高考試題分類解析PAGE考點(diǎn)52不等式選講選擇題1.(2017·天津高考理科·T8)已知函數(shù)f(x)=QUOTEx2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥QUOTEx2+a在R上恒成立,則a的取值范圍是()A.QUOTE-4716,2 B.QUOTE-4716,3916C.QUOTE-23,2 D.QUOTE-23,3916【命題意圖】本題考查不等式恒成立問題,題目綜合了分段函數(shù)、絕對值不等式、二次函數(shù)最值、基本不等式等知識點(diǎn).要求考生掌握分類討論思想,具有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力與綜合運(yùn)算能力.【解析】選A.不等式f(x)≥QUOTEx2+a可化為-f(x)≤QUOTEx2+a≤f(x)①,當(dāng)x≤1,①式為-x2+x-3≤QUOTEx2+a≤x2-x+3,即-x2+QUOTEx2-3≤a≤x2-QUOTE32x+3,又-x2+QUOTEx2-3=-QUOTEx-142-QUOTE4716≤-QUOTE4716,x2-QUOTE32x+3=QUOTEx-342+QUOTE3916≥QUOTE3916,所以,-QUOTE4716≤a≤QUOTE3916.當(dāng)x>1,①式為-x-QUOTE2x≤QUOTEx2+a≤x+QUOTE2x,所以-QUOTE32x-QUOTE2x≤a≤QUOTE12x+QUOTE2x,又-QUOTE32x-QUOTE2x=-QUOTE32x+2x≤-2QUOTE3,QUOTE12x+QUOTE2x≥2,所以-2QUOTE3≤a≤2,綜上-QUOTE4716≤a≤2.2.(2017·天津高考文科·T8)已知函數(shù)f(x)=QUOTE|x|+2,x<1,x+2x,x≥1.設(shè)a∈R,f(x)≥QUOTEx2+a在R上恒成立,則a的取值范圍是()A.[-2,2] B.[-2QUOTE3,2]C.[-2,2QUOTE3] D.[-2QUOTE3,2]【命題意圖】本題考查不等式恒成立問題,題目綜合了分段函數(shù)、絕對值不等式等知識點(diǎn).要求考生掌握分類討論思想,具有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力與數(shù)形結(jié)合思想.【解析】選A.方法一:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=QUOTE|x|+2,x<1x+2x,x≥1,所以,令g(x)=QUOTEx2+a=QUOTEx+2a2,當(dāng)x=-2a時(shí),g(x)取最小值,最小值為0,g(x)是斜率為±QUOTE12的一簇折線,當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)f(x)的最小值在x=QUOTE2時(shí)取到,最小值為2QUOTE2,所以函數(shù)f(x)和g(x)的圖象如圖所示,所以要使f(x)≥QUOTEx2+a恒成立,當(dāng)a>0時(shí),應(yīng)滿足QUOTEa≤2,2a+22≤22,解得0<a≤2;當(dāng)a=0時(shí),f(x)≥QUOTEx2+a恒成立;當(dāng)a<0時(shí),應(yīng)滿足-a≤2,解得-2≤a<0.綜上所述,a的取值范圍是-2≤a≤2.方法二:滿足題意時(shí)f(x)的圖象恒不在函數(shù)y=QUOTEx2+a下方,當(dāng)a=2QUOTE3時(shí),函數(shù)圖象如圖所示,排除C,D選項(xiàng);當(dāng)a=-2QUOTE3時(shí),函數(shù)圖象如圖所示,排除B選項(xiàng),二、填空題1(2017·浙江高考·T17)已知a∈R,函數(shù)fQUOTEx=QUOTEx+4x-a+a在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則a的取值范圍是.【命題意圖】本題主要考查基本不等式和求解絕對值不等式.【解析】當(dāng)x∈QUOTE1,4時(shí),x+QUOTE4x∈QUOTE4,5.(1)當(dāng)a≥5時(shí),f(x)=a-x-QUOTE4x+a=2a-x-QUOTE4x,函數(shù)的最大值2a-4=5,所以a=QUOTE92(舍去).(2)當(dāng)a≤4時(shí),f(x)=x+QUOTE4x-a+a=x+QUOTE4x≤5,此時(shí)符合題意.(3)當(dāng)4<a<5時(shí),QUOTEf(x)max=maxQUOTE4-a+a,5-a+a,則QUOTE4-a+a≥5-a+a,4-a或QUOTE4-a+a<5-a+a,5-a+a=5,解得a=QUOTE92或a<QUOTE92,綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是QUOTE-∞,92.