幾何-直線型幾何-蝴蝶模型-0星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率蝴蝶模型C1.了解蝴蝶模型及其公式

2.能夠熟練運(yùn)用任意四邊形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的來解決復(fù)雜的幾何知識(shí)少考知識(shí)提要蝴蝶模型任意四邊形蝴蝶模型

（1）S1:S2=S

梯形蝴蝶模型

（1）S2=S4

（2）S1:

精選例題蝴蝶模型1.如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為BC邊靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，連接AF、DE相交于點(diǎn)O，則DO:OE=

．【答案】

9:2【分析】

假設(shè)平行四邊形ABCD面積為1，連接線段EF、FD，根據(jù)蝴蝶模型，DO:OE2.已知ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

21【分析】

連接AC．由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以S又S陰影部分面積為6+15=21(3.如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對(duì)角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是

平方厘米．【答案】

144【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶定理，S可得a:b=5:7,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以S那么梯形ABCD的面積為25+35+35+49=144(4.如圖，長(zhǎng)方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為

平方厘米．【答案】

9【分析】

連接DE、CF．四邊形EDCF為梯形，所以S又根據(jù)蝴蝶定理，S所以S所以SS那么長(zhǎng)方形ABCD的面積為12×2=24(四邊形OFBC的面積為24-5-2-8=9(5.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC邊靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，連接AF、DE相交于點(diǎn)G，則AG:GF＝

【答案】

3:4【分析】

連接線段EF、DF，AG:GF6.見下圖，圖形內(nèi)的數(shù)字分別表示所在的矩形或三角形的面積，那么陰影三角形的面積為

．【答案】

9【分析】

根據(jù)上圖可得到：7.如下圖所示，ABCD是梯形，AB∥CD，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，OE∥AB，交腰BC于E點(diǎn)．如果三角形OBC的面積是115平方厘米，那么三角形ADE的面積是

平方厘米．【答案】

230【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶模型，在梯形ABCD中，△AOD的面積等于△OBC的面積，均為115平方厘米．在梯形ODCE和梯形OABE中，可分別得出S那么三角形ADE的面積等于三角形OBC的面積的2倍，115×2=2308.如圖所示，已知長(zhǎng)方形ABCD中，△FDC的面積為4，△FDE的面積為2，則陰影四邊形AEFB的面積

．【答案】

10【分析】

連接BE，由梯形蝴蝶定理可知，S所以S所以SS所以S9.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是36，E是AD的三等分點(diǎn)，AE=2ED，則陰影部分的面積為

． 【答案】

2.7【分析】

如圖，連接OE． 根據(jù)蝴蝶定理，ON:ND=S△COE: OM:MA=S△BOE: 又S△OED=13×10.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O．如果△ABD的面積等于△BCD的面積的13，且AO=2，DO=3，那么CO的長(zhǎng)度是DO的長(zhǎng)度的

【答案】

2【分析】

根據(jù)蝴蝶模型：△ABD△BCD=13=AOOC，OC=2×3=611.四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O（如圖所示）．如果三角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的13，且AO=2，DO=3，那么CO的長(zhǎng)度是DO的長(zhǎng)度的

【答案】

2【分析】

解法一：因?yàn)锳O:OC=所以O(shè)C=2×3=6,所以O(shè)C:OD=6:3=2:1.解法二：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G．因?yàn)镾得到AH=所以S得到AO=所以O(shè)C=2×3=6,所以O(shè)C:OD=6:3=2:1.12.在圖中，E，D分別是AB，AC的中點(diǎn)，BD垂直于CE，已知CE=9厘米，BD=6厘米，那么三角形ABC的面積是

平方厘米．【答案】

36【分析】

方法一：連接DE．因?yàn)镋是中點(diǎn)，所以三角形AEC的面積是三角形ABC面積的一半；因?yàn)镈是中點(diǎn)，所以三角形ADE的面積是三角形AEC面積的一半．因此，三角形ADE的面積是三角形ABC面積的四分之一，四邊形BCDE的面積是三角形ABC的四分之三．令BD與CE的交點(diǎn)于F．三角形CDE的面積為12?CE?DF，三角形CBE的面積為121三角形ABC的面積為27÷方法二：連接DE，可知DE與BC平行且DE:BC=1:2，設(shè)S△DEF=1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理則S梯形=(1+2)2=9份，再根據(jù)相似，DF=13BD=2，S所以S13.下圖中，四邊形ABCD和EFGH都是平行四邊形，四邊形ABCD的面積是16，BG:GC=3:1，則四邊形EFGH的面積=

．【答案】

3【分析】

連接EG．易知ABGE、CDEG為兩個(gè)相同的梯形．根據(jù)梯形中的蝴蝶模型可知：S所以S所以S14.如圖，正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是

平方厘米．【答案】

12【分析】

連接DE，根據(jù)題意可知BE:AD=1:2，根據(jù)蝴蝶模型得S梯形=(1+2)2=915.已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

21平方厘米【分析】

連接AC．由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3,根據(jù)梯形蝴蝶模型，S所以S又S陰影部分面積為6+15=21(平方厘米)16.如圖，ABCD是一個(gè)四邊形，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．如果△ASM、△MTB與△DSN的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形ABCD的面積為

．【答案】

60【分析】

連接MN、AC、BD．由于M是AB的中點(diǎn)，所以△AMN與△BMN的面積相等，而△MTB比△ASM的面積大1，所以△MSN比△MTN的面積大1；又由于N是CD的中點(diǎn)，所以△DMN的面積與△CMN的面積相等，那么△CTN的面積比△DSN的面積大1，所以△CTN的面積為9．假設(shè)△MTN的面積為a，則△MSN的面積為a+1．根據(jù)幾何五大模型中的蝴蝶定理，可知△ASD的面積為48a+1，△BTC的面積為63要使這兩個(gè)三角形的面積為整數(shù)，a可以為1，3或7．由于△ADM的面積為△ABD面積的一半，△BCN的面積為△BCD面積的一半，所以△ADM與△BCN的面積之和為四邊形ABCD面積的一半，所以△ADM與△BCN的面積之和等于四邊形BMDN的面積，即：48a+1+6+63將a=1、3、7分別代入檢驗(yàn)，只有a=7時(shí)等式成立，所以△MTN的面積為7，△MSN、△ASD、△BTC的面積分別為8、6、9．四邊形ABCD的面積為6+7+8+9×2=60小結(jié)：本題中“且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)”這個(gè)條件是多余的．17.如下圖所示，點(diǎn)C在線段AE上，三角形ABC和三角形CDE都是正三角形，且F是線段BC的中點(diǎn)，G是線段DE的中點(diǎn)．若三角形ABC的面積為27，三角形AFG（陰影部分）的面積是

