試題PAGE1試題2024北京一零一中高一（下）期末數(shù)學一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.的值為（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.3.如果兩個不重合平面有一個公共點，那么這兩個平面（）A.沒有其他公共點 B.僅有這一個公共點C.僅有兩個公共點 D.有無數(shù)個公共點4.已知奇函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，那么的解析式可以為（）A. B.C. D.5.將邊長為4的正方形沿對角線折起，折起后點D記為．若，則四面體的體積為（）A. B. C. D.6.“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.在中，角所對的邊分別為已知，，給出下列五個a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一確定的是（）A.①④ B.②③ C.④⑤ D.②④⑤8.在中，，，已知點P滿足，且，則（）A. B. C. D.9.在中，若，，，則為（）A. B. C. D.10.如圖，四棱錐中，底面是正方形，各側棱都相等，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.二、填空題共6小題.11.已知復數(shù)z滿足，，則的虛部為______．12.已知a，b是平面外的兩條不同直線．給出下列六個論斷：①；②；③；④；⑤；⑥．選其中的兩個論斷作為條件，余下的其中一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：______．13.已知，，則______．14.如圖，在平面四邊形中，，，記與的面積分別為，，則的值為______．15.如圖1是唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）．當這種酒杯內(nèi)壁的表面積為，半球的半徑為時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積（厚度忽略不計）的3倍，則的取值范圍是______．（取3）16.如圖，在棱長為4的正方體中，點P是線段AC上的動點（包含端點），點E在線段上，且，給出下列四個結論：①存在點P，使得直線平面；②點P沿直線AC從點A移動到點C的過程中，四面體的體積逐漸減??；③若，則點P軌跡的長度為；④當二面角的平面角的正切值為時，平面截正方體所得截面圖形的面積為．其中所有正確結論的序號是______．三、解答題共4小題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.已知函數(shù)，且．（1）求a的值和的最小正周期；（2）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．18.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求A的大??；（2）若D是邊AB的中點，且，求的取值范圍．19.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，.（1）求證：；（2）若為線段的中點，求證：平面；（3）求多面體的體積.20.定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為.（1）寫出的“伴隨函數(shù)”，并直接寫出的最大值；（2）寫出函數(shù)的“伴隨向量”為，并求；（3）已知，的“伴隨函數(shù)”為，的“伴隨函數(shù)”為，設，且的伴隨函數(shù)為，其最大值為.①若，求的取值范圍；②求證：向量的充要條件是.

參考答案一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】直接根據(jù)二倍角的正弦公式求解即可.【詳解】.故選：C.2.【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算化簡即可.【詳解】由題可得.故選：A3.【答案】D【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)判斷即可.【詳解】如果兩個不重合平面有一個公共點，那么這兩個平面有一條過公共點的公共直線.故選：D.4.【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和對稱性逐一分析判斷即可.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，因為，所以是的圖象的一條對稱軸，故A符合題意；對于B，函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故B不符題意；對于C，函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C不符題意；對于D，函數(shù)的圖象不是軸對稱圖形，故D不符題意.故選：A.5.【答案】A【分析】利用勾股定理證明一個垂直關系，再結合正方形性質(zhì)可證明線面垂直，從而求體積即可.【詳解】在邊長為4的正方形中，連接交于點，可得，由于，所以，則，又因為，平面，所以平面，即四面體的體積為，故選：A.6.【答案】A【分析】由可解得或，即可判斷.【詳解】若，則，，即或，則可得“，”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.