答案:QUOTE-∞,92三、簡答題1.(2017·全國丙卷·文科·T23)同(2017·全國丙卷·理科·T23)[選修4—5:不等式選講](10分)已知函數(shù)f(x)=│x+1│-│x-2│.(1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,無解;當(dāng)-1<x<2時(shí),f(x)=x+1+(x-2)=2x-1,令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2,當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x+1-(x-2)=3,因?yàn)?>1,所以x≥2.綜上所述,f(x)≥1的解集為[1,+∞).(2)原式等價(jià)于存在x∈R,使f(x)-x2+x≥m成立,即[f(x)-x2+x]max≥m,設(shè)g(x)=f(x)-x2+x,由(1)知g(x)=當(dāng)x≤-1時(shí),g(x)=-x2+x-3,其開口向下,對稱軸為x=QUOTE12>-1,所以g(x)≤g(-1)=-5;當(dāng)-1<x<2時(shí)g(x)=-x2+3x-1,其開口向下,對稱軸為x=QUOTE32,所以g(x)≤g=QUOTE54,當(dāng)x≥2時(shí)g(x)=-x2+x+3,其開口向下,對稱軸為x=,所以g(x)≤g(2)=1,綜上:g(x)max=,即m的取值范圍為QUOTE-∞,54.2.(2017·全國乙卷理科·T23)[選修4—5:不等式選講]已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集.(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查絕對值不等式的解法及恒成立問題的解決策略.【解析】方法一:(1)當(dāng)a=1時(shí),fQUOTEx=-x2+x+4,是開口向下,對稱軸x=QUOTE12的二次函數(shù).gQUOTEx=QUOTEx+1+QUOTEx-1=QUOTE2x,x>1,2,-1≤x≤1,-2x,x<-1,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),令-x2+x+4=2x,解得x=g在QUOTE1,+∞(1,+∞)上單調(diào)遞增,fQUOTEx在QUOTE1,+∞(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以此時(shí)fQUOTEx≥gQUOTEx解集為QUOTE1,17-12.當(dāng)x∈QUOTE-1,1時(shí),gQUOTEx=2,fQUOTEx≥fQUOTE-1=2.當(dāng)x∈QUOTE-∞,-1時(shí),gQUOTEx單調(diào)遞減,fQUOTEx單調(diào)遞增,且gQUOTE-1=fQUOTE-1=2.綜上所述,fQUOTEx≥gQUOTEx的解集為QUOTE-1,17-12.(2)依題意得:-x2+ax+4≥2在QUOTE-1,1恒成立.即x2-ax-2≤0在QUOTE-1,1恒成立.則只需QUOTE12-a·1-2≤0,-12-a-1-2≤0,解得-1≤a故a取值范圍是QUOTE-1,1.方法二:將函數(shù)g(x)=|x+1|+|x-1|化簡,可得g(x)=QUOTE2x,x>1,2,-1≤x≤1,-2x,x<-1.(1)當(dāng)a=1時(shí),作出函數(shù)圖象可得f(x)≥g(x)的范圍在F和G點(diǎn)中間,聯(lián)立QUOTEy=2x,y=-x2+x+4GQUOTE17-12,17-1,因此可得解集為QUOTE-1,17-12(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]內(nèi)恒成立,故而可得-x2+ax+4≥2?x2-2≤ax恒成立,根據(jù)圖象可得:函數(shù)y=ax必須在l1,l2之間,故而可得-1≤a≤1.3.(2017·全國乙卷文科·T23)[選修4—5:不等式選講]已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x-1│.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集.(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查絕對值不等式的解法及恒成立問題的解決策略.