專題02平面向量的數(shù)量積七種考法一、方法講解1.辨析數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．2.平面向量的數(shù)量積運(yùn)算數(shù)量積的運(yùn)算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．3.平面向量的長度、角度、垂直問題根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題注：平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過建立直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；（2）基向量表示法：即通過選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直4.投影向量向量在向量方向上的投影向量為在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．二、重難點(diǎn)例題及變式類型一、辨析數(shù)量積的運(yùn)算律例．已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【變式訓(xùn)練1】若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】設(shè)是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與垂直 D．類型二、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算例．（1）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2（2）已知向量，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．1（3）如圖所示，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】已知向量，，若，則．【變式訓(xùn)練2】已知非零不共線向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】已知邊長為1的正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．類型三、平面向量的夾角問題例．（1）已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．（2）已知向量，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】已知向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值是.【變式訓(xùn)練2】已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6類型四、平面向量的模長例．（1）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1（2）已知向量，且，則.（3）已知向量，，，則的最小值為.【變式訓(xùn)練1】若向量滿足，，，則.【變式訓(xùn)練2】已知向量滿足，則【變式訓(xùn)練3】在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．類型五、投影向量例．（1）已知向量，若，則在上的投影向量為．（2）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．類型六、平面向量的垂直問題例．（1）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2（2）若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（

）A． B． C． D．類型七、數(shù)量積范圍的綜合問題例．已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍；（3）記函數(shù)，若的最小值為，求實數(shù)的值.【變式訓(xùn)練1】是等腰直角三角形，其中，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】如圖，A?B是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（O為圓心），且（為銳角）.點(diǎn)C為單位圓上的動點(diǎn)，線段交線段于點(diǎn).（1）求（結(jié)果用表示）；（2）若①求的取值范圍：②設(shè)，求的取值范圍.三、能力測試練1．已知和是兩個單位向量，若，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．2．已知平面向量，，若，則實數(shù)（

）A．-1 B．-2 C．1 D．23．已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．5．（多選）關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．6.（多選）已知點(diǎn)，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若， D．的最大值為7.已知向量，，若向量，的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為，若是線段上的動點(diǎn)，且，則的最小值為．9．如圖，在等腰梯形中，，，，是的中點(diǎn).（1）記，且，求，值；（2）記，是線段上一動點(diǎn)，且，求的