陜西省周至縣高中數學第一章推理與證明1.3反證法教學實錄北師大版選修2-2學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內容分析1.本節(jié)課的主要教學內容：北師大版選修2-2第一章“推理與證明”中的1.3反證法。

2.教學內容與學生已有知識的聯(lián)系：本節(jié)課將引導學生運用已學的邏輯推理和證明方法，通過反證法解決實際問題。這部分內容與學生在課本中學到的演繹推理、歸納推理等內容緊密相連，有助于學生深化對推理與證明的理解和應用。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的邏輯推理能力、數學抽象能力和數學證明能力。通過反證法的學習，學生能夠學會運用邏輯推理解決數學問題，提高抽象思維和嚴謹論證的能力，從而在解決數學問題的過程中，培養(yǎng)數學思維品質，增強數學應用的意識和能力。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：學生在本節(jié)課之前已經學習了邏輯推理的基本概念和演繹推理的方法，包括命題、推理規(guī)則、三段論等。此外，學生對數學歸納法、證明的基本方法也有一定的了解。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：學生對數學普遍持有一定的興趣，尤其是對邏輯推理和證明這類具有挑戰(zhàn)性的內容。學生的數學能力差異較大，部分學生具備較強的邏輯思維能力和證明技巧，而部分學生可能在這一領域存在一定的困難。學習風格上，有的學生偏好通過實例學習，有的則更喜歡抽象思考和理論分析。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學生在學習反證法時可能遇到以下困難：理解反證法的邏輯結構和證明過程，區(qū)分反證法與其他證明方法，以及在解題時正確運用反證法。此外，學生的數學基礎不牢固、邏輯思維能力較弱或缺乏足夠的練習，都可能導致在學習反證法時遇到挑戰(zhàn)。教師需要關注這些潛在的困難，通過適當的教學策略幫助學生克服。教學資源-軟硬件資源：黑板、粉筆、多媒體教學設備（投影儀、電腦）、電子白板。

-課程平臺：學校內部網絡教學平臺，用于發(fā)布教學資料和在線討論。

-信息化資源：反證法相關教學視頻、動畫演示、在線互動練習系統(tǒng)。

-教學手段：案例分析法、小組討論、課堂提問、板書展示。教學流程1.導入新課

詳細內容：首先，通過提問的方式引導學生回顧已學的演繹推理和歸納推理的基本概念。例如，提問：“同學們，我們之前學習了哪些推理方法？它們在解決數學問題中有哪些作用？”然后，展示一些實際生活中的邏輯推理問題，讓學生思考這些問題是如何通過推理來解決的。最后，引入本節(jié)課的主題——反證法，通過一個簡單的反證法例子，激發(fā)學生的學習興趣。

2.新課講授

（1）講解反證法的定義和原理：通過板書和多媒體演示，詳細解釋反證法的概念，包括其適用條件、證明步驟和邏輯結構。舉例說明反證法在解決數學問題中的應用，如證明一個數不是素數等。