【解析】方法一:(1)當(dāng)a=1時(shí),fQUOTEx=-x2+x+4,是開口向下,對稱軸x=QUOTE12的二次函數(shù).gQUOTEx=QUOTEx+1+QUOTEx-1=QUOTE2x,x>1,2,-1≤x≤1,-2x,x<-1,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),令-x2+x+4=2x,解得x=g在QUOTE1,+∞(1,+∞)上單調(diào)遞增,fQUOTEx在QUOTE1,+∞(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以此時(shí)fQUOTEx≥gQUOTEx解集為QUOTE1,17-12.當(dāng)x∈QUOTE-1,1時(shí),gQUOTEx=2,fQUOTEx≥fQUOTE-1=2.當(dāng)x∈QUOTE-∞,-1時(shí),gQUOTEx單調(diào)遞減,fQUOTEx單調(diào)遞增,且gQUOTE-1=fQUOTE-1=2.綜上所述,fQUOTEx≥gQUOTEx的解集為QUOTE-1,17-12.(2)依題意得:-x2+ax+4≥2在QUOTE-1,1恒成立.即x2-ax-2≤0在QUOTE-1,1恒成立.則只需QUOTE12-a·1-2≤0,-12-a-1-2≤0,解得-1≤a故a取值范圍是QUOTE-1,1.方法二:將函數(shù)g(x)=|x+1|+|x-1|化簡,可得g(x)=QUOTE2x,x>1,2,-1≤x≤1,-2x,x<-1.(1)當(dāng)a=1時(shí),作出函數(shù)圖象可得f(x)≥g(x)的范圍在F和G點(diǎn)中間,聯(lián)立QUOTEy=2x,y=-x2+x+4GQUOTE17-12,17-1,因此可得解集為QUOTE-1,17-12(2)即f(x)≥g(x)在[-1,1]內(nèi)恒成立,故而可得-x2+ax+4≥2?x2-2≤ax恒成立,根據(jù)圖象可得:函數(shù)y=ax必須在l1,l2之間,故而可得-1≤a≤1.4.(2017·全國甲卷文·T23)[選修4-5:不等式選講](10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.【命題意圖】不等式的證明、基本不等式的運(yùn)用,意在考查學(xué)生的推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.【證明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.5.(2017·全國丙卷·理科·T23)[選修4—5:不等式選講](10分)已知函數(shù)f(x)=│x+1│-│x-2│.(1)求不等式f(x)≥1的解集.(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)x≤-1時(shí),f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3<1,無解.當(dāng)-1<x<2時(shí),f(x)=x+1+(x-2)=2x-1.令2x-1≥1,得x≥1,所以1≤x<2.當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x+1-(x-2)=3.因?yàn)?>1,所以x≥2.綜上所述,fQUOTE≥1的解集為[1,+∞).(2)原式等價(jià)于存在x∈R,使fQUOTE-x2+x≥m成立,即QUOTE≥m.設(shè)g(x)=f(x)-x2+x,由(1)知gQUOTE=QUOTE當(dāng)x≤-1時(shí),gQUOTE=-x2+x-3,其開口向下,對稱軸為x=QUOTE>-1,所以gQUOTE≤gQUOTE=-5.當(dāng)-1<x<2時(shí)gQUOTE=-x2+3x-1,其開口向下,對稱軸為x=QUOTE,所以gQUOTE≤gQUOTE=QUOTE.當(dāng)x≥2時(shí)gQUOTE=-x2+x+3,其開口向下,對稱軸為x=QUOTE,所以gQUOTE≤gQUOTE=1.綜上:gQUOTE=QUOTE,即m的取值范圍為QUOTE.6.(2017·全國甲卷理科·T23).[選修4-5:不等式選講](10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4.(2)a+b≤2.【命題意圖】不等式的證明、基本不等式的運(yùn)用,意在考查學(xué)生的推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.【證明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+QUOTE3(a+b)24(a+b)=2+QUOTE3(a+b)34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.7.(20