．【答案】

13.5【分析】

如下圖所示，連接CG，那么AF∥CG，根據(jù)梯形蝴蝶模型，得到S18.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6米，E是BC的中點(diǎn)（見下圖）．四邊形OECD的面積為

平方米．【答案】

15【分析】

如下圖所示，連接DE，根據(jù)等積變形，設(shè)S△BEO=1份，那么S△ABO=S△DEO=2份，S△ADO=4份，所以S19.如下圖所示，AB=24厘米，長(zhǎng)方形BDEF中的EF=15厘米，陰影△BCE的面積是60平方厘米，則△DCE的面積是

平方厘米．【答案】

30【分析】

如下圖所示，連接AD，則三角形BCE的面積等于三角形ACD的面積，所以CD=60×2÷24=5（厘米），CB=15-5=10（厘米），又因?yàn)槿切蜠CE和三角形BCE同高，且CB是CD的2倍，所以三角形BCE的面積是三角形DCE面積的2倍，所以三角形DCE的面積是60÷2=30（平方厘米）．20.如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4:5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為

．【答案】

16【分析】

做輔助線如下：利用蝴蝶模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3，所以三角形1的面積就是36×44+5=16，三角形321.如圖，三角形田地中有兩條小路AE和CF，交叉處為D，張大伯常走這兩條小路，他知道DF=DC，且AD=2DE．則兩塊地ACF和CFB的面積比是

． 【答案】

1:2【分析】

方法一：連接BD． 設(shè)△CED的面積為1，△BED的面積x，則根據(jù)題上說給出的條件，由DF=DC得S△BDC 即△BDF的面積為x+1、S△ADC 又有AD=2DE，S△ADC=S△ADF=2 得x=3，所以S△ACF 方法二：連接BD，設(shè)S△CED=1(份)，則S△ACD=S△ADF=2，設(shè)S 方法三：過F點(diǎn)作FG∥BC交AE于G點(diǎn)， 由相似得CD:DF=ED:DG=1:1，又因?yàn)锳D=2DE，所以AG:GE=AF:FB=1:2，所以兩塊田地ACF和CFB的面積比=AF:FB=1:2．22.見下圖，三角形ABC的面積為1，DO:OB=1:3，EO:OA=4:5，則三角形DOE的面積為

．【答案】

11【分析】

設(shè)三角形DOE的面積為4x，由比例關(guān)系不難得出圖中另三塊的面積分別為5x,12x,15x，再設(shè)三角形DCE的面積為y，則有CE得y=14411x423.如圖相鄰兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為

．【答案】

12【分析】

連接AD、CD、BC．則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到△ABC的面積為：1+△ACD的面積為：3+△ABD的面積為：2+所以BO:OD所以S24.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AOB是直角三角形且面積為54，OD的長(zhǎng)是16，OB的長(zhǎng)是9．那么四邊形OECD的面積是

．【答案】

119【分析】

解法一：連接DE，依題意S所以AO=12,則S又因?yàn)镾所以O(shè)E=6得S所以S解法二：由于S所以S而S根據(jù)蝴蝶定理，S所以S所以S25.圖中ABCD是梯形，四邊形ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

4【分析】

方法一：連接AE，由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S△OCDS故S△OCD2=16方法二：在平行四邊形ABED中，S所以S根據(jù)蝴蝶模型，陰影部分的面積為8×2÷4=426.如下圖，在梯形ABCD中，AB與CD平行，且CD=2AB，點(diǎn)E、F分別是AD和BC的中點(diǎn)，已知陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是

平方厘米．【答案】

210【分析】

連接EF，可以把大梯形看成是兩個(gè)小梯形疊放在一起，應(yīng)用梯形蝴蝶定理，可以確定其中各個(gè)小三角形之間的比例關(guān)系，應(yīng)用比例即可求出梯形ABCD面積．設(shè)梯形ABCD的上底為a，總面積為S．則下底為2a，EF=1所以AB:EF=a:由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以S故S根據(jù)梯形蝴蝶定理，梯形ABFE內(nèi)各三角形的面積之比為2所以S同理可得S所以S由于S所以S=54÷27.如下圖所示，長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB=8，AD=15．四邊形EFGO面積為

．【答案】

10【分析】

S△ABE=S△EFD，所以陰影部分面積等于長(zhǎng)方形面積的一半加四邊形EFGO的面積，故四邊形28.如圖，在△ABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O，若△AOM、△ABO和△BON的面積分別是3、2、1，則△MNC的面積是

．【答案】

22.5【分析】

根據(jù)蝴蝶定理得S設(shè)S△MONS解得x=22.529.如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為

． 【答案】

14【分析】

本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理來解決一般情況． 解法一：取特殊值，使得兩個(gè)正方形的中心相重合，如下圖所示，圖中四個(gè)空白三角形的高均為1.5，因此空白處的總面積為6×1.5÷2×4+2×2=22，陰影部分的面積為6×6-22=14． 解法二：連接兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，可以得到四個(gè)梯形，這四個(gè)梯形的上底都為2，下底都為6，上底、下底之比為2:6=1:3，根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個(gè)梯形每個(gè)梯形中的四個(gè)小三角形的面積之比為12:1×3:1×3:32=1:3:3:9，所以每個(gè)梯形中的空白三角形占該梯形面積的916，陰影部分的面積占該梯形面積的30.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，且圖中兩個(gè)陰影部分（甲和乙）的面積差是5.04，則S△ABC=【答案】

20.16【分析】

由于D，E都是中點(diǎn)，則BC=2DE，設(shè)DE為1份，則BC為2份，根根據(jù)梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，兩個(gè)翅膀都是2份，由此可推出△ADE為3份，且每份為5.04÷(4-1)=1.68,所以S31.下圖中，四邊形ABCD都是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F、G、H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)mn，那么，(m+n)的值等于

