2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市潮南區(qū)陳店公辦八校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，如圖四幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件屬于必然事件的是（）A．車輛隨機(jī)經(jīng)過一個路口，遇到紅燈 B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù) C．拋1枚硬幣，硬幣落地時正面朝上 D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180度3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，﹣6）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，6） B．（3，﹣6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，6）4．（3分）二次函數(shù)y＝2x2+1的圖象向下平移3個單位，再向左平移2個單位，所得到的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝2（x+2）2﹣2 B．y＝2（x﹣2）2﹣2 C．y＝2（x+2）2+2 D．y＝2（x﹣2）2+25．（3分）如圖，△ABE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△CBD，點(diǎn)D剛好在AE的延長線上，若∠AEB＝130°，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．80° D．95°6．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC、BD為對角線，BD經(jīng)過圓心O．若∠BAC＝55°，則∠DBC的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．35°7．（3分）若點(diǎn)（﹣1，4），（3，4）是拋物線y＝ax2+bx+c上的兩點(diǎn)，則此拋物線的對稱軸是（）A．直線x=?ba B．直線x＝1 C．直線x＝3 D．直線8．（3分）已知拋物線y＝x2﹣4x+3，下列結(jié)論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝2 C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1） D．當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而增大9．（3分）“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型．圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中⊙M，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)⊙M順時針轉(zhuǎn)動3周時，⊙N上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)n°，則n＝（）A．108 B．90 C．60 D．4510．（3分）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的兩個實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）A．3 B．23 C．14 D．二、填空題（本大題共5小題）11．（3分）若點(diǎn)（1，y1），（2，y2）在拋物線y＝﹣x2上，則y1，y2的大小關(guān)系為：y1y2．12．（3分）一個不透明布袋里只裝有n個紅球和3個白球（除顏色外其余都相同），從中任意摸出一個球是紅球的概率為23，則n的值為13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OM是⊙O的半徑，OM垂直于弦AC，垂足為D．若AC＝12，BC＝5，則DM＝．14．（3分）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°至EBGF的位置，連接AC，EG，取AC，EG的中點(diǎn)M，N連接MN，若AB＝8，BC＝6，則MN＝．15．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交弧AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長為半徑作弧CD交OB于點(diǎn)D，若OA＝4，則陰影部分的面積為．三、解答題（一）（本大題共3小題）16．（10分）解方程：（1）（y﹣1）2﹣25＝0；（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．17．（10分）粵式早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其種類繁多、口味獨(dú)特、價(jià)格實(shí)惠而聞名．李強(qiáng)在廣州旅游期間，決定在“A．腸粉、B．叉燒包、C．蝦餃、D．燒賣”四種茶點(diǎn)中選擇喜歡的進(jìn)行品嘗（選到每種茶點(diǎn)的可能性相同）．（1）如果只選其中一種茶點(diǎn)品嘗，李強(qiáng)選到“A．腸粉”的概率是；（2）如果選擇兩種茶點(diǎn)品嘗，請用畫樹狀圖或列表的方法求李強(qiáng)選到“A．腸粉”和“D．燒賣”的概率．18．（10分）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡OA，從點(diǎn)O處拋出一個小球，落到點(diǎn)A(3，32)處．小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線y＝﹣x2（1）求拋物線的解析式；（2）斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．四、解答題（二）（本大題共3小題）19．（15分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交AB于另一點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且AE＝DE．（1）證明：DE是⊙O的切線；（2）若BO＝2，OC＝1，AC＝2BC，求AE的長．20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形的一邊長為5，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．