2.3

數(shù)學(xué)歸納法1/261、已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為

分別計(jì)算a1、a2、a3、a4、值,猜測an3、三角形內(nèi)角和為180°，四邊形內(nèi)角和為2?180°,五邊形內(nèi)角和為3?180°，于是有：凸n邊形內(nèi)角和為Sn=(n-2)?180°。2、對于數(shù)列｛｝，已知，求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜測？怎樣經(jīng)過有限個(gè)步驟推理，證實(shí)n取全部正整數(shù)都成立？問題引入2/26數(shù)學(xué)歸納法對于一些與相關(guān)命題經(jīng)常采取下面方法來證實(shí)它正確性：先證實(shí)當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；2.

當(dāng)n=k(k

N*，k≥n0)時(shí)命題成立，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。這種證實(shí)方法就叫做

。數(shù)學(xué)歸納法正整數(shù)n假設(shè)證實(shí)

3/264/26多米諾骨牌課件演示

5/26例1：用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

從n=k到n=k+1有什么改變利用假設(shè)湊結(jié)論證實(shí):2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝則當(dāng)n=k+1時(shí)，

+＝=∴n=k+1時(shí)命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。

=1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立6/26數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立。若n=k(k≥n0)時(shí)命題成立，證實(shí)當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。命題對從n0開始全部正整數(shù)n都成立。歸納奠基歸納遞推

注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可7/26上如證實(shí)對嗎？為何？證實(shí)：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝②設(shè)n=k時(shí)，有即n=k+1時(shí)，命題成立。依據(jù)①②問可知，對n∈N＊，等式成立。思索：用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí):當(dāng)右邊＝等式成立。第二步證實(shí)中沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)。則，當(dāng)n=k+1時(shí)8/261＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝正確解法：用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)n2即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。依據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立。證實(shí)：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么當(dāng)n=k+1時(shí)（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝

+[2(k+1)－1］k2＝

＋2k＋1k2＝（k+1）2（假設(shè)）（利用假設(shè)）注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘記。證實(shí)傳遞性（湊結(jié)論）9/26用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)恒等式步驟及注意事項(xiàng)：①明確首取值n0并驗(yàn)證真假。（必不可少）②“假設(shè)n=k時(shí)命題正確”并寫出命題形式。③分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式差異。搞清左端應(yīng)增加項(xiàng)。④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形慣用方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)。10/26課堂練習(xí)11/262、求證：1+2+3+…+n=n(n+1)12/26課堂小結(jié)1、數(shù)學(xué)歸納法能夠處理哪一類問題？普通被應(yīng)用于證實(shí)一些與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題2、數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)命題步驟是什么？兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可3、數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)命題關(guān)鍵在哪里？關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確4、數(shù)學(xué)歸納法表達(dá)關(guān)鍵思想是什么？遞推思想，利用“有限”伎倆，來處理“無限”問題注意類比思想利用13/26作業(yè)：求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…?(2n-1)證實(shí)：①n=1時(shí)：左邊=1+1=2，右邊=21?1=2，左邊=右邊，等式成立。②假設(shè)當(dāng)n=k((k∈N）時(shí)有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),當(dāng)n=k+1時(shí)：左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?

=2k?1?3?…?(2k-1)(2k+1)?2=2k+1?1?3?…?(2k-1)?[2(k+1)-1]=右邊，∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。由①、②可知，對一切n∈N,原等式均成立。

14/26謝謝大家再見15/26多米諾骨牌游戲原理這個(gè)猜測證實(shí)方法（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰第k+1塊也倒下。依據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)猜測成立。（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜測成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜測也成立，即。依據(jù)（1）和（2），可知對任意正整數(shù)n，猜測都成立。已知數(shù)列16/26從前，有個(gè)小孩叫萬百千，他開始上學(xué)識字。第一天先生教他個(gè)“一”字。第二天先生又教了個(gè)“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個(gè)“三”字。于是他得了一個(gè)結(jié)論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以這類推，…從此，他不再去上學(xué)，家長發(fā)覺問他為何不去上學(xué)，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出自己名字，“萬百千”寫名字結(jié)果可想而知。”"萬百千"的笑話17/26費(fèi)爾馬(1601.8—1665.1)，法國數(shù)學(xué)家。

(費(fèi)馬猜測)結(jié)論是錯(cuò)誤。18/26例4．求證：凸n邊形對角線條數(shù)為證實(shí)：（1）當(dāng)n=4時(shí)，四邊形對角線有2條，f(4)=2，所以對于n=2，命題成立.（2）設(shè)凸k邊形對角線條數(shù)為當(dāng)n=k+1時(shí)，k+1邊形比k邊形多了一個(gè)頂點(diǎn),19/26解：猜測：怎樣經(jīng)過有限個(gè)步驟推理，證實(shí)n取全部正整數(shù)都成立？證實(shí)2、對于數(shù)列｛｝，已知，求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜測？20/26依據(jù)(1)(2)可知對任意正整數(shù)n猜測都成立.證實(shí)：(2)假設(shè)n=k時(shí)猜測成馬上1k=ak21/26練習(xí)：1、假如{an}是一個(gè)等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d對于一切n∈N*都成立。

證實(shí):(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=a1,右邊=a1+（1-1）d=a1,∴當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即ak=a1+(k-1)d∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由(1)和(2)知,等式對于任何n∈N*都成立。利用假設(shè)湊結(jié)論22/2623/26注意

1.用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證實(shí)時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩個(gè)步驟缺一不可.2(1)(歸納奠基)是遞推基礎(chǔ).找準(zhǔn)n0(2)(歸納遞推)是遞推依據(jù)n＝k時(shí)命題成立