【答案】

5【分析】

左、右兩個(gè)圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積． 如下圖所示，在左圖中連接EG．設(shè)AG與DE的交點(diǎn)為M． 左圖中AEGD為長(zhǎng)方形，可知△AMD的面積為長(zhǎng)方形AEGD面積的14，所以三角形AMD的面積為12× 如上圖所示，在右圖中連接AC、EF．設(shè)AF、EC的交點(diǎn)為N． 可知EF∥AC且AC=2EF．那么三角形BEF的面積為三角形ABC面積的14，所以三角形BEF的面積為12×12 在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2，根據(jù)梯形蝴蝶定理，其四部分的面積比為：12:1×2:1×2:22=1:2:2:4，所以三角形EFN的面積為38× 那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為12:13=3:232.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC與CD上，且CE=2BE，CF=2DF，連接BF、DE，相交于點(diǎn)G，過G作MN、PQ得到兩個(gè)正方形MGQA和PCNG，設(shè)正方形MGQA的面積為S1，正方形PCNG的面積為S2，則S1【答案】

9:4【分析】

連接BD、EF．設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，則CE=CF=2,BE=DF=1,所以，E因?yàn)镋所以EF?BD=12.由梯形蝴蝶定理，得S所以，S因?yàn)镾所以S所以，S由于△BGE底邊BE上的高即為正方形PCNG的邊長(zhǎng)，所以CN=ND=3-所以AM:CN=DN:CN=3:2,則S33.如圖，在梯形ABCD中，AD:BE=4:3，BE:EC=2:3，且△BOE的面積比△AOD的面積小10平方厘米．梯形ABCD的面積是

平方厘米．【答案】

115【分析】

根據(jù)題意可知AD:BE:EC=8:6:9,則SS而S所以1則S又S所以S所以S34.下圖中，ABCD是平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，AE和BD的交點(diǎn)為F，AC和BE的交點(diǎn)為H，AC和BD的交點(diǎn)為G，四邊形EHGF的面積是15平方厘米，則ABCD的面積是

平方厘米．【答案】

180【分析】

解法一：蝴蝶模型與一半模型．（1）E是CD的中點(diǎn)，DE:AB=1:2，所以S（2）設(shè)平行四邊形面積為“1”．E是CD的中點(diǎn)，所以S△ABG、S△ADG、S△BEC占平行四邊形面積的14，梯形（3）所以SS同理可知S△GHB（4）根據(jù)一半模型，S△ABES（5）ABCD的面積是15÷解法二：相似模型、等積變形與一半模型．（1）E是CD的中點(diǎn)，DE:AB=1:2，所以DF:FB=1:2，而DG=GB，DF:FG=（2）設(shè)平行四邊形面積為“1”．E是CD的中點(diǎn)，所以S△ABG、S△ADG占平行四邊形面積的S同理可知S△GHB（3）根據(jù)一半模型，S△ABES（4）ABCD的面積是15÷解法三：燕尾模型與一半模型．（1）設(shè)平行四邊形面積為“1”．S△ADC（2）E是CD的中點(diǎn)，G為AC的中點(diǎn)，連接FC，設(shè)S△DEF為1份，S△ECF也為1份，根據(jù)燕尾S△ADF為2份，再根據(jù)燕尾S△ACF也為2份，根據(jù)按比例分配，S△AGFS同理可知S△GHB（3）根據(jù)一半模型，S△ABES（4）ABCD的面積是15÷解法四：風(fēng)箏模型與一半模型．連接EG同樣可解．35.如下圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于O點(diǎn)，已知AO=1，并且$\dfrac{\text{三角形$ABD$的面積}}{\text{三角形$CBD$的面積}}=\dfrac{3}{5}$，那么OC的長(zhǎng)是多少？【答案】

5【分析】

根據(jù)蝴蝶定理，\[\dfrac{\text{三角形$ABD$的面積}}{\text{三角形$CBD$的面積}}=\dfrac{{AO}}{{CO}},\]所以AOCO=35，又36.如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．【答案】

1平方厘米【分析】

因?yàn)镸是AD邊上的中點(diǎn)，所以AM:BC=1:2，根據(jù)梯形蝴蝶模型可以知道S設(shè)S△AGM=1份，則S△MCD=1+2=3份，所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，S陰影37.圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃．那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？【答案】

21【分析】

在△ABE，△CDE中有∠AEB=∠CED，所以△ABE，△CDE的面積比為(AE×EB):(CE×DE).同理有△ADE，△BCE的面積比為(AE×DE):(BE×EC).所以有S即S所以有△ABE與△ADE的面積比為7:6，S△ABE=76+7×39=21公頃，S38.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面積依次是2、4、4和6．求：（1）求△OCF的面積；（2）求△GCE的面積．【答案】

（1）2；（2）2【分析】

（1）根據(jù)題意可知，△BCD的面積為2+4+4+6=16，那么△BCO和△CDO的面積都是16÷2=8，所以△OCF的面積為8-4=4；（2）由于△BCO的面積為8，△BOE的面積為6，所以△OCE的面積為8-6=2，根據(jù)蝴蝶模型，EG:FG=所以S那么S39.如圖，S2=2，【答案】

9【分析】

設(shè)S1為a2份，S3根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以b=2;又因?yàn)镾所以a=1;那么SS所以梯形面積S=或者根據(jù)梯形蝴蝶定理，S=40.如圖，四邊形ABCD中，AC、BD兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，△ADO的面積為30，△ABO面積為6，△DOC的面積是20，那么四邊形ABCD的面積是多少？【答案】

60【分析】

簡(jiǎn)答：利用任意四邊形中三角形的面積關(guān)系的結(jié)論，得三角形BOC的面積是：6×20÷30=4,所以四邊形ABCD的面積是6+20+30+4=60.41.如圖，已知平行四邊形ABCD的面積為72，E點(diǎn)是BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積．【答案】

14【分析】

SS因?yàn)镋CAD=2S所以SS解得a=125，42.梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9cm2 【答案】

4【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3，S△ 所以S△43.如圖：求三角形ADE的面積．【答案】

10【分析】

應(yīng)用蝴蝶模型可得：三角形ADE的面積等于12×5÷6=10．44.如圖，梯形ABCD的對(duì)角線相互垂直．三角形AOB的面積是12，OD的長(zhǎng)是4，求OC的長(zhǎng)．【答案】

6【分析】

S△COD=S△AOB=1245.圖中的四邊形土地的總面積是48平方厘米，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是3平方厘米和4平方厘米．那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少平方厘米？【答案】

