,小組成員對任務(wù)進(jìn)行了如下分解,先從最簡單情形入手,再逐次遞進(jìn)，

最后猜想得出結(jié)論.

探究1研究特殊情況小組成員研究過后得知一定存在作品乙的矩形邊框與原作品甲

的矩形邊框滿足一^=監(jiān)=一,貝！C乙=；S乙|

CASA2----------------

=__________,設(shè)作品乙的矩形邊框的長為無，寬為y,則x

=_______;尸_______?

探究2研究特殊情況在探究1得到作品乙的矩形邊框數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，是

1

否存在作品丙的矩形邊框是作品乙的矩形邊框周長和面積的a，

使得好="=:仍然成立？若存在，請求出作品丙的矩形邊框

CASA2

的長和寬.若不存在，請說明理由.

【項(xiàng)目成果】

任意給定一個矩形A,長為"z,寬為1(加＞1),若一定存在另一個矩形2,滿足包=邁=-，則

CASA2

的最小值是.

-------------------------------SEP=96

30.在平面直角坐標(biāo)系中，A(-a,b~),B(a,a),且a,b7兩足V2a—3b+14+|a—21=0.

(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo).

(2)如圖1,連接AO、BO,設(shè)線段AB與y軸交于點(diǎn)現(xiàn)將求出的點(diǎn)M先向右平移3個單位長度，

再向上平移4個單位長度得點(diǎn)M(x,y),設(shè)4x+2y-1的立方根為t,2x+4y-22的算術(shù)平方根為q,計(jì)

算：道+5&-遍的值.

(3)如圖2,將線段沿x軸的正方向平移4個單位長度，過A、2兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分

別為點(diǎn)。、C.在四邊形A2C。內(nèi)是否存在一點(diǎn)尸(加，?)(0＜加＜6),使得且SMCD=

S^PAB.若存在，求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

參考答案與試題解析

一.解答題(共30小題)

1.如圖，在矩形A3C。中，AB^4cm,8。=9<7"，點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊向點(diǎn)2以Icwi/s的速度移動，

同時點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.若其中有一個動點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)，則兩個

動點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為fs.

(1)填空：AP—tcm,BQ—2tcm；(用含f的代數(shù)式表示)

(2)求當(dāng)t為何值時，PQ=4cm?

2

(3)在動點(diǎn)P,Q運(yùn)動過程中，是否存在某個時刻使五邊形APQC。的面積為矩形面積的［?若存在,

請求出此時/的值；若不存在，請說明理由.

D

A,

p

B―>QC

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)的移動速度，行程問題的數(shù)量關(guān)系可得AP=g，z,BQ=2tcm,由此即可求解；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得/8=90°,結(jié)合(1)中的信息，可得8P=A8-AP=(4-/)cm,在RtA

BPQ中，運(yùn)用勾股定理得尸02=822+2。2,由此歷史求解即可；

21

(3)根據(jù)題意，五邊形APQC。的面積為矩形面積的3則△3P。的面積為矩形面積的3即SABPQ=

12,由此列式求解即可.

【解答】解：(1)在矩形ABC。中，AB=4cm,8C=9c機(jī)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A8邊向點(diǎn)8以lcm/s

的速度移動，同時點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，沿BC邊向點(diǎn)C以25加的速度移動.設(shè)運(yùn)動時間為fs.

，點(diǎn)尸從4-8的時間為4+1=4(s),點(diǎn)。從B-C的時間為9+2=4.5(s),

.\AP=tcm,BQ=2tcm,

故答案為：2t；

(2)??,四邊形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

由(1)可知，AP=tcm,BQ=2tcm,

：.BP=AB-AP=(4-Z)cm,

在RtZkBPQ中，由勾股定理得：PQ2=BP2+BQ2,且PQ=4c機(jī)，

；.42=(4-f)2+4r,

整理得：5?-8Z=O,

<4

解得力=Ot2=|，

8

當(dāng)￡=0或g時，PQ=4cm；

2

(3)不存在某個時刻使五邊形APQC。的面積為矩形面積的J；理由如下,

已知A3=4an,BC=9cm,

:?S矩形ABCD=AB.BC=4x9=36(cm2),

2

?/五邊形APQCD的面積為矩形面積的9

：.5五邊形APQCD=3X36=24(c?n2),貝ijS^BPQ=S矩形ABCD-S五邊形APQCZ)=36-24=12,

11

x

:?S〉BPQ—qBQ?BP=(4—t)x2t=12,

整理得尸-4什12=0,

A=(-4)2-4X1X12=-32<0,即原方程無實(shí)數(shù)根，

2

不存在某個時刻使五邊形APQCD的面積為矩形面積的3

【點(diǎn)評】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形

結(jié)合的思想解決問題.