（2）分析反證法的證明過程：引導學生分析反證法的證明過程，包括假設、推導矛盾、得出結論等步驟。通過具體例子，讓學生了解如何運用反證法進行證明。

（3）比較反證法與其他證明方法：通過對比反證法與直接證明、數學歸納法等方法，讓學生了解各種證明方法的優(yōu)缺點，以及在不同情況下的適用性。

3.實踐活動

（1）學生獨立完成反證法練習題：提供一些基礎的反證法練習題，讓學生獨立完成。教師巡視指導，解答學生遇到的困難。

（2）小組討論反證法在實際問題中的應用：將學生分成小組，討論反證法在實際問題中的應用，如證明幾何圖形的性質、解決數學競賽問題等。

（3）課堂展示：每組派代表展示討論成果，教師點評并總結。

4.學生小組討論

（1）舉例回答：如何將反證法應用于解決實際問題？

舉例回答：在證明一個三角形不是直角三角形時，假設它是直角三角形，然后通過三角形的性質推導出矛盾，從而得出結論。

（2）舉例回答：反證法在幾何證明中的應用有哪些？

舉例回答：在證明一個四邊形不是平行四邊形時，假設它是平行四邊形，然后通過平行四邊形的性質推導出矛盾，從而得出結論。

（3）舉例回答：如何判斷一個命題是否適合使用反證法進行證明？

舉例回答：如果一個命題可以通過假設其反面進行證明，并且假設的反面能夠推導出矛盾，那么這個命題適合使用反證法進行證明。

5.總結回顧

內容：首先，回顧本節(jié)課所學內容，強調反證法的定義、原理、證明過程和適用范圍。然后，引導學生思考反證法在實際問題中的應用，以及如何判斷一個命題是否適合使用反證法進行證明。最后，布置課后作業(yè)，鞏固所學知識。

環(huán)節(jié)具體分析和舉例：

（1）導入新課環(huán)節(jié)：通過提問和實例引入反證法，激發(fā)學生學習興趣，用時5分鐘。

（2）新課講授環(huán)節(jié)：

-講解反證法的定義和原理，用時10分鐘。

-分析反證法的證明過程，用時10分鐘。

-比較反證法與其他證明方法，用時5分鐘。

（3）實踐活動環(huán)節(jié)：

-學生獨立完成反證法練習題，用時10分鐘。

-小組討論反證法在實際問題中的應用，用時10分鐘。

-課堂展示，用時5分鐘。

（4）學生小組討論環(huán)節(jié)，用時10分鐘。

（5）總結回顧環(huán)節(jié)，用時5分鐘。

總用時：45分鐘。拓展與延伸六、拓展與延伸

1.提供與本節(jié)課內容相關的拓展閱讀材料

（1）閱讀材料一：《數學證明的藝術》——作者：馬丁·加德納

該書籍深入淺出地介紹了數學證明的基本概念和方法，包括反證法在內的多種證明技巧。通過閱讀這本書，學生可以更全面地了解數學證明的精髓，并學習到更多的證明技巧。

（2）閱讀材料二：《數學證明的原理與應用》——作者：彼得·J.利文斯頓

這本書詳細介紹了數學證明的基本原理，并舉例說明了反證法在數學各個領域的應用。通過閱讀，學生可以加深對反證法的理解，并學會將其應用于實際問題。

（3）閱讀材料三：《數學證明的故事》——作者：保羅·R.莫里森

這本書通過講述數學證明的故事，展示了數學證明的魅力和數學家的智慧。閱讀后，學生可以激發(fā)對數學證明的興趣，并從中汲取解決問題的靈感。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究

（1）課后作業(yè)：布置一些與反證法相關的課后作業(yè)，如證明一些簡單的數學命題，讓學生在實踐中鞏固所學知識。

（2）數學競賽：鼓勵學生參加數學競賽，通過解決競賽中的問題，提高反證法的應用能力。

（3）數學研究：引導學生進行數學研究，選擇與反證法相關的課題，如探討反證法在數學各個領域的應用，或研究反證法與其他證明方法的關系。

（4）小組合作：組織學生進行小組合作，共同探討反證法在解決實際問題中的應用，如證明幾何圖形的性質、解決數學競賽問題等。

（5）學術報告：邀請數學專家進行學術報告，分享反證法的最新研究成果和應用案例，拓寬學生的視野。教學評價與反饋1.課堂表現：學生在課堂上的表現是評價學習效果的重要指標。評價內容包括學生的出勤情況、課堂參與度、回答問題的準確性以及解決問題的能力。教師應觀察學生在課堂上的注意力集中程度，是否能夠積極參與討論，是否能夠正確理解和運用反證法的概念。例如，通過提問學生關于反證法的定義和應用，評估學生對知識點的掌握情況。

