橢圓仿射變換

北師大版選擇性必修一第二章：橢圓閱讀材料

圓與橢圓橢圓是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中占有比較重要的地位，并且所占分值也比較多?？v觀歷屆高考試題，在選擇題、填空題、解答題中都有關(guān)于橢圓的試題。對于一些橢圓小題，尤其是放在選填壓軸或偏壓軸位置的時(shí)候?qū)W生往往束手無策，而且計(jì)算量也偏大。

均勻壓縮（或拉伸）是物理學(xué)中一種常見的現(xiàn)象，在壓縮或拉伸的過程中圖形有所變化，但點(diǎn)與圖形、直線與圖形之間的位置關(guān)系卻始終保持不變。抓住這種不變性，我們可以將解析幾何中的橢圓通過伸縮變換（即仿射變換）轉(zhuǎn)化為圓中問題來處理．例題講解

【引例】如圖2-13，點(diǎn)P是圓Ｏ：

上的動(dòng)點(diǎn)，作

軸于點(diǎn)H，求線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程，并指出該軌跡是什么圖形？所以點(diǎn)M的軌跡是長軸長為4，短軸長為2，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.解：設(shè)點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為

，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，所以即

.橢圓

經(jīng)過仿射變換

得到圓

的過程中有如下對應(yīng)關(guān)系：

①點(diǎn)

變?yōu)辄c(diǎn)

；②若直線斜率存在，記為k，則對應(yīng)的直線斜率也存在，且

;橢圓

經(jīng)過仿射變換

得到圓

的過程中有如下對應(yīng)關(guān)系：

③橢圓中弦長

對應(yīng)圓中弦長

即

；④圖形面積S變?yōu)?/p>

.依據(jù)上述關(guān)系可得到如下相關(guān)結(jié)論：⑴、設(shè)點(diǎn)A、B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A、

B的任意一點(diǎn)，若PA、PB的斜率存在，則必有

.⑵、AB為橢圓上不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，若AB、OM的斜率存在，則必有

.例題講解例1、橢圓:的左、右頂點(diǎn)分別為

、

，點(diǎn)P在橢圓C上，且直線

的斜率取值范圍是

那么直線斜率的取值范圍是（）分析：從而答案為B.例2、【2023年全國新高考II.】已知直線

與橢圓

在第一象限交于

，

兩點(diǎn)，

與

軸、

軸分別交于

兩點(diǎn)，且

則

的方程為____.

例2、【2023年全國新高考II.】已知直線

與橢圓

在第一象限交于

，

兩點(diǎn)，

與

軸、

軸分別交于

兩點(diǎn)，且

則

的方程為_____________.

分析：將橢圓經(jīng)過仿射變換得到圓，如下圖

例2、【2023年全國新高考II.】已知直線

與橢圓

在第一象限交于

，

兩點(diǎn)，

與

軸、

軸分別交于

兩點(diǎn)，且

則

的方程為____.

分析：由

有

，從而易證

.所以

，從而直線

的斜率

，則直線

的斜率

.又

，從而

，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為

，則直線

的方程為

，即

.A思路分析：方法一（代數(shù)法）聯(lián)立方程組，消去y得到x的二次方程，用△判斷；方法二（幾何法）畫圖，由特殊點(diǎn)的位置來確定直線與橢圓的位置關(guān)系。課后練習(xí)課后練習(xí)2.已知M、N分別是橢圓

和

上的動(dòng)點(diǎn)，則

面積最大值為_____.3