推廣

一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第一節(jié)二、區(qū)域一、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念

一、多元函數(shù)的概念1.定義：設(shè)有變量x、y和z，如果當(dāng)變量

x、y在一定范圍內(nèi)任意取定一對值時，變量z按照一定的法則f總有唯一確定的數(shù)值與它們對應(yīng)，則稱這個對應(yīng)法則f為x、y的二元函數(shù)。變量x、y稱為自變量。自變量x、y取值的范圍稱為函數(shù)的定義域。記作同理可定義x、y、z的三元函數(shù)。主要以二元函數(shù)為例研究多元函數(shù)。

二元函數(shù)的兩個要素：對應(yīng)法則f定義域D

例1.求下列函數(shù)的定義域（1）定義域Dxyo（2）定義域Dxyo解：解：

xyo（3）定義域D解：

例2.

設(shè)，且當(dāng)時，，求函數(shù)z。解：將，代入，得

例3.設(shè)，求解：

2.二元函數(shù)的幾何意義定義域為圓域一般情形:二元函數(shù)圖形是球心在原點的上半球面.的圖形為空間曲面.定義域為整個xy面z=f(x,y),(x,y)

D

二、區(qū)域1.區(qū)域由一條閉曲線或幾條閉曲線圍成的平面上一部分稱為一個平面區(qū)域。二元函數(shù)的定義域是一個平面區(qū)域。圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界。不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域；包括邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域。如果區(qū)域能夠被原點為中心，適當(dāng)大的數(shù)為半徑的圓包含在內(nèi)，則稱區(qū)域為有界區(qū)域；否則為無界區(qū)域。

2.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑,也可寫成點P0的去心鄰域記為

三、二元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)二元函數(shù)為定義域內(nèi)一點,則稱常數(shù)A為函數(shù)記作的定義域為D，當(dāng)點以任意方式無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值如果無限接近于一個確定的常數(shù)A，當(dāng)時的極限，或任意方式任意方向任意路徑

解:原式例4.求

例5.設(shè)，求故解:當(dāng)時，有（有界函數(shù)與無窮小的乘積仍然是無窮?。?/p>

注意：當(dāng)點趨于不同值或有的極限不解:設(shè)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.存在，則可以斷定二元函數(shù)極限不存在。則有k值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以兩種不同方式趨于例6.討論函數(shù)函數(shù)

四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.設(shè)二元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點.則稱二元函數(shù)連續(xù).連續(xù),

例如,函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).

定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的(證明略)如下性質(zhì):

例7.求函數(shù)的連續(xù)域.解:

內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域2.多元函數(shù)概念常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)

3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)

作業(yè)P471，3(1，2)，4(1,3,4),5(1)第二節(jié)

第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計算法1.定義在點存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為則稱此極限為函數(shù)的某鄰域內(nèi)有定義，設(shè)函數(shù)如果極限

注意:同樣可定義對y的偏導(dǎo)數(shù)

若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點

(x,y)則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)也簡稱為偏導(dǎo)數(shù),記為處對x或y偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù),

例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為2.偏導(dǎo)數(shù)的求法給出二元函數(shù)求在中將y

看作常數(shù)而對x求導(dǎo)數(shù)求在中將x看作常數(shù)而對y求導(dǎo)數(shù)

例1.求解:在點(0,1)處的偏導(dǎo)數(shù).

例2.設(shè)證:求證

偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例3.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,

3.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點M0處的對x軸的斜率.在點M0處的切線斜率.是曲線對y軸的切線

求例4解：

對二元函數(shù),已得到這樣一些結(jié)論：對函數(shù)注意：連續(xù)（2）f(x,y)在點(0,0)不連續(xù)；不存在；（1）（3）可偏導(dǎo)，即可偏導(dǎo)；

二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):

類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階偏導(dǎo)數(shù)為

例5.求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及

連續(xù)，則定理.說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),而初等

內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號;幾何意義

函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計算方法

求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時,應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)

作業(yè)P521（1，3，5，7）；2(1,2);3；4；

6（1,3）；7第三節(jié)

備用題

設(shè)方程確定u

是x,y

的函數(shù),連續(xù),且求解:

二、全微分的計算第三節(jié)一、全微分的定義全微分

一、全微分的定義回憶一元函數(shù)y=f(x)的微分可微可導(dǎo)，且

1.定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可以寫成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作則稱函f(x,y)在點(x,y)處可微，的全增量數(shù)

函數(shù)在D內(nèi)可微.則稱若函數(shù)在域D內(nèi)每一點處都可微，可微設(shè)函數(shù)可微，得連續(xù)即2.可微與連續(xù)的關(guān)系由微分定義:

定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微必存在,且有3.可微與可偏導(dǎo)的關(guān)系:，即習(xí)慣上把自變量的增量寫成微分,得全微分計算公式,則函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在定理表明：

例1:設(shè)易知但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.證明：函數(shù)在點(0,0)處可偏導(dǎo)，但不可微。證：（可偏導(dǎo)），

定理2(充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微。4.函數(shù)可微的充分條件:說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故初等函數(shù)在定義域內(nèi)可微。因為初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),而初等可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)定理表明：在已知可微的前提下，按計算公式計算全微分。

推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可例如,三元函數(shù)且有疊加原理的全微分為微性問題.稱為函數(shù)關(guān)于x的偏微分；的偏微分；為函數(shù)關(guān)于y為函數(shù)關(guān)于z的偏微分。函數(shù)的全微分等于函數(shù)關(guān)于各個自變量的偏微分之和

例2.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:

例3.求函數(shù)的全微分.解:例4.計算函數(shù)的全微分.解:

例5.計算函數(shù)的全微分.解:

內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:

2.重要關(guān)系:極限存在函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在

P571(2)(4)(6);2(1)作業(yè)第四節(jié)

第四節(jié)一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

體現(xiàn)出

回憶一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則變量y、u、x之間yux的關(guān)系一條“鏈”

一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則定理.若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈式法則這種中間變量多于一個，而最終自變量僅有一個的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)。

推廣:1)中間變量多于兩個的情形.設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.例如：

例如：2)中間變量是多元函數(shù)的情形.