23【分析】

在△AOB，△COD中有∠AOB=∠COD，所以△AOB，△COD的面積比為(AO×OB):(CO×OD)．同理有△AOD，△BOC的面積比為(AO×DO):(BO×OC)．所以有S△AOB×S△COD=S△AOD×S△BOC，所以有△AOB與46.梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知梯形上底為2，且三角形ABO的面積等于三角形BOC面積的23，求三角形AOD與三角形BOC【答案】

4:9【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶模型，S可以求出a:b=2:3，再根據(jù)梯形蝴蝶模型，S47.如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1，求三角形ABC的面積． 【答案】

10【分析】

因?yàn)锽D:CE=2:5，且BD∥CE，所以DA:AC=2:5，S△ABC=548.如圖，梯形ABCD中，三角形AOB、三角形COD的面積分別是1.2和2.7，求梯形ABCD的面積．【答案】

7.5【分析】

由于四邊形ABCD是梯形，所以S△AOCS代入已知面積值，可以求出S所以ABCD49.如圖，面積為12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積．【答案】

3平方厘米【分析】

因?yàn)镋,F是DC邊上的三等分點(diǎn)，所以EF:AB=1:3，設(shè)S△OEF=1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道S△AOE=S△OFB=3份，SS所以S陰影50.如圖，梯形ABCD中，△AOB、△COD的面積分別為1.2和2.7，求梯形ABCD的面積．【答案】

7.5【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以a:b=2:3，S△AODSS梯形51.如下圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于O點(diǎn)，已知AO=1，并且三角形ABD的面積三角形 【答案】

5【分析】

根據(jù)蝴蝶定理，三角形ABD的面積三角形CBD的面積=AO52.梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9平方厘米，問三角形AOD的面積是多少？【答案】

4平方厘米【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶模型，a:b=1:1.5=2:3，S△所以S△AOD53.如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形ADG的面積是11，三角形BCH的面積是23，求四邊形EGFH的面積．【答案】

34【分析】

連接EF，S△EFG=S△ADG，S△BCH54.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，AD=2，AE=EF=FB，求陰影部分的面積．【答案】

3.5【分析】

連接DE，F(xiàn)C，由AE=EF=FB，AB=DC可以推出EF:DC=1:3,所以S△EOF為1份，則S△DOE為3份，△ADE和SS陰影=7份，所以AE=6÷3=2，S△ADE1份的面積為2÷4=0.5，陰影部分的面積等于0.5×7=3.5．55.如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，AB=4，AD=5，DE=3．求：（1）三角形OBC的面積；（2）梯形ABCD的面積．【答案】

（1）7.5；（2）40【分析】

（1）△OBC的面積等于△OAD的面積，即DE×AD÷2=5×3÷2=7.5（2）由于△ABD的面積等于AB×AD÷2=4×5÷2=10,則△ABO的面積等于10-7.5=2.5.由任意四邊形模型可求得△ODC的面積等于7.5×7.5÷2.5=22.5.所以梯形ABCD的面積為7.5+7.5+2.5+22.5=40.56.在三角形ABC中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求BO:OE．【答案】

8:1【分析】

解法一：連接OC． AE:EC=1:3，可得 S設(shè)S△AOESS 再根據(jù)燕尾定理，S所以S 所以BO:OE= 解法二：可以用梯形蝴蝶定理來． 連接DE，把三角形ABC的面積看做“1”，SABD=23，而AE的長(zhǎng)占AC的14，CD的長(zhǎng)占 來表示△AED的面積，所以BO:OE=57.如下圖所示，ABCD和CGEF是兩個(gè)正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面積等于6平方厘米．求五邊形ABGEF的面積．【答案】

49.5【分析】

連接AC、GF，則四邊形ACGF構(gòu)成一個(gè)梯形，根據(jù)蝴蝶模型，因?yàn)椤鰿HG的面積為6，所以△AHF的面積為6（蝴蝶翅膀）．CH為HF長(zhǎng)度的一半，所以△AHC的面積為△AHF面積的一半，三角形AHC的面積為3；同理△HFG面積為12，則大正方形EFCG的面積為(12+6)×2=36，所以大正方形的邊長(zhǎng)為6，則小正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，所以三角形ADF的面積為4.5．則五邊形ABGEF的面積為：36+9+4.5=49.5．58.圖中△AOB的面積為15cm2，線段OB的長(zhǎng)度為OD的3【答案】

80【分析】

在△ABD中，因?yàn)镾且OB=3OD，所以有S因?yàn)椤鰽BD和△ACD等底等高，所以有S從而S在△BCD中，S所以梯形面積：15+5+15+45=80(59.如下圖所示，點(diǎn)M是平行四邊形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，且DM:MC=1:2，四邊形EBFC為平行四邊形，F(xiàn)M與BC交于點(diǎn)G．若三角形FCG的面積與三角形MED的面積之差為13cm2【答案】

60【分析】

連接BD，因?yàn)镈E∥BC，所以DE所以S令S△DEM=a，則S△CEM所以S因?yàn)镸B∥CF，所以CG所以S所以S因?yàn)镾所以18因?yàn)镾所以S60.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面積．【答案】

2【分析】

連接EF．因?yàn)锽E=2EC，CF=FD，所以S因?yàn)镾根據(jù)蝴蝶模型，AG:GF=所以S所以S即三角形AEG的面積是2761.如圖，E、F是正方形邊上靠近點(diǎn)C和靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，求AG:EG和FG:DG．【答案】

3:8，2:9【分析】

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是1，AGFG62.如下圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O．已知AB=5,CD=3，且梯形ABCD的面積為4．求三角形OAB的面積．【答案】

25【分析】

根據(jù)蝴蝶模型．根據(jù)題意，AB=5,CD=3,CD:AB=3:5，則根據(jù)蝴蝶模型，S令S△AOB=25份，則梯形9+15+25+15=64(所以1份為：4÷64=則三角形OAB的面積為163.如圖所示，ABCD是梯形，△ADE面積是1.8，△ABF的面積是9，△BCF的面積是27．那么陰影△AEC面積是多少？【答案】

4.8【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到S而S所以可得S并且S而S所以陰影△AEC的面積是：S64.如圖，∠ABE=∠DCF=90°，AB=3，DC=5，BC=6，BE=EF=FC，AF交DE于O，則三角形【答案】

