專題07兩點分布、二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布九種考法解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、兩點分布……………………3類型二、二項分布求參………………4類型三、二項分布中的期望與方差 7類型四、超幾何分布求參 11類型五、超幾何分布中的期望與方差 13類型六、正態(tài)分布的對稱性 17類型七、利用3δ原則求概率 19類型八、正態(tài)分布中的期望與方差 23類型九、概率與數(shù)列，統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)交匯 26壓軸能力測評（10題） 321、兩點分布（1）定義：對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么X的分布列如表所示．X01我們稱X服從兩點分布或0-1分布．注意：隨機變量X只取0和1，才是兩點分布，否則不是．（2）適用范圍①研究只有兩個結(jié)果的隨機試驗的概率分布規(guī)律；②研究某一隨機事件是否發(fā)生的概率分布規(guī)律。如抽取的彩票是否中獎；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點分布來研究。2、獨立重復(fù)試驗與二項分布獨立重復(fù)試驗二項分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，繼而求得概率．3、超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))4、正態(tài)分布正態(tài)密度函數(shù)函數(shù)f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數(shù).利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的兩個實質(zhì)性特點：一是對稱軸為，二是最大值為．這兩點確定以后，相應(yīng)參數(shù)便確定了，代入中便可求出相應(yīng)的解析式．對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線對稱的區(qū)間概率相等．如：①；②正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率（1）；（2）；（3）．在實際應(yīng)用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為原則正態(tài)曲線圖像的特點：(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的期望與方差若，則，類型一、兩點分布例．（1）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么.【答案】【解析】由題意可知，解得.故答案為：（2）已知隨機變量服從兩點分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】D【解析】當時，由，所以.故選：D【變式訓(xùn)練1】設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則成功概率（

）A．0.3B．0.35C．0.65D．0.7【答案】C【解析】隨機變量服從兩點分布，，根據(jù)兩點分布概率性質(zhì)可知：，解得.故選：C【變式訓(xùn)練2】隨機變量服從兩點分布，且，令，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，由，所以.故選：D【變式訓(xùn)練3】已知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布，則；若，則.【答案】0.70.3【解析】因為服從參數(shù)為0.3的兩點分布，所以，.當時，，所以故答案為：0.70.3類型二、二項分布中的概率例．（1）如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為．若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位于的位置，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，當時，的可能取值為1,3,5，且，所以.故選：D．（2）在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若是只取非負值的隨機變量，則對，都有.某市去年的人均年收入為10萬元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入超過100萬元”為事件A，其概率為.則的最大值為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】記該市去年人均收入為萬元，從該市任意選取3名市民，年收入超過100萬元的人數(shù)為.設(shè)從該市任選1名市民，年收入超過100萬元的概率為，則根據(jù)馬爾可夫不等式可得，，因為，所以，令，則，，即，在上單調(diào)遞增.，即.故選：B【變式訓(xùn)練1】某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如表所示：用時/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒概率為，設(shè)隨機抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為，則，其中，時，；顯然，即不可能為最大值，當時，由得，化簡得，解得，又這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是5，故選：C．【變式訓(xùn)練2】小張參加某知識競賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張在題庫中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫中的題目數(shù)量足夠多，該知識競賽需要小張從題庫中連續(xù)回答10個題目，若小張在這10個題目中恰好回答正確k個（，1，2，，10）的概率為，則當k為何值時，最大？【答案】（1）0.6；（2）6【解析】（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張在題庫中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得，設(shè)，即，所以，即，解得，又，所以時，最大.