2024～2025學(xué)年第二學(xué)期3月份質(zhì)量檢查高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C．2 D．2．函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．3．若，則等于（

）A． B．3 C． D．64．已知函數(shù)，則的圖象在處的切線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．5．若在和處有極值，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（

）A．在內(nèi)是增函數(shù)B．在內(nèi)是增函數(shù)C．在時(shí)取得極大值D．在時(shí)取得極小值7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p、q，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心D．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)11．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．方程有唯一實(shí)數(shù)根B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．D．若且，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則．13．過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率為．14．若對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．（15分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)(5)．16．（13分）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.17．（15分）設(shè)函數(shù)．（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（17分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線(xiàn)相切的切線(xiàn)方程；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.19．（17分）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：．2024～2025學(xué)年第二學(xué)期3月份質(zhì)量檢查高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678910答案CDDACBBBBDABD題號(hào)11答案BCD1．C【分析】利用平均變化率的意義，直接計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.故選：C2．D【分析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D.3．D【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故選：D．4．A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，因此，即，所以的圖象在處的切線(xiàn)方程為：.故選：A5．C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意且，即可得到方程組，從而求出、的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：C．6．B【分析】根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).【詳解】由圖可知，在區(qū)間上,單調(diào)遞減；在區(qū)間上,單調(diào)遞增.所以不是的極值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn).所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.故選：B7．B【分析】分情況討論，當(dāng)時(shí)直接代入可得函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，，再由得到抽象函數(shù)，求出，最后再討論時(shí)的情況，綜合得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B8．B【分析】首先，由的幾何意義，得到直線(xiàn)的斜率，然后得到函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率大于1，從而得到在內(nèi)恒成立，分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成在內(nèi)恒成立，從而求解得到a的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膸缀我饬x為：表示點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，因?yàn)閷?shí)數(shù)，在區(qū)間，故在區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立，所以函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率大于1，故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，由函數(shù)的定義域，所以在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，由于二次函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，故時(shí)，在上取最大值為15，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)恒成立的問(wèn)題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.9．BD【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷BD選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：BD.10．BD【分析】由題得出，求得，令得出極值點(diǎn)，極值，單調(diào)區(qū)間即可得出判斷．【詳解】定義域?yàn)?，，令，得或（舍去），?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，極小值為，故B正確，A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；，即函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，故D正確；故選：BD．11．BCD【分析】先求出，然后討論的單調(diào)性，即可判斷A，B，C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，使用基本不等式并結(jié)合的最小值即可驗(yàn)證.【詳解】設(shè)，則，所以恒為常數(shù).又由于，故.所以，即.對(duì)于A，由于，故對(duì)有，對(duì)有.從而在上遞減，在上遞增，故，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，前面已經(jīng)證明在上遞增，故B正確；對(duì)于C，前面已經(jīng)證明，所以，故C正確；對(duì)于D，若，，則，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的新函數(shù)，從而求出已知函數(shù)的表達(dá)式.12．6【分析】利用瞬時(shí)變化率和極限思想求得，再結(jié)合函數(shù)解析式求得即可.【詳解】因，由可得，故.故答案為：6.13．2【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得幾何意義求得切線(xiàn)方程，代入即可求解；【詳解】，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為l：，將，代入，得，解得，∴，故答案為：214．【分析】整理可得，同構(gòu)結(jié)合的單調(diào)性分析可得，換元令，可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋遥傻?，整理可得，?gòu)建又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且，整理可得，令，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題1.分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．2.函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．15．(1)(2)(3)(4)(5)【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)、積的導(dǎo)數(shù)、商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)即可．【詳解】（1）（2）（3）（4），則（5）16．(1)極大值是，極小值是(2)最大值為2，最小值為【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及極值，結(jié)合，的值，求出函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）∵，∴，x13+0-0+單調(diào)遞增極大值2單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故的極大值是，極小值是；（2）由（1）知：x12+0-單調(diào)遞增極大值2單調(diào)遞減即函數(shù)在區(qū)間,上的最大值為2，最小值為.17．（1）單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，0）；（2）m＞2e2．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，求解即可求得單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，求解即可求得單調(diào)減區(qū)間，從而求得答案；（2）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f（x）最大值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的最大值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）∵，∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，0）；（2）∵當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞f（x）max，由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，∴f（x）max＝2e2，∴m＞2e2，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＞2e2．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，,考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，對(duì)于恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解，本題采用了直接求最值的方法，屬于中檔題．18．(1)(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線(xiàn)的斜率，即可得到方程，求出，從而求出切線(xiàn)方程；（2）依題意方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，則函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線(xiàn)斜率，解得，即，所以切線(xiàn)方程為，即為所求切線(xiàn)方程.（2）由題意得，方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，則函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意：當(dāng)時(shí)，令，得，則，隨著的變化情況如下表，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)上表可得，解得，綜上可得，的取值范圍.19．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，即證不等式，令，即證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證得結(jié)論成立；（3）設(shè)，由已知等式推導(dǎo)出，將所證不等式等價(jià)變形為，令，即證，令，其中，令導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.（2）當(dāng)時(shí)，，即證，令，即證，即證，因?yàn)?，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，其中，則，由可得，由可得，所以函數(shù)的