15【分析】

連接AD，S△AEF=3×22=365.如圖所示，BD，CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，△DEF的面積是4cm2，△CED的面積是6cm2．四邊形【答案】

11【分析】

連接BF，在右邊的梯形BCDF中，由梯形基本結(jié)論知：S△BEF=S△CDE=6，所以S△BEC=9，S△BFC=9+6=1566.如圖中四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，如果三角形ABD的面積是30平方厘米，三角形ABC的面積是48平方厘米，三角形BCD的面積是50平方厘米．請(qǐng)問：三角形BOC的面積是多少？【答案】

30【分析】

根據(jù)題意可得：\[\text{三角形$BAD$與三角形$BCD$的面積比}=AO:CO=30:50=3:5,\]所以三角形BOC的面積為48×567.如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)，紅色、綠色正方形的面積分別是48和12，且紅、綠兩個(gè)正方形有一個(gè)頂點(diǎn)重合．黃色正方形的一個(gè)頂點(diǎn)位于紅色正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)位于綠色正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．那么黃色正方形的面積是多少？【答案】

27【分析】

由于黃色正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在紅色正方形和綠色正方形的中心，所以紅色正方形與黃色正方形重合部分的面積為1綠色正方形與黃色正方形重合部分的面積為1黃色正方形可分為4部分，如右上圖所示，除了與其它兩個(gè)正方形重合的兩個(gè)部分，另外兩個(gè)部分的面積相等，設(shè)為a．在其中可類似運(yùn)用四邊形中的蝴蝶定理，可得a所以a=6．所以黃色正方形的面積為12+3+6×2=2768.如圖，正六邊形面積為6，那么陰影部分面積為多少？【答案】

8【分析】

連接陰影圖形的長(zhǎng)對(duì)角線，此時(shí)六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶模型把六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積81869.在梯形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，而三角形ABO的面積為9，三角形BOC的面積為27，DO上有一點(diǎn)E，而三角形ADE的面積為1.2，則陰影部分三角形AEC的面積為多少？【答案】

7.2【分析】

根據(jù)題意，由于四邊形ABCD是梯形，所以S根據(jù)蝴蝶模型，S所以S△AODS同樣，再根據(jù)蝴蝶模型，S所以S△ECOS70.長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線交于O點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，連接AF、DF．如圖得到三塊陰影，已知陰影的面積之和是28平方厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是6厘米．求四邊形OEFG的面積．【答案】

4平方厘米．【分析】

由平行線定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形CDG的面積就等于AFG的面積．這樣陰影面積之和就變成了△ABD和四邊形OEFG的面積之和．前者面積是8×6÷2=24(后者面積是28-24=4(即為所求．71.如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【答案】

0.58平方千米【分析】

應(yīng)用蝴蝶模型SS四邊形ABCD（公園）的面積是1+2+3+1.5=7.5人工湖的面積為7.5-6.92=0.5872.四邊形ABCD中，AC、BD兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，三角形ABO的面積為6，三角形AOD的面積為8，三角形BOC的面積是15，那么四邊形ABCD的面積是多少？【答案】

49【分析】

簡(jiǎn)答：△COD的面積是8×15÷6=20,四邊形ABCD的面積是6+8+15+20=49.73.下圖中的正方形ABCD的面積為1，M是AD邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．【答案】

1【分析】

令三角形AGM的面積為1份，則三角形GMC的面積為2份，三角形MCD的面積為3份，所以1份=174.圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了四個(gè)小三角形，其中兩個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃，求四個(gè)三角形中最大的一個(gè)的面積．【答案】

21公頃【分析】

設(shè)另兩塊面積分別為x,y，如圖：7x=6y設(shè)x=6k，y=7k，則x+y=13k，13k=39，代入，得：x=18所以面積最大的一個(gè)的面積為21公頃．75.圖中四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于O點(diǎn)，如果△ABD的面積是30平方厘米，△ABC的面積是48平方厘米，△BCD的面積是50平方厘米．請(qǐng)問：△BOC的面積是多少？【答案】

30平方厘米【分析】

因?yàn)锳O:CO=所以S76.如圖所示，BD、CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，△DEF的面積是5平方厘米，△CED的面積是10平方厘米．問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？【答案】

25厘米【分析】

連接BF，根據(jù)梯形模型，可知三角形BEF的面積和三角形DEC的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE的面積為10×10÷5=20所以長(zhǎng)方形的面積為(20+10)×2=60四邊形ABEF的面積為60-5-10-20=2577.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，E是DC邊上的點(diǎn)，且DE:EC=1:3，AF與BE相交于點(diǎn)G，求S△ABG【答案】

32【分析】

方法一：連接AE，延長(zhǎng)AF，DC兩條線交于點(diǎn)M，構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1,因此CM=4，根據(jù)題意有CE=3，再根據(jù)另一個(gè)沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7,所以S方法二：連接AE,EF，分別求SS根據(jù)蝴蝶定理S所以S78.如圖所示，梯形ABCD的面積是36，下底長(zhǎng)是上底長(zhǎng)的2倍，陰影三角形的面積是多少？【答案】

16．【分析】

上低與下底的長(zhǎng)度比為1:2，設(shè)△OCD面積是1份，則△AOD與△BOC的面積均為2份，△ABO的面積為4份，共有9份，梯形面積為36，故一份所對(duì)應(yīng)的面積為4，則△ABO的面積為16．79.如圖，兩個(gè)正方形擺放在一起，其中大正方形邊長(zhǎng)為12，那么陰影部分面積是多少？（圓周率取3.14）【答案】

113.04【分析】

方法一：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則三角形ABF與梯形ABCD的面積均為a+12×a÷2．陰影部分為：大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不規(guī)則部分=大正方形-右上角不規(guī)則部分=14圓．因此陰影部分面積為：方法二：連接AC、DF，設(shè)AF與CD的交點(diǎn)為M，由于四邊形ACDF是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶定理有S△ADM=S△CMF80.如圖，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF與EC相交于H，已知AB=6厘米，則陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

18【分析】

如圖，連接DF，那么顯然△DHG與△DHF同底等高，兩者面積相等，我們?nèi)菀字浪倪呅蜝CFD是梯形，由蝴蝶模型可知△DHF與△BHC面積相等，那么陰影部分的面積恰好為正方形ABCD的一半，即18平方厘米．81.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，G為BF中點(diǎn)，求三角形BDG的面積．【答案】