【答案】D【分析】利用三角形的圖形性質(zhì)來判斷唯一解的充要條件解題即可.【詳解】根據(jù)已知，，可知三角形邊上的高，所以要使得存在且唯一確定的解，則或，故有②④⑤滿足，故選：D.8.【答案】D【分析】利用余弦定理求出，求出，根據(jù)求解可得.【詳解】因為，，所以，又，所以為等腰三角形，，由余弦定理得，因為，所以，解得故選：D9.【答案】B【分析】利用余弦定理和已知聯(lián)立求解可得，然后利用平方關系求出，結合正弦定理可得.【詳解】由余弦定理得，即，聯(lián)立，解得，因為，，所以，由正弦定理可得.故選：B10.【答案】C【分析】過作平面，過分別作于，連接，則，比較大小得到答案.【詳解】如圖，過作平面，過分別作于，連接，則，因為，所以，又因為，所以，而，所以，綜上可得，，故選：C.【點睛】本題考查了直線夾角，線面夾角，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.二、填空題共6小題.11.【答案】【分析】設，根據(jù)復數(shù)的模的計算公式求出即可得解.【詳解】設，由，，得，解得，所以的虛部為.故答案為：.12.【答案】，則（答案不唯一，符合題意均可）【分析】?、邰茏鳁l件，⑥作結論，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得解.【詳解】以③④作條件，⑥作結論，即若，則.因為，所以．故答案為：，則.（答案不唯一，符合題意均可）13.【答案】【分析】結合已知條件以及二倍角公式可求出，利用同角的三角函數(shù)關系，即可求得答案.【詳解】因為，故，解得或，而，則，，故，故答案為：14.【答案】【分析】根據(jù)余弦定理得，，兩式相減可得，由三角形的面積公式得，即可求解.【詳解】在中，由余弦定理得，即，得①，在中，由余弦定理得，即，得②，又，所以③，由②①，得，由，得，代入③得.故答案為：.15.【答案】【分析】設圓柱的高為h，由酒杯內(nèi)壁的表面積表示出h，可得，再結合體積公式列不等式求出，即可得答案.【詳解】設圓柱的高為h，則，故，酒杯的體積為，半球積分為，由題意可得，則，又，則，故，而取3，故，故答案為：16.【答案】①②④【分析】根據(jù)面面平行以及線面平行的判斷可判斷A；結合三棱錐體積的公式可判斷B；判斷出點P所處的位置，即可求其軌跡長度，判斷C；由二面角的平面角的正切值確定P點位置，進而求得截面面積，判斷D.【詳解】對于①，當P點位于A點時，由于，即四邊形為平行四邊形，則，同理可證，由于平面，平面，故平面，同理平面，而平面，故平面平面，此時平面，則平面，即存在點P，使得直線平面，①正確；對于②，由于平面，平面，故，而，而平面，故平面，平面，故，同理可證,平面，故平面，由于，過點P作平面，垂足為Q，則，當P點沿直線AC從點A移動到點C的過程中，長逐漸變小，而的面積為定值，故逐漸變小，即逐漸減小，②正確；對于③，，作，垂足為G，連接，則，此時則P點軌跡為在上的線段，如圖示，為等腰三角形，則其底邊上的高為，故當P向點C運動時，逐漸變小，故在線段上存在一點P，使得,同理在靠近C的那一側也存在一點P，使得,當時，，則點P軌跡的長度為，③錯誤；對于④，設交于R，則R為的中點，由于，故，即為二面角的平面角，而，故，即為銳角，則，即，當P點由A向C運動時，將變小，即可知當二面角的平面角的正切值為時，P點位于A處，由于，此時平面截正方體所得截面即為矩形，面積為，④正確，故答案為：①②④【點睛】關鍵點睛：解答此類立體幾何問題，關鍵是要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關系，繼而結合相關的概念進行解答.三、解答題共4小題.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)求出，然后利用三角恒等變換公式化簡，由周期公式可得；（2）利用整體代入法求出的單調(diào)遞增區(qū)間，結合可得.【小問1詳解】因為，所以，即，解得，所以，所以的最小正周期為.【小問2詳解】由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)余弦定理可以求解；（2）令，利用正弦定理，把邊長都用表示，最后用三角函數(shù)知識解得取值范圍.【小問1詳解】因為所以，所以，又因為，所以；【小問2詳解】令,因為，所以由正弦定理可得：,所以，所以，又因為，所以所以19.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）由題意結合幾何關系可證得平面，由線面垂直的定義即可證得．（2）延長交于點，由題意可證得四邊形為平行四邊形，據(jù)此結合線面平行的判定定理證明題中的結論即可；（3）設為中點，連接，．將多面體分割為兩部分，分別求解對應的體積，然后相加即可確定多面體的體積.【詳解】（1）證明：因為四邊形為正方形，所以．又因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延長交于點，因為，為中點，所以≌，所以．因為，所以．由已知，且,又因為，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以平面．（3）設為中點，連接，．由已知，所以平面．又因為，所以平面，所以平面平面．因為，，所以平面，所以多面體為直三棱柱．因為，且，所以．由已知，且，所以，且．又因為，平面，所以平面．因為，所以，所以．【點睛】本題主要考查線面垂直證明線線垂直的方法，線面平行的判定定理，組合體體積的求解方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20.【答案】（1），（2），（3）①；②證明見解析【分析】（1）由輔助角公式化簡即可求解；（2）結合兩角差的正弦