2.如圖①，矩形ABC。與Rt△跖G疊放在一起(點(diǎn)。，C分別與點(diǎn)G,E重合，點(diǎn)E落在對角線8。上)，

已知AB=15C7W,AD=2Qcm,/GEF=90；如圖②，△EFG從圖①的位置出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)

動，速度為Icm/s；動點(diǎn)P同時從點(diǎn)A出發(fā)，沿A。方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；設(shè)它們的運(yùn)動時間

為t(s)(0<?<10),連接PE.解答下列問題：

(2)當(dāng)/為何值時，點(diǎn)。在線段PE的垂直平分線上？

7

(3)是否存在某一時刻使得△。尸E的面積是矩形A8CD面積的??？若存在，求出/的值；若不存

50

在，請說明理由；

(4)如圖③，點(diǎn)乃是點(diǎn)/關(guān)于8。的對稱點(diǎn)，連接FiP,GP,當(dāng)/為何值時，F(xiàn)1P+PG的值最??？

15EG

【分析】(1)可證得從而得出一=一，進(jìn)而得出石G=9；

2515

(2)根據(jù)點(diǎn)。在線段尸石的垂直平分線上得出。尸=。瓦從而20-2/=9+/,從而求得結(jié)果；

EH9+1?7I

(3)過E作于H,可得出△EDHS/XBA。，從而得出正=玄，求得￡"=f三，根據(jù)△

7127+3t7

。/招的面積是矩形ABC。面積的h可列出一(20-2Z)?——=—X15X20,進(jìn)而得出結(jié)果；

502550

(4)連接/G,可推出當(dāng)G,P,八共線時，尸1P+PG的值最小，連接AFi,CF,設(shè)"1交AD于O,

作于。，作CK_L5O于K,可推出NAHO=90°,AFi=EH=BD-DK-EK-BH=25-9-9

AFiAP7-t2t

-t=7-t,AFi//EH,從而得出△APAs△。尸G,從而---=—，從而得出=------，進(jìn)一步得

DGDPt20-21

出結(jié)果.

【解答】解：(1)?四邊形A8C。是矩形，

：.CD^AB^15cm,BC=AD=20cm,ZBCD^90°,

：.BD=VBC2+CD2=25(cm),

?：/GEF=NBCD=9Q°,/CDB=/EGF,

:.△BCDs^FEG,

.GFEG

??一,

BDCD

.15EG

??二,

2515

：.EG=9；

(2)???點(diǎn)。在線段PE的垂直平分線上，

：.DP=DE,

'：AP=(20-2r)cm,DE=(9+力cm,

20-2/=9+/，

故當(dāng)f為W■時，點(diǎn)D在線段PE的垂直平分線上;

(3)如圖1,

7

存在/的值，△。尸E的面積是矩形A5CD面積的7，理由如下:

50

過萬作EH1AD于H,

J.EH//AB,

tEHDE

>?AB—BD,

.EH9+t

*15-25

：27+3t

.EH=5

7

??.△QPE的面積是矩形AB。面積的不

17

：.-PD^H=京XAB-AD,

127+3t7

(20-2f)?--=---—---X15X20,

2550

解得￡=5（負(fù)值舍去）,

7

答：當(dāng)上5時，△。尸E的面積是矩形A3。面積的不

(4)如圖2-1,

:點(diǎn)F1是點(diǎn)F關(guān)于BD的對稱點(diǎn),

：.FG-GF=15,

"：PFi+PG^PFi,

...當(dāng)G,P,乃共線時，MP+PG的值最小,

如圖2-2,連接AFi,CF,設(shè)尸為交AD于0,作AHJ_8￡)于。，作CK_LBD于K,

由（1）知，DK=EF=9,DK//EF,

同理可得，AH=9,

:點(diǎn)Fi是點(diǎn)廠關(guān)于BD的對稱點(diǎn),

：.EFi=EF,

：.EFi^AH,

又EFi〃AH,

四邊形AHEB是平行四邊形,

ZAH￡=90°,

四邊形AHEF1是矩形,

ZAFiO=90°,AFi=EH=BD-DK-EK-BH=25-9-9-t=l-t,AF\//EH,

△APFIS^DPG,

AFrAP

DG―DP'

7-t2t

t—20-2t;

70

t=17-

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作

輔助線表示出關(guān)鍵的數(shù)量.

3.【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1所示，將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊/飲馬，再去河岸同側(cè)的軍營8開會，為了方便,

將軍給自己制定了方案，找到了飲馬的最佳位置，如圖2,作B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)皮，連接A8'與

直線交于C,點(diǎn)C就是所求位置.

,B

A

圖1

:直線/是點(diǎn)8,B'的對稱軸,

：.CB=CB'.

：.AC+CB=AC+CB'.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得AC+CB的最小值是A3'.

【問題探究】(2)如圖3,在正方形ABCD中，AB=8,E是A8邊上的一點(diǎn)，且AE=2,尸是8。上的

一個動點(diǎn)，求周長的最小值.