類型三、二項分布中的期望與方差例．小明參加社區(qū)組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區(qū)域甲的概率是，擊中區(qū)域乙的概率是，擊中區(qū)域丙的概率是，區(qū)域甲，乙、丙均沒有重復(fù)的部分．這次射擊比賽獲獎規(guī)則是：若擊中區(qū)域甲則獲一等獎；若擊中區(qū)域乙則有一半的機會獲得二等獎，有一半的機會獲得三等獎；若擊中區(qū)域丙則獲得三等獎；若擊中上述三個區(qū)域以外的區(qū)域則不獲獎．獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優(yōu)秀射擊手”稱號．（1）求小明射擊1次獲得“優(yōu)秀射擊手”稱號的概率；（2）小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結(jié)果相互獨立，設(shè)獲三等獎的次數(shù)為X，求X分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析；【解析】（1）記“射擊一次獲得‘優(yōu)秀射擊手’稱號”為事件；射擊一次獲得一等獎為事件；射擊一次獲得一等獎為事件，所以有，所以，，所以.（2）獲得三等獎的次數(shù)為，的可能取值為，，，，；記“獲得三等獎”為事件，所以，所以，，，，，所以顯然，.【變式訓(xùn)練1】（多選）已知小李每天在上班路上都要經(jīng)過甲、乙兩個路口，且他在甲、乙兩個路口遇到紅燈的概率分別為，p．記小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個數(shù)之和為，在甲、乙這兩個路口遇到紅燈個數(shù)之和為，則（

）A．B．C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為D．當時，【答案】BC【解析】對于A，B，小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個數(shù)之和為，則，則，，故A錯誤，B正確；對于C，由題意可設(shè)一天至少遇到一次紅燈的概率為，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率為，設(shè)，則，令，則（舍去）或或，當時，，當時，，故時，取得最大值，即，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為，此時，故C正確；對于D，當時，一天中不遇紅燈的概率為，遇到一次紅燈的概率為，遇到兩次紅燈的概率為，故一天遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以，故D錯誤，故選：BC【變式訓(xùn)練2】我國無人機發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢，已經(jīng)成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測等領(lǐng)域.某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防員甲操控?zé)o人機對同一目標起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為，每次投彈是否擊中目標相互獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為，擊中目標兩次起火點被撲滅的概率為，擊中目標三次起火點必定被撲滅.(1)求起火點被無人機擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率.【答案】(1)分布列見解析，；(2)【解析】（1）起火點被無人機擊中次數(shù)的所有可能取值為，.的分布列如下：0123.（2）擊中一次被撲滅的概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.【變式訓(xùn)練3】某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表：測試指標元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機變量，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當隨機事件A發(fā)生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）不可信.【解析】（1）記事件為抽到一件合格品，事件為抽到兩個合格品，（2）（i）由題：若，則又所以或由切比雪夫不等式可知，所以；（ii）設(shè)隨機抽取100件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)為，假設(shè)廠家關(guān)于產(chǎn)品合格率為的說法成立，則，所以，由切比雪夫不等式知，，即在假設(shè)下100個元件中合格品為70個的概率不超過0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來說在一次試驗中是不會發(fā)生的，據(jù)此我們有理由推斷工廠的合格率不可信.類型四、超幾何分布中的概率例．（1）袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機變量為其中白球的個數(shù)，隨機變量為其中黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量為取出4個球的總得分，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知均服從超幾何分布，且，由，得，所以，因為,,,所以,故選：B（2）在個排球中有個正品，個次品.從中抽取個，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)超幾何分布，可知共有種選擇方法，符合正品數(shù)比次品數(shù)少的情況有兩種，分別為0個正品4個次品，1個正品3個次品，分別求其概率即可．詳解：正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種情況：0個正品4個次品，1個正品3個次品，由超幾何分布的概率可知，當0個正品4個次品時當1個正品3個次品時所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為，故選：A【變式訓(xùn)練1】某地個貧困村中有個村是深度貧困，現(xiàn)從中任意選個村，下列事件中概率等于的是（

