專題55三角形

考點聚焦

重點速記

一、三角形的特性。

角形具有穩(wěn)定性．

三內角之和等于180度，根據(jù)角可以分為銳角三角形（每個角小于90°），直角三角形（有

一個角等于90°），鈍角三角形（有一個角大于90°）．

任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

二、三角形分類。

1．按角分

判定法一：

銳角三角形：三個角都小于90°．

直角三角形：可記作Rt△．其中一個角必須等于90°．

鈍角三角形：有一個角大于90°．

判定法二：

銳角三角形：最大角小于90°．

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直角三角形：最大角等于90°．

鈍角三角形：最大角大于90°．

其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形．

2．按邊分

不等邊三角形；

等腰三角形；

等邊三角形．

三、等邊三角形和等腰三角形。

1．等腰三角形的定義和性質：

定義法：在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．

判定定理：在同一三角形中，有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）．

2．等邊三角形定義：

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，“等邊三角形”也被稱為“正三角形”．是特殊的

等腰三角形．

如果一個三角形滿足下列任意一條，則它必滿足另一條，三邊相等或三角相等的三角形叫做

等邊三角形：

（1）三邊長度相等；

（2）三個內角度數(shù)均為60度；

（3）一個內角為60度的等腰三角形．

真題專練

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．（2分）（2023?臨西縣）下面三組小棒，不能圍成三角形的是()（單位：厘米）

A．B．

C．D．

2．（2分）在三角形三個內角中，D1=D2+D3，那么這個三角形一定是()三角形．

A．鈍角B．直角C．銳角D．等腰

3．（2分）（2023?東山區(qū)）在三角形中，三個內角是D1，D2，D3，若D1=D2-D3，那么

這個三角形一定是()三角形。

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A．銳角B．直角C．鈍角D．任意

4．（2分）（2023?青川縣）如圖，一塊三角形紙片被撕去了一個角，這個角()

A．79°B．80°C．89°D．90°

5．（2分）（2023?澠池縣）一個三角形，三個內角度數(shù)的比是1:2:3，這個三角形是()

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形

6．（2分）（2023?長興縣）一個圖形被遮住了一部分，那么這個圖形不可能是()

A．三角形B．平行四邊形C．梯形D．四邊形

7．（2分）（2023?晉江市）一個三角形有一個角是60°，另外的兩個角可能是()

A．100°和20°B．70°和40°C．70°和20°D．50°和90°

8．在創(chuàng)建美麗鄉(xiāng)村活動中，要給花圃圍上籬笆，下面圍法中，()圍法既美觀又最牢固。

A．B．

C．D．

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．如圖，一張三角形紙片被撕去了一個角。撕去的這個角是°，原來這張紙片的形狀

是三角形。

10．（2分）（2023?湘潭縣）一個三角形三個內角度數(shù)的比是1:2:3，這個三角形是三

角形，最小的角的度數(shù)是．

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11．（2分）（2023?惠山區(qū)）亮亮準備把一根長16厘米的吸管折成三段圍成一個三角形（每