6.25平方厘米．【分析】

設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為O，連接BE、DF．由蝴蝶定理可知EO:OC=而S所以EO:OC=故EO=由于F為CE中點(diǎn)，所以EF=故EO:EF=2:3,FO:EO=1:2.由蝴蝶定理可知S所以S那么S82.如圖，梯形ABCD的上底AD長(zhǎng)為3厘米，下底BC長(zhǎng)為9厘米，而三角形ABO的面積為12平方厘米．則梯形ABCD的面積為多少平方厘米？【答案】

64【分析】

△ADD與△BCO的面積比為AD平方與BC平方的比，即為9:81=而△DCO與△ABO的面積相等為12，又S因?yàn)?44÷9=4×4，所以S則S而梯形ABCD的面積為△ADO、△BCO、△ABO、△CDO的面積和，即為4+36+12+12=64(即梯形ABCD的面積為64平方厘米．83.如圖所示，BD、CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，三角形DEF的面積4平方厘米，三角形CED的面積是6平方厘米．問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？【答案】

11【分析】

連接BF，由于AD與BC平行的，所以四邊形BCDF是梯形，S根據(jù)蝴蝶模型，S代入已知部分，可得S△BECS84.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形DFG的面積為2平方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD的面積．【答案】

72平方厘米．【分析】

連接AE，F(xiàn)E．因?yàn)锽E:EC=2:3，DF:FC=1:2，所以S因?yàn)镾△AEDAG:GF=所以S△AGD=5S△GDF=10平方厘米，所以S△AFD=1285.如圖，ABCD是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3，那么梯形ABCD的面積是多少？【答案】

40【分析】

分別計(jì)算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面積，再求和．延長(zhǎng)EO交AB于F點(diǎn)，可得DE:BF=DO:OB=3:1,所以SSS又因?yàn)镾得到SSS所以S86.如圖，在平行四邊形ABCD中，BE=EC，CF=2FD．求陰影面積與空白面積的比．【答案】

1:2【分析】

因?yàn)锽E=EC，CF=2FD，所以SS因?yàn)锳D=2BE，所以AG=2GE，所以SS同理可得，SS因?yàn)镾所以空白部分的面積所以陰影部分的面積是1313:287.如圖，已知D是BC中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)．三角形ABC由①～⑥這6部分組成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面積是多少平方厘米？【答案】

48【分析】

因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，有AD=2FE且EF平行于AD，則四邊形ADEF為梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②:⑤=AD又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4=8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面積為②、③、④、⑤四塊圖形的面積和，為8+4+4+2=18．有△CEF與△ADC的面積比為CE平方與CD平方的比，即為1:4．所以△ADC面積為梯形ADEF面積的44-1=4因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所以△ABD與△ADC的面積相等，而△ABC的面積為△ABD、△ADC的面積和，即為24+24=48(平方厘米)．三角形ABC的面積為88.如圖，BD，CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，紅色三角形面積是4平方厘米，黃色三角形面積是6平方厘米．問：綠色四邊形面積是多少平方厘米？【答案】

11【分析】

連接BF，四邊形BCDF為梯形，則△BFE的面積與黃色△CDE的面積相等為6．S所以SS又因?yàn)锽D是長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線，S所以S綠色四邊形面積為11平方厘米．89.如圖，等腰直角三角形DEF的斜邊在等腰直角三角形ABC的斜邊上，連接AE、AD、AF，于是整個(gè)圖形被分成五塊小三角形．圖中已標(biāo)出其中三塊的面積，那么三角形ABC的面積是

．【答案】

36【分析】

方法一：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)M，連接BD、CD，應(yīng)用燕尾模型，得S再由蝴蝶模型，S△BDES同理S△CDMMD:DA=所以S△ABD=5SS方法二：由于等腰直角三角形DEF的面積是1，所以EF＝S所以等腰直角△ABC的高為6×2÷2=6,所以△ABC的面積是6×6÷2×2=36.90.如圖，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD．連接CF交DE于P點(diǎn)，求EPDP 【答案】

9【分析】

連接DF、FE． 因?yàn)锳F=2BF，所以S 又因?yàn)镃D=2BD，所以S 因?yàn)锳F=2BF，所以S 又因?yàn)镃E=3AE，所以S 所以EP91.如圖，ABCD長(zhǎng)方形中，陰影部分是直角三角形且面積為54，OD的長(zhǎng)是16，OB的長(zhǎng)是9．那么四邊形OECD的面積是多少？【答案】

119.625【分析】

因?yàn)檫B接ED知道△ABO和△EDO的面積相等即為54，又因?yàn)镺D:OB=16:9，所以△AOD的面積為54÷9×16=96,根據(jù)四邊形的對(duì)角線性質(zhì)知道：△BEO的面積為：54×54÷96=30.375,所以四邊形OECD的面積為：54+96-30.375=119.625.92.下圖中，ABCD和CGEF是兩個(gè)正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形ABGEF的面積．【答案】

49.5平方厘米．【分析】

連接AC、GF，由于AC與GF平行，可知四邊形ACGF構(gòu)成一個(gè)梯形．由于△HCG面積為6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的12，根據(jù)梯形蝴蝶定理，可知△FHG的面積為12平方厘米，△AHF的面積為6平方厘米，△AHC的面積為3那么正方形CGEF的面積為6+12所以其邊長(zhǎng)為6厘米．又△AFC的面積為6+3=9(所以AD=9×2÷6=3(即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3厘米．那么，五邊形ABGEF的面積為：36+9+93.如圖，△ABC中AE=14AB，AD=14AC，ED與BC平行，△EOD的面積是【答案】

5【分析】

因?yàn)镋D與BC平行，且AE=14AB，所以ED=14BC，所以S△EOD:S△BOC=1:16又因?yàn)椤鱁OD的面積是1平方厘米，所以△BOC的面積是16平方厘米，由蝴蝶模型結(jié)論知△DOC的面積是4平方厘米，所以△EDC94.如圖，線段AB與BC垂直，已知AD=EC=4，BD=BE=6，那么圖中陰影部分面積是多少？【答案】