例如,注意:這里表示固定y對x求導(dǎo),表示固定v對x求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,

3)中間變量與自變量并存的情形.例1.設(shè)解:

例2.解:

例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:

引入記號：例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:表示f對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)表示f對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)后再對第二個變量求偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)計算中的三大原則：（1）對某變量求偏導(dǎo)數(shù)時，除了該變量以外的其他變量均看作常數(shù)，而對該變量求導(dǎo)（2）偏導(dǎo)數(shù)計算中仍然是關(guān)注函數(shù)的最后一道運算（3）如果函數(shù)表達式中有復(fù)合成份（特別是抽象復(fù)合）對自變量求導(dǎo)數(shù)，則首先對中間變量求導(dǎo)數(shù)，再乘以中間變量

例5.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:

內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,

P622;4;7（1）（3）;8;10（2）

作業(yè)第五節(jié)

第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)的實質(zhì)：用F對x、y的偏導(dǎo)數(shù)來表示f對x的導(dǎo)數(shù)

定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一②③滿足條件導(dǎo)數(shù)鄰域內(nèi)滿足

兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)函數(shù)，則

，將代入原方程，得

例1.，求解:令將及代入，得

兩邊對x求導(dǎo)兩邊再對x求導(dǎo)令x=0,注意此時導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)

定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足滿足:②在點③某一鄰域內(nèi)可唯一確①

例2.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對x求導(dǎo)

解法2

利用公式設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)

例3.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，解:已知方程故

例4.求解作業(yè)P651,3，5,6第七節(jié)

第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線復(fù)習(xí)位置.空間光滑曲線在點M

處的切線為此點處割線的極限一、空間曲線的切線與法平面過點M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面.設(shè)曲線方程為參數(shù)方程：（1）點

處曲線的切線方程為

（

對應(yīng)）處切線的方向向量為點—三個導(dǎo)數(shù)（2）點處曲線的法平面方程為

稱為切向量。向量注：上式分母同除以得割線的方程為推導(dǎo)：點對應(yīng)參數(shù)點對應(yīng)參數(shù)在上式中令，得直線:解切線為法平面為,切線的方向向量:處切線的方向向量——三個導(dǎo)數(shù)例1

求在點處的切線及法平面方程.點

對應(yīng)

求曲線在點處的切線方程和法平面方程。練習(xí)題處切線的方向向量——三個導(dǎo)數(shù)切平面的法向量為———三個偏導(dǎo)數(shù)二、曲面的切平面與法線設(shè)曲面則曲面在點處在點處切平面為:

法線為:

過點的平面:例2.

求曲面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以曲面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令

曲面在處切平面的法向量——三個偏導(dǎo)數(shù)上求一點,使該點處的法線垂直于例3.在曲面并寫出該法線方程.解:設(shè)所求點為平面

依題意,有令則法向量曲面在處切平面的法向量——三個偏導(dǎo)數(shù)解之得（法線垂直于平面）（點在曲面上）則法線方程為處的解1.求曲面在點切平面及法線方程.練習(xí)令切平面方程為法線方程為則即曲面在處切平面的法向量——三個偏導(dǎo)數(shù)。習(xí)題

P691.(2)2.3.(1)6.

第七節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法

回憶一元函數(shù)極值的討論體系定義:

可導(dǎo)函數(shù)的極值點為極大值為極小值必要條件：駐點判定極值的充分條件：第一充分條件：按駐點兩側(cè)的變號情況判定第二充分條件：為極大值為極小值

一、多元函數(shù)的極值

定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有

例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.

已知在點處取極值用平面與曲面相截得交線在處取極值同理

說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點稱為駐點.定理1(必要條件)函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值駐點且在該點取得極值,則有故可偏導(dǎo)函數(shù)的極值點

時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若

例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點.得駐點:(0,0),(2,2).第二步判別.解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)

(0,0)(2,2)時,A<0時取極大值;A>0時取極小值.為極大值.不是極值駐點ABC極值情況

例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為

二、最值應(yīng)用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達到最值最值嫌疑點駐點邊界上的最值點特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)

例3.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱，問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.

例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:設(shè)折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面

令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達到,而在域D內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.

三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如在(0,0)點處取極小值(無條件極值)求在限制條件下的極值問題

條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題例如：轉(zhuǎn)化上題中，從限制條件中解出代入

方法2拉格朗日乘數(shù)法.例如,引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.

例5某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為x和y

(件),

利潤函數(shù)為z=6x-x2+16y–4y2(元),每件產(chǎn)品均需消耗某種原料2公斤,現(xiàn)有原料12公斤,問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件時,利潤最大?解2x+2y=12,約束條件:即x+y=6,令解方程組得故當(dāng)x=3.8,y=2.2時,利潤最大.

作業(yè)P751，2,4,5，7習(xí)題課

求拋物線到直線的最短距離。

備用題

習(xí)題課一、