2.小組討論成果展示：小組討論是培養(yǎng)學生合作能力和深入思考的重要環(huán)節(jié)。評價小組討論成果時，應考慮以下方面：小組成員的分工合作情況、討論的深度和廣度、對問題的分析和解決能力。教師可以要求每個小組準備一個簡短的展示報告，通過展示來評價他們的討論成果。例如，一個小組可能通過展示一個幾何證明的過程，來展示他們對反證法應用的理解。

3.隨堂測試：隨堂測試是即時評估學生學習效果的有效手段。測試可以包括選擇題、填空題和簡答題，旨在考察學生對反證法基本概念和證明步驟的掌握。教師應確保測試題目的難度適中，既能反映學生的學習水平，又能激發(fā)他們的學習興趣。例如，測試中可以包含一個簡單的反證法證明題，要求學生在規(guī)定時間內完成。

4.課后作業(yè)反饋：課后作業(yè)是鞏固課堂知識的重要環(huán)節(jié)。評價作業(yè)時，應關注學生的完成情況、作業(yè)的準確性和創(chuàng)新性。教師可以通過批改作業(yè)來了解學生對知識的掌握程度，以及他們在解題過程中遇到的問題。例如，教師可以批改學生的反證法證明作業(yè)，指出他們的錯誤，并提供正確的解題思路。

5.教師評價與反饋：教師的評價應針對學生的個體差異，既要肯定學生的優(yōu)點，也要指出他們的不足。以下是一些具體的評價與反饋內容：

-針對課堂表現：對于積極參與課堂討論的學生，給予口頭表揚和肯定；對于注意力不集中的學生，給予適當的提醒和指導。

-針對小組討論成果展示：對于表現突出的小組，給予獎勵和鼓勵；對于討論不充分的小組，提供反饋，指導他們如何改進討論方法。

-針對隨堂測試：對于測試成績優(yōu)秀的學生，給予表揚，并鼓勵他們繼續(xù)保持；對于成績不佳的學生，分析原因，提供個性化的輔導。

-針對課后作業(yè)反饋：對于完成作業(yè)認真、質量高的學生，給予肯定；對于作業(yè)中有明顯錯誤或未完成的學生，提供詳細的反饋，幫助他們改進。內容邏輯關系①反證法的定義

-重點知識點：反證法是一種通過假設命題的否定，并推導出矛盾，從而證明原命題為真的證明方法。

-重點詞句：反證法、假設、否定、矛盾、證明。

②反證法的證明步驟

-重點知識點：反證法的證明步驟包括提出假設、推導矛盾、得出結論。

-重點詞句：提出假設、推導矛盾、得出結論、假設的反面、邏輯推導。

③反證法的應用

-重點知識點：反證法適用于證明那些可以通過假設其反面進行證明的命題。

-重點詞句：適用于、假設其反面、命題、邏輯推理、證明。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.案例教學法：在教學中，我們可以嘗試使用更多的案例來幫助學生理解反證法的應用。比如，通過分析歷史數學家的實際證明過程，讓學生看到反證法在實際問題中的應用，這樣不僅能夠提高學生的興趣，還能加深他們對理論的理解。

2.互動式教學：我們可以嘗試采用更多互動式的教學方法，比如小組討論、角色扮演等，讓學生在互動中學習，這樣能夠激發(fā)他們的思考，提高他們的參與度。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.教學深度不夠：我發(fā)現有些學生在理解反證法的邏輯結構時存在困難，這可能是因為我在講解時過于注重理論的闡述，而忽略了實際操作和思維的引導。

2.學生參與度不高：在課堂討論中，我發(fā)現有些學生參與度不高，這可能是因為討論的問題難度過大，或者是對討論沒有足夠的興趣。

3.評價方式單一：目前的評價方式主要是通過隨堂測試和作業(yè)，這種方式可能無法全面評估學生對反證法的掌握程度。

反思改進措施（三）

1.深化理論講解與實踐結