段都是整厘米）。如果第一次從2厘米處折，那么第二次應從厘米處折。

12．（2分）一個三角形的三個內角的度數(shù)比是1:6:5，最大的一個內角是度，按角分，

它是一個角三角形．

13．（2分）（2023?高唐縣）一個等腰三角形的一個底角是m度，則頂角是。

14．（2分）（2023?淅川縣）明明有5厘米和11厘米的小棒各一根，如果想圍成一個三角

形，第三根小棒最長是厘米，最短是厘米。（第三根小棒的長度是整厘米數(shù)）

15．（2分）一個等腰三角形的頂角是120度，則它的一個底角度數(shù)是頂角度數(shù)的。

16．（2分）（2023?如皋市）如圖，把正方形剪成一個特殊的三角形。

（1）D1=°，D2=°。

（2）如果正方形的邊長是5厘米，那么得到的三角形的周長是厘米。

（3）如果把這個特殊的三角形沿虛線剪去一個角（如圖），在剩下的四邊形中，D3+D4=°。

三．判斷題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

17．（2分）斜拉橋用很多鋼管組成三角形，主要是為了增加橋的穩(wěn)定性。

18．（2分）如圖三角形被遮住了一個角，這個三角形是鈍角三角形。

19．（2分）（2023?梅州）用長度分別是5cm、6cm、7cm的三根小棒能構成三角形。

20．（2分）（2023?上虞區(qū)）在一個等腰三角形中，其中兩個內角的度數(shù)之比是1:2，這個

等腰三角形可能是銳角三角形，也可能是直角三角形。?

四．解答題（共8小題，滿分60分）

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21．（6分）（2023?上饒）如圖，把三角形ABC的邊BC延長到點D．

（1）D3和D4拼成的是什么角？

（2）你能說明D1+D2=D4嗎？

22．（6分）（2023?日照）仔細觀察，自主探究。

三角形的一條邊和另一條邊的延長線形成的夾角叫做三角形的外角，如圖，DACD就是三角

形的一個外角，同學們，你們能夠用自己的方法求出DACD的大小嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？

23．（6分）（2021?掇刀區(qū)）如圖，一個三角形被損壞了，只能看到一個角是30°。已知另

外兩個角其中一個是另一個的2倍。這個三角形最大的角是多少度？

24．（6分）（2019?姜堰區(qū)）認識三角形后，豆豆和婷婷拿出學具袋中的4根小棒，想用其

中的3根小棒圍一個等腰三角形。

（1）如果你是豆豆，你覺得可以選哪三根小棒？

（2）為什么這樣選？請說說你的理由。

25．有一個等腰三角形，它的兩個角的度數(shù)比是1:2，這個三角形按角分類可能是什么三角

形？

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26．（6分）（2023?巴東縣）推理計算。如圖，已知DABC，DB=70°，若沿圖中的虛線剪去

DB。請用數(shù)學語言或算式表述出D1+D2的推理過程。

27．（12分）（2023?滿城區(qū)）把三角形ABC的邊AC延長到D，那么D1+D2=D4嗎？請你填

空，完成下面的推理過程。

因為三角形的內角和是180°，所以D1+D2+D3=°，

根據(jù)等式的性質，等式的兩邊都減去D3，可以得到D1+D2=180°-；

因為D3和D4組成了一個平角，所以D3+D4=°，

根據(jù)等式的性質，等式的兩邊都減去D3，可以得到D4=；

又因為180°-D3=180°-D3所以=

28．（12分）（2022?徐州）（1）請在圖中選擇四個點，依次連接，圍成一個平行四邊形。

（2）選擇圖中的三個點，依次連接，能畫出個等腰三角形。

（3）畫出其中一個等腰三角形，并畫出它向右平移3格后的圖形。

（4）若所畫等腰三角形一個頂點的位置用數(shù)對(a,b)表示，則它平移后的位置用數(shù)對

（，)表示。

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專題55三角形

參考答案

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．【分析】三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以只要計算三邊中較短兩邊的和，再與第三

