高等數(shù)學(xué) 課件 第二節(jié) 一階微分方程的初等解法_第1頁
高等數(shù)學(xué) 課件 第二節(jié) 一階微分方程的初等解法_第2頁
高等數(shù)學(xué) 課件 第二節(jié) 一階微分方程的初等解法_第3頁
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文檔簡(jiǎn)介

第六章

微分方程目

錄O1第一節(jié)

微分方程的基本概念O2第二節(jié)

一階微分方程的初等解法O3第三節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程第二節(jié)

一階微分方程的初等解法PARTTWO學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握可變量分離方程，學(xué)會(huì)用變量分離法求微分方程的通解.2.掌握一階線性微分方程的求解方法.一、變量分離法（一）變量分離方程形如

的方程，稱為變量分離方程.

變量分離方程解法：

①分離變量

②兩邊積分例1

求微分方程

的解.解：分離變量，得兩邊積分，得因此，通解為例2

求微分方程

滿足初值條件

的特解.解：分離變量，得兩邊積分，得兩邊積分，得所以微分方程滿足初值條件

的特解為（二）齊次微分方程

作變換

，即

，于是

代入原方程得

，整理后，

得到

，變成了變量分離方程.例3

求解方程

解：將方程改寫為

，這是齊次微分方程.

代入原方程變?yōu)樽髯儞Q

，即

，兩邊微分

分離變量得兩邊積分，得到通解即當(dāng)

時(shí)，即得原方程通解二、一階線性微分方程（一）齊次線性方程方程

稱為一階線性微分方程.

如果

，那么該方程稱為齊次的；如果

，那么該方程稱為非齊次的.用變量分離法求其通解得：（二）非齊次線性方程用常數(shù)變易法求其通解——把齊次線性方程通解中的C換成未知數(shù)

的函數(shù)即作變換兩邊對(duì)

求導(dǎo)，得代入原方程得

，即故原方程通解為將上式改寫成兩項(xiàng)之和上式右端第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次線性方程的一個(gè)特解.由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和.

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