第六節(jié)空間曲線及其方程一、空間曲線普通方程設(shè)有兩塊曲面S1,S2,它們方程依次為:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2交線C上點一定同時滿足這兩個方程,而不在交線上點絕不會同時滿足這兩個方程.所以即為交線C方程,稱為空間曲線C普通方程.(1)x

y

zoS1S2C第1頁例1:球面x2+y2+z2=32與平面z=2交線是一個圓,它普通方程是x2+y2+z2=32

z=2第2頁例2:方程組表示怎樣曲線?解:方程表示球心在原點O,半徑為a上半球面.方程表示母線平行于z軸圓柱面.它準(zhǔn)線xOy面上圓,圓心在點所以方程組表示上述半球面與圓柱面交線.Oxyz第3頁二、空間曲線參數(shù)方程將曲線C上動點坐標(biāo)x,y,z都表示成一個參數(shù)t函數(shù).x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)當(dāng)給定t=t1時,就得到C上一個點(x,y,z),伴隨t變動便可得曲線C上全部點.方程組(2)叫做空間曲線參數(shù)方程.第4頁例3:假如空間一點M在圓柱面x2+y2=a2上以角速度

繞z軸旋轉(zhuǎn),同時又以線速度v沿平行于z軸正方向上升(其中

,v都是常數(shù)),那末點M組成圖形叫做螺旋線,試建立其參數(shù)方程.解:取時間t為參數(shù),設(shè)當(dāng)t=0時,動點位于x軸上一點A(a,0,0)處,經(jīng)過時間t,由A運動到M(x,y,z),M在xOy面上投影為M

(x,y,0).xyzhAOMtM

第5頁(1)動點在圓柱面上以角速度

繞z軸旋轉(zhuǎn),所以經(jīng)過時間t,

AOM

=t.

從而x=|OM|·cosAOM

=acosty=|OM|·sinAOM

=asint(2)動點同時以線速度v沿z軸向上升.因而z=MM

=vt得螺旋線參數(shù)方程x=

acosty=asintz=vt注:還能夠用其它變量作參數(shù).xyzAOMtM

第6頁yxzAOMtM

比如:令=t.

為參數(shù);螺旋線參數(shù)方程為:x=

acos

y=asin

z=b當(dāng)

從

0變到

0+

是,z由b

0變到b

0+b,即M點上升高度與OM

轉(zhuǎn)過角度成正比.尤其,當(dāng)

=2

時,M點上升高度h=2b,h在工程上稱h=2b為螺距.第7頁三、空間曲線在坐標(biāo)面上投影設(shè)空間曲線C普通方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(3)由方程組(3)消去z后得方程H(x,y)=0(4)方程(4)表示一個母線平行于z軸柱面,曲線C一定在曲面上.第8頁以曲線C為準(zhǔn)線,母線平行于z軸(即垂直xOy面)柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面投影柱面,投影柱面與xOy面交線叫做空間曲線在xOy面上投影曲線,或簡稱投影.所以方程 所表示曲線必定包含了空間曲線C在xOy面上投影.H(x,y)=0z=0注:同理可得曲線在yOz面或xOz面上投影曲線方程.第9頁例4:已知兩個球面方程分別為:x2+y2+z2=1和x2+(y

1)2+(z

1)2=1求它們交線C在xOy面上投影曲線方程.解:聯(lián)立兩個方程消去z,得這是母線平行于z軸橢圓柱面,兩球面交線C在xOy面上投影曲線方程為第10頁例5:設(shè)一個立體由上半球面 和錐面所圍成,求它在xoy面上投影.解:半球面與錐面交線為由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y2

1這是一個母線平行于z軸圓柱面.于是交線C

在xoy面上投影曲線為x2+y2=1z=0這是xoy面上一個圓.所以,所求立體在xoy面上投影為:x2+y2

1第11頁四、二次曲面1.定義:由x,y,z二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0所表示曲面,稱為二次曲面.其中a,b,…,i,j

