第二章控制體法(積分方程)

2.1質量平衡積分方程2.2動量平衡積分方程2.3能量平衡積分方程2.4重力作用下的流體平衡基本方程2.1質量平衡積分方程對空間的任意控制容體，其體積為V，表面積為A，流體的密度是ρ，速度是

。ρ?

為質量通量，即單位時間通過單位面積的質量。2.1質量平衡積分方程在微元體內，若質量的靜輸出不為零，在控制體內必有積累。在質量守恒的條件下，控制體輸入和輸出質量速率之差及積累質量積累速率為之和零，可以給出下面的積分質量方程積分值正為質量凈輸出，負為凈輸入，零為輸入和輸出平衡不可壓縮流穩(wěn)定流動2.1質量平衡積分方程例題1.右圖為管道流動，質量的流入和流出上保持穩(wěn)定，求其質量平衡方程。解：如圖虛線所示的控制容積，應用前面的公式可知：在A1截面處，速度矢量v1與A1的法線方向成180°，cos180°=-1，所以2.1質量平衡積分方程例題2.右圖為鋼液通過水口由鋼包流出。如果通過水口的鋼液平均流速為

2=(2gh)1/2。式中h為鋼液的高度。試求鋼包內鋼液流盡所需要的時間tc。截面A2處，速度矢量

2與A2的法線方向成0°，cos0°=1，所以

于是有所熟知的管道流動的質量平衡方程式。2.1質量平衡積分方程解：取如圖所示的控制容積，這是一個不穩(wěn)定流動的問題。因為鋼液通過水口流出，所以dt時間流出的質量為：而dt時間鋼液下降了dh，其質量為于是有：

積分之：

給出了流盡所需的時間，式中h為鋼液的初始深度。

2.1質量平衡積分方程例題3.設在圓管中流動的是不可壓縮流體，如下圖所示。速度分布滿足以下拋物線關系：式中:

max為圓管中心(即r＝0)處的速度，也就是最大速度；R為圓管半徑。該速度分布公式既可以由實驗得出，也可以根據后面的層流理論推導出來，因為此時的流動為層流狀態(tài)。2.1質量平衡積分方程工程中平均速度是很重要的，接下來介紹求平均速度的方法。對于不可壓縮流，密度是常數。圓管內的平均速度為：解：在任意一個具有速度分布的截面上，質量流量為：2.2動量平衡積分方程對空間的任意控制容體，其體積為V，表面積為A，流體的密度是ρ，速度是

ρ?

為質量通量，再乘上

為動量速率。2.2動量平衡積分方程由動量守恒定律，作用在控制體上的諸力之和等于從控制體流入和流出動量速率差與控制體積累動量速率之和，可以得到任意控制體積分動量平衡方程。2.2動量平衡積分方程例題4當流體在一個收縮彎曲管內作穩(wěn)定流動時，求它對彎管所產生的作用力。

解：如圖所示選取控制容積，并標出施加在其上面的外力，包括截面1和2上的壓力，控制容積內流體的重力及管壁作

用在流體上的合力(由τw和壓力Pw)為B，而其在x和y

軸方向上的分量分別為Bx和By。2.2動量平衡積分方程

于是作用在控制容積內流體上的外力是：上示中Bx、By假定都是正的，至于假定是否正確需在求解以后再判斷。在x軸和y軸方向上的動量速率為：因為是穩(wěn)定流動，所以：因此，在x軸方向積分動量平衡方程是：2.2動量平衡積分方程在y軸方向積分動量平衡方程是：

必須注意，所求的是作用在管子上的力，它是B的反作用力，用R表示，則有：2.2動量平衡積分方程右圖描述了控制體選擇的另一種可能的選擇。在截面①和截面②處，用垂直平面將管道切開，即得到了另一個控制體。對于這個新的控制體，在x及y方向上的動量方程為：不難看出，按上圖方法選擇控制體，無需分析Pw和τw等力，因為它們在新的控制體中都屬于內力，成對出現能夠相互抵消。因此除了兩個端面①和②，其他表面上的力均為大氣壓力，這樣就大大簡化了分析。2.3能量平衡積分方程對前面空間的任意控制容體，由于流體的流動，有能量的輸入、輸出和積累。ρ?

