第1頁/共1頁高三數(shù)學(xué)（試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確．）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得z，代入（1+i）z，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【詳解】解：由已知得，z＝2﹣i，∴（1+i）z＝（1+i）（2﹣i）＝3+i．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因?yàn)椋@然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：C3.已知且，則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】對A：由對數(shù)性質(zhì)運(yùn)算即可得；對B：由對數(shù)性質(zhì)運(yùn)算即可得；對C：借助基本不等式運(yùn)算即可得；對D：找出反例即可得.【詳解】對A：，故A正確；對B：由，則，故，故B正確；對C：由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由，故等號(hào)不成立，即，故C正確；對D：當(dāng)、時(shí)，符合題意，但此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：D.4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式可知當(dāng)時(shí)得常數(shù)項(xiàng)，代入通項(xiàng)公式求得結(jié)果.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：當(dāng)，即時(shí)常數(shù)項(xiàng)為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的問題，關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的形式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知均為第二象限角，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、平方關(guān)系，并根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)判斷即可.【詳解】由題意，若，因?yàn)榫鶠榈诙笙藿?，所以，所以，即，所以，且均為第二象限角，所以，所以，即充分性成?若，因?yàn)榫鶠榈诙笙藿?，所以，即，所以，即，因?yàn)榫鶠榈诙笙藿牵?，所以，故必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C.6.在中，若的面積為，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、的值，利用三角形的面積公式可得出的值，再利用余弦定理可求得的值.【詳解】在中，因?yàn)?，則，故，，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，解得，，由三角形的面積公式可得，可得，由余弦定理可得，故.故選：C.7.如圖，是平面上一點(diǎn)，以為圓心，分別畫出半徑為1，2，3，4，5的同心圓.記半徑為4的圓的一條切線為，再畫出與平行的各圓的切線和一條穿過圓心與平行的直線.若以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線記為，則這個(gè)點(diǎn)（）A.都不在拋物線線上 B.只有個(gè)點(diǎn)在拋物線上C.有個(gè)點(diǎn)在拋物線上 D.有個(gè)點(diǎn)在拋物線上【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出拋物線及同心圓方程，聯(lián)立可得，據(jù)此判斷即可.【詳解】不妨以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)D且平行于直線的直線為軸，過點(diǎn)D且垂直于直線的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，此時(shí)，則拋物線的方程為，易知該組同心圓的方程為，聯(lián)立解得，由圖可知，所給5點(diǎn)的縱坐標(biāo)不小于0，故，當(dāng)時(shí)，可得，該點(diǎn)為點(diǎn)D；當(dāng)時(shí)，，該點(diǎn)為點(diǎn)E；當(dāng)時(shí)，，該點(diǎn)不存在；當(dāng)時(shí)，，該點(diǎn)為點(diǎn)B；綜上所述，有3個(gè)點(diǎn)在拋物線上.故選：D.8.點(diǎn)聲源亦稱“球面聲源”或“簡單聲源”.已知點(diǎn)聲源在空間中傳播時(shí)，衰減量（單位：）與傳播距離（單位：）的關(guān)系式為，其中為常數(shù).當(dāng)傳播距離為時(shí)，衰減量為；當(dāng)傳播距離為時(shí)，衰減量為.若，則約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用給定的模型，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】依題意，（）.故選：A9.如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F沿著線段從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)．則下列結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線為異面直線 B.恒為鈍角C.三棱錐體積越來越大 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線共面可得A錯(cuò)誤，利用的特殊位置可得B錯(cuò)誤，利用線面平行可判斷C錯(cuò)誤，利用線面垂直可判斷D正確.【詳解】對于A，易知，所以直線與直線為共面直線，A錯(cuò)誤；對于B，由正方體的性質(zhì)可知，當(dāng)F與重合時(shí)，為銳角，B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，又平面，平面，所以平面，又在上，所以到平面的距離為定值，又三角形也為定值，所以三棱錐體積為定值，C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，D正確.故選：D10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函數(shù) B.存在在處取最大值C.存在是增函數(shù) D.存在在處取到極小值【答案】B【解析】【分析】A選項(xiàng)利用偶函數(shù)的性質(zhì)找到矛盾即可；B選項(xiàng)找到合適函數(shù)即可；C選項(xiàng)由定義得到集合與已知條件矛盾；D選項(xiàng)由集合的定義找到矛盾.【詳解】對于A選項(xiàng)：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，任意的，恒成立，若時(shí)偶函數(shù)，此時(shí)矛盾，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)：若函數(shù)圖像如下：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)，，∴存在在處取最大值，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)：在時(shí)，若函數(shù)嚴(yán)格遞增，則集合的取值不會(huì)是，而是全體定義域，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)：若存在在處取到極小值，則在在左側(cè)存在，，與集合定義矛盾，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）11.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，即，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12.設(shè)是等比數(shù)列，，，則__________.【答案】16【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，則，故.故答案為：16.13.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，則其漸近線的方程為_____【答案】【解析】【詳解】試題分析：由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，漸近線方程為考點(diǎn)：雙曲線方程及性質(zhì)14.函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意成立，則滿足條件的一組值可以是________，________．【答案】①.1②.0【解析】【分析】由奇函數(shù)確定，再由最值確定.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，得，經(jīng)驗(yàn)證符合；所以，又恒成立，所以恒成立，所以，即.故答案為：1；015.已知函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：（1）的定義域?yàn)椋海?）不等式恒成立；（3）存在，使得關(guān)于的方程有解；（4）存在，使得當(dāng)、且時(shí)，都有．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，可判斷（1）；分析可知，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷（2）；利用指數(shù)和對數(shù)的互化結(jié)合，可判斷（3）；取，，確定、的取值區(qū)間推理判斷④即可得解.【詳解】對于（1），對任意的，，則且，所以，對于函數(shù)，，即則，解得或，因此，函數(shù)定義域?yàn)?