15【分析】

解法一：這個(gè)圖是個(gè)對(duì)稱圖形，且各邊長(zhǎng)度已經(jīng)給出，不妨連接這個(gè)圖形的對(duì)稱軸看看．作輔助線BO，則圖形關(guān)于BO對(duì)稱，有S且S設(shè)△ADO的面積為2份，則△DBO的面積為3份，直角三角形ABE的面積為8份．因?yàn)镾而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為30÷8×4=15.解法二：連接DE、AC．由于AD=EC=4,BD=BE=6,所以DE∥AC，可知DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以S即S又S所以S95.如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：（1）三角形BGC的面積；（2）AG:GC=？【答案】

（1）6（2）1:3【分析】

（1）S△BGC×1=2×3，（2）AGGC=S幾何-直線型幾何-蝴蝶模型-1星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率蝴蝶模型C1.了解蝴蝶模型及其公式

2.能夠熟練運(yùn)用任意四邊形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的來解決復(fù)雜的幾何知識(shí)少考知識(shí)提要蝴蝶模型任意四邊形蝴蝶模型

（1）S1:S2=S

梯形蝴蝶模型

（1）S2=S4

（2）S1:

精選例題蝴蝶模型1.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O．如果△ABD的面積等于△BCD的面積的13，且AO=2，DO=3，那么CO的長(zhǎng)度是DO的長(zhǎng)度的

【答案】

2【分析】

根據(jù)蝴蝶模型：△ABD△BCD=13=AOOC，OC=2×3=62.已知ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

21【分析】

連接AC．由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以S又S陰影部分面積為6+15=21(3.如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對(duì)角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是

平方厘米．【答案】

144【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶定理，S可得a:b=5:7,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以S那么梯形ABCD的面積為25+35+35+49=144(4.如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4:5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為

．【答案】

16【分析】

做輔助線如下：利用蝴蝶模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3，所以三角形1的面積就是36×44+5=16，三角形35.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AOB是直角三角形且面積為54，OD的長(zhǎng)是16，OB的長(zhǎng)是9．那么四邊形OECD的面積是

．【答案】

119【分析】

解法一：連接DE，依題意S所以AO=12,則S又因?yàn)镾所以O(shè)E=6得S所以S解法二：由于S所以S而S根據(jù)蝴蝶定理，S所以S所以S6.如下圖所示，點(diǎn)C在線段AE上，三角形ABC和三角形CDE都是正三角形，且F是線段BC的中點(diǎn)，G是線段DE的中點(diǎn)．若三角形ABC的面積為27，三角形AFG（陰影部分）的面積是

．【答案】

13.5【分析】

如下圖所示，連接CG，那么AF∥CG，根據(jù)梯形蝴蝶模型，得到S7.如圖，梯形ABCD的對(duì)角線相互垂直．三角形AOB的面積是12，OD的長(zhǎng)是4，求OC的長(zhǎng)．【答案】

6【分析】

S△COD=S△AOB=128.如圖，S2=2，【答案】

9【分析】

設(shè)S1為a2份，S3根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以b=2;又因?yàn)镾所以a=1;那么SS所以梯形面積S=或者根據(jù)梯形蝴蝶定理，S=9.梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9cm2 【答案】

4【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3，S△ 所以S△10.如圖，在△ABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O，若△AOM、△ABO和△BON的面積分別是3、2、1，則△MNC的面積是多少？【答案】

22.5【分析】

這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊模型和蝴蝶模型來求解．根據(jù)蝴蝶模型得S設(shè)S△MNCS3+解得x=22.5．11.下圖中的正方形ABCD的面積為1，M是AD邊上的中點(diǎn)．求圖中陰影部分的面積．【答案】

1【分析】

令三角形AGM的面積為1份，則三角形GMC的面積為2份，三角形MCD的面積為3份，所以1份=112.圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃．那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？【答案】

21【分析】

在△ABE，△CDE中有∠AEB=∠CED，所以△ABE，△CDE的面積比為(AE×EB):(CE×DE).同理有△ADE，△BCE的面積比為(AE×DE):(BE×EC).所以有S即S所以有△ABE與△ADE的面積比為7:6，S△ABE=76+7×39=21公頃，S13.梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9平方厘米，問三角形AOD的面積是多少？【答案】

4平方厘米【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶模型，a:b=1:1.5=2:3，S△所以S△AOD14.如圖：求三角形ADE的面積．【答案】

10【分析】

應(yīng)用蝴蝶模型可得：三角形ADE的面積等于12×5÷6=10．15.如下圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于O點(diǎn)，已知AO=1，并且三角形ABD的面積三角形 【答案】

5【分析】

根據(jù)蝴蝶定理，三角形ABD的面積三角形CBD的面積=AO16.右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米．【答案】

4【分析】

連接AE．由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S△OCDS故S△OCD2=16另解：在平行四邊形ABED中，S所以S根據(jù)蝴蝶模型，陰影部分的面積為8×2÷4=4(17.如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形ADG的面積是11，三角形BCH的面積是23，求四邊形EGFH的面積．【答案】

34【分析】

連接EF，S△EFG=S△ADG，S△BCH18.如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【答案】

0.58平方千米【分析】

應(yīng)用蝴蝶模型SS四邊形ABCD（公園）的面積是1+2+3+1.5=7.5人工湖的面積為7.5-6.92=0.5819.如下圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于O點(diǎn)，已知AO=1，并且$\dfrac{\text{三角形$ABD$的面積}}{\text{三角形$CBD$的面積}}=\dfrac{3}{5}$，那么OC的長(zhǎng)是多少？【答案】

5【分析】

根據(jù)蝴蝶定理，\[\dfrac{\text{三角形$ABD$的面積}}{\text{三角形$CBD$的面積}}=\dfrac{{AO}}{{CO}},\]所以AOCO=35，又20.圖中△AOB的面積為15cm2，線段OB的長(zhǎng)度為OD的3【答案】

80【分析】

在△ABD中，因?yàn)镾且OB=3OD，所以有S因?yàn)椤鰽BD和△ACD等底等高，所以有S從而S在△BCD中，S所以梯形面積：15+5+15+45=80(21.如圖中四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，如果三角形ABD的面積是30平方厘米，三角形ABC的面積是48平方厘米，三角形BCD的面積是50平方厘米．請(qǐng)問：三角形BOC的面積是多少？【答案】