）A.至少有個深度貧困村 B.有個或個深度貧困村C.有個或個深度貧困村 D.恰有個深度貧困村【答案】B【解析】用表示這個村莊中深度貧困村數(shù)，服從超幾何分布，故，所以，，，，.故選：B【變式訓(xùn)練2】數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由超幾何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：．故選：D．類型五、超幾何分布中的期望與方差例．一個盒子中有個大小、質(zhì)地相同，顏色不同的小球，其中個黑球，個白球．若采用無放回抽取，從這個球中隨機抽取個．求取出的個球中黑球的個數(shù)的分布列和期望.【答案】條件選擇見解析，分布列見解析，【解析】若選①，由題意知所有可能的取值為、、、，，，，，的分布列為：期望為；（2）（多選）袋中有6個大小相同的球，其中4個黑球，2個白球，現(xiàn)從中任取3個球，記隨機變量為其中白球的個數(shù)，隨機變量為其中黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量為取出3個球的總得分，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】，均服從于超幾何分布，且，，，，對選項A：，，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：，正確；對選項D：，正確；故選：ACD.【變式訓(xùn)練1】（多選）已知10件產(chǎn)品中存在次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為，，，則下列說法正確的是（

）A．這10件產(chǎn)品的次品率為20% B．次品數(shù)為8件C． D．【答案】ACD【解析】假設(shè)10件產(chǎn)品中存在次品為件，從中抽取2件，，則次品數(shù)為2件，B錯誤；這10件產(chǎn)品的次品率為，A正確；10件產(chǎn)品中存在2件次品，從中抽取2件，記次品數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，；則，C正確；，D正確.故選：ACD.【變式訓(xùn)練2】隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動，線上線下相結(jié)合的新零售時代已全面開啟，新零售背景下，即時配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長.某即時配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其兩個分公司的客戶中各隨機抽取10位客戶進行了滿意度評分調(diào)查（滿分100分），評分結(jié)果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.（1）求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)；（2）規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進建議，設(shè)被抽到的3人中分公司的客戶人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2），分布列見解析【解析】（1）將抽取的這20位客戶的評分從小到大排列為：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因為，所以抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)為.（2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分；分公司中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司中2人，分公司中3人.所以的所有可能取值為1，2，3.，所以的分布列為123數(shù)學(xué)期望【變式訓(xùn)練3】學(xué)校師生參與創(chuàng)城志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人作為志愿者參加活動.（1）求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；（2）記參加活動的女生人數(shù)為，求的分布列及期望；（3）若志愿活動共有衛(wèi)生清潔員?交通文明監(jiān)督員?科普宣傳員三項可供選擇.每名女生至多從中選擇2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為.每人每參加1項活動可獲得3個工時，記隨機選取的兩人所得工時之和為，求的期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）13個工時【解析】（1）設(shè)“有女生參加活動”為事件A，”恰有一名女生參加活動“為事件.則，所以.（2）依題意知服從超幾何分布，且，，所以的分布列為：012；（3）設(shè)一名女生參加活動可獲得工時數(shù)為，一名男生參加活動可獲得工時數(shù)為，則所有可能取值為，的所有可能取值為，，，，，有名女生參加活動，則男生有名參加活動.，所以.即兩人工時之和的期望為13個工時.類型六、正態(tài)分布的對稱性例．（1）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【解析】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.故選：D.（2）已知隨機變量滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，由，得，因為，所以隨機變量對應(yīng)的正態(tài)密度曲線的形狀相同，其對稱軸分別為直線，從而.故選：B（3）已知隨機變量且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】，.因為，所以，解得.故選：B【變式訓(xùn)練1】已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．【答案】/．【解析】因為，所以，因此．故答案為：【變式訓(xùn)練2】隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【解析】或，又，故，則，得，故選：B【變式訓(xùn)練3】已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則.【答案】0.36【解析】隨機變量X服從正態(tài)分布，，由正態(tài)分布圖像的對稱性可得曲線關(guān)于對稱。，.故答案為：0.36.