為常數(shù).研究方法是采取平面截痕法.第12頁zoxyO2

用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當(dāng)|k|c

時,|k|越大,橢圓越小;當(dāng)|k|=c時,橢圓退縮成點.2.幾個常見二次曲面.(1)橢球面1

用平面z=0去截割,得橢圓第13頁3類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:尤其:當(dāng)a=b=c時,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點o,半徑為a球面.第14頁(2)橢圓拋物面:1平面z=k,(k0)截割,截線是平面z=k上橢圓.k=0時,為一點O(0,0,0);伴隨k增大,橢圓也增大.zyxo2用平面y=k去截割,截線是拋物線第15頁3類似地，用平面x=k去截割,截線是拋物線.第16頁第七節(jié)平面及其方程一、平面點法式方程1.法向量:若一非零向量n垂直于一平面

.則稱向量n為平面

法向量.注:1對平面

,法向量n不唯一;2平面

法向量n與

上任一向量垂直.第17頁2.平面點法式方程設(shè)平面

過定點M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.對于平面上任一點M(x,

y,z),向量M0M與n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={x

x0,y

y0,z

z0},得:A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0稱方程(1)為平面點法式方程.(1)第18頁例1:求過點(2,3,0)且以n={1,2,3}為法向量平面方程.解:依據(jù)平面點法式方程(1),可得平面方程為:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第19頁nM3M2M1解:先找出該平面法向量n.因為n與向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2

M1M3=14i+9j

k例2:求過三點M1(2,1,4),M2(

1,3,2)和M3(0,2,3)平面方程.所以,所求平面方程為:14(x2)+9(y+3)(z4)=0即:14x+9y

z15=0第20頁二、平面普通方程1.定理1:任何x,y,z一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面一個法向量是:n={A,B,C}證:A,B,C不能全為0,不妨設(shè)A

0,則方程能夠化為它表示過定點,且法向量為n={A,B,C}平面.注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)稱為平面普通方程.第21頁例2:已知平面過點M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面與已知平面有相同法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第22頁2.平面方程幾個特殊情形(1)過原點平面方程因為O(0,0,0)滿足方程,所以D=0.于是,過原點平面方程為:Ax+By+Cz=0第23頁(2)平行于坐標(biāo)軸方程考慮平行于x軸平面Ax+By+Cz+D=0,它法向量n={A,B,C}與x軸上單位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x軸平面方程是By+Cz+D=0;平行于y軸平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z軸平面方程是Ax+By+D=0.尤其:D=0時,平面過坐標(biāo)軸.第24頁(3)平行于坐標(biāo)面平面方程平行于xOy面平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面平面方程是By+D=0;

平行于yOz面平面方程是Ax+D=0.第25頁例3:求經(jīng)過x軸和點(4,3,1)平面方程.解:因為平面過x軸,所以A=D=0.設(shè)所求平面方程是By+Cz=0又點(4,3,1)在平面上,所以

3B

C=0C=

3B所求平面方程為By

3Bz=0即:y

3z=0第26頁例4:設(shè)平面與x,y,z軸交點依次為P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三點,求這平面方程.解:設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三點都在這平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR第27頁所求平面方程為:即:(3)第28頁三、兩平面夾角1.定義:兩平面法向量夾角(通常指銳角)稱為兩平面夾角.

1

n1n2

2若已知兩平面方程是:

1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量n1

={A1,B1,C1}

2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量n2

={A2,B2,C2}第29頁所以第30頁2.平面

1與

2相互垂直

A1A2+B1B2+C1C2=0平面

1與

2相互平行

要求:若百分比式中某個分母為0,則對應(yīng)分子也為0.第31頁例6:一平面經(jīng)過兩點M1(1,1,1)和M2(0,1,

1),且垂直于平面x+y+z=0,求它方程.解:設(shè)所求平面一個法向量n={A,B,C}已知平面

x+y+z=0法向量n1={1,1,1}所以:n

M1M2

且n

n1

而M1M2={1,0,2}于是:A

(1)+