21．（5分）為美化市容，某廣場用規(guī)格為10×20的灰、白兩色的廣場磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫出的一些備選圖案如圖所示．【觀察思考】圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）圖5灰磚有塊，白磚有塊；圖n灰磚有塊，白磚有塊；【問題解決】（2）是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56的情形，請通過計(jì)算說明你的理由．五、解答題（三）（本大題共2小題）22．（10分）如圖1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D．（1）若∠ECB＝120°，①求AB所對圓心角的度數(shù)；②連結(jié)DB，DA，求證：△ABD是等邊三角形．（2）如圖2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面積．23．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y＝﹣x上的動點(diǎn)，判斷有幾個位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市潮南區(qū)陳店公辦八校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678910答案DDDACDBDAC一、選擇題（本大題共10小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，如圖四幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A選項(xiàng)不是軸對稱圖象，也不是中心對稱圖形，不合題意；B選項(xiàng)是軸對稱圖象，不是中心對稱圖形，不合題意；C選項(xiàng)是軸對稱圖象，不是中心對稱圖形，不合題意；D選項(xiàng)是軸對稱圖象，也是中心對稱圖形，符合題意；故選：D．2．（3分）下列事件屬于必然事件的是（）A．車輛隨機(jī)經(jīng)過一個路口，遇到紅燈 B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù) C．拋1枚硬幣，硬幣落地時正面朝上 D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180度【解答】解：根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷如下：A、車輛隨機(jī)經(jīng)過一個路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，不屬于必然事件，不符合題意；B、擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)是隨機(jī)事件，不屬于必然事件，不符合題意；C、拋1枚硬幣，硬幣落地時正面朝上是隨機(jī)事件，不屬于必然事件，不符合題意；D、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180度是必然事件，符合題意．故選：D．3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，﹣6）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，6） B．（3，﹣6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，6）【解答】解：根據(jù)兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)得：點(diǎn)A（3，﹣6）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，6），故選：D．4．（3分）二次函數(shù)y＝2x2+1的圖象向下平移3個單位，再向左平移2個單位，所得到的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝2（x+2）2﹣2 B．y＝2（x﹣2）2﹣2 C．y＝2（x+2）2+2 D．y＝2（x﹣2）2+2【解答】解：將二次函數(shù)y＝2x2+1的圖象向下平移3個單位再向左平移2個單位得y＝2（x+2）2+1﹣3，即y＝2（x+2）2﹣2．故選：A．5．（3分）如圖，△ABE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△CBD，點(diǎn)D剛好在AE的延長線上，若∠AEB＝130°，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．80° D．95°【解答】解：如圖，連接DE，∵點(diǎn)D剛好在AE的延長線上，∠AEB＝130°，∴∠BED＝50°，∵△ABE繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△CBD，∴BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE＝50°，則∠DBE＝80°，故選：C．6．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC、BD為對角線，BD經(jīng)過圓心O．若∠BAC＝55°，則∠DBC的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．40° D．35°【解答】解：∵BD經(jīng)過圓心O．∴BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∵∠BAC＝∠BDC＝55°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝35°，故選：D．7．（3分）若點(diǎn)（﹣1，4），（3，4）是拋物線y＝ax2+bx+c上的兩點(diǎn)，則此拋物線的對稱軸是（）A．直線x=?ba B．直線x＝1 C．直線x＝3 D．直線【解答】解：∵兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為4，∴此兩點(diǎn)是一對對稱點(diǎn)，∴對稱軸x=x故選：B．8．（3分）已知拋物線y＝x2﹣4x+3，下列結(jié)論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸為直線x＝2 C．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1） D．