高等數(shù)學研究的對象是函數(shù)，其研究的方法就是極限方法。本門課程自始至終就是用極限去討論函數(shù)的各種性質(zhì)及其相關(guān)的問題。第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的概念三、分段函數(shù)四、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)二、初等函數(shù)第一章函數(shù)和極限一、函數(shù)的概念

1．常量與變量

注意

一個量究竟是常量還是變量,不是絕對的,要根據(jù)具體過程和條件來確定.而在過程中可取不同數(shù)值的量稱為變量.在某過程中始終保持同一數(shù)值的量稱為常量,

例如：人的身高,在研究少兒發(fā)育成長的過程中是變量；而在研究成人的健康狀況時通常是常量．２．函數(shù)的概念因變量自變量是自變量的所有允許值的集合，稱為函數(shù)的定義域．而因變量的所有對應(yīng)值的集合則稱為函數(shù)的值域.

定義1-1

設(shè)和是同一變化過程中的兩個變量，如果對于變量的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，變量總有一個確定值與之對應(yīng)，則稱變量是變量的函數(shù)．變量稱為自變量，變量稱為因變量.記為注意1在實際問題中,定義域是由實際問題決定的.注意2函數(shù)的兩要素為：定義域與對應(yīng)規(guī)律

注意3函數(shù)的表示法有:公式法、圖像法和表格法,這三種表述各有特點并可以相互轉(zhuǎn)化．因此,兩個函數(shù)只有當它們的對應(yīng)規(guī)律和定義域都完全相同時,才認為是兩個相同的函數(shù).

例1-1在出生后1～6個月期間內(nèi),正常嬰兒的體重近似滿足以下關(guān)系:公式法37例1-2監(jiān)護儀自動記錄了某患者一段時間內(nèi)體溫T的變化曲線,如下圖示:例1-3某地區(qū)統(tǒng)計了某年1~12月中當?shù)亓餍行猿鲅獰岬陌l(fā)病率,見下表

(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty因此f(x)的定義域為:[0,2)例1求下列函數(shù)的定義域：解：即鄰域:所謂鄰域是指如果x0是實數(shù)軸上一點，δ為正實數(shù)，則適合開區(qū)間x0-δ<x<x0+δ的x的全體稱為點x0的鄰域，記為（5）三角函數(shù)（4）對數(shù)函數(shù)（3）指數(shù)函數(shù)（2）冪函數(shù)（1）常函數(shù)二、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)（6）反三角函數(shù)等.

變量稱為復(fù)合函數(shù)的中間變量．復(fù)合函數(shù)的概念可以推廣到多個函數(shù)的情形，此時復(fù)合函數(shù)是通過多個中間變量的傳遞而構(gòu)成的．例1-4

設(shè)求關(guān)于的復(fù)合函數(shù)．2.復(fù)合函數(shù)

定義1-2

設(shè)變量是變量的函數(shù),變量又是變量的函數(shù),即如果變量的某些值通過變量可以確定變量的值,則稱是的復(fù)合函數(shù),記為例1-5

設(shè)試求解解這里，變量傳遞順序是規(guī)定好了的，是的中間變量，是的中間變量，故依次代入可得

可見，復(fù)合順序是關(guān)鍵．另外，要注意：若經(jīng)過變量代入后，復(fù)合函數(shù)的定義域為空集，則此復(fù)合函數(shù)無意義，或者說它們不能復(fù)合．例如，就不能復(fù)合．因為的定義域為空集,即函數(shù)無意義.例1-6將下列復(fù)合函數(shù)“分解”為簡單函數(shù)解

注意簡單函數(shù)是指基本初等函數(shù)或由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算而得到的函數(shù).定義1-3由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算以及函數(shù)復(fù)合所得到的僅用一個解析式表達的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．3.初等函數(shù)在不同的區(qū)間上用不同的解析式子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)．例1-7三、分段函數(shù)和反函數(shù)這是一個分段函數(shù)，如圖

例1-8

設(shè)某藥物的每天劑量為y(單位:毫克),對于16歲以上的成年人用藥劑量是一常數(shù),設(shè)為2mg.而對于16歲以下的未成年人,則每天用藥劑量y正比于年齡x,比例常數(shù)為0.125mg/歲,其函數(shù)關(guān)系為o1621-1xyo定義為：當時，

，例1-9

設(shè)當時，則二、反函數(shù)若把函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù),則直接函數(shù)的定義域(或值域)恰好是它的反函數(shù)的值域(或定義域)。

【定義4】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,值域為R,若對于任意一個y∈R，有唯一一個x∈D，使f(x)=y成立,則x與y的對應(yīng)關(guān)系在R上定義了一個新函數(shù),稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),記為在一般情況下，如果y=f(x)在某個區(qū)間上有定義且是單調(diào)函數(shù)，就能保證它的反函數(shù)存在；例如,在定義域(-∞,+∞),上是單調(diào)函數(shù),它的值域是(0,+∞),所以它的反函數(shù)存在,其定義域是(0,+∞),即y∈(0,+∞),值域是(∞,+∞)如函數(shù)的反函數(shù)一般不寫成,習慣上寫成.一般習慣上自變量用x表示,因變量用y來表示,這時y=f(x)的反函數(shù)就可以寫成。函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)

y=f(x)的圖像與其反函數(shù)的圖像相同,但與不同。1.有界性四、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)有界M-Myxoy=f(x)bay無界M-Mxoba2.單調(diào)性xyoabxyoba增函數(shù)減函數(shù)設(shè)、是函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的任意兩點,且.若,則稱在內(nèi)是單調(diào)遞增的;若,則稱在內(nèi)是單調(diào)遞減的.3.奇偶性偶函數(shù)yxox-xyxox-x奇函數(shù)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意點,恒有,則稱是偶函數(shù);如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意點,恒有,則稱是奇函數(shù).4.函數(shù)的周期性對于函數(shù)

,如果存在正的常數(shù)T,使得恒成立,則稱為周