類型七、利用3δ原則求概率例．（1）某市高三年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布.現(xiàn)隨機選擇一名本市高三年級男生，則該男生身高不高于170cm的概率是（）參考數(shù)據(jù)：A.0.6827 B.0.34135 C.0.3173 D.0.15865【答案】D【解析】由題意，，且，所以.故選：D（2）設(shè)隨機變量，函數(shù)沒有零點的概率是，則（）附：若，則，．A． B．C．0.1257 D．【答案】B【解析】函數(shù)沒有零點，二次方程無實根，，，又沒有零點的概率是，，由正態(tài)曲線的對稱性知，，，，，，，故選：B．（3）某市組織高中數(shù)學(xué)測試.考試結(jié)束后發(fā)現(xiàn)考試成績X（滿分150分）服從正態(tài)分布，其中考試成績130分及以上者為優(yōu)秀，考試成績90分及以上者為及格.已知優(yōu)秀的人數(shù)為13，本次考試成績及格的人數(shù)大約為（

）附:，.A.3413 B.1587 C.8413 D.6826【答案】C【解析】依題意，這次數(shù)學(xué)測試的平均分，標準差，則，參加數(shù)學(xué)測試的總?cè)藬?shù)為，又，所以本次考試成績及格的人數(shù)大約為.故選：C【變式訓(xùn)練1】設(shè)X~N(1，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)=0.0228，那么向正方形OABC中隨機投擲20000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為（

）附:，.A．12076 B．13174C．14056 D．7539【答案】B【解析】由題意，得P(X≤-1)=P(X≥3)=0.0228;∴P(-1<X<3)=1-0.0228×2=0.9544.∵，∴1-2σ=-1，故σ=1，∴P(0<X<1)=P(0<X<2)=0.3413，故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為20000×(1-0.3413)=13174故選：B【變式訓(xùn)練2】（多選）18世紀30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量X服從二項分布，那么當n比較大時，可視為X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，．任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布（且）．當時，對任意實數(shù)x，記，則（） 當時，隨機變量，當減小，增大時，概率保持不變 隨機變量，當都增大時，概率單調(diào)增大【答案】AC【解析】對于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：，故A正確；對于B,當時，，故B錯誤；對于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準則，在正態(tài)分布中代表標準差，代表均值,即為圖象的對稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在中的概率為0.6826，是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯誤，故選：AC【變式訓(xùn)練3】新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學(xué)?外語三門為必選科目，“1”指的是要在物理?歷史里選一門，“2”指考生要在生物?化學(xué)?思想政治?地理4門中選擇2門．(1)若按照“”模式選科，求甲?乙兩名學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績，從當?shù)夭煌膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試（滿分450分），假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布．①估計4000名學(xué)生中成績介于190分到355分之間的有多少人（結(jié)果保留到個位）；②該地某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有12名同學(xué)獲得425分以上的高分”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識分析上述宣傳語是否可信．附：．【答案】(1)；(2)①3274人；②不可信.【解析】（1）甲?乙兩名學(xué)生必選語文?數(shù)學(xué)?外語．若另一門相同的為物理?歷史中的一門，有種，在生物?化學(xué)?思想政治?地理4門中，甲?乙選擇不同的2門，則有種，共種；若另一門相同的為生物?化學(xué)?思想政治?地理4門中的一門，則有種．所以甲?乙兩個學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法總數(shù)為．（2）①設(shè)此次網(wǎng)絡(luò)測試的成績記為，則．由題知，則，所以．所以估計4000名學(xué)生中成績介于190分到355分之間的約有3274人．②不可信．，則，4000名學(xué)生中成績大于410分的約有人，這說明4000名考生中，只有約5人的成績高于410分．所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測試，有12名同學(xué)獲得425分以上的高分”的宣傳語不可信．類型八、正態(tài)分布中的期望與方差例．在一次大范圍的隨機知識問卷調(diào)查中，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：得分頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表).①求的值；②若，求的值；（2）在（1）的條件下，為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為贈送話費的金額(單位：元)2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）①；②；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為41.25元.