第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁湖北省部分省級示范高中2024?2025學年高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．若曲線表示橢圓，則的取值范圍是()A． B． C． D．或3．已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．4．若斜率為1的直線與橢圓交于兩點，則弦的中點坐標可能是（

）A． B． C． D．5．若圓：關(guān)于直線對稱，，則與間的距離是（

）A． B．C． D．6．雙曲線的光學性質(zhì)為：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點．如圖：為雙曲線的左，右焦點，從右焦點發(fā)出的光線在雙曲線上的點、處反射后射出共線），若，則（

）A． B． C．2 D．7．已知圓，點是圓上的一點，過點作圓的切線與圓相切于點，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左頂點為，左，右焦點分別為，，且關(guān)于它的一條漸近線的對稱點為，若以為圓心，為半徑的圓過原點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線，，則（

）A．的長軸長為4 B．的漸近線方程為C．與的焦點坐標相同 D．與的離心率互為倒數(shù)10．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．當取得最大值時，11．“心形線”體現(xiàn)了數(shù)學之美，某研究小組用函數(shù)圖象：，和拋物線的部分圖象圍成了一個封閉的“心形線”，過焦點的直線交（包含邊界點）于，兩點，是或上的動點，下列說法正確的是（

）

A．拋物線的方程為B．的最小值為5C．的最大值為7D．若在上，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．若兩條直線和互相垂直，則實數(shù)m的值等于．13．已知橢圓與雙曲線有相同的右焦點，點是橢圓和雙曲線的一個公共點，若，則橢圓的離心率為．14．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線交于點D，若且，則.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，已知圓，點.

(1)求圓心在直線上，經(jīng)過點，且與圓相外切的圓的方程；(2)若過點的直線與圓交于兩點，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程.16．如圖，正方體的棱長為為的中點．點在上．(1)求證：平面；(2)若．求直線與平面所成角的大??；17．記是等差數(shù)列的前項和，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求使成立的的最小值；(3)求數(shù)列的前項的和．18．已知，，點是動點，直線與直線的斜率之積為，(1)求點的軌跡方程(2)過點且斜率不為0的直線與交于、兩點，直線分別交直線、于點、，以為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．19．已知為拋物線上的兩點，是邊長為的等邊三角形，其中為坐標原點.(1)求的方程.(2)已知圓的兩條切線，且與分別交于點和.（i）證明：為定值.（ii）求的最小值.

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標的減法，模長定義即得.【詳解】因，對于A選項，由可得：，易知的值不存在；對于B選項，由可知不成立；對于C選項，；對于D選項，故選：D.2．【答案】D【詳解】曲線表示橢圓，，解得，且，的取值范圍是或，故選D．3．【答案】D【詳解】由題意，得，即，所以拋物線方程為.故選D.4．【答案】A【詳解】設(shè)，則，兩式相減得：（*），設(shè)弦的中點坐標為，則，因直線的斜率為1，即，分別代入上式（*），整理得：.將選項逐一代入檢驗知，A，D滿足，但是，點在橢圓外，不合要求.故選：A.5．【答案】D【解析】由圓心在直線l上求得m，然后由平行間距離公式求得距離．【詳解】由題意，圓關(guān)于直線對稱，則，，即l方程為，所求距離為．故選：D.6．【答案】A【詳解】連接，因為，則，即為等邊三角形，由對稱性可知，則，又因為，即，整理得，解得或（舍），所以.故選：A.7．【答案】B【詳解】因為的圓心為，圓的圓心為，因為直線為圓的切線，所以，，又因為，所以，可得，又，所以，且平分，所以，則，則最小值即的最小值，圓心到的距離，所以，所以的最小值為，故選B.

8．【答案】B【詳解】由題意可知：，設(shè)與漸近線的交點為，則為的中點，且，則點到直線的距離，可得，又因為分別為的中點，則，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B.9．【答案】BD【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標準方程，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】由，即為：，故焦點在軸上，長軸長為，故A錯誤；焦點坐標為，離心率為，對，漸近線方程為，故B正確；焦點坐標為，與的焦點坐標不相同，故C錯誤；離心率為，與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.故選：BD.10．【答案】BC【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，，即，，且，即B、C正確；因，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故A錯誤；因，，即當取得最大值時，，故D錯誤.故選：BC.11．【答案】ABD【詳解】可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的上半部分；可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的上半部分．對于A選項，拋物線過點，解得，，故A選項正確；對于B選項，拋物線的準線為，過點作，垂足為，

則，則，故B選項正確；對于C選項，不妨設(shè)，顯然離最遠的點在上，且，聯(lián)立，消去整理得，，則，，則，由對稱性只考慮情況，在點時，，所以，所以，設(shè)，易得在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，故C選項錯誤；對于D選項，設(shè)的中點為，聯(lián)立，消去整理得，則，，，，，所以，，，最小，即最大，也即最小，又的中點位于圓心的左側(cè)，故當在位置時，最小，最小，所以，故D選項正確.故選：ABD．

12．【答案】【詳解】由題意可得，解得.故答案為：.13．【答案】【詳解】解：由題意，不妨設(shè)P在第一象限，為左焦點，雙曲線可化為，由雙曲線的定義知：，，則，，由橢圓的定義知：，∴，∵橢圓與雙曲線有相同的右焦點，∴橢圓的離心率．故答案為：14．【答案】3【詳解】如圖，設(shè)準線與軸的交點為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設(shè)，因為，所以，∴.設(shè)，所以，所以.15．【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）圓，化為標準方程，所以圓的圓心坐標為，

又圓的圓心在直線上，設(shè)圓的圓心坐標為，又經(jīng)過點，且與圓相外切，所以切點為，則有，即，解得，所以圓的圓心坐標為，半徑，故圓的方程為；（2）

因為圓弧PQ恰為圓C周長的，所以，所以點到直線的距離為2，當直線的斜率不存在時，點C到軸的距離為2，直線即為軸，所以此時直線的方程為；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，

所以，解得，所以此時直線的方程為；綜上，所求直線的方程為或.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）∵是正方體，∴平面，又平面，∴，易得，又平面，∴平面，又點M在上，所以平面（2）連接，在正方體中，根據(jù)平面，∵平面，∴，又，∴，∵平面，∴，又為中點，∴為中點；根據(jù)正方體的特征建立空間直角坐標系如圖所示：則，∴，則，設(shè)平面法向量為，則，故可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，因，故.故直線與平面所成角為.17．【答案】(1)(2)4(3)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意知，，解得，所以.（2）由（1）可得，由可得，解得或，因為，故正整數(shù)的最小值為.（3）因當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，.所以數(shù)列的前項和為：.18．【答案】(1)(2)是過定點，和【分析】（1）利用坐標表示出斜率可得，整理可得；（2）設(shè)直線方程為，并與橢圓方程聯(lián)立可得，利用韋達定理可解得，由垂直關(guān)系的向量表示可得以為直徑的圓過軸上的定點和.【詳解】（1）設(shè)，則且所以整理可得，即點的軌跡方程（2）如下圖所示：設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立可得可得，所以，；直線的方程為，可得，即；直線的方程為，可得，即；所以假設(shè)過定點，則，即，即可得，解得，所以定點為和．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理式，再計算出的值，最后根據(jù)，代入計算即可.19．【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【詳解