30【分析】

根據(jù)題意可得：\[\text{三角形$BAD$與三角形$BCD$的面積比}=AO:CO=30:50=3:5,\]所以三角形BOC的面積為48×522.如下圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O．已知AB=5,CD=3，且梯形ABCD的面積為4．求三角形OAB的面積．【答案】

25【分析】

根據(jù)蝴蝶模型．根據(jù)題意，AB=5,CD=3,CD:AB=3:5，則根據(jù)蝴蝶模型，S令S△AOB=25份，則梯形9+15+25+15=64(所以1份為：4÷64=則三角形OAB的面積為123.如圖，梯形ABCD中，△AOB、△COD的面積分別為1.2和2.7，求梯形ABCD的面積．【答案】

7.5【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以a:b=2:3，S△AODSS梯形24.圖中的四邊形土地的總面積是48平方厘米，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是3平方厘米和4平方厘米．那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少平方厘米？【答案】

23【分析】

在△AOB，△COD中有∠AOB=∠COD，所以△AOB，△COD的面積比為(AO×OB):(CO×OD)．同理有△AOD，△BOC的面積比為(AO×DO):(BO×OC)．所以有S△AOB×S△COD=S△AOD×S△BOC，所以有△AOB與25.如圖所示，BD，CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，△DEF的面積是4cm2，△CED的面積是6cm2．四邊形【答案】

11【分析】

連接BF，在右邊的梯形BCDF中，由梯形基本結(jié)論知：S△BEF=S△CDE=6，所以S△BEC=9，S△BFC=9+6=1526.如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1，求三角形ABC的面積． 【答案】

10【分析】

因?yàn)锽D:CE=2:5，且BD∥CE，所以DA:AC=2:5，S△ABC=527.長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線交于O點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，連接AF、DF．如圖得到三塊陰影，已知陰影的面積之和是28平方厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米，寬是6厘米．求四邊形OEFG的面積．【答案】

4平方厘米．【分析】

由平行線定理或者梯形的蝴蝶定理，三角形CDG的面積就等于AFG的面積．這樣陰影面積之和就變成了△ABD和四邊形OEFG的面積之和．前者面積是8×6÷2=24(后者面積是28-24=4(即為所求．28.如圖所示，BD、CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，三角形DEF的面積4平方厘米，三角形CED的面積是6平方厘米．問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？【答案】

11【分析】

連接BF，由于AD與BC平行的，所以四邊形BCDF是梯形，S根據(jù)蝴蝶模型，S代入已知部分，可得S△BECS29.圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了四個(gè)小三角形，其中兩個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃，求四個(gè)三角形中最大的一個(gè)的面積．【答案】

21公頃【分析】

設(shè)另兩塊面積分別為x,y，如圖：7x=6y設(shè)x=6k，y=7k，則x+y=13k，13k=39，代入，得：x=18所以面積最大的一個(gè)的面積為21公頃．30.在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是

平方厘米．【答案】

12【分析】

連接DE，根據(jù)題意可知BE:AD=1:2，根據(jù)蝴蝶模型得S梯形=(1+2)2=931.如圖，梯形ABCD中，三角形AOB、三角形COD的面積分別是1.2和2.7，求梯形ABCD的面積．【答案】

7.5【分析】

由于四邊形ABCD是梯形，所以S△AOCS代入已知面積值，可以求出S所以ABCD32.如圖，正六邊形面積為6，那么陰影部分面積為多少？【答案】

8【分析】

連接陰影圖形的長(zhǎng)對(duì)角線，此時(shí)六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶模型把六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積81833.如圖，長(zhǎng)方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積是多少平方厘米？【答案】

9【分析】

連接DE、CF．四邊形EDCF為梯形，所以S△EODS所以S所以S△EOD=4(平方厘米)，S△ECD=4+8=12(平方厘米24-5-2-8=9(34.如圖，△ABC中AE=14AB，AD=14AC，ED與BC平行，△EOD的面積是【答案】

5【分析】

因?yàn)镋D與BC平行，且AE=14AB，所以ED=14BC，所以S△EOD:S△BOC=1:16又因?yàn)椤鱁OD的面積是1平方厘米，所以△BOC的面積是16平方厘米，由蝴蝶模型結(jié)論知△DOC的面積是4平方厘米，所以△EDC35.如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：（1）三角形BGC的面積；（2）AG:GC=？【答案】

（1）6（2）1:3【分析】

（1）S△BGC×1=2×3，（2）AGGC=S幾何-直線型幾何-蝴蝶模型-2星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率蝴蝶模型C1.了解蝴蝶模型及其公式

2.能夠熟練運(yùn)用任意四邊形蝴蝶模型和梯形蝴蝶模型的來解決復(fù)雜的幾何知識(shí)少考知識(shí)提要蝴蝶模型任意四邊形蝴蝶模型

（1）S1:S2=S

梯形蝴蝶模型

（1）S2=S4

（2）S1:

精選例題蝴蝶模型1.如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對(duì)角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是

平方厘米．【答案】

144【分析】

根據(jù)梯形蝴蝶定理，S可得a:b=5:7,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以S那么梯形ABCD的面積為25+35+35+49=144(2.已知ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

21【分析】

連接AC．由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S所以S又S陰影部分面積為6+15=21(3.如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4:5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為

．【答案】

16【分析】

做輔助線如下：利用蝴蝶模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3，所以三角形1的面積就是36×44+5=16，三角形34.如圖，正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)，三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是

平方厘米．【答案】

12【分析】

連接DE，根據(jù)題意可知BE:AD=1:2，根據(jù)蝴蝶模型得S梯形=(1+2)2=95.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AOB是直角三角形且面積為54，OD的長(zhǎng)是16，OB的長(zhǎng)是9．那么四邊形OECD的面積是

．【答案】

119【分析】

解法一：連接DE，依題意S所以AO=12,則S又因?yàn)镾所以O(shè)E=6得S所以S解法二：由于S所以S而S根據(jù)蝴蝶定理，S所以S所以S6.下圖中，四邊形ABCD和EFGH都是平行四邊形，四邊形ABCD的面積是16，BG:GC=3:1，則四邊形EFGH的面積=

．【答案】

3【分析】

連接EG．易知ABGE、CDEG為兩個(gè)相同的梯形．根據(jù)梯形中的蝴蝶模型可知：S所以S所以S7.圖中ABCD是梯形，四邊形ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是

平方厘米．【答案】

4【分析】

方法一：連接AE，由于AD與BC是平行的，所以AECD