【解析】（1）①由題意得，，②，由正態(tài)分布曲線的對稱性得，，解得；（2）由題意得，，即獲贈1次和2次隨機話費的概率均為,故獲贈話費的的所有可能取值為20，40，50，70，100，，，，.的分布列為20405070100元.所以的數(shù)學(xué)期望為41.25元【變式訓(xùn)練1】“立定跳遠”是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標準》測試項目中的一項，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠測試數(shù)據(jù)（單位：）服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機抽取3人，并記不在的人數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，則則，故A錯誤；由題知，不在的概率為，則，則，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確；故選：D【變式訓(xùn)練2】某市2024年初新建一家生產(chǎn)消毒液的工廠，質(zhì)檢部門現(xiàn)從這家工廠中隨機抽取了100瓶消毒液進行檢測，得到該廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標值的頻率分布直方圖如圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表，視頻率為概率）．設(shè)該廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標值Z近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，并已求得．該廠決定將消毒液分為A、B、C級三個等級，其中質(zhì)量指標值Z不高于14.55的為C級，高于62.35的為A級，其余為B級，請利用該正態(tài)分布模型解決下列問題：（1）該廠近期生產(chǎn)了10萬瓶消毒液，試估計其中B級消毒液的總瓶數(shù)；（2）已知每瓶消毒液的等級與售價X（單位：元/瓶）的關(guān)系如下表所示：等級ABC售價X302510假定該廠一年消毒液的生產(chǎn)量為1000萬瓶，且消毒液全都能銷售出去．若每瓶消毒液的成本為20元，工廠的總投資為2千萬元（含引進生產(chǎn)線、興建廠房等一切費用在內(nèi)），問：該廠能否在一年之內(nèi)收回投資？試說明理由．附：若，則，，．【答案】（1）84000瓶（2）能，理由見解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標值的平均數(shù)為：，由題意，甲廠生產(chǎn)消毒液的質(zhì)量指標值Z近似地服從正態(tài)分布，所以，又由，所以可估計甲廠所生產(chǎn)的這10萬瓶消毒液中，B級消毒液有84000瓶．（2）設(shè)每瓶消毒液的利潤為Y元，則Y的可能取值為10，5，，可得，，所以，故Y的分布列為：Y105P0.001350.84000.15865所以每瓶消毒液的平均利潤為：（元），故生產(chǎn)一年消毒液所獲利潤為（千萬元），而2.6270（千萬元）（千萬元），所以該廠能在一年之內(nèi)收回投資．類型九、概率與數(shù)列，統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù)交匯例．一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【解析】（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.【變式訓(xùn)練1】甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【變式訓(xùn)練2】某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，需要檢驗次；②混合檢驗，將其且)份血液樣木分別取樣混合在一起檢驗．若檢驗結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率．（2）現(xiàn)取其中且)份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為．①記E()為隨機變量的數(shù)學(xué)期望．若運用概率統(tǒng)計的知識，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；②若，且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．【答案】（1）；（2）①（且）；②8.【解析】（1）記恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件，則.（2）①根據(jù)題意，可知，的可能值為1，，則，，所以，由，得，所以（且）.②由于，則，所以，即，設(shè)，，，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，，，所以的最大值為8.【變式訓(xùn)練3】2024年5月28日，南京首家開市客超市開業(yè)，開市客超市是一家會員制超市，辦了會員便可以攜同伴進入購物．據(jù)統(tǒng)計，開業(yè)第一天人流量超過三萬人，且大多組團來逛超市，如果單獨一人逛超市，則視此人為單獨一個團體．其中的團體擁有一張會員卡，結(jié)賬時將會收到超市贈送的精美布袋一個；另外的團體擁有兩張及以上會員卡，結(jié)賬時將會收到超市贈送的精美布袋兩個．假設(shè)每個團體之間相互獨立，且將頻率看做概率．（1）隨機抽取3個團體，記3個團體收到超市贈送的精美布袋總個數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將個團體獲贈精美布袋總個數(shù)為個的事件概率記為，求；（3）如果你是開市客超市負責(zé)人，預(yù)計某時間段有100個團體來超市購物，若以需要贈送精美布袋總個數(shù)概率最大為依據(jù)，請問你應(yīng)該提前準備多少精美布袋比較合理．并與該時間段內(nèi)需要贈送精美布袋總個數(shù)的期望比較大小．