當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而增大【解答】解：拋物線a＝1＞0，拋物線開口向上，因此A選項(xiàng)正確，不符合題意；由解析式得，對稱軸為直線x＝2，因此B選項(xiàng)正確，不符合題意；由解析式得，當(dāng)x＝2時，y取最小值，最小值為﹣1，所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），因此C選項(xiàng)正確，不符合題意；因?yàn)閽佄锞€開口向上，對稱軸為直線x＝2，因此當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小，因此D選項(xiàng)錯誤，符合題意；故選：D．9．（3分）“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型．圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中⊙M，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)⊙M順時針轉(zhuǎn)動3周時，⊙N上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)n°，則n＝（）A．108 B．90 C．60 D．45【解答】解：根據(jù)題意，⊙M的周長為：2π×12＝2π，∴⊙M順時針轉(zhuǎn)動3周時，點(diǎn)P移動的弧長為：2π×3＝6π，∴根據(jù)弧長公式得，6π=nπ×10解得n＝108，所以n的值為108．故選：A．10．（3分）若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的兩個實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）A．3 B．23 C．14 D．【解答】解：設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b，∵菱形的面積＝兩條對角線積的一半，∴12ab＝11即ab∴由題意，得a+b=10ab=22∴菱形的邊長==1=1=1=1=14故選：C．二、填空題（本大題共5小題）11．（3分）若點(diǎn)（1，y1），（2，y2）在拋物線y＝﹣x2上，則y1，y2的大小關(guān)系為：y1＞y2．【解答】解：根據(jù)解析式可知：拋物線的對稱軸是y軸，開口向下，∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)值y隨著x的增大而減?。?＜2，∴y1＞y2．故答案為：＞．12．（3分）一個不透明布袋里只裝有n個紅球和3個白球（除顏色外其余都相同），從中任意摸出一個球是紅球的概率為23，則n的值為6【解答】解：∵一個不透明布袋里只裝有n個紅球和3個白球（除顏色外其余都相同），∴球的總數(shù)＝n+3，∵從中任意摸出一個球是紅球的概率為23∴nn+3解得n＝6，檢驗(yàn)，當(dāng)n＝6時，原分式方程有意義，∴n＝6，故答案為：6．13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OM是⊙O的半徑，OM垂直于弦AC，垂足為D．若AC＝12，BC＝5，則DM＝4．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB=1∴OM＝6.5，∵OM是⊙O的半徑，OM垂直于弦AC，垂足為D，∴D是AC的中點(diǎn)，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OD=12∴DM＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案為：4．14．（3分）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°至EBGF的位置，連接AC，EG，取AC，EG的中點(diǎn)M，N連接MN，若AB＝8，BC＝6，則MN＝52．【解答】解：連接BM、BN，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝10，∵M(jìn)為AC中點(diǎn)，∴BM=12∵矩形ABCD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°至EBGF的位置，∴BM＝BN，且∠MBN＝90°，∴MN=2BM＝52故答案為52．15．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交弧AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長為半徑作弧CD交OB于點(diǎn)D，若OA＝4，則陰影部分的面積為13π+23【解答】解：連接OE、AE，∵點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO為等邊三角形，∴S扇形AOE=60π×4∴S陰影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=90π×42360?90π×2＝3π?83π=13π+2故答案為：13π+23三、解答題（一）（本大題共3小題）16．（10分）解方程：（1）（y﹣1）2﹣25＝0；（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．【解答】解：（1）移項(xiàng)得：（y﹣1）2＝25，∴y﹣1＝5或y﹣1＝﹣5，解得y1＝6，y2＝﹣4；（2）整理得：2x2﹣5x+3＝0，∴（2x﹣3）（x﹣1）＝0，∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x117．（10分）粵式早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其種類繁多、口味獨(dú)特、價(jià)格實(shí)惠而聞名．李強(qiáng)在廣州旅游期間，決定在“A．腸粉、B．叉燒包、C．蝦餃、D．燒賣”四種茶點(diǎn)中選擇喜歡的進(jìn)行品嘗（選到每種茶點(diǎn)的可能性相同）．（1）如果只選其中一種茶點(diǎn)品嘗，李強(qiáng)選到“A．腸粉”的概率是14（2）如果選擇兩種茶點(diǎn)品嘗，請用畫樹狀圖或列表的方法求李強(qiáng)選到“A．腸粉”和“D．燒賣”的概率．【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中李強(qiáng)選到“A．腸粉”的結(jié)果有1種，∴李強(qiáng)選到“A．腸粉”的概率是14故答案為：14（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結(jié)果，其中李強(qiáng)選到“A．腸粉”和“D．燒賣”的結(jié)果有：（A，D），（D，A），共2種，∴李強(qiáng)選到“A．腸粉”和“D．燒賣”的概率為21218．