，故?）正確；對于（2），由（1）可知，，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，所以，不等式恒成立，故（2）正確；對于（3），存在，使得關(guān)于的方程有解，即，可得，因?yàn)?，而，故不存在，使得關(guān)于的方程有解，故（3）錯(cuò)誤；對于（4），取，，，，由，得，令、，則，由，得，而，當(dāng)，取，此時(shí)、，、，則，所以，，都有，故（4）正確.故答案為：（1）（2）（4）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，借助單調(diào)性是求出函數(shù)的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共6．小題，共85分．）16.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）直線與曲線、分別交于點(diǎn)、，求的最大值．【答案】（1）最小正周期為，遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡解析式，求解最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間即可；（2）利用題意把線段長度表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【小問1詳解】因?yàn)?，則的最小正周期為.由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由題意可知，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則，即，故，因?yàn)?，所以，所以，所以在時(shí)的最大值為.17.如圖，在四棱錐中，，，，，，，為的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．（1）求證：，且是的中點(diǎn)；（2）若為的中點(diǎn)，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）證明見解析（2）條件選擇見解析，【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出平面，利用線面平行的性質(zhì)可得出，結(jié)合可證得，結(jié)合中位線的性質(zhì)可證得是的中點(diǎn)；（2）若選條件①，推導(dǎo)出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值；若選條件②，推導(dǎo)出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，平面，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)槠矫媾c棱交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn).【小問2詳解】若選條件①，因?yàn)?，，，、平面，所以，平面，因?yàn)?，則平面，因?yàn)椋渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，所以，，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，所以，，取，可得，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為；若選條件②，連接、，因?yàn)椋?，，則，所以，，則，因?yàn)?，則，故，且，則為等邊三角形，所以，，因?yàn)?，，則，所以，，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，所以，，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，所以，，取，可得，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng)活動(dòng)后，為了解閱讀情況，學(xué)校隨機(jī)選取了幾名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀量并整理得到以下數(shù)據(jù)（單位：本）：男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；女生：5，5，6，7，8，9，11，13．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生的閱讀情況相互獨(dú)立．（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)此次活動(dòng)中學(xué)生閱讀量超過10本的概率；（2）現(xiàn)從該校的男生和女生中分別隨機(jī)選出1人，記為選出的2名學(xué)生中閱讀量超過10本的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)增加一名女生得到新的女生樣本．記原女生樣本閱讀量的方差為，新女生樣本閱讀量的方差為．若女生的閱讀量為8本，寫出方差與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)超過10本的個(gè)數(shù)即可求解，（2）根據(jù)乘法公式求解概率，進(jìn)而得分布列，由期望公式即可求解，（3）根據(jù)方差的計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】共選出了17名學(xué)生，其中有5人的閱讀量超過10本，所以此次活動(dòng)中學(xué)生閱讀量超過10本的概率為．【小問2詳解】由題意，從男生中隨機(jī)選出1人其閱讀量超過10本的概率為；從女生中隨機(jī)選出1人，其閱讀量超過10本的概率為．由題設(shè)，的可能取值為0，1，2．且；；．所以的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望．【小問3詳解】．理由：設(shè)原女生的8個(gè)閱讀量分別為，原女生閱讀量的平均數(shù)為，新增一名女生后，平均數(shù)依然為8，則所以19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理化簡前者可得，故可證軸.【小問1詳解】設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.【小問2詳解】直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.20.已知函數(shù)，，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)；（3）用表示、的最大值，記．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意，恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，的取值范圍是【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得出函數(shù)的零點(diǎn)；（3）由題意，將恒成立轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立即可，對求導(dǎo)得，分、、三種情況討論，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，此時(shí)曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)?，故函?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).【小問3詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，由于當(dāng)時(shí)，恒成立，所以等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，，且.下面考慮，當(dāng)時(shí)，恒成立，①若，當(dāng)時(shí)，，故，在遞增，此時(shí)，不合題意；②若，當(dāng)時(shí)，由知，存在，使得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上遞增，故當(dāng)，，遞增，此時(shí)，不合題意；③若，當(dāng)時(shí)，由知，對任意，，遞減，此時(shí)，符合題意.且當(dāng)時(shí)，，合乎題意，綜上可知：存在實(shí)數(shù)滿足題意，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.21.設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中，且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一列，若其中有t或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有t且沒有，則這一列中每個(gè)數(shù)都乘以”（），表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到，…，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到.記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為.（1）若，，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；（2）若，，求的所有可能取值的和；（3）對任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不大于.【答案】（1），0（2）40（3）證明見解析【解析】【分析】（1）直接由變換以及的定義即可求解；（2）對集合分類討論，進(jìn)而得出的所有情況即可求解；（3）分是否相等進(jìn)行討論，當(dāng)，在的所有非空子集中，分：含有且不含的子集、含有且不含的子集、同時(shí)含有和的子集和不含也不含的子集，四種情況進(jìn)行討論，當(dāng)，分含有