邊比較，如果大于第三邊，那么就能圍成三角形，否則就不能．

【解答】解：3+3=6>5所以A能圍成三角形；

3+3=6所以B不能圍成三角形；

4+4=8>4所以C能圍成三角形；

3+3=6>3所以D能圍成三角形；故選：B．

【點評】此題是考查三角形三邊的關系，應靈活掌握和運用．

2．【分析】根據(jù)三角形的內角和是180度，如果在三角形三個內角中，D1=D2+D3，也就

是180?2=90度，90?2=45度，那么這個三角形一定是直角三角形．據(jù)此解答．

【解答】解：由分析得：在三角形三個內角中，D1=D2+D3，也就是180?2=90（度)，90?2=45

（度)，那么這個三角形一定是直角三角形．故選：B．

【點評】此題考查的目的是理解掌握三角形的分類，按照角大小分為：直角三角形、銳角三

角形、鈍角三角形；按照邊分為：等腰三角形（含等邊三角形）、不等邊三角形．

3．【分析】根據(jù)三角形的內角和等于180°和三角形按角分類，解答此題即可。

【解答】解：因為D1=D2-D3

所以D1+D3=D2

所以D1+D3+D2=D2+D2

所以2D2=180°

D2=90°

這個三角形一定是直角三角形。故選：B。

【點評】熟練掌握三角形的內角和定理，是解答此題的關鍵。

4．【分析】根據(jù)三角形的內角和是180°，用180°分別減去圖中已知的兩個角的度數(shù)，即可求

出撕去的角的度數(shù)。

【解答】解：180°-45°-56°

=135°-56°

=79°

答：這個角79°。故選：A。

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【點評】本題考查了三角形的內角和定理的應用。

3

5．【分析】因為三角形的內角度數(shù)和是180°，三角形的最大的角的度數(shù)占內角度數(shù)和的，

6

根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義，求出最大角，進而判斷即可．

【解答】解：1+2+3=6，

3

最大的角：180°′=90°，所以這個三角形是直角三角形；故選：B。

6

【點評】解答此題應明確三角形的內角度數(shù)的和是180°，求出最大的角的度數(shù)，然后根據(jù)三

角形的分類判定類型．

6．【分析】觀察圖發(fā)現(xiàn)：已知兩個角，所以可能是三角形，也可能是四邊形；上下兩個邊有

可能平行，所以有可能是梯形；上下兩個邊不平行，所以不是平行四邊形；由此解答即可。

【解答】解：如圖，一個圖形被遮住了一部分，那么這個圖形不可能是平行四邊形。

故選：B。

【點評】熟練掌握平行四邊形、梯形、等腰三角形以及銳角三角形的含義，是解決本題關鍵。

7．【分析】根據(jù)三角形內角和為180°，另外兩個角的度數(shù)和一定為180°-60°=120°，找出選

項中兩個度數(shù)和為120°的即可解答。

【解答】解：180°-60°=120°

100°+20°=120°

故選：A。

【點評】本題考查三角形內角和度數(shù)以及計算。

8．【分析】三角形具有穩(wěn)定性，平行四邊形容易變形。據(jù)此解答即可。

【解答】解：圍法既美觀又最牢固。故選：C。

【點評】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性和四邊形易變形的特點。

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．【分析】根據(jù)三角形的內角和等于180°和三角形的分類，解答此題即可。

【解答】解：180-46-67

=134-67

=67（度)

答：撕去的這個角是67°，原來這張紙片的形狀是等腰三角形。故答案為：67；等腰。

【點評】熟練掌握三角形的內角和知識和三角形的分類，是解答此題的關鍵。

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10．【分析】三角形的內角和為180°，進一步直接利用按比例分配求得份數(shù)最小的角，然后

求出最大的角，根據(jù)三角形的分類即可判斷．

3

【解答】解，180°′=90°，

1+2+3

1

180°′=30°，

1+2+3

因為三角形中有一個角是90°，所以該三角形是直角三角形；故答案為：直角、30°．

【點評】此題主要利用三角形的內角和與按比例分配來解答問題．

11．【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，解答此題即可。

【解答】解：16?2=8（厘米）

8+1=9（厘米）

答：第二次應從9厘米處折。故答案為：9。

【點評】熟練掌握三角形的三邊關系，是解答此題的關鍵。

12．【分析】因三角形的內角和等于180°，這個三角形的三個內角的度數(shù)比是1:6:5，其中最

大的角，就是三角形內角和的6，根據(jù)分數(shù)乘法的意義可求出最大角的度數(shù)，然后根據(jù)