（10分）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡OA，從點(diǎn)O處拋出一個小球，落到點(diǎn)A(3，32)處．小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線y＝﹣x2（1）求拋物線的解析式；（2）斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．【解答】解：（1）由題意，∵點(diǎn)A（3，32）是拋物線y＝﹣x2+bx∴﹣32+3b=3∴b=7∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+72（2）由題意，過點(diǎn)B分別作x軸的垂線，垂足是點(diǎn)D，設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，∴3k=3∴k=1∴直線OA的解析式為y=12∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1．將x＝1代入y＝﹣x2+72x，y=∴y＝﹣12+72×1=52，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，52），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1∴BC＝CD﹣BD=5答：這棵樹的高度是2．四、解答題（二）（本大題共3小題）19．（15分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交AB于另一點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且AE＝DE．（1）證明：DE是⊙O的切線；（2）若BO＝2，OC＝1，AC＝2BC，求AE的長．【解答】（1）證明：連接OD，如圖1，由題意可得：∠A+∠B＝90°，∵AE＝DE，∴∠A＝∠EDA，∴∠B+∠EDA＝90°；又∵∠B＝∠ODB，∴∠ODB+∠EDA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE；∵OD是圓的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接OE，OD，∵OB＝2，OC＝1，∴BC＝3，∵AC＝2BC，∴AC＝6，設(shè)AE＝DE＝x，則CE＝6﹣x，∵∠OCE＝∠ODE＝90°，∴OC2+CE2＝OE2，OD2+DE2＝OE2，∴12+（6﹣x）2＝22+x2，∴x=11∴AE=1120．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形的一邊長為5，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長．【解答】解：（1）證明：∵Δ＝（8+k）2﹣4×8k＝（k﹣8）2，∵（k﹣8）2，≥0，∴△≥0，∴無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解方程x2﹣（8+k）x+8k＝0得x1＝k，x2＝8，①當(dāng)腰長為5時，則k＝5，∴周長＝5+5+8＝18；②當(dāng)?shù)走厼?時，∴x1＝x2，∴k＝8，∴周長＝8+8+5＝21．21．（5分）為美化市容，某廣場用規(guī)格為10×20的灰、白兩色的廣場磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫出的一些備選圖案如圖所示．【觀察思考】圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）圖5灰磚有25塊，白磚有24塊；圖n灰磚有n2塊，白磚有（4n+4）塊；【問題解決】（2）是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56的情形，請通過計(jì)算說明你的理由．【解答】解：（1）由所給圖形可知，圖1中灰磚的塊數(shù)為：1＝12，白磚的塊數(shù)為：8＝1×4+4；圖2中灰磚的塊數(shù)為：4＝22，白磚的塊數(shù)為：12＝2×4+4；圖3中灰磚的塊數(shù)為：9＝32，白磚的塊數(shù)為：16＝3×4+4；…，所以圖n中灰磚的塊數(shù)為n2塊，白磚的塊數(shù)為（4n+4）塊．當(dāng)n＝5時，n2＝25（塊），4n+4＝24（塊），即圖5中灰磚的塊數(shù)為25塊，白磚的塊數(shù)為24塊．故答案為：25，24，n2，（4n+4）．（2）存在，理由如下：由題知，n2﹣（4n+4）＝56，解得n＝10或﹣6，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n＝10，所以存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56的情形．五、解答題（三）（本大題共2小題）22．（10分）如圖1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D．（1）若∠ECB＝120°，①求AB所對圓心角的度數(shù)；②連結(jié)DB，DA，求證：△ABD是等邊三角形．（2）如圖2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面積．【解答】（1）①解：∵∠ECB＝120°，∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝60°．∴AB所對圓心角的度數(shù)＝2∠ACB＝120°；②證明：∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，∴∠ECD＝∠BCD=12∠ECB∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DAB＝60°，∵∠ECD為圓內(nèi)接四邊形CABD的外角，∴∠ABD＝∠ECD＝60°，∵∠ADB＝ACB＝60°，∴∠ADB＝∠DAB＝∠ABD＝60°，∴△ABD是等邊三角形；（2）解：連接DO并延長交AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，如圖，則∠AOB＝2∠ADB＝2×45°＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB為等腰直角三角形，∴OA＝OB=22AB∴OD＝OA=2∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，∴∠ECD＝∠BCD=12∠∵∠ECD為圓內(nèi)接四邊形CABD的外角，∴∠ABD＝∠ECD．∵∠DAB＝∠DCB，∴∠ABD＝∠DAB，∴DA＝DB，∴DA=∴DH⊥AB．∴AH＝DH＝1，∴OH=12∴DH＝OD+OH=2∴△ABD的面積=