【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）（3）答案見解析【解析】（1）據(jù)題意，獲得一份精美布袋概率為，獲得兩份精美布袋概率為，則精美布袋個數(shù)的可能取值為3，4，5，6其中，，，所以的分布列為3456（2）因為個團體獲贈精美布袋總數(shù)為個，則只有1團體獲得兩份精美布袋，其余個團體獲得一份精美布袋；于是，則，所以兩式相減，得所以（3）設(shè)獲得一份精美布袋的團體個數(shù)為，則獲得兩份精美布袋的團體個數(shù)為，因此獲得精美布袋總個數(shù)為，此時精美布袋總個數(shù)為的概率，當此概率取最大值時，必有，于是整理得，解得，而，則，則，所以精美布袋總個數(shù)取最大值時，由于獲得一份精美布袋概率為，獲得兩份精美布袋概率為，故一個人獲得精美布袋期望為此概率模型符合二項分布，故100個團體對應(yīng)期望值從以上結(jié)果來看，獲取125個布袋的概率最大，數(shù)值與總布袋獲取的期望相等1．已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為的分布列服從兩點分布，所以，因為，所以故選：C2．已知隨機變量，，且，，則（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于服從正態(tài)分布，且，故其均值.而服從二項分布，故，再由，就有，得.故選：C.3．江先生每天9點上班，上班通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行，私家車路程近一些，但路上經(jīng)常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，從停車場步行到單位要6分鐘；江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統(tǒng)計的角度出發(fā)，下列說法中合理的有（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A．若出門，則開私家車不會遲到B．若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C．若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大D．若出門，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到【答案】D【解析】對于A，當滿足時，江先生仍舊有可能遲到，只不過發(fā)生的概率較小，故A錯誤；對于，若出門，①江先生開私家車，當滿足時，此時江先生開私家車不會遲到；②江先生乘坐地鐵，當滿足時，此時江先生乘坐地鐵不會遲到；此時兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當，故B錯誤；對于C，若出門，①江先生開私家車，當滿足時，此時江先生開私家車不會遲到；②江先生乘坐地鐵，當滿足時，此時江先生乘坐地鐵不會遲到；此時兩種上班方式，顯然江先生開私家車不遲到的可能性更大，故C錯誤；對于D，若出門，江先生乘坐地鐵上班，當滿足時，江先生乘坐地鐵不會遲到，此時不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故D正確.故選：D.4．已知20條試題中有8條選擇題，甲無放回地依次從中抽取5條題，乙有放回地依次從中抽取5條題，甲、乙每次均抽取一條試題，抽出的5條題中選擇題的條數(shù)分別為，的期望分別為，方差分別為，則（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，的可能取值為，的可能取值為，隨機變量服從超幾何分布，隨機變量服從二項分布，根據(jù)超幾何分布的均值方差公式得：，即，.根據(jù)超二項分布的均值方差公式得：，即，所以，.故選：A5．（多選）某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智能檢測系統(tǒng)進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進入流水線由工人進行抽樣檢驗.記A表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進生產(chǎn)工藝后，該款芯片的某項質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取個，這個芯片中恰有個的質(zhì)量指標位于區(qū)間，則下列說法正確的是（

）（若，則）A．B．C．D．取得最大值時，的估計值為53【答案】ACD【解析】依題意，，A正確；由，則，又，于是，即，因此，即，則，B錯誤；由又，C正確；，設(shè)，由，解得，即，由，解得，即，所以最大時的估計值為53，D正確.故選：ACD6．（多選）已知正方體，的棱長為1，點P是正方形上的一個動點，初始位置位于點處，每次移動都會到達另外三個頂點.向相鄰兩頂點移動的概率均為，向?qū)琼旤c移動的概率為，如當點P在點處時，向點，移動的概率均為，向點移動的概率為，則（

）A．移動兩次后，“”的概率為B．對任意，移動n次后，“平面”的概率都小于C．對任意，移動n次后，“PC⊥平面”的概率都小于D．對任意，移動n次后，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望（注：當點P在平面上時，四面體體積為0）【答案】AC【解析】設(shè)移動次后，點在點的概率分別為，其中，，解得：，對于A，移動兩次后，“”表示點移動兩次后到達點，所以概率為，故A正確；對于B，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，因為，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，而，平面，所以當點位于或時，平面，當移動一次后到達點或時，所以概率為，故B錯誤；對于C，所以當點位于時，PC⊥平面，所以移動n次后點位于，則，故C正確；對于D，四面體體積V的數(shù)學(xué)期望，因為，所以點到平面的距離為，同理，點到平面的距離分別為，所以，所以，當為偶數(shù)，所以，當時,；當為奇數(shù)，所以，故D錯誤.故選：AC.7．如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的