1+6+5

最大角判斷昌什么三角形即可．

6

【解答】解：180°′，

1+6+5

1

=180°′，

2

=90°；

因有一個是90°，所以這個三角形是直角三角形．故答案為：90，直．

【點評】本題考查了學生對三角形內角和，以及三角形分類知識的靈活應用．

13．【分析】三角形的內角和是180度，等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等，則頂角是180度

減去兩個底角的度數(shù)。

【解答】解；三角形內角和是180度，頂角的度數(shù)是(180-2m)度。

答：一個等腰三角形的一個底角是m度，則頂角是(180-2m)度。故答案為：(180-2m)度。

【點評】本題主要考查了三角形內角和，找出題目中的數(shù)量關系，是解答此題的關鍵。

14．【分析】任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，任意兩邊的差必須小于第三邊，據(jù)此

解答。

【解答】解：5+11=16（厘米）

最長：16-1=15（厘米）

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11-5=6（厘米）

最短：6+1=7（厘米）

答：第三根小棒最長是15厘米，最短是7厘米。故答案為：15，7。

【點評】本題考查了三角形的三邊關系的應用。

15．【分析】根據(jù)三角形的內角和等于180°和等腰三角形的兩個底角相等，解答此題即可。

【解答】解：(180-120)?2

=60?2

=30（度)

1

30?120=

4

答：它的一個底角度數(shù)是頂角度數(shù)的1。故答案為：1。

44

【點評】熟練掌握三角形的內角和知識和等腰三角形的性質，是解答此題的關鍵。

16．【分析】（1）連接BE，根據(jù)圖形對折及點E在BC的垂直平分線上，可得三角形EBC是

等邊三角形，即可求解；

（2）剪開的三角形是以正方形為邊長的等邊三角形，所以正方形的邊長是5厘米，那么得到

的三角形的周長是15厘米；據(jù)此求解即可；

（3）根據(jù)四邊形的內角和及等邊三角形各角度數(shù)即可求解。

【解答】解：（1）如圖：連接BE

根據(jù)對折可得：BC=EC，D1=D3，

點E在BC的垂直平分線上，所以BE=EC，

所以三角形EBC是等邊三角形，可得DECB=60°

因為D1=D3，所以D1=60°?2=30°；

圖4中三角形即是三角形EBC，所以D2=60°。

（2）因為剪開的三角形是以正方形為邊長的等邊三角形，所以正方形的邊長是5厘米，那么

得到的三角形的周長是15厘米。

（3）如圖：如果把這個特殊的三角形沿虛線剪去一個角，

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D3+D4=360°-60°-60°=240°

故答案為：30，60；15；240。

【點評】本題主要考查了圖形的折疊、三角形的內角和及四邊形的內角和，解題的關鍵是掌

握線段垂直平分線上的點到頂點的性質及圖形折疊特性。

三．判斷題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

17．【分析】根據(jù)三角形的特性：三角形具有穩(wěn)定性，即可得答案。

【解答】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得：斜拉橋用很多鋼管組成三角形，主要是為了增加

橋的穩(wěn)定性；所以原題說法正確。故答案為：?。

【點評】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性及生活中的應用。

18．【分析】根據(jù)三角形內角和是180°，連續(xù)減去兩個已知角的度數(shù)，求出蓋住的角的大小，

再根據(jù)三角形的分類，進行判斷即可。

【解答】解：180°-60°-30°=90°

答：這個三角形是直角三角形，原題說法錯誤。故答案為：′。

【點評】本題考查三角形內角和的應用以及三角形的分類。

19．【分析】任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，任意兩邊的差必須小于第三邊，據(jù)此