【問題解決】(3)如圖4、在長方形A2CZ)中，AB=120,40=220,P是CB邊上一點(diǎn)，且CP=100,

點(diǎn)E是線段CD上的任一點(diǎn),連接EP,以EP為直角邊在BC上方作等腰直角三角形EPF,FE為斜邊.連

接AP,AP邊上存在一個點(diǎn)且力M=40&,連接NW,△PFM的周長是否存在最小值？若存在，

請求出周長最小值；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得答案；

(2)連接CRCE,利用正方形的性質(zhì)、勾股定理可得出A、C關(guān)于2。對稱，AF=CF,CE=6,則

AAEFJ^^AE+AF+EF^AE+CF+EF^AE+CE,當(dāng)￡、F、C三點(diǎn)共線時，周長最小，即可求

解；

(3)如圖，過/作FG_LC￡)于G,交A8于K,過PHJ_KG于H,交AO于0,過M作MALLA。于N,

交GK于0,根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可求出4P=120V2,PM=80V2,證明四邊形CPHG是矩形，

得出/HPC=90°,NDGH=9Q°,結(jié)合是等腰直角三角形，可證明得出刊/

=PC=100,同理可證四邊形PC。。是矩形，可求出OH=P。-P4=20,同理可證O”QV是矩形，可

求出N0=O8=2O,證明△AMN是等腰直角三角形，得出AN=MN,根據(jù)勾股定理可求出MN=40,

則可判斷；FQ垂直平分MN,得出MF=NF,則PF+MF=PF+NF^PN,當(dāng)P、尸、N三點(diǎn)共線時，PF+MF

最小，最小值為PN=7PO2+NO2=20V61,然后利用三角形的周長公式求解即可.

【解答】解：(1):直線/是點(diǎn)2,B'的對稱軸，

:.CB=CB'.

：.AC+CB=AC+CB'.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得AC+CB的最小值是A3,，

故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短；

(2)連接CRCE,如圖3,

AD

圖3

在正方形ABC。中，A2=8,

：.BC=AB=S,ZABC=9Q°,A、C關(guān)于8。對稱，

：.AF=CF,BE=AB-AE=6,

：.CE=<BE2+BC2=10,

AA￡F周長^AE+AF+EF^AE+CF+EF^AE+CE,

當(dāng)￡、F、C三點(diǎn)共線時，△AEF的周長最小，最小值為AE+CE=2+10=12；

(3)如圖4,過/作FG_LCD于G,交于K,過PHLKG于H,交A。于。，過M作MALLA。于

04

在長方形ABCD中，AB=120,AD=220,

ZBAC=ZB=ZC^Z￡>=90°,2。=4。=220,

又：CP=100,

:.BP=BC-CP=120,

：.AP=7AB2+BP2=120V2,

又=40V2

：.PM=AP-AM=80V2,

:PHLKG,FG±CD,ZC=90°,

四邊形"HG是矩形，

；.NHPC=90°,NDGH=9Q°,

又：AEPF是等腰直角三角形，

:.FP=EP,NEPF=9G°,

：./FPH=/EPC=90°-AHPE,

在APHF和△?(?￡|中，

ZPHF=ZC=90°

乙FPH=4EPC,

、FP=EP

:APHF經(jīng)MCE(AAS),

APH=PC=100,

同理可證四邊形PCDO是矩形，

.?.PO=CD=120,NPON=90°,。。=尸。=100

：.OH=PO-PH=20,

同理可證OHQN是矩形，

:.NQ=OH=20,

,：AB^BP,NB=90°,

：.ZBAP=45°,

.?.ZB4O=45°,

/.△AMN是等腰直角三角形，

:.AN=MN,

：.MN2+AN2=2MN2=AM2=(40V2)2,

；.MN=40,

:.MQ=MN-NQ=2C=NQ,

：.FQ垂直平分MN,NO=AD-AN-00=80,

：.MF=NF,

：.PF+MF=PF+NF^PN,

當(dāng)尸、F、N三點(diǎn)共線時，尸尸+敏最小，最小值為PN=7P02+NO2=40回,

又/XPMF的周長為PM+FM+PF^PM+PF+NF,

:.八PMF的周長最小值為80a+40m.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的

判定與性質(zhì)，二次根式的化簡等知識，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

4.綜合與探究

如圖，在長方形ABCD中，/DAB=NB=NC=ND=90°,AB^DC^Ucm,AD=BC^16cm,點(diǎn)、E

在線段8C上以2cm/s的速度由點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)p在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)。運(yùn)動，它們運(yùn)

動的時間為t(s).

(1)EC=(16-2力c機(jī)(用含f的代數(shù)式表示)；

(2)若點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動速度與點(diǎn)E的運(yùn)動速度相同，當(dāng)f=2時，判斷線段AE和跖的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系，并說明理由；

(3)若點(diǎn)/的運(yùn)動速度為vcm/s,是否存在v的值，使得AABE與△ECF全等？若存在直接寫出v的

值；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)總長度減去運(yùn)動的長度即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)運(yùn)動的速度以及時間得到線段長度，即可求得結(jié)果；

(3)分兩種情況，根據(jù)兩個三角形全等，對應(yīng)邊相等可求得結(jié)果；

【解答】解：(1)??.點(diǎn)E在線段上以2c優(yōu)/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動,

：.BE