為質量通量，再乘上E為能量速率根據熱力學第一定律，ΔE＝Q－W；2.3能量平衡積分方程作用在控制體上的諸力之和等于從控制體流入和流出能量速率差與控制體積累能量速率之和。設控制體中，由環(huán)境輸入的熱速率為δQ/dt，對環(huán)境作功的速率為δW/dt，可以得到任意控制體積分能量平衡方程:W通?？煞殖奢S功和流動功兩項，如下式：2.3能量平衡積分方程將上式代入能量平衡方程，并考慮E=U+

2/2+gz，經整理可得：式中δW/dt為軸功率，即機械設備對流體所作的功率，其值可正可負：泵對流體作功，

為負；高速流體使渦輪機的軸旋轉，則

為正。最后一項為單位時間通過控制體的流體靜流動功(忽略粘性產生的功)。2.4

重力作用下的流體平衡基本方程考慮如下情況：穩(wěn)態(tài)，；無熱量傳遞、無軸功，；無內能變化；此時上式變?yōu)椋河谑牵河捎诹鲃邮欠€(wěn)定的，所以連續(xù)性方程為如果ρ=ρ1=ρ2，可得：因此，靜止液體中任一點的位能與壓力能之和是一常數。位能與壓力能可以相互轉化，但其和保持不變。2.4

重力作用下的流體平衡基本方程因此：2.4

重力作用下的流體平衡基本方程右圖為一開口容器，其中盛有密度為ρ的靜止均勻液體。液體所受的質量力只有重力。取容器的底平面作為xy平面，z軸垂直向上。液體不可壓縮，ρ和重度γ=ρg均為常數。將上述條件代入上式中可以得到：上式是重力作用下靜止液體內部壓強的表達式。

2.4

重力作用下的流體平衡基本方程若上圖中液面上的壓力是大氣壓，即P0=Pa，則：或上式中的P稱為絕對壓力，以完全真空為基準計量。PM表示稱為相對壓力或表壓力，以大氣壓為基準計量若絕對壓力低于大氣壓，即PM為負值，則為真空狀態(tài)，用Pv表示：Pv=Pa-P若以液柱高度來表示就稱為真空度，即：2.4

重力作用下的流體平衡基本方程例題5.右圖表示一氣壓計，一根上端封閉并抽成真空的垂直管與容器相連，容器中裝有密度ρ=13600kg/m3的水銀，水銀表面上為一個標準大氣壓Pa，求水銀柱上升的高度h。解：取等壓面A-A，P=PA由公式可知所以2.4

重力作用下的流體平衡基本方程例題6.右圖是一個測壓裝置，如果容器A中水面上的表壓力PM=2.45×104Pa，h1=500mm，h2=200mm，h3=100mm，h4=300mm，水的重度γ1=9810N/m3，乙醇的重度γ2=7840N/m3，水銀的重度γ3=134000N/m3，試求B容器中空氣的壓力P。解：取1-1，2-2，3-3三個等壓面。2.4

重力作用下的流體平衡基本方程1點的表壓力為：2點的表壓力為：3點的表壓力為：4點的表壓力為：=2.45×104+9180×(0.5+0.2)+7840×0.1-134000×(0.2+0.3)=-34849Pa由于空氣的重度很小，所以P4可表示容器B中的表壓力，其值為負說明容器B處于負壓狀態(tài)。2.5

小結本章通過控制體法討論了流體流動中的質量守恒、動量守恒、能量守恒等三個定律。采用控制體法導出的質量守恒積分式是普遍適用的。對于控制體，動量守恒關系可以改寫成適用于控制體的形式。需要注意的是，動量定理公式只適用于慣性系。根據能量守恒定律，導出了適用于控制體的能量守恒積分關系式，它是控制體法分析流動問題的基本公式之一。重力作用下流體平衡基本方程的適用范圍是連續(xù)均質平衡流體。2.5

小結對于分裝在互不連通的兩個容器內的流體(不滿足連續(xù)性條件)，以及雖裝在同一容器內但重度(密度)不同(不滿足均質流體條件