解答。

【解答】解：5+6>7，因此用長度分別是5cm、6cm、7cm的三根小棒能夠圍成三角形。原題

說法正確。故答案為：?。

【點評】本題考查了三角形的三邊關系的應用。

20．【分析】等腰三角形的兩個底角相等，其中兩個內角的度數(shù)之比是1:2，則等腰三角形三

個內角的度數(shù)之比可能是1:1:2或1:2:2；三角形的內角和是180°，把180°分別按1:1:2或1:2:2

分配，求出三個內角的度數(shù)；最后將三角形按角分類。

【解答】解：若等腰三角形三個內角的度數(shù)之比是1:1:2。

11

180°′=180°′=45°

1+1+24

21

180°′=180°′=90°

1+1+22

所以這個等腰三角形三個內角分別是45°、45°、90°。這個等腰三角形是直角三角形。

若等腰三角形三個內角的度數(shù)之比是1:2:2。

11

180°′=180°′=36°

1+2+25

22

180°′=180°′=72°

1+2+25

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所以這個等腰三角形三個內角分別是36°、72°、72°。這個等腰三角形是銳角三角形。

即這個等腰三角形可能是銳角三角形，也可能是直角三角形。原題說法正確。故答案為：?。

【點評】此題主要考查了等腰三角形的特點、三角形的內角和、按比分配、三角形按角分類。

四．解答題（共8小題，滿分60分）

21．【分析】（1）根據(jù)平角的含義，等于180°的角是平角，所以D3和D4組成平角；

（2）三角形的三個內角的和是180度，所以D1+D2+D3=180°，又因為D3和D4組成一個平

角，所以D3+D4=180°，D3沒變，所以D4=D1+D2．據(jù)此解答即可．

【解答】解：（1）D3+D4=180°

即D3和D4拼成的是平角．

（2）證明：

因為D1+D2+D3=180°，（三角形的內角和定理）

D3+D4=180°，（平角的特征）

D3=D3，

所以D4=D1+D2．（等量代換）．

【點評】解題關鍵是靈活運用三角形的內角和定理和平角的特征解答．

22．【分析】根據(jù)三角形內角和定理以及平角的意義解答即可。

【解答】解：根據(jù)三角形內角和是180°，

DA=70°，DB=60°，

則DACB=180°-70°-60°=50°。

又因為DACB+DACD=180°，

所以DACD=180°-50°=130°=DA+DB。

我發(fā)現(xiàn)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角度數(shù)的和。（答案不唯一）

【點評】本題主要考查三角形內角和定理的應用。

23．【分析】利用三角形內角和定理可知，另外兩個角的和是(180°-30°)，利用和倍問題公式：

和?（倍數(shù)+1)求較小角的度數(shù)，再乘2就是較大角的度數(shù)。

【解答】解：(180-30)?(1+2)′2

=150?3′2

=50′2

=100（度)

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答：這個三角形最大的角是100度。

【點評】本題主要考查三角形內角和的應用。

24．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，解答此題；

（2）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，解答此題。

【解答】解：（1）選2厘米、6厘米、6厘米的三根小棒；

（2）因為2+6>6

所以2厘米、6厘米、6厘米的三根小棒能圍成等腰三角形。

【點評】熟練掌握等腰三角形的特征，和三角形的三邊關系，是解答此題的關鍵。

25．【分析】因為該等腰三角形的兩個角的度數(shù)比是1:2，則這個三角形三個角度數(shù)的比為1:2:2

或1:1:2，進而根據(jù)按比例分配知識，分別求出三角形的最大角的度數(shù)，進而根據(jù)三角形的分

類進行判斷即可．

【解答】解：1+1+2=4，

2

180′=90（度)，

4

該三角形是直角三角形；

或：1+2+2=5，

2

180′=72（度)，

5

最大角為72度，是銳角，所以該三角形的三個角都是銳角，即該三角形是銳角三角形；

答：該三角形是直角三角形或銳角三角形．

【點評】解答此題用到的知識點：（1）三角形的內角和180度；（2）按比例分配知識；

（3）三角形的分類；

26．【分析】三角形的內角和是180°，在三角形ABC中，DB=70°，那么

DA+DC=180°-DB=110°，四邊形的內角和是360°，則D2+D2=360°